احتمال چیست؟ آموزش صفر تا صد احتمال از صفر+ مثال سکه و تاس 

بازی معروف منچ را همه به خاطر داریم و با آن آشنا هستیم. زمانی که تاس می‌‌اندازیم، ممکن است هر کدام از وجه‌‌های آن از ۱ تا ۶ نمایان شود و زمانی که سکه را پرتاب می‌‌کنیم امکان هر دو حالت رو آمدن یا پشت آمدن برای آن وجود دارد، ولی در هر دو مثال نمی‌‌توان با قطعیت گفت کدام‌‌یک از این حالت‌‌ها قرار است رخ دهد. این عدم قطعیت به علم احتمال برمی‌‌گردد. علمی که قرار است در این مقاله درمورد آن صحبت کنیم.

در این درس‌‌نامه از مدارس سلام قصد داریم به آموزش احتمال به زبان ساده بپردازیم. بنابراین، ابتدا به شما توضیح می‌‌دهیم که احتمال چیست و چه قوانینی دارد. سپس، به سایر مفاهیم احتمال و کاربردهای آن در زندگی روزمره خواهیم پرداخت.

مفهوم احتمال چیست؟

واژه احتمال در زبان فارسی به معنی امکان وقوع یک رویداد است. مفهوم احتمال در ریاضی نیز با همین معنا به کار می‌‌رود. احتمال یا امکان رخ دادن یک رویداد را با اعداد بین ۰ و ۱ نشان می‌‌دهند. اگر برای یک رویداد امکان وقوع وجود نداشته باشد، گفته می‌‌شود احتمال وقوع ۰ است اما اگر از امکان وقوع یک رویداد اطمینان داشته باشیم می‌‌گوییم احتمال وقوع آن ۱ است.

علم احتمال نه‌‌تنها در ریاضی بلکه در سایر زمینه‌‌ها مانند هوش مصنوعی، مهندسی، صنعت و کسب‌‌وکارها کاربرد فراوانی دارد. قبل از آشنایی با مفاهیم احتمال و کاربرد آن که در ادامه به آن می‌‌پردازیم خوب است یک دید کلی درمورد اصطلاحات احتمال که در درس آمار و احتمال پایه یازدهم از آن‌‌ها استفاده می‌‌شود داشته باشید. این اصطلاحات در تصویر زیر آمده است.

تعریف احتمال در ریاضی با مثال

برای آشنایی با مفهوم احتمال به زبان ساده با مثال سکه و تاس شروع می‌‌کنیم. می‌‌دانیم که یک سکه تنها دو طرف یعنی پشت و رو دارد. بنابراین، زمانی که یک سکه را پرتاب می‌‌کنیم، فقط دو حالت رو آمدن یا پشت آمدن آن را انتظار داریم اما بااین‌‌وجود مطمئن نیستیم قرار است کدام‌‌یک از دو طرف سکه را ببینیم. در اینجا با کمک احتمال می‌‌توانیم امکان وقوع هر یک از این دو حالت را با عددی بین ۰ و ۱ بیان کنیم. چون احتمال رو آمدن یا پشت آمدن سکه یکسان است، می‌‌گوییم احتمال رو آمدن سکه ۰/۵ و احتمال پشت آمدن آن نیز ۰/۵ خواهد بود.

احتمال بین ۰ تا ۱ یعنی چه؟

طبق تعریف احتمال در ابتدای مقاله، احتمال بین ۰ تا ۱ نشان می‌‌دهد که روی دادن یک حالت یا پدیده تا چه اندازه حتمی یا غیرممکن است. مثلا درمورد یک سکه که احتمال رو آمدن یا پشت آمدن آن یکسان و برابر با ۰/۵ است، می‌‌توانیم بگوییم که رو آمدن سکه حتمی یا غیرممکن نیست بلکه محتمل است.

رویداد حتمی، غیرممکن و محتمل با مثال

در احتمال، سه نوع رویداد حتمی، غیرممکن و محتمل داریم که در ادامه آن‌ها را بررسی می‌کنیم:

• رویداد حتمی: رویدادی است که احتمال رخ دادن آن ۱ است و صددرصد اتفاق می‌‌افتد. برای مثال، واضح است که بعد از روز شنبه روز یک‌‌شنبه می‌‌آید. پس، آمدن روز یک‌‌شنبه بعد از شنبه یک رویداد حتمی است.
• رویداد غیرممکن: رویدادی است که احتمال وقوع آن ۰ است و رخ دادن آن امکان ندارد. مثلا می‌‌دانیم که دو عدد طبیعی فرد اگر با هم جمع شوند، حاصلشان قطعا یک عدد زوج می‌‌شود. پس احتمال فرد شدن مجموع دو عدد طبیعی فرد رویدادی غیرممکن است.
• رویداد محتمل: رویدادی است که احتمال رخ دادن آن ۰ و ۱ نیست بلکه عددی بین آن‌‌هاست، مانند احتمال تاس و سکه که در بخش قبل توضیح داده شد.

چرا یادگیری احتمال مهم است؟

کاربرد احتمال در زندگی روزمره و تصمیم گیری‌ها بسیار مهم است. مثال‌‌هایی که در بخش‌‌های قبل زده شد، خود گویای این موضوع است که احتمال می‌‌تواند در زمینه‌‌های مختلف مورد استفاده قرار گیرد. علاوه‌‌بر علوم مختلف، حتی در بازی‌‌ها و مسابقاتی که انجام می‌‌دهیم هم علم احتمال بسیار کاربردی است. برای اینکه بدانید یادگیری احتمال چقدر مهم است، در ادامه به چند نمونه از کاربردهای این علم در دنیای واقعی اشاره می‌‌کنیم.

نقش احتمال در تصمیم گیری و مدیریت ریسک

مدیریت ریسک در تصمیم‌‌گیری ابزار مهمی برای ارتقای کیفیت تصمیم‌‌ها محسوب می‌‌شود. سازمان‌‌ها با مدیریت ریسک سعی می‌‌کنند خطراتی که ممکن است آن‌‌ها را تهدید کند، شناسایی کرده و با تصمیم‌‌های درست آن‌‌ها را کنترل کنند. بنابراین، مدیریت ریسک با استفاده از احتمال به‌‌ویژه در علم اقتصاد، پزشکی و مهندسی حائز اهمیت است.

کاربرد احتمال در پیش بینی آب و هوا، بازی ها و مسابقات

یکی دیگر از کاربردهای احتمال، پیش‌‌بینی وضعیت جوی است. پیش‌‌بینی دقیق آب‌‌وهوا امکان‌‌پذیر نیست. به همین خاطر کارشناسان هواشناسی اصطلاح احتمال را زیاد به کار می‌‌برند. در واقع، آن‌‌ها با استفاده از داده‌‌های هواشناسی احتمال وقوع پدیده‌‌های جوی را بررسی می‌‌کنند. در بازی‌‌ها و مسابقات نیز با توجه به عملکرد بازیکنان می‌‌توان درباره احتمال برد یا باخت تیم‌‌ها و نتیجه بازی‌‌ها صحبت کرد.

استفاده از احتمال در علوم داده، یادگیری ماشین و تحلیل پیشگویانه

ازجمله کاربرد احتمال در علوم داده و یادگیری ماشین، تحلیل پیشگویانه است. آمار و احتمال به متخصصان و پژوهشگران این حوزه این امکان را می‌‌دهد تا تحلیل‌‌های مناسبی داشته باشند و الگوریتم‌‌ها را توسعه دهند.

احتمال در تحقیق علمی و آزمون فرضیه

محققان و تحلیلگران با استفاده از آزمون فرضیه و تحلیل آماری، یک نمونه تصادفی را بررسی و فرضیه را آزمایش می‌‌کنند. آن‌‌ها داده‌‌هایی را که مشاهده می‌‌کنند، با فرضیه‌‌هایی که انتظارش را دارند تطبیق می‌‌دهند تا به یک قانون کلی دست یابند.

پیش نیازهای یادگیری احتمال: از منطق تا شمارش

برای یادگیری و محاسبه احتمال رویدادهای مختلف یک‌‌سری پیش‌‌نیازها لازم است که ابتدا باید با آن‌‌ها آشنا باشید و آن‌‌ها را درک کنید. فهم درست این پیش‌‌نیازها در ادامه یادگیری احتمال موثر خواهد بود و در درک بهتر مسائل و یافتن راه‌‌حل برای آن‌‌ها به شما کمک خواهد کرد.

منطق ریاضی و گزاره ها

منطق ریاضی شاخه‌‌ای از علم ریاضی است که در آن به ارتباط بین منطق و ریاضی پرداخته می‌‌شود. گزاره‌‌ها نیز عبارت‌‌ها یا جمله‌‌هایی هستند که می‌‌توان درمورد درستی یا نادرستی آن‌‌ها نظر داد و به‌‌عبارتی، قابلیت بررسی درستی یا نادرستی در آن‌‌ها وجود دارد. گزاره‌‌ها ازجمله مباحث مهم در منطق هستند و در درس آمار و احتمال بسیار به کار می‌‌آیند.

مجموعه ها، اجتماع، اشتراک و تفاضل

مبحث مجموعه‌‌ها، قوانین اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌ها که در مقاله «مجموعه اعداد چیست؟» به آن پرداختیم، یکی از انواع پیش نیاز یادگیری احتمال در ریاضی است که بهتر است برای تقویت خود در این زمینه حتما آن را مطالعه کنید.

شمارش، جایگشت و ترکیب برای مسائل احتمال

اصول شمارش به ما کمک می‌‌کند تا بتوانیم اعضای یک مجموعه را بشماریم. جایگشت نیز به معنای چیدن اشیاء با ترتیب‌‌های مختلف است که در آن تمام حالت‌‌های ممکن در نظر گرفته می‌‌شود. ترکیب ساده‌‌تر از جایگشت است و ترتیب در آن اهمیتی ندارد. درک این مفاهیم نیز برای درک بهتر مسائل احتمال ضروری است.

اصطلاحات و مفاهیم پایه در نظریه احتمال

نظریه احتمال شاخه‌‌ای از ریاضی است که در آن به مطالعه احتمال پرداخته می‌‌شود و مسئله‌‌ها را می‌‌توان با کمک یک‌‌سری اصول حل کرد. برای اینکه بدانید نظریه احتمال چیست ابتدا شما را با مفاهیم و اصطلاحات پرکاربرد آن آشنا می‌‌کنیم. این مفاهیم را در ادامه توضیح خواهیم داد.

آزمایش و آزمایش تصادفی در احتمال چیست؟

یک مخترع را در نظر بگیرید که برای اختراع خود چندین‌‌بار آزمون‌‌وخطا می‌‌کند و دست به آزمایش‌‌های مختلف می‌‌زند که ممکن است او را به نتایج مطلوب یا نامطلوب برساند. در واقع، مخترعان پس از انجام چند آزمایش با نتایج نامطلوب، درنهایت آزمایشی انجام می‌‌دهند که نتیجه مطلوب به همراه دارد و منجر به اختراع می‌‌شود.

در احتمال نیز آزمایش همین مفهوم را دارد. یک آزمایش به فعالیتی گفته می‌‌شود که نتایج آن از قبل مشخص نیست و می‌‌تواند چند نتیجه مطلوب و چند نتیجه نامطلوب داشته باشد.

مثال پرتاب سکه و تاس را به خاطر دارید؟ این مثال‌‌ها نمونه‌‌ای از آزمایش تصادفی در احتمال هستند. در آزمایش پرتاب تاس انتظار داریم با اعداد ۱ تا ۶ مواجه شویم و در پرتاب سکه نیز دو حالت رو آمدن یا پشت آمدن نتایج احتمالی ما هستند. در این دو مثال اگرچه می‌‌دانیم نتایج ممکن چه هستند، اما نمی‌‌توانیم با قطعیت بیان کنیم که پس از پرتاب با کدام‌‌یک از این نتایج مواجه خواهیم شد. این عدم قطعیت نشان‌‌دهنده تصادفی بودن آزمایشی است که قرار است با پرتاب سکه یا تاس انجام دهیم. پس آزمایش تصادفی آزمایشی است که با وجود دانستن نتایج ممکن آن، نمی‌‌توان قبل از انجام آزمایش با قطعیت درباره روی دادن یک نتیجه خاص صحبت کرد.

تلاش آزمایشی (آزمون)، نتیجه و نتایج احتمالی

تلاش آزمایشی یا آزمون به تلاشی گفته می‌‌شود که برای اجرا کردن یک آزمایش تصادفی انجام می‌‌شود. برای مثال، زمانی که در یک آزمایش تصادفی یک تاس را ۳ بار پرتاب می‌‌کنیم، هر یک از این سه‌‌بار پرتاب در این آزمایش تصادفی یک آزمون یا تلاش آزمایشی خواهند بود.

نتایج هم شانس و غیر هم شانس با مثال

منظور از نتیجه یا برآمد همان خروجی آزمون است. به‌‌عنوان مثال، نوزادی که به دنیا می‌‌آید یا پسر است یا دختر. هرکدام از این دو حالت می‌‌تواند یک نتیجه یا برآمد باشد.

نتایج غیرهم‌‌شانس، نتایج یا خروجی‌‌های یک آزمایش هستند که احتمال روی دادن آن‌‌ها با هم برابر نیست. برای مثال، اگر یک تاس به‌‌گونه‌‌ای ساخته شود که شش وجه آن یکسان نباشند یعنی به‌‌جای اینکه به‌‌شکل یک مکعب باشد به‌‌صورت یک مکعب مستطیل ساخته شود، در این صورت احتمال ظاهر شدن هر یک از وجه‌‌های تاس مساوی نخواهد بود. پرتاب چنین تاسی یک آزمایش تصادفی با احتمال غیرهم‌‌شانس در نظر گرفته می‌‌شود.

به‌‌عنوان مثالی دیگر، تعدادی بازیکن با استعداد و توانایی‌‌های مختلف را در نظر بگیرید. زمانی که این بازیکنان در یک مسابقه شرکت می‌‌کنند، برای همه آ‌‌ن‌‌ها احتمال برد یکسان وجود ندارد و در اینجا هم با احتمال غیرهم‌‌شانس روبه‌‌رو هستیم.

پیشامد یا رویداد در احتمال چیست؟

منظور از پیشامد یا رویداد، آزمونی است که یک نتیجه ممکن و از قبل تعیین‌‌شده به همراه دارد. مثلا رو آمدن یک سکه یا ظاهر شدن عدد پنج پس از پرتاب تاس یک پیشامد محسوب می‌‌شود.

رویداد تصادفی در احتمال نیز به رویدادی گفته می‌‌شود که نمی‌‌توان به‌‌راحتی درباره آن پیش‌‌گویی کرد. فرض کنید یک کیسه پر از مهره‌‌های قرمزرنگ داریم که یک مهره سبزرنگ نیز داخل آن‌‌ها وجود دارد. اگر بخواهیم از بین این مهره‌‌ها یک مهره بیرون آوریم، احتمال اینکه آن مهره سبزرنگ باشد بسیار کوچک است. در واقع، بیرون آمدن یک مهره سبزرنگ از بین مهره‌‌های قرمز یک رویداد یا پیشامد تصادفی به حساب می‌‌آید.

پیشامد مستقل و پیشامد وابسته چیست؟

حالا که می‌‌دانیم پیشامد در احتمال چیست در این بخش و بخش‌‌های بعدی، انواع دیگر پیشامدها را معرفی می‌‌کنیم. ابتدا به پیشامد مستقل و وابسته می‌‌پردازیم. پیشامد مستقل همان‌‌طور که از نامش پیداست، پیشامدی است که رخ دادن آن به پیشامد دیگر وابسته نیست. مثال سکه و تاس را در نظر بگیرید. زمانی که یک تاس یا یک سکه را برای بار اول پرتاب می‌‌کنیم، نتیجه آن هرچه که باشد ممکن است برای بارهای بعدی تکرار نشود. مثلا اگر پس از پرتاب اول تاس، نتیجه عدد شش شد، نمی‌‌توان نتیجه گرفت که چون بار اول شش آمده، به‌‌طور قطع برای بارهای بعدی نیز همین عدد ظاهر می‌‌شود.

پیشامد وابسته برعکس پیشامد مستقل پیشامدی است که روی دادن آن وابسته به پیشامد دیگری است. به‌‌عنوان مثال، فرض کنید یک تاس داریم که برای بار اول آن را پرتاب می‌‌کنیم. اگر عدد شش نمایان شود، برای بار دوم تاس را می‌‌اندازیم و به همین ترتیب، اگر برای بار دوم نیز عدد شش ظاهر شود، دوباره تاس را پرتاب می‌‌کنیم. این کار را تا زمانی که عدد ظاهرشده عددی غیر از شش باشد ادامه می‌‌دهیم. در چنین حالتی، پرتاب بعدی تاس وابسته به عدد نمایان‌‌شده در پرتاب قبلی خواهد بود. چنین پیشامدی را پیشامد وابسته می‌‌نامیم.

پیشامد محتمل، غیرمحتمل و غیرممکن چیست؟

پیشامد محتمل به پیشامدی گفته می‌‌شود که بتوان احتمال رخ دادن آن را حساب کرد. برای مثال، احتمال زوج آمدن عدد یک تاس پس از پرتاب را می‌‌توان محاسبه کرد. در واقع، احتمال زوج آمدن عدد تاس پیشامدی محتمل به شمار می‌‌رود.

پیشامد غیرمحتمل یا غیرممکن پیشامدی است که بخشی از آزمایش به حساب نمی‌‌آید. اگر یک کیسه دارای تعدادی مهره قرمز داشته باشیم، احتمال اینکه مهره‌‌ای که از آن بیرون می‌‌کشیم سبز باشد صفر است. بنابراین، در اینجا سبز بودن مهره‌‌ای که بیرون می‌‌آوریم، یک پیشامد غیرمحتمل یا غیرممکن است.

پیشامدهای مکمل (متمم) و دو به دو ناسازگار

پیشامدهای مکمل (متمم) در احتمال به دو پیشامدی گفته می‌‌شود که درصورت وقوع یکی از آن‌‌ها دیگری اتفاق نمی‌‌افتد. به‌‌طور کلی، در یک آزمایش، یک نتیجه مطلوب و یک نتیجه نامطلوب پیشامدهای مکمل یا متمم یکدیگر هستند. برای مثال، وقتی که یک سکه را پرتاب می‌‌کنیم، اگر رو بیاید واضح است که پیشامد پشت آمدن رخ نمی‌‌دهد و بالعکس، اگر پشت بیاید، پیشامد رو آمدن اتفاق نمی‌‌افتد. پس دو پیشامد رو آمدن و پشت آمدن یک سکه دو پیشامد مکمل یا متمم محسوب می‌‌شوند.

به‌‌عنوان مثالی دیگر، می‌‌توان به مهره‌‌های قرمز و سبز درون یک کیسه اشاره کرد. اگر در یک کیسه دو مهره قرمز و سبز داشته باشیم و بخواهیم یکی را بیرون بیاوریم، درصورتی که مهره قرمز باشد، پیشامد سبز بودن مهره دیگر روی نمی‌‌دهد و بالعکس اگر مهره سبز باشد پیشامد قرمز بودن مهره دیگر رخ نخواهد داد. در اینجا نیز پیشامدهای قرمز و سبز شدن مهره‌‌ها پیشامدهای مکمل یکدیگر هستند.

پیشامدهای دو به دو ناسازگار نیز به دو پیشامدی گفته می‌‌شود که وقوع یکی از آن‌‌ها مانع روی دادن دیگری می‌‌شود. چنین پیشامدهایی به‌‌طور همزمان رخ نمی‌‌دهند. برای مثال فرض کنید احتمال کسب نمره کامل برای یک دانش‌‌آموز پایه یازدهم در امتحان آمار و احتمال ۲۰ درصد و احتمال کسب نمره ۱۷ برای او ۱۰ درصد باشد. این دانش‌‌آموز نمی‌‌تواند همزمان هم نمره کامل بگیرد و هم نمره ۱۷ را دریافت کند. بالاخره یکی از پیشامدها رخ خواهد داد. در چنین حالتی، می‌‌گوییم این دو پیشامد ناسازگار هستند.

فضای نمونه در احتمال: گسسته و پیوسته

فضای نمونه یکی از پرکاربردترین مفاهیم احتمال در ریاضی است که شامل دو نوع فضای نمونه گسسته و فضای نمونه پیوسته است. در ادامه این مطلب با ذکر مثال به شما توضیح خواهیم داد که فضای نمونه در احتمال چیست.

فضای نمونه (Sample Space) چیست؟

فضای نمونه مجموعه‌‌ای از همه نتیجه‌‌هایی است که ممکن است در یک آزمون اتفاق بیفتد. به هریک از اعضای فضای نمونه نتیجه یا برآمد می‌‌گویند و هرکدام از زیرمجموعه‌‌های فضای نمونه را پیشامد می‌‌نامند. مثال تاس را به یاد بیاورید. زمانی که یک تاس را پرتاب می‌‌کنیم، این احتمال وجود دارد که با هریک از اعداد ۱ تا ۶ مواجه شویم. ظاهر شدن هرکدام از این اعداد یک نتیجه یا برآمد در این آزمون هستند و مجموعه آن‌‌ها یک فضای نمونه به‌‌صورت زیر تشکیل خواهد داد. فضای نمونه را معمولا با حرف S نشان می‌‌دهند.

S={۱,۲,۳,۴,۵,۶}

اگر نتیجه مطلوب ما ظاهر شدن اعداد فرد روی تاس باشد، آنگاه مجموعه اعداد فرد  پیشامدی از فضای نمونه S به شمار می‌‌رود.

فضای نمونه گسسته با مثال سکه و تاس

فضای نمونه گسسته یک مجموعه نامتناهی یا متناهی است که امکان شمارش دارند. برای مثال، فضای نمونه پرتاب تاس که شامل اعداد ۱ تا ۶ است و فضای نمونه پرتاب سکه که شامل رو آمدن و پشت آمدن است، هر دو مثال‌‌هایی از یک فضای نمونه گسسته متناهی هستند چرا که اعضای آن‌‌ها قابل شمارش است.

فضای نمونه پیوسته با مثال

فضای نمونه پیوسته یک مجموعه نامتناهی است که امکان شمارش آن‌‌ها وجود ندارد. کمیت‌‌هایی مانند طول، حجم، مساحت، قد، وزن، میزان بارندگی و مانند این‌‌ها که قابل اندازه‌‌گیری هستند، مثال‌‌هایی از فضای نمونه پیوسته محسوب می‌‌شوند. در مقاله‌ی تبدیل واحدهای اندازه گیری درباره تبدیل واحد این کمیت‌های قابل اندازه گیری صحبت کرده ایم.

قوانین و فرمول های اصلی احتمال

معادل انگلیسی احتمال، Probability است. به همین خاطر احتمال را با نماد P نشان می‌‌دهند. بنابراین، زمانی که می‌‌خواهیم به احتمال پیشامد مثلا A اشاره کنیم، آن را به‌‌صورت P(A) می‌‌نویسیم. پس P(A) یعنی احتمال پیشامد A.

با کمک قوانین احتمال می‌‌توان احتمال رخ دادن رویدادهای مختلف را محاسبه کرد. در ادامه قوانین و فرمول های احتمال را با مثال توضیح خواهیم داد.

احتمال یک پیشامد و بازه مجاز آن

اکنون که می‌‌دانیم P(A) چیست سراغ فرمول محاسبه احتمال یک پیشامد می‌‌رویم. به‌‌طور کلی، فرمول محاسبه احتمال پیشامدی مانند A به‌‌صورت زیر است:

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}$

• P(A) : احتمال پیشامد A
• n(A) : تعداد نتایج مطلوب A
• n(S) : تعداد تمام نتایج موجود در فضای نمونه

از این فرمول می‌‌توان برای فضاهای نمونه‌‌ای که گسسته و هم‌‌شانس هستند نیز استفاده کرد. در فضای نمونه گسسته و هم‌‌شانس احتمال پیشامد ( P)، یک عدد حقیقی بین ۰ و ۱ است. ۰ نشان‌‌دهنده غیرمحتمل بودن پیشامد و ۱ نیز نشان‌‌دهنده قطعی بودن یک پیشامد است. البته مقدار احتمال را می‌‌توان به‌‌صورت درصد نیز بیان کرد. در این صورت احتمال وقوع یک پیشامد قطعی ۱۰۰ درصد و احتمال وقوع یک پیشامد غیرممکن صفر درصد خواهد بود.

احتمال پیشامد و نحوه محاسبه آن: مثال احتمال در پرتاب سکه و تاس

در آزمایش پرتاب تاس، احتمال ظاهر شدن اعداد زوج چقدر است؟

پاسخ: اولین قدم در محاسبه احتمال، تعیین فضای نمونه و پیشامد است. با توجه به اینکه یک تاس شش وجه دارد و وجه‌‌های آن اعداد ۱ تا ۶ را نشان می‌‌دهند، فضای نمونه ما شامل اعداد ۱ تا ۶ خواهد بود:

S={۱,۲,۳,۴,۵,۶}

به‌‌این‌‌ترتیب، تعداد اعضای فضای نمونه ما در این مثال ۶ تاست. پس داریم:

n(S) =۶

حالا نوبت تعداد اعضای پیشامد است. با توجه به صورت سوال، پیشامد ما مشاهده اعداد زوج تاس پس از پرتاب است. بنابراین، مجموعه اعضای این پیشامد برابر است با:

A={۲,۴,۶}

همان‌‌طور که می‌‌بینید، پیشامد ما ۳ عضو دارد.

n(A)=۳

اکنون که تعداد اعضای فضای نمونه و پیشامد را مشخص کردیم، می‌‌توانیم احتمال رو آمدن اعداد زوج تاس را محاسبه کنیم. بنابراین خواهیم داشت:

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}$ $P\left(A\right)=\frac{۳}{۶}$

برای راحتی محاسبه احتمال، می‌‌توانیم کسر حاصل را با استفاده از نکاتی که در آموزش ساده کردن کسرها توضیح داده‌ایم، تا جای ممکن ساده کنیم:

P(A) = ۳ ۶ = ۱ ۲

بنابراین، احتمال مشاهده اعداد زوج تاس مساوی با ۰/۵ است. اگر بخواهیم این مقدار را به‌‌صورت درصد بیان کنیم، کافی‌‌ست کسر به‌‌دست‌‌آمده را در ۱۰۰ ضرب کنیم. در این صورت، احتمال پیشامد A مساوی ۵۰ درصد خواهد بود.

مثال پرتاب همزمان سکه و تاس

می‌‌خواهیم یک تاس و یک سکه را به‌‌صورت هم‌‌زمان پرتاب کنیم. احتمال اینکه سکه رو بیاید و روی تاس نیز عددی بزرگ‌‌تر از ۴ ظاهر شود چقدر خواهد بود؟

پاسخ: در این مثال، برای محاسبه احتمال پرتاب همزمان تاس و سکه ابتدا فضای نمونه را تعیین می‌‌کنیم. احتمالا عبارت پرتاب هم‌‌زمان اندکی ذهنتان را گمراه کرده است، اما به‌‌سادگی می‌‌توانید این مثال را حل کنید. کافی‌‌ است فضای نمونه برای تاس و سکه را به‌‌طور جداگانه بنویسیم. با پرتاب سکه دو حالت رو یا پشت آمدن و با پرتاب تاس نیز اعداد ۱ تا ۶ را خواهیم داشت. در این مثال، رو آمدن را با (ر) و پشت آمدن را با (پ) نشان می‌‌دهیم.

اگر پس از پرتاب هم‌‌زمان سکه و تاس، سکه رو بیاید، برآمدهای زیر را خواهیم داشت:

(ر,۱),(ر,۲),(ر,۳),(ر,۴),(ر,۵),(ر,۶)

اما اگر سکه پشت بیاید، با برآمدهای زیر مواجه می‌‌شویم:

(پ,۱),(پ,۲),(پ,۳),(پ,۴),(پ,۵),(پ,۶)

بنابراین، فضای نمونه ما به‌‌صورت زیر است:

S={(ر,۱),(ر,۲),(ر,۳),(ر,۴),(ر,۵),(ر,۶),(پ,۱),(پ,۲),(پ,۳),(پ,۴),(پ,۵),(پ,۶)}

پیشامدی که صورت سوال از ما خواسته است، رو آمدن سکه و مشاهده اعداد بزرگتر از ۴ روی تاس است. پس باید همه حالت‌‌هایی را که این دو شرط در آن صدق می‌‌کنند جدا کنیم و به‌‌عنوان پیشامد A در نظر بگیریم. بنابراین طبق این موضوع داریم:

A={(ر,۵),(ر,۶)}

به‌‌این‌‌ترتیب، تعداد اعضای فضای نمونه ۱۲ و تعداد اعضای پیشامد A برابر با ۲ است.

n(S)=۱۲

n(A)=۲

حالا با استفاده از فرمول احتمال، احتمال وقوع پیشامد A را به دست می‌‌آوریم:

P(A) = n(A) n(S) = ۲ ۱۲ = ۱ ۶

پس احتمال وقوع همزمان رو آمدن سکه و مشاهده اعداد بزرگ‌تر از ۴ تاس مساوی با ۱ ۶ یا به عبارتی، تقریباً ۱۷ درصد است.

نکته: اگر یک آزمایش از دو آزمون تشکیل شده باشد، برای به‌‌دست آوردن تعداد فضای نمونه این آزمایش می‌‌توان تعداد اعضای فضای نمونه در دو آزمون را در هم ضرب کرد.

n(S) = n(S_۱ ) × n(S_۲ )

در مثال بالا، تعداد اعضای فضای نمونه پرتاب سکه مساوی ۲ و تعداد اعضای فضای نمونه پرتاب تاس مساوی ۶ است. با ضرب تعداد اعضای این دو می‌‌توانیم تعداد اعضای فضای نمونه آزمایش پرتاب هم‌‌زمان سکه و تاس را تعیین کنیم:

n(S)=۲×۶=۱۲

می‌‌بینیم که مقدار همان شد که قبلا به دست آمد.

احتمال مجموع برآمدها چیست؟

اگر احتمال وقوع تمام برآمدها را با هم جمع کنیم، حاصل آن مساوی ۱ می‌‌شود:

P(S)=۱

S مجموعه تمام برآمدها یا به‌‌عبارتی، فضای نمونه است.

احتمال تهی و پیشامد غیرممکن

مجموعه تهی ( ∅ ) مجموعه‌‌ای است که هیچ عضوی ندارد یعنی تعداد اعضای آن مساوی صفر است. این بدین معناست که احتمال وقوع مجموعه تهی برابر با صفر است. به‌‌طور کلی، احتمال تهی و پیشامد غیرممکن صفر می‌‌شود.

P(∅)=۰

احتمال اجتماع دو پیشامد چیست؟

احتمال اجتماع دو پیشامد مستقل از فرمول زیر قابل محاسبه است:

P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)

• P(A∪B) :احتمال اجتماع دو پیشامد A و B
• P(A): احتمال پیشامد A
• P(B): احتمال پیشامد B
• P(A∩B) : احتمال اشتراک دو پیشامد A و B

وقتی می‌‌گوییم احتمال اجتماع دو پیشامد A و B منظورمان این است که یا پیشامد A اتفاق بیفتد یا پیشامد B. یافتن کلمه «یا» در مسائل مربوط به احتمال می‌‌تواند به تشخیص سریع‌‌تر شما برای رسیدن به جواب کمک کند. حتی اگر کلمه «یا» در مسئله نبود، اما خودتان توانستید با استفاده از آن سوال را بیان کنید، می‌‌توانید فرمول بالا را به کار ببرید. مثالی که در ادامه حل می‌‌کنیم، نمونه‌‌ای از اینگونه مسائل است.

نکته: درصورت ناسازگار بودن دو پیشامد، اشتراکی بین آن‌‌ها وجود نخواهد داشت و احتمال اشتراکشان صفر خواهد بود. در این حالت، فرمول احتمال اجتماع دو پیشامد ناسازگار را می‌‌توان به‌‌صورت زیر نوشت:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

مثال:

در یک مدرسه ۲۵۰ نفره، ۱۰۰ نفر از دانش‌‌آموزان قرار است در مسابقات ورزشی والیبال و بسکتبال شرکت کنند. از این تعداد شرکت‌‌کننده قرار است یک نفر را به‌‌عنوان قهرمان انتخاب کنند. با توجه به جدول زیر احتمال اینکه فرد انتخاب‌‌شده در مسابقه بسکتبال یا والیبال شرکت کرده باشد چقدر است؟

تعداد شرکت‌‌کنندگان در مسابقه بسکتبال	تعداد شرکت‌‌کنندگان در مسابقه والیبال	تعداد افرادی که هم در مسابقات والیبال و  هم در مسابقات بستکبال شرکت کرده‌‌اند
۵۵	۴۵	۲۵

پاسخ: در این مثال کلمه «یا» نشان می‌‌دهد که باید احتمال اجتماع دو پیشامد را به دست آوریم. بنابراین برای حل مسئله از فرمول احتمال اجتماع دو پیشامد استفاده می‌‌کنیم:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

• P(A∪B):احتمال اینکه فرد در مسابقه والیبال یا بسکتبال شرکت کرده باشد.
• P(A): احتمال اینکه فرد در مسابقه والیبال شرکت کرده باشد.
• P(B): احتمال اینکه فرد در مسابقه بسکتبال شرکت کرده باشد.
• P(A∩B): احتمال اینکه فرد هم در مسابقه والیبال و هم در مسابقه بسکتبال شرکت کرده باشد.

با توجه به اینکه تعداد اعضای فضای نمونه برابر با ۱۰۰ است، خواهیم داشت:

پس احتمال اینکه فرد منتخب، در مسابقه بسکتبال شرکت کرده باشد یا مسابقه والیبال برابر با ۷۵ درصد است.

احتمال اشتراک دو پیشامد چیست؟

بسته به اینکه دو پیشامد مستقل باشند یا وابسته، فرمول احتمال اشتراک دو پیشامد متفاوت خواهد بود.

اگر دو پیشامد مستقل باشند، احتمال اشتراک آن‌‌ها از فرمول زیر به دست می‌‌آید:

P(A∩B) = P(A) × P(B)

که در این فرمول هرکدام از متغیرها به شرح زیر است:

• P(A∩B): احتمال اشتراک دو پیشامد A و B
• P(A): احتمال پیشامدA
• P(B): احتمال پیشامد B

اما اگر دو پیشامد وابسته باشند، احتمال اشتراک پیشامدها از رابطه زیر محاسبه می‌‌شود:

P(A∩B)=P(A)×P(B׀A)

در فرمول بالا نیز هرکدام از نمادها به شرح زیر است:

• P(A∩B): احتمال اشتراک دو پیشامد A و B
• P(A): احتمال پیشامد A
• P(B׀A): احتمال پیشامد B به شرط پیشامد A

بنابراین، احتمال اشتراک دو پیشامد A و B یعنی هم پیشامد A رخ دهد و هم پیشامد B. کلمه «و» در مسائلی که باید احتمال اشتراک پبشامدها را محاسبه کنیم وجود دارد، اما اگر وجود نداشت ولی باز هم توانستید صورت مسئله را طوری بیان کنید که از «و» استفاده شود، می‌‌توانید از فرمول‌‌های احتمال اشتراک پیشامدها استفاده کنید.

نکته: درصورتی که دو پیشامد ناسازگار باشند، احتمال اشتراک آن‌‌ها برابر با صفر می‌‌شود، زیرا اشتراک دو پیشامد ناسازگار برابر با مجموعه تهی است.

A∩B=∅

P(A∩B)=۰

مثال:

اگر سکه‌‌ای را ۲ بار پرتاب کنیم، احتمال اینکه در اولین پرتاب رو و در دومین پرتاب پشت بیاید چقدر است؟

پاسخ: کلمه «و» در صورت سوال نشان‌‌دهنده اشتراک این دو پیشامد مستقل است. اگر A را پیشامد رو آمدن سکه در پرتاب اول و B را پیشامد پشت آمدن سکه در پرتاب دوم در نظر بگیریم، از فرمول احتمال اشتراک دو پیشامد مستقل خواهیم داشت:

P(A∩B) = P(A) × P(B)

پس احتمال رو آمدن در پرتاب اول و پشت آمدن در پرتاب دوم ۲۵ درصد است. همچنین برای رسیدن به پاسخ، می‌‌توانستیم فضای نمونه را مشخص کنیم و با تعیین حالت‌‌های مطلوب، احتمال وقوع این پیشامد را به دست آوریم.

احتمال تفاضل دو پیشامد چیست؟

احتمال تفاضل دو پیشامد A و B از رابطه زیر قابل محاسبه است:

P(A-B) = P(A) – P(A∩B)

که هر کدام از متغیرهای فرمول بالا به شرح زیر است:

• P(A-B): احتمال تفاضل دو پیشامد A و B
• P(A): احتمال پیشامد A
• P(A∩B): احتمال اشتراک دو پیشامد A و B

احتمال تفاضل دو پیشامد بدین معناست که یکی از پیشامدها اتفاق بیفتد ولی پیشامد دیگر روی ندهد. اگر پیشامد B زیرمجموعه‌‌ای از پیشامد A باشد، آنگاه A∩B=B است و فرمول احتمال تفاضل دو پیشامد به‌‌شکل زیر خواهد بود:

P(A-B) = P(A) – P(B)

نکته: اگر دو پیشامد ناسازگار باشند، آنگاه هیچ اشتراکی با هم نخواهند داشت (A∩B=∅). ازآنجا که احتمال مجموعه تهی صفر است، فرمول احتمال تفاضل دو پیشامد به‌‌صورت زیر خواهد بود:

P(A-B) = P(A)

مثال:

روی ۱۰ کارت اعداد ۱ تا ۱۰ نوشته شده است. کارت‌‌ها را برعکس و جابه‌‌جا می‌‌کنیم. اگر یک کارت را به‌‌طور تصادفی برداریم، احتمال اینکه شماره روی کارت زوج باشد اما مضرب ۴ نباشد چقدر خواهد بود؟

پاسخ: ابتدا اعداد زوج از ۱ تا ۱۰ را می‌‌نویسیم:

{۲,۴,۶,۸,۱۰}

مجموعه بالا ۵ عضو دارد و فضای نمونه که همان تعداد کارت‌‌هاست دارای ۱۰ عضو است. پس پیشامد زوج بودن عدد روی کارت مساوی است با:

حالا باید احتمال زوج بودن اما مضرب ۴ نبودن عدد روی کارت را محاسبه کنیم. می‌‌دانیم که از میان ۵ عدد زوج بالا اعداد زوج ۴ و۸ مضرب ۴ هستند. بنابراین احتمال مضرب ۴ بودن در مجموعه اعداد زوج به‌‌صورت زیر خواهد بود:

طبق صورت سوال باید احتمال بیرون آمدن کارت اعداد زوج به‌‌جز اعداد مضرب ۴ را به دست آوریم. این مقدار را از فرمول احتمال تفاضل دو پیشامد محاسبه می‌‌کنیم:

P(A-B)=P(A)-P(A∩B)

• P(A-B): احتمال زوج بودن اما مضرب ۴ نبودن عدد روی کارت
• P(A): احتمال زوج بودن عدد روی کارت
• P(A∩B): احتمال زوج بودن و مضرب ۴ بودن عدد روی کارت

با توجه به اینکه اشتراک مجموعه اعداد {۲,۴,۶,۸,۱۰} و {۴,۸} مجموعه اعداد {۴,۸} است، P(A∩B) برابر است با:

درنتیجه، خواهیم داشت:

به‌‌این‌‌ترتیب، احتمال اینکه عدد روی کارت زوج باشد اما مضربی از ۴ نباشد، برابر با ۰/۳ یا ۳۰ درصد خواهد بود.

احتمال متمم یک پیشامد

اگر به یاد داشته باشید قبل‌‌تر هم درمورد پیشامد متمم صحبت کردیم. اگر A را یک پیشامد در فضای نمونه S در نظر بگیریم که متمم آن ^‘A است، می‌‌توانیم بگوییم که متمم پیشامد A یعنی ^‘A زمانی اتفاق می‌‌افتد که پیشامد A روی ندهد. براساس این تعریف، می‌‌توان نتیجه گرفت که مجموع احتمال پیشامد A و احتمال متمم آن یعنی ^‘A مساوی ۱ است:

P(A)+P(A^‘ )=۱

این فرمول در تعیین احتمال متمم یک پیشامد یا حتی احتمال خود پیشامد درصورت مجهول بودن هریک از آن‌‌ها به ما کمک خواهد کرد. با استفاده از رابطه بالا می‌‌توانیم فرمول احتمال متمم یک پیشامد را به‌‌صورت زیر به دست آوریم:

P(A^‘ )=۱-P(A)

در این فرمول، هر یک از نمادها بیانگر موارد زیر هستند:

• P(A^‘ ): احتمال متمم پیشامدA
• n(A): تعداد اعضای پیشامد A
• n(S): تعداد اعضای فضای نمونه S

مثال: اگر سه سکه را هم‌‌زمان پرتاب کنیم، احتمال اینکه هر سه سکه رو یا پشت نباشند چقدر است؟

پاسخ: با توجه به اینکه سه سکه داریم و هر سکه تنها دو حالت پشت یا رو دارد، تعداد اعضای فضای نمونه را به‌‌صورت زیر تعیین می‌‌کنیم:

n(S)= n(S_۱) × n(S_۲) × n(S_۳)
n(S) =۲×۲×۲=۸

می‌‌دانیم که در دو صورت، هر سه سکه حالت یکسان خواهند داشت؛ یا هر سه رو بیایند یا هر سه پشت.

A^‘={(ر,ر,ر),(پ,پ,پ)}

پس احتمال مشاهده حالت‌‌های غیریکسان برای سه سکه برابر است با:

پیشنهاد مطالعه: فرمول الگو عددی چیست؟

احتمال شرطی و قضیه بیز با مثال های ساده

احتمال شرطی و قضیه بیز یکی دیگر از موضوعات احتمال هستند که در این قسمت از مقاله به آن‌‌ها خواهیم پرداخت. ابتدا توضیح می‌‌دهیم که احتمال شرطی چیست و از چه فرمولی به دست می‌‌آید، سپس به آموزش قضیه بیز در احتمال می‌‌پردازیم.

احتمال شرطی چیست؟

احتمال شرطی احتمال رخ دادن یک پیشامد به شرط وقوع یک پیشامد دیگر است. اگر B یک پیشامد با احتمال بزرگ‌‌تر از صفر باشد، آنگاه احتمال پیشامد A به شرط وقوع پیشامد B از رابطه زیر تعیین می‌‌شود:

در این فرمول، هر یک از نمادها بیانگر موارد زیر هستند:

• P(A∩B): احتمال وقوع هم‌‌زمان دو پیشامد A و B
• P(B): احتمال وقوع پیشامد B
• (A׀B)P: احتمال وقوع پیشامد A به شرط وقوع پیشامد B

اگر احتمال رخ دادن پیشامد B صفر باشد، یعنی داشته باشیم P(B)=0، آنگاه احتمال هیچ پیشامدی به شرط B وجود نخواهد داشت چون احتمالی برای وقوع پیشامد B وجود ندارد.

برای محاسبه احتمال شرطی در پیشامدهای هم‌‌شانس از فرمول زیر می‌‌توانیم استفاده کنیم:

در این فرمول، هر یک از نمادها بیانگر موارد زیر هستند:

• n(B): تعداد اعضای مجموعه برآمدهای پیشامد B
• n(A∩B): تعداد اعضای مشترک بین برآمدهای دو پیشامد A و B

در ادامه برای آشنایی با نحوه محاسبه احتمال شرطی، یک نمونه از مثال های حل شده احتمال برای پایه یازدهم آورده شده است.

مثال احتمال شرطی در پرتاب سکه

سوال: سکه‌‌ای پنج بار پرتاب می‌‌شود. اگر دست‌‌کم یک‌‌بار رو بیاید، احتمال اینکه هر پنج بار رو بیاید چقدر است؟

پاسخ: هر پرتاب سکه دو پیشامد رو یا پشت آمدن دارد. بنابراین، فضای نمونه هر پرتاب سکه دو عضو خواهد داشت که احتمال رخ دادن هریک از آن‌‌ها مساوی ۱/۲ است. طبق صورت سوال، سکه پنج بار پرتاب می‌‌شود که برآمد حداقل یکی از آن‌‌ها رو آمدن است. پس شرط ما در این مسئله، حداقل یک‌‌بار رو آمدن سکه است. به‌‌این‌‌ترتیب، چیزی که از ما خواسته شده است، احتمال پنج بار رو آمدن سکه به شرط حداقل یک‌‌بار رو آمدن آن است. برای محاسبه این احتمال شرطی از رابطه زیر استفاده می‌‌کنیم:

در فرمول بالا هر یک از نمادها بیانگر موارد زیر هستند:

• P(A∩B): احتمال پنج بار رو آمدن سکه و حداقل یک‌‌بار رو آمدن آن
• P(B): احتمال حداقل یک‌‌بار رو آمدن سکه
• P(A׀B): احتمال پنج بار رو آمدن سکه به شرط دست‌‌کم یک‌‌بار رو آمدن آن

برای محاسبه احتمال شرطی، ابتدا باید P(A∩B) را به دست آوریم. بنابراین:

در این فرمول، هر یک از متغیرها بیانگر موارد زیر هستند:

• (𝒏(𝑨∩𝑩: تعداد حالت‌‌هایی که حداقل یک‌‌بار رو و پنج بار رو آمده است.
• (𝒏(𝑺: تعداد اعضای فضای نمونه

فضای نمونه هر بار پرتاب سکه دو عضو دارد. پس فضای نمونه آزمایش پنج بار پرتاب سکه را می‌‌توان به‌‌صورت زیر تعیین کرد:

n(S)= n(S_۱ ) × n(S_۲ ) × n(S_۳ ) × n(S_۴ ) × n(S_۵ )

n(S)=۲×۲×۲×۲×۲=۳۲

تعداد اعضای فضای نمونه این آزمایش برابر با ۳۲ است. n(A∩B) نیز مساوی ۱ است، زیرا اشتراک دو پیشامد پنج بار رو آمدن و حداقل یک‌‌بار رو آمدن همان یک‌‌بار رو آمدن است که یک عضو دارد. بنابراین، داریم:

حالا نوبت محاسبه احتمال حداقل یک‌‌بار رو آمدن سکه یعنی P(B) است. برای تعیین این احتمال از احتمال متمم پیشامد B استفاده می‌‌کنیم. پیشامد متمم B یعنی (B^‘) حالت‌‌هایی را شامل می‌‌شود که سکه رو نیاید که آن هم تنها درصورت پشت آمدن هر پنج بار پرتاب سکه رخ می‌‌دهد. در این صورت، احتمال پیشامد ^‘B به‌‌صورت زیر خواهد بود:

درنتیجه P(B) مساوی است با:

با قرار دادن مقادیر به‌‌دست‌‌آمده (A׀B) P را محاسبه می‌‌کنیم.

اکنون که با احتمال شرطی آشنا شدیم، به آموزش قضیه بیز در احتمال با مثال ساده در زندگی روزمره می‌‌پردازیم. این قضیه یکی از قضایای پرکاربرد در احتمال شرطی است.

قضیه بیز در احتمال چیست؟

قضیه بیز قضیه‌‌ای است که برای محاسبه احتمال‌‌های شرطی به کار می‌‌رود. با استفاده از این قضیه می‌‌توان احتمال وقوع یک پیشامد براساس پیشامدهای قبلی را تعیین کرد. در قضیه بیز از رابطه زیر برای محاسبه احتمال استفاده می‌‌شود:

در این فرمول، متغیرها بیانگر موارد زیر هستند:

• (A׀B)P: احتمال وقوع پیشامد A به شرط وقوع پیشامد B
• (B׀A)P: احتمال وقوع پیشامد B به شرط وقوع پیشامد A
• P(A): احتمال وقوع پیشامد A
• P(B): احتمال وقوع پیشامد B

مثال کاربردی از قضیه بیز

قضیه بیز کاربردهای فراوانی در علوم مختلف دارد. برخی از کاربردهای این قضیه عبارت‌‌اند از:

• بررسی تست سرطان
• سیستم‌‌های نظارتی و کنترلی شبکه برق
• هوش مصنوعی و موتورهای جست‌‌وجو

بیایید با یک مثال کاربرد قضیه بیز در حوزه پزشکی را بررسی می‌‌کنیم. فرض کنید می‌‌خواهیم دقت آزمایش‌‌های تشخیص کرونا در یک فرد را تعیین کنیم. اگر احتمال مبتلا بودن فرد به کرونا ۲۰ درصد، احتمال مثبت بودن نتیجه آزمایش برای فرد کرونایی ۹۰ درصد و احتمال مثبت بودن جواب آزمایش ۶۰ درصد باشد، احتمال اینکه باوجود مثبت بودن آزمایش، فرد مبتلا به کرونا باشد چقدر خواهد بود؟

پاسخ: در اینجا از فرمول قضیه بیز کمک می‌‌گیریم و درصدهای احتمال را جای‌‌گذاری می‌‌کنیم. A را پیشامد مثبت شدن جواب آزمایش و B را پیشامد مبتلا بودن به کرونا در نظر می‌‌گیریم. بنابراین داریم:

پس احتمال اینکه با وجود پاسخ مثبت آزمایش، فرد به کرونا مبتلا باشد ۰/۳ یا به‌‌عبارتی ۳۰ درصد است.

سخن پایانی

در این مطلب آموزشی سایت سلام، به آموزش آمار و احتمال پایه یازدهم با مثال پرداختیم و نحوه محاسبه احتمال اجتماع و اشتراک دو پیشامد را توضیح دادیم. با توجه به اینکه آموزش احتمال نیازمند درک و فهم عمیق است، سعی کردیم مثال‌‌هایی حل کنیم که مطالب بهتر در ذهنتان جا بیفتد.

البته آموزش احتمال از صفر نیازمند تمرین و تکرار مسائل گوناگون است، چرا که دست طراح سوال برای طرح سوالات این مبحث باز بوده و می‌‌تواند مسئله‌‌های متفاوتی طرح کند. کلام آخر اینکه علم احتمال گسترده است و فقط به موضوعات بیان‌‌شده در این مقاله محدود نمی‌‌شود. درصورت علاقه می‌‌توانید کتاب‌‌هایی را که در این زمینه نوشته شده است مطالعه کنید.