اگر تابهحال با اعداد و متغیرها همراه با جمع، تفریق و ضرب آنها کار کردهاید، احتمالا با چندجملهایها مواجه شدهاید. اما چند جمله ای دقیقا چیست و چه کاربردی دارد؟ چندجملهایها بخش بزرگی از علم جبر هستند که در حل معادلات، رسم نمودار و مدلسازی موقعیتها به ما کمک میکنند. ازاینرو، بهطور گسترده در علم فیزیک و مهندسی مورد استفاده قرار میگیرند. بهطور کلی، چند جمله ای یک عبارت جبری است که از تعداد محدودی جمله تشکیل میشود و توان متغیرهای آن عدد صحیح نامنفی است. برای مثال، عبارتی مانند ۵x۲-۳x+۴ از سه جمله تشکیل شده است و تنها متغیر آن x است. این سهجملهای، درجه ۲ است که در آن ضرایب متغیرها ۵ و ۳- و جمله ثابت نیز ۴ است.
ازآنجا که آشنایی با چندجملهایها پیشزمینه مهمی برای درک بسیاری از معادلات و عبارتهای جبری و ریاضی است، باید بهدرستی و کامل آموزش داده شود. به همین خاطر، ما در ادامه این مطلب میخواهیم علاوهبر تعریف چند جمله ای، روش تشخیص، درجه، فرم استاندارد و انواع چندجملهایها به اشتباهات رایج در آنها نیز بپردازیم.
چند جمله ای چیست؟
چند جمله ای یک عبارت جبری است که از جمع یا تفریق تعداد محدودی تکجملهای ساخته میشود و توان هر متغیر در آن عدد صحیح نامنفی است. البته در یک چند جمله ای داشتن توان صفر نیز مجاز است. اعداد ثابت از این دستهاند و ازاینرو، چند جمله ای به شمار میروند. برای مثال، عدد ثابت ۱ را میتوان ضریب متغیری دانست که توان آن صفر است.
۱x۰=۱×۱=۱
x۰=۱
هر عبارتی که به توان صفر برسد، مساوی یک است. برای همین، عدد ثابت را میتوان ضریب متغیر با توان صفر در نظر گرفت.
اجزای یک عبارت چندجملهای
یک عبارت چندجملهای از اجزای مختلفی تشکیل میشود که شامل موارد زیر هستند:
• جمله: بخشی از عبارت است که با علامت جمع یا تفریق از سایر بخشها جدا شده است.
• ضریب: عددی است که در متغیر ضرب شده است.
• متغیر: حرفی است که یک مقدار مجهول را نشان میدهد.
• توان: عددی است که توان متغیر را نشان میدهد.
• جمله ثابت: جملهای است که هیچ متغیری ندارد و شامل یک عدد ثابت است.
• علامت جمله: علامت مثبت (+) یا منفی (-) است که قبل از هر جمله قرار دارد.
برای نمونه عبارت زیر را در نظر بگیرید:
۴x۳-۲x۲+۷x-۵
اجزای این چند جمله ای بهصورت زیر است:
- تعداد جملهها: ۴ جمله شامل ۴x³، −۲x²، ۷x، −۵
- ضرایب: اعداد ۴، −۲، ۷ و ۵
- متغیر: x
- توانها: توان ۳ در جمله ۴x³، توان ۲ در جمله −۲x² و توان ۱ در جمله ۷x
- جمله ثابت: −۵
- علامت جمله: از بین چهار جمله بالا فقط علامت جملههای −۲x² و −۵ منفی است.
اجزای هریک از جملههای عبارت بالا در جدول زیر مشخص شده است.
| اجزا | ۵− | ۷x | ۲x۲ – | ۴x۳ |
| ضریب | این جمله متغیر ندارد و یک عدد ثابت است | ۷ |  | ۴ |
| متغیر | ندارد |  | | |
| توان | توان متغیر در جملههای ثابت صفر است. | ۱ | ۲ | ۳ |
| علامت جمله | – | + | – | + |
اگر میخواهید بیشتر در مورد توان در عبارات چندجملهای بدانید، حتما راهنمای جامع اعداد توان دار ׀ تعریف، قوانین و جدول اعداد توان دار در ریاضی را مطالعه کنید.
شرطهای چندجملهای بودن یک عبارت
یک عبارت جبری درصورتی چند جمله ای به حساب میآید که شرایط زیر را داشته باشد:
- تعداد جملهها محدود باشد.
- توان متغیرها عدد صحیح نامنفی (۰، ۱، ۲ و غیره) باشد نه صرفا اعداد مثبت، زیرا مجموعه اعداد صحیح مثبت عدد صفر را شامل نمیشوند، درصورتی که قبلا ما این نکته را بیان کردیم که متغیر با توان صفر نیز در چندجملهایها وجود دارد و بهصورت جملات ثابت در نظر گرفته میشوند.
- متغیر در مخرج کسر قرار نگرفته باشد.
- متغیر زیر رادیکال نباشد.
- متغیر در توان عدد یا متغیر دیگری قرار نگیرد.
- عبارت قدر مطلق دارای متغیر، در حالت معمول چند جمله ای نیست.
از آنجا که وجود متغیر زیر رادیکال یا داخل قدر مطلق میتواند روی چندجملهای بودن عبارت اثر بگذارد، پیشنهاد میکنیم برای درک بهتر این بخش، مطالب رادیکال چیست؟ آموزش کامل رادیکال در ریاضی و قدر مطلق چیست؟ ׀ آموزش کامل قدر مطلق در ریاضی + مثال را هم مطالعه کنید.
چه عبارتهایی چندجملهای نیستند؟
با توجه به شروطی که در بخش قبل توضیح داده شد، چند جمله ای بودن چند عبارت جبری را با هم بررسی میکنیم.
| عبارت | چندجملهای است یا نه؟ | دلیل |
|---|---|---|
| ۳x۲ − ۲x + ۱ | بله | تمام شروط بالا را دارد. |
| ۵ | بله | یک عبارت تکجملهای است که توان متغیر آن صفر (عدد صحیح نامنفی) است و میتوان آن را بهصورت ۵x۰ نوشت. |
| x ۲ | بله | یک عبارت تکجملهای است که میتوان آن را بهصورت ۱ ۲ x نوشت. توان متغیر این جمله ۱ و ضریب متغیر نیز ۱ ۲ است. ضریب میتواند هر عددی باشد. |
| ۲ x | خیر | متغیر در مخرج قرار گرفته است و شرط ۲ را برآورده نمیکند. |
| x−۲ + ۱ | خیر | توان متغیر منفی است. |
| √x + ۳ | خیر | برخلاف شرط ۴، متغیر زیر رادیکال قرار دارد. |
| x ۱ ۲ + ۲ | خیر | اگرچه توان متغیر نامنفی است، اما عدد صحیح نیست. |
| ۲x + ۱ | خیر | متغیر در توان عدد ۲ قرار گرفته است و این مخالف با شرط ۵ است. |
| |x| + ۳ | خیر | طبق شرط ۴، عبارت داخل قدر مطلق چندجملهای محسوب نمیشود. |
| √۲ x + ۱ | بله | توان متغیر صحیح و نامنفی است و ضریب نیز میتواند هر عددی باشد. |
نکته: وجود اعداد گنگ ثابت مانند ۲√ بهعنوان ضریب در چندجملهایها مانعی ندارد؛ وجود رادیکال در عبارتهای چند جمله ای تنها درصورتی خلاف شروط بیانشده است که متغیرها زیر آن قرار گرفته باشند.
برای آشنایی بیشتر با اعداد گنگ و تفاوت آنها با سایر عددها، میتوانید مقاله اعداد گنگ چه اعدادی هستند؟ | تفاوت با اعداد گویا را مطالعه کنید.
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیههای مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر میشود!
تفاوت تک جمله ای و چند جمله ای چیست؟
یک جملهای یا تکجملهای یک عبارت جبری است که تنها از یک جمله تشکیل شده است. تکجملهای خود یکی از سادهترین انواع چند جمله ای است. بنابراین، یک عدد ثابت یا عبارتی مانند ۳x۲ y نیز میتواند چند جمله ای یکجملهای باشد. مثالهای زیر، نمونههایی از تکجملهای هستند:
۱۰
۲۱x
۴x۲–
۵xy
۶a۲ b۳
نکته: عبارتهایی مانند ۱ x و √ x تکجملهای نیستند؛ زیرا در اولی متغیر در مخرج قرار گرفته و در دومی زیر رادیکال. بنابراین، بهطور کلی شروط چندجملهایها را ندارند که بتوان آنها را تکجملهای به شمار آورد.
یک جملهای، دو جملهای و سه جملهای
عبارتهای چند جملهای را میتوان براساس تعداد جملههای آنها به انواع مختلفی مانند یکجملهای، دو جملهای و سه جملهای و غیره تقسیمبندی کرد. در جدول زیر نمونههایی از این چندجملهایها را میتوانید مشاهده کنید.
| مثال | نوع عبارت |
|---|---|
| ۴x۲zy | یکجملهای |
| x + ۳y | دوجملهای |
| x۲ + ۲x + ۱ | سهجملهای |
| x۴ + x۳ − ۲x۲ + x − ۵ | چندجملهای بیشتر از ۳ (پنججملهای) |
نکته مهم: تعداد متغیرها یا تعداد حروف تعیینکننده تعداد جملهها نیست. برای مثال، ۴x۲ zy و ۸abc اگرچه هرکدام دارای سه متغیر هستند، اما هر دو عبارت تک جملهای محسوب میشوند و سهجملهای نیستند.
چگونه تعداد جملههای یک چندجملهای را بشماریم؟
برای شمارش تعداد جملههای یک چندجملهای، کافی است هر بخش از عبارت را که با علامتهای + یا – از سایر بخشها جدا شده است، بهعنوان یک جمله در نظر بگیریم. در حقیقت، در یک چند جمله ای علامتهای جمع و تفریق، جملهها را از یکدیگر جدا میکنند. این نکته را به یاد داشته باشید که علامت منفی هر جمله باید همراه همان جمله در نظر گرفته شود. به مثالهای زیر توجه کنید تا بهتر متوجه شوید.
- عبارت ۹y تنها یک جمله دارد.
- ۴x − ۱ از دو جمله شامل ۴x و −۱ تشکیل شده است.
- x۵ − ۴y + ۱۱ شامل سه جمله x۵، −۴y و ۱۱ است.
- تعداد جملههای ۳a۶ + ۸a۴ − a − ۲ چهار است. جملههای این چندجملهای ۳a۶، ۸a۴، −a و −۲ هستند.
- ۵a۲b − ab۲ + ۱۳b۳ − a + ۹ یک پنججملهای است که جملههای آن ۵a۲b، −ab۲، ۱۳b۳، −a و ۹ هستند.
جملههای متشابه در چندجملهای چیست؟
جملههای متشابه جملههایی هستند که بخش متغیری و توان متغیرهای آنها دقیقا یکسان است. برای مثال، دو جمله ۵x۲ y- و ۳x۲ y متشابهاند زیرا هر دوی آنها متغیر x و y دارند و توانشان نیز مشابه هم است. اما در مقابل، دو جمله ۳x۲y و ۳xy۲ را نمیتوان متشابه نامید، زیرا اگرچه هر دو جمله متغیر x و y دارند ولی توانشان در دو جمله با یکدیگر متفاوت است.
نکته: در جملههای متشابه ممکن است ترتیب متغیرهایی که در هم ضرب شدهاند، رعایت نشده باشد. بهعنوان نمونه، در دو جمله ۶zx و ۴xz دو متغیر x و z با توان یکسان داریم که ترتیب آنها در هر دو جمله یکسان نیست، اما بااینوجود، متشابه به حساب میآیند زیرا عمل ضرب خاصیت جابهجایی دارد و جابهجایی متغیرها تغییری در حاصلضرب ایجاد نمیکند.
ساده کردن چندجملهای با جمع جملههای متشابه
گاهی اوقات با عبارتهایی مواجه میشویم که طولانی هستند و لازم است برای انجام سایر محاسبات آنها را سادهتر کنیم. در اینگونه مواقع، کافی است جملههای متشابه را پیدا کرده و آنها را با هم جمع کنیم تا عبارت موردنظر کوتاهتر شود. با چند مثال در این مورد بیشتر توضیح میدهیم.
مثال ۱: عبارت زیر را ساده کنید.
۳x۲+۲x-۵x۲+۴x
جواب: در این مثال ابتدا جملههای متشابه را شناسایی میکنیم. اگر تعداد جملهها زیاد بود، میتوانید با شمارهگذاری یکسان بر روی جملههای متشابه این کار را انجام دهید. در این عبارت، دو جمله ۳x۲ و ۵x۲– جملههای متشابه هستند. همچنین جملههای ۲x و ۴x نیز دارای متغیر و توان یکسان هستند و جملههای متشابه به حساب میآیند.
اکنون که جملههای متشابه را یافتیم، میتوانیم آنها را با هم جمع کنیم. برای جمع زدن این جملهها کافیست ضرایبشان را با هم جمع کنیم:
۳x۲+۲x-۵x۲+۴x=(۳-۵) x۲+(۲+۴)x=-۲x۲+۶x
دیدیم که عبارت دادهشده بهراحتی سادهتر و کوتاهتر شد.
مثال ۲: عبارت زیر را ساده و کوتاه کنید.
۵a۲ b-ab۲-۷a۲ b+۱۳ab۲-a۳+۹b۳
جواب: قدم اول برای ساده کردن این چند جمله ای تعیین جملههای متشابه و قدم دوم جمع کردن آنهاست. در تصویر زیر، فرایند ساده کردن این عبارت آورده شده است.
یکی از خطاهای رایج در ساده کردن چندجملهایها جمع کردن جملههای غیرمتشابه است. این خطاها را در قالب مثال بررسی میکنیم:
خطای اول: جمع کردن جملههایی است که متغیر آنها دقیقا مثل هم نیست.
۲a+۳b=۵ab⟹اشتباه
۷xy+۴x=۱۱xy⟹اشتباه
خطای دوم: جمع کردن جملههایی با توانهای متفاوت است.
۶y+۲y۲=۸y۲⟹اشتباه
۸ab+۵a۲ b=۱۳a۲ b⟹اشتباه
درجه چند جمله ای چیست و چگونه محاسبه میشود؟
درجه یک چندجملهای با یک متغیر، بزرگترین توان موجود بین تمام توانهای چندجملهای است.
مثال: چندجملهای زیر را ببینید:
۴x³ − ۲x² + ۷x − ۵
بزرگترین توان متغیر x برابر با ۳ است. بنابراین، درجه این چندجملهای برابر با ۳ است.
درجه چندجملهای یکمتغیره
در چندجملهای یکمتغیره، ابتدا باید عبارت را ساده کنیم و سپس بزرگترین توان متغیر را بهعنوان درجه چندجملهای در نظر بگیریم. برای مثال، در چندجملهای زیر:
۵x³ − ۲x² + ۷x − ۱
بزرگترین توان متغیر x برابر با ۳ است؛ بنابراین درجه این چندجملهای برابر با ۳ است.
توجه داشته باشید که گاهی ممکن است چندجملهای در ظاهر درجه بالاتری داشته باشد، اما پس از سادهسازی، جملههای همدرجه حذف شوند. برای مثال به نمونه زیر دقت کنید:
۳x⁴ + ۲x² − ۳x⁴ + ۵x − ۱
در این عبارت، دو جمله ۳x⁴ و ۳x⁴− همدیگر را خنثی میکنند. پس عبارت سادهشده بهصورت زیر است:
۲x² + ۵x − ۱
اکنون بزرگترین توان متغیر x برابر با ۲ است؛ بنابراین درجه چندجملهای برابر با ۲ میشود، نه ۴.
درجه چندجملهای چندمتغیره
در چندجملهای چندمتغیره، درجه هر جمله از مجموع توان متغیرهای همان جمله به دست میآید. سپس برای تعیین درجه کل چندجملهای، باید بیشترین درجه بین جملهها را انتخاب کنیم.
برای مثال، در جمله ۳x²y³ توان متغیر x برابر با ۲ و توان متغیر y برابر با ۳ است. پس درجه این جمله برابر است با:
۵ = ۲ + ۳
بنابراین درجه جمله ۳x²y³ برابر با ۵ است.
مثال ۱: چندجملهای زیر را در نظر بگیرید:
۴x²y + ۳xy³ − ۵x + ۷
- در جمله ۴x²y، مجموع توانها برابر است با: ۳ = ۲ + ۱
- در جمله ۳xy³، مجموع توانها برابر است با: ۴ = ۱ + ۳
- در جمله ۵x−، توان متغیر x برابر با ۱ است؛ پس درجه این جمله ۱ است.
- جمله ۷ یک عدد ثابت است و درجه آن ۰ در نظر گرفته میشود.
بنابراین درجه جملهها بهترتیب ۳، ۴، ۱ و ۰ است. بیشترین درجه برابر با ۴ است؛ پس درجه این چندجملهای برابر با ۴ است.
مثال ۲: چندجملهای زیر را ببینید:
۲a³b² − ۶ab + ۴b⁵ − ۹
- در جمله ۲a³b²، مجموع توانها برابر است با: ۵ = ۳ + ۲
- در جمله ۶ab−، توان هر دو متغیر a و b برابر با ۱ است؛ پس درجه این جمله برابر است با: ۲ = ۱ + ۱
- در جمله ۴b⁵، فقط متغیر b وجود دارد و توان آن ۵ است؛ پس درجه این جمله ۵ است.
- جمله ۹− ثابت است و درجه آن ۰ در نظر گرفته میشود.
در این چندجملهای، بیشترین درجه جملهها برابر با ۵ است؛ بنابراین درجه چندجملهای برابر با ۵ است.
درجه عدد ثابت و چندجملهای صفر
عدد ثابت ناصفر نیز یک چندجملهای محسوب میشود. درجه عدد ثابت ناصفر برابر با ۰ است؛ زیرا میتوان آن را بهصورت ضریب متغیری با توان صفر در نظر گرفت. برای مثال به چندجملهای زیر دقت کنید:
۷ = ۷x⁰
چون x⁰ = ۱ است، عبارت ۷x⁰ همان ۷ میشود. بنابراین درجه عدد ثابت ۷ برابر با ۰ است.
اما چندجملهای صفر وضعیت متفاوتی دارد. چندجملهای صفر همان عبارتی است که مقدار آن برابر با ۰ باشد. درجه چندجملهای صفر معمولا تعریفنشده در نظر گرفته میشود، چون هیچ جمله ناصفری در آن وجود ندارد که بتوان توان آن را بهعنوان درجه انتخاب کرد.
برای مثال، در عبارت زیر:
۰x³ + ۰x² + ۰x + ۰
همه ضرایب برابر با صفر هستند و عبارت در واقع همان چندجملهای صفر است. بنابراین برای آن درجه مشخصی در نظر گرفته نمیشود.
نتیجهگیری
برای تشخیص چند جمله ای بودن یک عبارت، ابتدا باید متغیرهای آن را پیدا کنید و توان هر متغیر را بررسی کنید. اگر توان متغیرها عدد صحیح نامنفی باشد، تعداد جملهها محدود باشد و متغیر در مخرج کسر، زیر رادیکال یا در توان عدد دیگری قرار نگرفته باشد، عبارت میتواند چند جمله ای باشد.
بعد از تشخیص چندجملهای بودن عبارت، بهتر است جملههای متشابه را ساده کنید. سپس تعداد جملهها را بشمارید، درجه چندجملهای را مشخص کنید و در صورت نیاز، عبارت را به فرم استاندارد بنویسید. رعایت این مراحل کمک میکند هم نوع چندجملهای را درست تشخیص دهید و هم در ساده کردن و حل عبارتهای جبری دچار اشتباه نشوید.
سوالات متداول
چند جمله ای یک عبارت جبری است که از جمع یا تفریق تعداد محدودی تکجملهای ساخته میشود و توان متغیرهای آن عدد صحیح نامنفی است.
برای تشخیص چندجملهای بودن یک عبارت، باید توان متغیرها را بررسی کنید. اگر توانها عدد صحیح نامنفی باشند و متغیر در مخرج، زیر رادیکال یا در توان عدد دیگری قرار نگرفته باشد، عبارت چندجملهای است.
بله. عدد ثابت یک چندجملهای محسوب میشود، چون میتوان آن را بهصورت ضریب متغیری با توان صفر در نظر گرفت.
بله. تکجملهای سادهترین نوع چندجملهای است؛ چون فقط از یک جمله تشکیل شده و اگر شروط چندجملهای بودن را داشته باشد، چندجملهای محسوب میشود.
بله. عبارت x تقسیم بر ۲ چندجملهای است، چون میتوان آن را بهصورت ۱/۲x نوشت. در این حالت، توان متغیر برابر ۱ است و ضریب میتواند عدد کسری باشد.
خیر. عبارت ۲ تقسیم بر x چندجملهای نیست، چون متغیر در مخرج کسر قرار گرفته است و یکی از شروط چندجملهای بودن را ندارد.
درجه یک چندجملهای برابر با بزرگترین توان متغیر در آن عبارت است. اگر چندجملهای چند متغیر داشته باشد، درجه هر جمله از مجموع توانهای متغیرهای همان جمله به دست میآید و بزرگترین درجه جملهها، درجه چندجملهای است.
دوجملهای عبارتی است که دقیقا دو جمله دارد، اما چندجملهای میتواند یک جمله، دو جمله، سه جمله یا تعداد بیشتری جمله داشته باشد. بنابراین، دوجملهای یکی از انواع چندجملهای است.
