اعداد گنگ چه اعدادی هستند؟ + تفاوت با اعداد گویا

اعداد گنگ بخشی از دنیای اعداد حقیقی هستند و گاهی با اعداد گویا اشتباه گرفته می‌شوند. زمانی که این اعداد را به صورت اعشاری می‌نویسیم، رقم‌های بعد از ممیز آن‌ها بدون الگوی تکراری تا بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کند و به همین دلیل نمی‌توان آن‌ها را به شکل یک کسر ساده نوشت.

شناخت این اعداد به دانش‌آموزان کمک می‌کند تفاوت میان انواع اعداد را بهتر درک کنند و در حل مسائل ریاضی دچار اشتباه نشوند. آشنایی با این مفهوم پایه‌ای، در یادگیری بسیاری از مباحث ریاضی اهمیت دارد.

در این مقاله از مدارس سلام، بررسی می‌کنیم اعداد گنگ چیست و تفاوت اعداد گنگ با سایر اعداد در ریاضی چیست و با مثال‌های ساده نحوه تشخیص آن‌ها را توضیح می‌دهیم.

چرا وجود اعداد گنگ مهم است؟

اهمیت اعداد گنگ فقط در چند عدد معروف خلاصه نمی‌شود. وجود آن‌ها نشان می‌دهد که مجموعه اعداد گویا، با وجود چگالی بسیار زیاد روی محور اعداد، تمام اعداد حقیقی را تشکیل نمی‌دهد. اعداد حقیقی از دو بخش جدا از هم تشکیل می‌شوند: اعداد گویا و اعداد گنگ. این تقسیم‌بندی در مباحثی مانند آنالیز حقیقی، هندسه، نظریه اعداد و مطالعه ساختار اعداد حقیقی اهمیت بنیادی دارد.

از این دیدگاه، وجود اعداد گنگ با این واقعیت ارتباط دارد که اعداد گویا، با وجود چگالی در محور، نسبت به مفهوم حد کامل نیستند. اعداد حقیقی مجموعه‌ای بزرگ‌تر هستند که خلاهای موجود در ساختار اعداد گویا را پر می‌کنند.

تاریخچه کشف اعداد گنگ (هیپاسوس و فیثاغورثیان)

اعتبار کشف اعداد گنگ به هیپاسوس، ریاضی‌دان یونانی قرن پنجم پیش از میلاد می‌رسد. او در حال کار روی مسئله‌ای متفاوت به این حقیقت برخورد کرد که مثلث قائم‌الزاویه‌ی متساوی‌الساقین که دو ضلع آن دارای طول یک واحد هستند، دارای وتری به طول ۲​ √ خواهد بود که یک عدد گنگ است.

هیپاسوس عضو گروهی به نام «فیثاغورثیان» بود؛ گروهی شبه‌مذهبی که باور داشتند «همه چیز عدد است» و جهان از اعداد صحیح و نسبت‌های آن‌ها ساخته شده است. این گروه که از کشف هیپاسوس آزرده شده بودند، او را به مرگ محکوم کردند و گفته می‌شود به عنوان مجازات این کشف، هیپاسوس را به دریا انداختند. البته ترس از اعداد گنگ بعدها فروکش کرد و در نهایت این اعداد جایگاه اصلی خود را در ریاضیات پیدا کردند.

اعداد گنگ چه اعدادی هستند؟

اعداد گنگ یا اعداد اصم مجموعه‌ای از اعداد حقیقی هستند که نمی‌توان آن‌ها را به‌صورت اعداد گویا بیان کرد. با توجه به آموزش‌های پیشین، در پاسخ به این سوال که عدد گویا چیست گفته شد که اعداد گویا، اعدادی هستند که به‌صورت کسری یعنیp/q ه در آن p و q اعداد صحیح و q≠0 است، نوشته می‌شوند.

بنابراین، اعداد گنگ اعدادی حقیقی هستند که نمی‌توان آن‌ها را به‌صورت کسر ساده نشان داد. همچنین، در بسط اعشاری اعداد گنگ، رقم‌های اعشار آن‌ها بی‌نهایت و غیرمتناوب (تکرارناپذیر) است.

به‌عنوان مثال، عددی مانند ۱/۶ را در نظر بگیرید. این عدد اعشاری تنها شامل یک رقم اعشاری است و می‌توان آن را به‌صورت یک کسر یعنی  ۸/۵ نوشت. اما عددی مانند۳√ که برابر با …۱/۷۳۲۰۵ است، از رقم‌های اعشاری غیرمتناوب و نامحدود تشکیل شده است و نمی‌توان آن را به‌صورت کسر یا عدد گویا بیان کرد.

روش تشخیص گنگ بودن یک عدد با تجزیه مخرج

برای تشخیص گویا یا گنگ بودن یک کسر، کافی است مخرج آن را در ساده‌ترین حالت تجزیه کنیم. اگر عوامل اول مخرج تنها شامل ۲ و ۵ باشد، عدد مختوم و گویاست؛ اگر غیر از این باشد، عدد متناوب (گویا) است. در واقع اعداد گنگ اصلا قابلیت نوشته شدن به‌صورت کسر (p/q) را ندارند.

نماد اعداد گنگ

اعداد حقیقی (R) از اعداد گویا (Q) و اعداد گنگ تشکیل شده‌اند. بنابراین، می‌توان اعداد گنگ را با کم کردن اعداد گویا از اعداد حقیقی به‌دست آورد (R-Q). ازاین‌رو، نماد اعداد گنگ به انگلیسی به‌صورت Q’ نوشته می‌شود.

اثبات اینکه تعداد اعداد گنگ بیشتر از اعداد گویا است

جورج کانتور، ریاضیدان آلمانی این مسئله را در قرن نوزدهم ثابت کرد. او نشان داد اعداد گویا شمارش‌پذیر هستند، اما اعداد حقیقی غیرقابل شمارش هستند. این یعنی تعداد اعداد حقیقی بیشتر از اعداد گویا است. از آنجا که اعداد گنگ همه اعداد حقیقی غیرگویا هستند، از نظر تعداد فراتر از اعداد گویا هستند و ادامه‌ی اعداد حقیقی غیرقابل شمارش را می‌سازند. مجموعه اعداد گویا شماراست، اما مجموعه اعداد گنگ ناشماراست؛ به زبان ساده، تعداد اعداد گنگ از نوعی است که نمی‌توان تمام آن‌ها را با فهرستی مانند ۱، ۲، ۳ و… شماره‌گذاری کرد. این نتیجه فرق اعداد گویا و گنگ را از نظر کاردینالیتی نشان می‌دهد.

انواع اعداد گنگ

در این بخش، نمونه‌هایی از چند عدد گنگ خاص که معمولا مورد استفاده قرار می‌گیرند را معرفی می‌کنیم. این اعداد عبارت‌اند از:

در حالت کلی، می‌توان گفت اعدادی که موارد زیر را شامل شوند، اعداد گنگ یا اصم محسوب می‌شوند.

ویژگی های اعداد گنگ

اعداد گنگ چند ویژگی مهم دارند که در ادامه، به آن‌ها اشاره می‌کنیم.

$$\sqrt{۳}\times <!--\; \times \; -->\sqrt{۳}=۳$$ $$\sqrt{۳}+(۲-<!--\; -\; -->\sqrt{۳})=۲$$

همان‌طور که می‌بینید، حاصل هر دو عبارت یک عدد گویاست. این ویژگی نشان‌دهنده این است که مجموعه اعداد گنگ نسبت به عمل جمع و ضرب بسته نیستند.

اعداد گنگ روی محور

اعداد گنگ را می‌توان مانند سایر اعداد روی محور نشان داد. برای این کار کافی است عدد موردنظر را به‌عنوان طول وتر یک مثلث قائم‌الزاویه در نظر بگیریم. به‌عنوان مثال، اگر بخواهیم عددی مانند۵√را روی محور نشان دهم، ابتدا مثلثی به‌شکل زیر تشکیل می‌دهیم که طول اضلاع آن در قضیه فیثاغورس صدق کند. با توجه به این توضیحات، می‌توان گفت۵√ طول وتر مثلث قائم‌الزاویه‌ای است که اضلاع عمودبرهم آن برابر با ۲ و ۱ است.

مثلث موردنظر را روی محور به‌گونه‌ای قرار می‌دهیم که ضلع یک واحدی آن عمود بر محور باشد و گوشه دیگر مثلث روی مبدأ قرار گیرد. اکنون کمانی از یک دایره به مرکز صفر (مبدأ) و با شعاعی به‌اندازه وتر مثلث رسم می‌کنیم، طوری که کمان دایره با محور برخورد کند. نقطه برخورد کمان با محور، همان عدد گنگ متناظر یعنی ۲.۲۳۶ = ۵√ را نشان می‌دهد.

مثال: اعداد ۲√+و۲√-۱ را روی محور نشان دهید.
جواب: اعداد داده‌شده اعدادی گنگ هستند. بنابراین، با توجه به روشی که در بالا توضیح دادیم،۲√ را طول وتر مثلث قائم‌الزاویه‌ای در نظر می‌گیریم که طول اضلاع عمودبرهم آن برابر با یک است. بنابراین، کمانی که روی محور اعداد رسم می‌کنیم، باید دارای شعاعی به‌اندازه ۲√ باشد.

اکنون به سراغ اعداد ۲√+۱ و۲√-۱می‌رویم. عدد۲√+۱ یعنی اینکه یک واحد به ۲√ اضافه شده است. پس باید مثلث را مانند شکل زیر یک واحد به‌سمت راست محور انتقال دهیم و کمانی به شعاع ۲√ و مبدأ ۱ رسم کنیم تا محل برخورد آن با محور که نشان‌دهنده عدد ۲√+۱ است، مشخص شود. برای نشان دادن عدد ۲√-۱ نیز کافی‌ست همان کمان رسم‌شده را تا سمت چپ مثلث امتداد دهیم تا با محور اعداد برخورد کند. نقطه برخورد، عدد ۲√-۱ را نشان می‌دهد. ازآنجا که۲√- قرینه۲√ است،۲√-۱ در سمت چپ نقطه ۲√+۱ قرار می‌گیرد.

برای نمایش اعداد گنگ روی محور اعداد باید دو نکته را در نظر بگیریم:

• نکته ۱ : اگر رادیکال مثبت باشد، کمان دایره را سمت راست رسم می‌کنیم، اما اگر پشت رادیکال علامت منفی باشد، مثلث قرینه شده و کمان را سمت چپ می‌زنیم.

• نکته ۲ : اگر یک عدد صحیح به عدد گنگ اضافه شود، مرکز کمان رسم‌شده همان عدد صحیح خواهد بود. 

روش به دست آوردن اعداد گنگ

اگر بخواهیم بین دو عدد مثلا ۳ و ۴ یک عدد گنگ به‌دست آوریم، اولین کاری که باید انجام دهیم این است که دو عدد را به توان دو برسانیم و آن‌ها را زیر رادیکال قرار دهیم. یعنی عدد ۳ و ۴ را به‌ترتیب به‌صورت ۹ √و ۱۶√ بنویسیم.

اکنون می‌توانیم بین این دو عدد، اعدادی را که جذر کامل ندارند به‌عنوان عدد گنگ انتخاب کنیم. برای مثال، ۱۳√ و ۱۰√ دو عدد گنگ هستند که اگر با ماشین‌حساب جذر آن‌ها را بگیرید، حاصل آن‌ها عددی بین ۳ و ۴ با ارقام اعشاری نامتناهی و غیرمتناوب خواهد بود.

اگر درباره محاسبه اعداد رادیکالی کنجکاو هستید، مقاله رادیکال در ریاضی را مطالعه کنید.

روش‌های تولید بی‌نهایت عدد گنگ بین دو عدد

اعداد گنگ در محور اعداد پراکنده نیستند و بین هر دو عدد حقیقی متفاوت، بی‌نهایت عدد گنگ وجود دارد. این ویژگی را «چگالی اعداد گنگ در اعداد حقیقی» می‌نامیم؛ یعنی اگر x<y باشد، دست‌کم یک عدد گنگ z وجود دارد که x<z<y. هم اعداد گویا و هم اعداد گنگ در اعداد حقیقی چگال هستند و هیچ بازه غیرتهی وجود ندارد که فقط شامل یک دسته باشد.

اگر x<y باشند، عدد x + y−x/√۲​ در شرایط مناسب می‌تواند برای ساخت و تولید یک نمونه عدد گنگ در بازه بین دو عدد استفاده شود.

کسرهای مسلسل

کسر مسلسل روشی برای نمایش اعداد به‌صورت یک کسر در دل کسر دیگر است. اعداد گویا همیشه دارای کسر مسلسل متناهی هستند، اما اعداد گنگ همواره به‌صورت کسر مسلسل نامتناهی نمایش داده می‌شوند که یکی از راه‌های شناسایی ماهیت غیرگویای آن‌هاست.

تفاوت اعداد مختوم، متناوب ساده، متناوب مرکب

اعداد مختوم اعشارشان پایان می‌یابد، متناوب ساده بلافاصله پس از ممیز تکرار می‌شوند و متناوب مرکب پس از یک بخش غیرتکراری شروع به تکرار می‌کنند. هر سه گروه «گویا» هستند و نباید با اعداد گنگ که نمایش اعشاری آن‌ها هرگز تکرار نمی‌شود، اشتباه گرفته شوند.

تفاوت اعداد گنگ و اعداد گویا چیست؟

جدول زیر، تفاوت بین اعداد گنگ و گویا را نشان می‌دهد.

اعداد گنگ	اعداد گویا
نمی‌توان آن‌ها را به‌صورت کسری یا نسبت بیان کرد.	به‌صورت کسری یا نسبت بیان می‌شوند.
رقم‌های اعشاری نامتناهی و پایان‌ناپذیر هستند.	رقم‌های اعشاری می‌تواند متناهی باشد.
الگوی مشخصی در رقم‌های اعشاری وجود ندارد.	رقم‌های اعشاری درصورت نامتناهی بودن دارای الگوی تکراری است.
مثال: ۱۳√، π و e	مثال: ۰.۳۳۳۳۳، ۰.۶۵۶۵۶۵ و ۱.۷۵

مثال هایی از اعداد گنگ

مثال ۱: کدام یک از اعداد زیر، گنگ و کدام یک گویا هستند؟

√۵, ۲, √۱۱, ۳.۵۶, ۱.۳۳۳۳…, ۱۰۰, ۴.۵۳۴۶۷۸۲

پاسخ: با توجه به تعریف و تفاوت اعداد گنگ و گویا این اعداد به‌صورت زیر تقسیم‌بندی می‌شوند:

اعداد گنگ : ….۵۳۴۶۷۸۲ , ۱۱√ , ۵√

اعداد گویا: ۲,۳.۵۶,۱۰۰,۱.۳۳۳۳

مثال ۲: آیا حاصل‌جمع اعداد ۳√ + ۲ و ۳√-۳ عددی گنگ است؟

۲+ √۳+ √۳-۳=۲+۳+√۳-۳=۵

پاسخ: خیر، جواب به‌دست‌آمده یک عدد گویاست.

مثال ۳: کدام یک از اعداد زیر، گنگ و کدام یک گویا هستند؟

۵√, ۲, ۱۱√, ۳.۵۶, …۱.۳۳۳۳, ۱۰۰, …۴.۵۳۴۶۷۸۲

پاسخ: با توجه به تعریف اعداد گنگ (اعداد اعشاری نامتناهی غیردوره‌ای) و اعداد گویا (اعداد قابل نمایش به صورت کسر)، تقسیم‌بندی به شرح زیر است:

• اعداد گنگ: ۵√, …۴.۵۳۴۶۷۸۲, ۱۱√
• اعداد گویا: ۲, ۳.۵۶, …۱.۳۳۳۳, ۱۰۰

مثال ۴: آیا حاصل‌جمع اعداد (۲ + ۳ √) و (۳ √ − ۳) عددی گنگ است؟

پاسخ: برای بررسی، عبارت را ساده می‌کنیم:

۵ = ۳ + ۲ + ۳ √ − ۳ √= (۳ √ − ۳) + (۲ + ۳ √)

پاسخ به‌دست‌آمده عدد «۵» است که یک عدد صحیح (گویا) محسوب می‌شود؛ بنابراین حاصل این عبارت گویا است، نه گنگ.

مثال ۵: آیا اعداد زیر گویا هستند یا گنگ؟

الف) …۰.۱۲۱۲۱۲

ب) …۰.۱۰۱۰۰۱۰۰۰۱۰۰۰۰۱

پاسخ: در مورد گزینه (الف)، این عدد دارای ارقام ۱۲ به‌صورت دوره‌ای و تکراری است؛ بنابراین گویا است (می‌توان آن را به‌صورت کسر۱۲/۹۹​یا همان ۴/۳۳ نوشت). در مورد گزینه (ب) هم تعداد صفرها به‌صورت منظمی در حال افزایش است و الگوی تکرارشونده ثابتی ندارد؛ بنابراین نمایش اعشاری آن نامتناهی و غیردوره‌ای بوده و گنگ است.

مثال ۶: حاصل عبارت ۳/۵ + ۲√ را تعیین کنید.

پاسخ: طبق قواعد ریاضی، جمع یک عدد گویا با یک عدد گنگ، همیشه گنگ خواهد بود. در اینجا ۲√​ گنگ و ۳/۵​ گویا است، پس حاصل جمع حتما یک عدد گنگ است.

سخن پایانی

اعداد گنگ یا اصم اعدادی غیرگویا با ارقام اعشاری نامتناهی و غیرمتناوب هستند که ازجمله معروف‌ترین این اعداد می‌توان عدد π را نام برد. این اعداد را نمی‌توان مانند اعداد گویا به‌صورت کسری یا نسبت بیان کرد. همچنین، اعداد گنگ نسبت به عمل جمع و ضرب بسته نیستند؛ یعنی اگر دو عدد گنگ را با هم جمع یا در هم ضرب کنیم، ممکن است حاصل آن‌ها عدد گنگ نباشد. اعداد گنگ را مانند دیگر اعداد می‌توان روی محور نمایش داد که در این مقاله، مراحل و نکات آن را با جزئیات به‌همراه مثال توضیح دادیم.

پیشنهاد ما این است برای تسلط بیشتر بر نحوه مشخص کردن اعداد گنگ روی محور، مثال‌های بیشتری حل کنید تا این روش را عمیق‌تر فراگیرید.

سوالات متداول