آموزش کامل رادیکال در ریاضی: از قوانین تا مثال‌های کاربردی

در آموزش‌‌های پیشین از مجموعه آموزش‌‌های ریاضی با اعداد توان دار آشنا شدیم و یاد گرفتیم که چگونه اعداد را به توان برسانیم. در این مقاله، قرار است با عملگری آشنا شویم که عکس توان عمل می‌‌کند. این عملگر رادیکال نام دارد و در ریاضی و علوم بسیار به کار می‌‌آید. در این مطلب، قرار است علاوه‌‌بر آشنایی با رادیکال، قوانین و عملیات ریاضی مربوط به آن را به بیانی ساده و با ذکر مثال آموزش دهیم و نحوه استفاده از قوانین رادیکال‌‌ها در عبارت‌‌های ریاضی را بررسی کنیم.

رادیکال چیست؟

رادیکال به معنای «ریشه» بوده و یک عملگر ریاضی است که برعکس عملگر توان عمل می‌‌کند. در واقع، رادیکال و توان دو عملگر هستند که هر کدام دیگری را بی‌‌اثر می‌‌کنند. ما در مقاله اعداد توان‌دار چیست؟ در مورد توان در ریاضی صحبت کردیم، می‌توانید برای آشنایی با عملگر توان سری به آن بزنید. در ادامه‌ی مقاله، با اجزای رادیکال و عملیات ریاضی در آن آشنا می‌شوید.

اجزای رادیکال چیست؟

رادیکال را با علامت √ نشان می‌‌دهند. در رادیکال‌‌ها یک عدد در زیر رادیکال و یک عدد دیگر به‌‌نام فرجه در سمت چپ و بالای رادیکال قرار می‌‌گیرد. در تصویر زیر، اجزای رادیکال در ریاضی نشان داده شده است.

فرجه رادیکال چیست؟

فرجه به عدد بالای رادیکال گفته می‌‌شود که در سمت چپ علامت رادیکال قرار دارد. این عدد به ما می‌‌گوید که قرار است ریشه چندم عدد زیر رادیکال را به دست آوریم. اگر فرجه ۲ باشد یعنی ریشه دوم عدد زیر رادیکال از ما خواسته شده است. به رادیکال با فرجه ۲، ریشه دوم در ریاضی یا جذر نیز گفته می‌‌شود. معمولا فرجه ۲ را روی رادیکال نمی‌‌نویسند.

به‌‌عنوان مثال، جذر یا ریشه دوم عدد ۹ را می‌‌توان به‌‌صورت زیر نوشت:

$\sqrt[\mathrm{۲}]{\mathrm{۹}}=\sqrt{\mathrm{۹}}$

 را می‌‌خوانیم رادیکال ۹.

چرا جذر یا ریشه دوم بدون فرجه نوشته می شود؟

همان‌طور که بالاتر هم گفتیم مفهوم رادیکال به دست آوردن ریشه عدد زیر آن است که شامل ریشه دوم، ریشه سوم و غیره می‌‌شود. بنابراین فرجه رادیکال از ۲ شروع می‌‌شود. با توجه به اینکه بیشتر رادیکال‌‌هایی که در ریاضی استفاده می‌‌شوند برای یافتن ریشه دوم اعداد هستند، نماد √ را به‌‌تنهایی  برای نشان دادن جذر یا ریشه دوم به کار می‌‌برند و فرجه ۲ را نمی‌‌نویسند. البته برای ریشه‌‌های سوم، چهارم و غیره مقدار فرجه یعنی ۳، ۴ و… باید حتما نوشته شود.

چگونه رادیکال عکس عمل توان کار می کند؟

با یک مثال شروع می‌‌کنیم. عدد ۴ را در نظر بگیرید. می‌‌دانیم که اگر این عدد به توان ۲ برسد جواب ۱۶ می‌‌شود:

درصورتی که از ۱۶ جذر یا ریشه دوم بگیریم، توان ۲ عدد ۴ از بین می‌‌رود و دوباره به مقدار اولیه یعنی ۴ می‌‌رسیم:

پس در اینجا فرجه ۲ توان ۲ را بی‌‌اثر می‌‌کند و رادیکال عکس توان عمل می‌کند. نمونه‌‌های دیگری که می‌‌توان مثال زد به شرح زیر است:

$$\sqrt{۲۵}=\sqrt{۵{}^{۲}}=۵$$ $$\sqrt{۹}=\sqrt{۳{}^{۲}}=۳$$

تبدیل به مربع یا مکعب بر اساس فرجه

در این بخش قرار است نحوه به دست آوردن ریشه دوم و ریشه سوم در ریاضی را به شما آموزش دهیم. برای تعیین ریشه دوم یا جذر یک عدد، کافی‌‌ است عدد زیر رادیکال را به‌‌صورت عددی که توان آن ۲ است بنویسیم. برای مثال عدد ۳۶ عددی است که می‌‌توان آن را به‌‌صورت مربع یک عدد یعنی توان ۲ آن عدد نوشت. گرفتن جذر توان ۲ را از بین خواهد برد و به همین راحتی ریشه دوم به دست خواهد آمد. 

برای تعیین ریشه سوم در ریاضی نیز روشی مشابه ریشه دوم انجام می‌‌دهیم با این تفاوت که برای به دست آوردن ریشه سوم باید عدد زیر رادیکال با فرجه ۳ را به عددی توان‌‌دار که توان آن ۳ باشد تبدیل کنیم.

به‌‌عنوان نمونه، اگر بخواهیم ریشه سوم عدد ۸ را تعیین کنیم لازم است آن را به‌‌شکل عددی توان‌‌دار با توان ۳ بنویسیم. با این کار فرجه ۳ توان ۳ را خنثی خواهد کرد.

ریشه های زوج و فرد چه تفاوتی دارند؟

برای به دست آوردن ریشه‌‌های زوج باید فرجه رادیکال زوج و برای تعیین ریشه‌‌های فرد فرجه رادیکال باید فرد باشد. مثلا برای یافتن ریشه چهارم یک عدد باید فرجه رادیکال چهار و برای ریشه پنجم باید فرجه پنج باشد. در اینجا برای درک بیشتر ذکر چند نکته لازم است:

نکته ۱: ریشه دوم در ریاضی یا به‌‌عبارتی مقدار رادیکال‌‌ها با فرجه زوج همواره مثبت هستند.

نکته ۲: اگر فرجه زوج باشد، عبارت زیر رادیکال نمی‌‌تواند منفی باشد. یعنی جمله‌‌ای مانند را نمی‌‌توان در مجموعه اعداد حقیقی تعریف کرد. بنابراین، ریشه زوج اعداد منفی در مجموعه اعداد حقیقی بی‌‌معنی است.

نکته ۳: اگر فرجه رادیکال فرد باشد، اعداد منفی و مثبت هردو می‌‌توانند در زیر رادیکال قرار بگیرند. به‌‌این‌‌ترتیب ریشه‌‌های فرد می‌‌توانند منفی باشند.

برای درک بهتر این موضوع به مثال زیر توجه کنید:

همان‌‌طور که می‌‌بینید، در اینجا ریشه سوم عددی منفی به دست آمد.

چرا ریشه دوم فقط برای اعداد مثبت تعریف می شود؟

در بخش قبل به پاسخ این سوال اشاره مختصری کردیم. گفتیم که ریشه‌‌های زوج یعنی رادیکال‌‌هایی که فرجه زوج دارند فقط برای اعداد مثبت تعریف می‌‌شوند زیرا ریشه زوج اعداد منفی در مجموعه اعداد حقیقی معنایی ندارد.

اگر به یاد داشته باشید در مبحث اعداد توان‌‌دار چیست؟ نیز توضیح دادیم که اگر اعداد به توان عددی زوج برسند، حاصلشان مثبت خواهد بود. با توجه به اینکه رادیکال با فرجه زوج قرار است توان زوج را از بین ببرد و روی عددی که به توان عددی زوج رسیده است عمل کند بدیهی است که رادیکال با فرجه زوج فقط برای اعداد مثبت تعریف شود و چنین اعدادی زیر آن قرار بگیرند.

چرا ریشه های فرد می‌‌توانند منفی هم باشند؟

پاسخ این سوال مشابه پاسخ سوال قبل است و به آموزش اعداد توان‌‌دار برمی‌‌گردد. می‌‌دانیم که اگر یک عدد مثبت یا منفی را به توان عددی فرد برسانیم پاسخ عددی با همان علامت خواهد بود. بدین معنا که اعداد منفی اگر به توان یک عدد فرد برسند، حاصل آن‌‌ها نیز یک عدد منفی خواهد شد. بنابراین زمانی که یک عدد منفی زیر رادیکال با فرجه فرد قرار می‌‌گیرد، توان فرد بی‌‌اثر می‌‌شود و انتظار داریم که ریشه فرد این عدد منفی نیز یک عدد منفی باشد.

ساده‌سازی رادیکال با تبدیل به توان

در این بخش توضیح خواهیم داد رادیکال ها را چگونه به توان کسری تبدیل کنیم. رادیکال‌‌ها را می‌‌توان به‌‌صورت اعدادی با توان کسری نوشت.

به‌‌طور کلی، هر عدد زیر رادیکال با توان m و فرجه n برابر با همان عدد به توان است:

این قاعده در ساده کردن رادیکال ها و به توان رساندن آن‌‌ها بسیار به کارمان می‌‌آید. به‌‌عنوان مثال، اگر بخواهیم  را به توان m برسانیم آن را به‌‌شکل زیر نیز می‌‌توانیم بنویسیم:

مثال ساده سازی رادیکال با تبدیل به توان

عدد  را در نظر بگیرید. اگر این عبارت را به‌‌شکل توان کسری بنویسیم، حاصل آن به‌‌راحتی به دست می‌‌آید:

همان‌‌طور که می‌‌بینید در اینجا با کمک توان کسری توانستیم معادل  را تعیین کنیم و ساده‌‌سازی رادیکال را انجام دهیم. در این بخش می‌توانید از آموزش ساده‌کردن کسر‌ها استفاده کنید.

در ادامه نمونه دیگری نیز با هم حل می‌‌کنیم که در حل معادلات به ما کمک می‌‌کند:

در این معادله باید مقدار x را تعیین کنیم. اگر طرفین تساوی را به توان ۵ برسانیم می‌‌توانیم مقدار x را به دست آوریم:

آموزش قوانین رادیکال در ریاضیات

ازآنجا که در محاسبات ریاضی با عبارت‌‌های رادیکالی بسیار مواجه می‌‌شویم، لازم است درمورد قوانین رادیکال ها نیز اطلاعات لازم را داشته باشیم. در رادیکال‌‌ها چند قانون کلی وجود دارد که برای انجام عملیات رادیکال ها باید آن‌‌ها را در نظر گرفت. این قوانین را در ادامه با مثال توضیح می‌‌دهیم.

قانون ضرب رادیکال ها

اگر دو عدد a و b که هر دو حقیقی و مثبت هستند زیر یک رادیکال با فرجه n در هم ضرب شوند، می‌‌توان آن‌‌ها را به‌‌صورت مجزا زیر رادیکال‌‌هایی با همان فرجه رادیکال اولیه نوشت و در هم ضرب کرد:

ضرب رادیکال‌‌ها خاصیت توزیع‌‌پذیری نیز دارد یعنی اگر عددی در پرانتزی که چند جمله رادیکالی دارد ضرب شود، آن عدد را می‌‌توان در تک‌‌تک جملات داخل پرانتز ضرب کرد:

مثال: عبارت برابر با چه مقداری است؟

پاسخ: برای محاسبه رادیکال از قاعده ضرب استفاده می‌‌کنیم:

قانون تقسیم رادیکال ها

تقسیم دو عدد حقیقی و مثبت a و b () که زیر رادیکالی با فرجه مشخص n قرار دارند معادل است با تقسیم رادیکال‌‌های این دو عدد با همان فرجه اولیه که به‌‌صورت جداگانه نوشته شده‌‌اند:

مانند ضرب رادیکال‌‌ها، تقسیم رادیکال‌‌ها هم دارای خاصیت توزیع‌‌پذیری است.

مثال: حاصل عبارت را به دست آورید.

پاسخ: ابتدا با کمک قانون تقسیم رادیکال‌‌ها عبارت رادیکالی را ساده می‌‌کنیم و سپس جواب آن را به دست می‌‌آوریم.

پیشنهاد مطالعه: ضرب و تقسیم کسرها چگونه است؟

قانون جمع و تفریق رادیکال ها

اگر دو یا چند رادیکال که فرجه و عبارت زیر آن‌‌ها مشابه هم است و ضرایب متفاوتی دارند با هم جمع یا از هم کم شوند، می‌‌توانیم از رادیکال‌‌های مشابه فاکتور بگیریم و ضرایب آن‌‌ها را با هم جمع یا از هم کم کنیم. در عبارت زیر رادیکال مشترک بین جمله‌‌ها است. پس می‌‌توانیم از آن فاکتور بگیریم و عبارت را به‌‌صورت زیر بنویسیم:

نکته: توجه داشته باشید که در جمع و تفریق رادیکال‌‌ها نمی‌‌توانیم قاعده ضرب و تقسیم رادیکال‌‌ها را به کار ببریم:

مثال: عبارت زیر را ساده کنید.

پاسخ: ابتدا جمله‌‌هایی را که رادیکال‌‌های مشترک دارند یعنی هم عبارت زیر رادیکال و هم فرجه آن‌‌ها یکسان است، جدا می‌‌کنیم و کنار هم می‌‌نویسیم:

حالا از رادیکال‌‌های مشترک درون هر پرانتز فاکتور می‌‌گیریم:

حل مثال رادیکال در ریاضی

در این بخش به حل چند مثال رادیکال در ریاضی می‌‌پردازیم. این مثال‌‌ها دید خوبی نسبت به محاسبات رادیکالی به شما خواهد داد.

مثال ۱: مقدار را به ساده‌‌ترین حالت بنویسید.

پاسخ: ابتدا عدد ۵۴ را به عامل‌‌های اول تجزیه می‌‌کنیم یعنی آن را به‌‌صورت ضرب اعداد اول می‌‌نویسیم:

رادیکال را می‌‌توانیم به‌‌صورت زیر بنویسیم:

مربع کامل است. پس جذر آن توان ۲ را از بین می‌‌برد و پایه آن یعنی ۳ از زیر رادیکال بیرون می‌‌آید:

مثال ۲: عبارت را ساده کنید.

پاسخ: باید ریشه دوم عبارت زیر رادیکال را به دست آوریم. پس تا جایی که امکان دارد اعداد و متغیرهای زیر رادیکال را به‌‌صورت مربع کامل می‌‌نویسیم تا توان دو آن‌‌ها توسط رادیکال حذف شود و شکل ساده‌‌‌شده این عبارت رادیکالی به دست آید:

مثال ۳: شکل ساده‌‌شده عبارت را بنویسید.

پاسخ: از قانون تقسیم رادیکال‌‌ها داریم:

مثال ۴: حاصل‌‌ضرب عبارت زیر را بیابید.

پاسخ: با توجه به یکسان بودن فرجه‌‌ها می‌‌توانیم از قانون ضرب رادیکال‌‌ها استفاده کنیم:

در اینجا فرجه رادیکال ۵ است. پس اعدادی که توان ۵ دارند را می‌‌توانیم از زیر رادیکال بیرون بکشیم:

مثال ۵: حاصل عبارت زیر را تعیین کنید.

پاسخ: فرجه رادیکال در صورت و مخرج یکسان است. پس می‌‌توانیم صورت و مخرج را زیر یک رادیکال ببریم:

اکنون می‌‌توانیم طبق قواعد اعداد توان‌‌دار ابتدا کسر زیر رادیکال را ساده کنیم و سپس به ساده‌‌سازی نهایی بپردازیم.

عبارت به‌‌دست‌‌آمده را اینگونه ساده می‌‌کنیم:

مثال ۶: عبارت رادیکالی زیر را به ساده‌‌ترین شکل ممکن بنویسید.

پاسخ: در اینجا می‌‌توانیم ساده‌‌سازی رادیکال را با تبدیل آن به توان انجام دهیم. در این صورت عبارت زیر رادیکال به‌‌شکل زیر خواهد بود:

عبارت ساده‌‌شده را به‌‌صورت یک عبارت رادیکالی می‌‌نویسیم. از مخرج توان‌‌ها معلوم است که فرجه رادیکال ۳ است.

این رادیکال را می‌‌شود ساده‌‌تر هم کرد. خواهیم داشت:

مثال ۷:

عبارت زیر را ساده کنید.

پاسخ: اولین کاری که باید انجام دهیم تشخیص رادیکال‌‌های مشابه است. در این عبارت فرجه رادیکال‌‌ها یکسان است اما مقادیر زیر رادیکال‌‌ها یکسان نیست. بنابراین باید مقادیر زیر رادیکال‌‌ها را به‌‌گونه‌‌ای تجزیه کنیم که مربع‌‌های کامل از زیر رادیکال بیرون بروند و درنهایت رادیکال‌‌های مشترک ایجاد شوند. خواهیم داشت:

با خروج مربع‌‌های کامل داریم:

اکنون از رادیکال‌‌های مشابه فاکتور گرفته و حاصل عبارت بالا را تعیین می‌‌کنیم:

سخن پایانی

در این مطلب با آموزش رادیکال و مفهوم آن سعی کردیم شما را با نحوه ریشه‌‌یابی آشنا کنیم. یکی از مهم‌‌ترین و پرکاربردترین ریشه‌‌یابی‌‌ها جذر یا همان ریشه دوم در ریاضی است که همراه با مثال درمورد آن توضیحاتی داده شد. رادیکال‌‌ها مانند دیگر عملگرها قواعد خاص خود را دارند که در انجام محاسبات بایستی آن‌‌ها را در نظر گرفت. ازآنجا که رادیکال‌‌ها به شکل‌‌های مختلف در عبارت‌‌های ریاضی مورد استفاده قرار می‌‌گیرند، توصیه ما به شما این است که پس از یادگیری قوانین کلی رادیکال‌‌ها تمرین‌‌های زیادی حل کنید و از خواندن سایر آموزش های کاربردی سایت مدارس سلام غافل نشوید . حل تمرین‌‌های متنوع تسلط‌‌تان را بیشتر کرده و شما را برای حل انواع مسئله‌‌ها آماده‌‌تر می‌‌کند.