معکوس ماتریس یا ماتریس وارون چیست؟ ׀ محاسبه معکوس ماتریس + مثال

ماتریس یک آرایش مستطیلی از اعداد یا عبارت‌‌های ریاضی است که در سطرها و ستون‌‌ها قرار گرفته‌‌اند. در مسائل ریاضی، علوم و مهندسی و همچنین برای حل معادلات لازم است ضمن آشنایی با ماتریس‌‌ها، با نحوه معکوس کردن آن‌‌ها نیز آشنا باشیم. همان‌‌گونه که هر عدد غیر صفری معکوس دارد، بعضی از ماتریس‌‌ها نیز می‌‌توانند معکوس داشته باشند. با کمک معکوس ماتریس یا ماتریس وارون می‌‌توان دستگاه معادلات خطی و سایر مسائل ریاضی را حل کرد. در این درس‌‌نامه قرار است شیوه معکوس کردن ماتریس را با مثال‌‌های حل‌‌شده یاد بگیریم. پس با ما همراه باشید.

معکوس ماتریس مربعی

معکوس یک ماتریس، ماتریسی است که اگر در خود ماتریس اصلی ضرب شود، حاصل آن مساوی ماتریس همانی می‌‌شود. ماتریس همانی یا ماتریس یکه یک ماتریس مربعی (دارای تعداد سطرها و ستون‌‌های برابر) است که درایه‌‌های قطر اصلی آن ۱ و دیگر درایه‌‌های آن صفر هستند. ماتریس همانی را با حرف I نمایش می‌‌دهند. برای مثال، یک ماتریس همانی  ۲×۲ و ۳×۳ به‌‌صورت زیر نشان داده می‌‌شود:

درمورد ماتریس‌‌های مربعی نیز از فرمولی مشابه فرمول بالا استفاده می‌‌کنیم. طبق تعریف معکوس ماتریس، وارون ماتریس A مساوی است با A^-۱ تنها اگر تساوی زیر برقرار باشد:

A×A^-۱=A^-۱×A=I

این تساوی تنها برای ماتریس‌‌های مربعی یعنی ماتریس‌‌هایی که تعداد سطرها و ستون‌‌های آن برابرند و دارای معکوس هستند، صادق است.

محاسبه معکوس ماتریس ۲×۲

به‌‌طور کلی، وارون ماتریس برابر با ماتریس الحاقی تقسیم بر دترمینان ماتریس اصلی است. برای ماتریس  دو در دو A، ماتریس الحاقی از جابه‌‌جا کردن درایه‌‌های روی قطر اصلی یعنی a و d و قرینه کردن درایه‌‌های c و b به دست می‌‌آید. با تقسیم کردن هریک از درایه‌‌های ماتریس الحاقی بر دترمینان ماتریس A یعنی ad-bc وارون ماتریس A تعیین می‌‌شود.

برای آشنایی با روش تعیین معکوس ماتریس ۲×۲، یک مثال عددی حل می‌کنیم. فرض کنید می‌خواهیم وارون ماتریس ۲ ۶ −۳ −۷ را به دست آوریم. معکوس این ماتریس به‌شکل زیر محاسبه می‌شود:

۲ ۶ −۳ −۷ ^−۱ = ۱ (۲ × −۷) − (۶ × −۳) −۷ −۶ ۳ ۲ = ۱ −۱۴ − (−۱۸) −۷ −۶ ۳ ۲ = ۱ −۱۴ + ۱۸ −۷ −۶ ۳ ۲ = ۱ ۴ −۷ −۶ ۳ ۲ = −۷ ۴ −۶ ۴ ۳ ۴ ۲ ۴

برای اینکه مطمئن شویم جواب به‌‌دست‌‌آمده درست است، ماتریس حاصل (ماتریس وارون) را در ماتریس اصلی ضرب می‌‌کنیم. اگر حاصل‌‌ضرب آن‌‌ها برابر با ماتریس همانی شد، یعنی جواب ما صحیح است، در غیر این صورت، پاسخ ما نادرست خواهد بود. پس برای صحت‌‌سنجی ابتدا ماتریس اصلی را در معکوس آن ضرب می‌‌کنیم:

A × A^−۱ = I

۲ ۶ −۳ −۷ × ۲ ۶ −۳ −۷ ^−۱ = ۲ ۶ −۳ −۷ × −۷ ۴ −۶ ۴ ۳ ۴ ۲ ۴

= ۲ × ( −۷ ۴ ) + ۶ × ۳ ۴ ۲ × ( −۶ ۴ ) + ۶ × ۲ ۴ −۳ × ( −۷ ۴ ) + (−۷) × ۳ ۴ −۳ × ( −۶ ۴ ) + (−۷) × ۲ ۴ = −۱۴ ۴ + ۱۸ ۴ ۰ ۰ ۱۸ ۴ − ۱۴ ۴ = ۱ ۰ ۰ ۱

می‌‌بینیم که حاصل‌‌ضرب، ماتریس همانی شد. بنابراین، پاسخ ما صحیح است. البته شما می‌‌توانید حالت دیگر یعنی I=A^-۱×A را نیز بررسی کنید و ببینید آیا حاصل‌‌ضرب باز هم برابر با یک ماتریس همانی می‌‌شود یا خیر.

محاسبه معکوس ماتریس ۳×۳

ماتریس ۳×۳ ماتریسی مربعی با ۳ سطر و ۳ ستون است. روش‌‌های مختلفی برای به دست آوردن معکوس ماتریس ۳ در ۳ وجود دارد که رایج‌‌ترین آن استفاده از کهاد و ماتریس همسازه و الحاقی است. در این روش، لازم است مراحل زیر را به‌‌ترتیب پیش ببریم:

• گام اول: به دست آوردن ماتریس کهاد
• گام دوم: تعیین ماتریس همسازه
• گام سوم: تعیین ماتریس الحاقی
• گام چهارم: ضرب معکوس دترمینان در ماتریس الحاقی

ماتریس A را در نظر بگیرید:

برای محاسبه معکوس این ماتریس اولین کاری که باید انجام دهیم، محاسبه ماتریس کهاد است. برای تعیین هر درایه از ماتریس کهاد، روی سطر و ستون مربوط به آن درایه خط می‌‌کشیم. برای مثال، جهت به دست آوردن درایه موجود در سطر اول و ستون دوم، روی سطر اول و ستون دوم یک خط می‌‌کشیم. پس از خط کشیدن، چهار درایه باقی می‌‌ماند که باید آن‌‌ها را به‌‌صورت یک ماتریس دو در دو در نظر بگیریم و دترمینانش را محاسبه کنیم. مقدار دترمینان همان مقدار درایه موردنظر خواهد بود. در تصویر زیر، نحوه تعیین درایه‌‌های ماتریس کهاد نشان داده شده است.

با توجه به مقادیر به‌‌دست‌‌آمده در تصویر بالا ماتریس کهاد به‌‌صورت زیر خواهد بود:

در مرحله دوم باید ماتریس همسازه را به دست آوریم. به دست آوردن ماتریس همسازه بسیار ساده است. کافی‌‌ست درایه‌‌های ماتریس کهاد را مانند تصویر زیر یک در میان قرینه کنیم.

در مرحله بعدی، ماتریس الحاقی را مشخص می‌‌کنیم. ماتریس الحاقی ترانهاده ماتریس همسازه است و با جابه‌‌جا کردن مکان سطرها و ستون‌‌های ماتریس همسازه به دست می‌‌آید. تصویر زیر، این جابه‌‌جایی را به‌‌خوبی نشان می‌‌دهد.

در گام آخر، دترمینان ماتریس A را محاسبه کرده و درایه‌‌های ماتریس الحاقی را بر آن تقسیم می‌‌کنیم. به‌‌طور کلی، دترمینان یک ماتریس ۳×۳ مانند A از فرمول زیر محاسبه می‌‌شود:

برای اینکه فرمول بالا را راحت‌‌تر به خاطر بسپارید، الگویی را که در تصویر زیر نشان داده شده است، مشاهده کنید.

با توجه به الگوی بالا دترمینان ماتریس موردنظر به‌‌صورت زیر محاسبه می‌‌شود:

درنتیجه، وارون ماتریس A برابر است با:

اگر ماتریس A را در وارون آن یعنی ^۱- A ضرب کنیم، بایستی ماتریس همانی ۳×۳ به دست آید. بررسی این موضوع را به‌‌عنوان تمرین به شما واگذار می‌‌کنیم.

چند نکته مهم درباره معکوس ماتریس

نکات زیر درباره معکوس ماتریس بسیار مهم هستند بنابراین آن‌ها را به خاطر بسپارید:

• معکوس یک ماتریس مربعی (در صورت وجود) منحصربه‌‌فرد است؛ یعنی هر ماتریسی که وارون‌‌پذیر است تنها یک معکوس دارد.
• معکوس یک ماتریس مربعی تنها درصورتی وجود دارد که دترمینان آن غیر صفر باشد (A|≠۰|).
• ماتریس‌‌های غیرمربعی یعنی ماتریس‌‌هایی که تعداد سطرها و ستون‌‌های آن با هم برابر نیست، معکوس ندارند. بنابراین، معکوس ماتریس غیر مربعی وجود ندارد.
• دترمینان حاصل‌‌ضرب دو ماتریس برابر است با حاصل‌‌ضرب دترمینان‌‌های دو ماتریس (|AB|=|A|.|B|)
• حاصل‌‌ضرب یک ماتریس در معکوس آن برابر با ماتریس همانی هم‌‌مرتبه با ماتریس اصلی است. برای مثال، حاصل‌‌ضرب یک ماتریس ۴×۴ در معکوس آن یک ماتریس همانی ۴×۴ خواهد بود.

کاربرد معکوس ماتریس در حل معادلات خطی

ازجمله کاربردهای مهم معکوس ماتریس، حل دستگاه معادلات خطی است. اگر معادلات را به‌‌شکل ماتریس بنوبسیم، با کمک معکوس ماتریس می‌‌توانیم جواب معادلات را پیدا کنیم. با یک مثال توضیح می‌‌دهیم که چگونه از معکوس ماتریس در حل معادلات خطی استفاده کنید.

معادلات زیر را در نظر بگیرید:

این معادلات را می‌‌توانیم به‌‌صورت ماتریس به‌‌شکل زیر بنویسیم:

در این معادله ماتریس X مجهول است. شاید تصور کنید که برای تعیین ماتریس مجهول باید ماتریس B را بر ماتریس A تقسیم کنیم؛ کاری که برای معادلات جبری یک مجهول انجام می‌‌دادیم. اما این تصور اشتباه است چرا که ماتریس‌‌ها را نمی‌‌توان بر هم تقسیم کرد. سوالی که در اینجا پیش می‌‌آید این است که وقتی نمی‌‌شود ماتریس‌‌ها را بر هم تقسیم کرد، چگونه ماتریس مجهول را تعیین کنیم. اگر به یاد داشته باشید، ضرب ماتریس در وارون آن برابر با ماتریس همانی یا یکه می‌‌شد. پس می‌‌توانیم با ضرب طرفین در^۱- A ماتریس X را به دست آوریم.

I در اینجا مانند عدد ۱ عمل می‌‌کند؛ یعنی اگر در یک ماتریس ضرب شود، برابر با همان ماتریس می‌‌شود. پس داریم:

X=A^-۱ B

دقت داشته باشید که A^-۱ B برابر با BA^-۱ نیست زیرا در ماتریس‌‌ها خاصیت جابه‌‌جایی وجود ندارد و باعث تغییر در جواب به‌‌دست‌‌آمده می‌‌شود. اکنون که معادله X=A^-۱ B را داریم، می‌‌توانیم با به دست آوردن معکوس ماتریس A و سپس، ضرب آن در ماتریس B ماتریس X را تعیین کنیم. خواهیم داشت:

حالا ماتریس وارون را در ماتریس B ضرب می‌‌کنیم. بنابراین داریم:

جمع بندی

در این آموزش یاد گرفتیم که اگر معکوس ماتریس را در ماتریس اصلی ضرب کنیم، پاسخ آن یک ماتریس همانی یا یکه است. همچنین، دیدیم که این تعریف در بررسی صحت ماتریس وارون به ما کمک می‌‌کند. به‌‌این‌‌ترتیب، اگر از ضرب کردن ماتریس در وارونش به ماتریس همانی رسیدیم، جوابی که برای ماتریس وارون به دست آورده‌‌ایم، صحیح خواهد بود. از مهم‌‌ترین کاربردهای معکوس ماتریس، یافتن پاسخ معادلات خطی است که با حل مثال به نحوه استفاده از آن پرداختیم. به کار بردن ماتریس وارون برای حل معادلات خطی با تعداد مجهول بیشتر، باعث می‌‌شود سریع‌‌تر به جواب برسیم. بنابراین، بهتر است به حل انواع معادلات خطی بپردازید. با این کار هم یافتن ماتریس معکوس را تمرین می‌‌کنید و هم سرعت عمل‌‌تان در حل معادلات بیشتر می‌‌شود.

سوالات متداول