دترمینان (Determinant) یک عدد اسکالر است که تنها برای ماتریسهای مربعی (ماتریسهایی که تعداد سطر و ستون آنها برابر است) تعریف میشود. این عدد، خلاصهای فشرده از ویژگیهای ساختاری ماتریس است و با چند عمل سادهی ضرب و جمع بهدست میآید.
اهمیت دترمینان در این است که با یک نگاه به آن میتوان فهمید ماتریس معکوسپذیر است یا خیر. اگر دترمینان یک ماتریس صفر شود، آن ماتریس معکوس ندارد و به آن «ماتریس منفرد» میگویند. اگر دترمینان غیرصفر باشد، ماتریس معکوس دارد و میتوان از آن برای حل دستگاه معادلات خطی، محاسبه مساحت و حجم و تعیین مقادیر ویژه استفاده کرد.
در ادامه این مقاله از سایت مدارس سلام، نماد و شرایط محاسبه دترمینان را بررسی میکنیم، روش محاسبه دترمینان ماتریسهای ۲×۲ را یاد میگیریم و سپس دو روش کاربردی «بسط لاپلاس» و «قاعده ساروس» را برای ماتریسهای ۳×۳ همراه با مثالهای گامبهگام آموزش خواهیم داد.
نماد دترمینان و شرطهای محاسبه آن
دترمینان ماتریس را معمولا با یکی از دو نماد زیر نشان میدهند:
این نماد دو خط عمودی، شباهت زیادی به نماد «قدر مطلق» دارد، اما معنای کاملا متفاوتی دارد. نخستین و مهمترین شرط برای محاسبه دترمینان این است که ماتریس حتما مربعی باشد؛ یعنی تعداد سطرها با تعداد ستونها برابر باشد. برای ماتریسهای غیرمربعی (مثل ۲×۳)، مفهوم دترمینان اصلا تعریف نمیشود.
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیههای مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر میشود!
محاسبه دترمینان ماتریس ۲×۲
سادهترین حالت محاسبه دترمینان ماتریس برای ماتریسی با دو سطر و دو ستون است:
دترمینان این ماتریس از تفاضل حاصلضرب قطر اصلی از حاصلضرب قطر فرعی بهدست میآید:
به عنوان مثال دترمینان زیر را در نظر بگیرید:
دترمینان این ماتریس ۲۹ است. همچنین چون این عدد غیرصفر است، ماتریس معکوسپذیر است.
اگر به مبحث معکوس ماتریسها علاقهمند هستید، پیشنهاد میکنیم مقاله «معکوس ماتریس یا ماتریس وارون چیست؟ ׀ محاسبه معکوس ماتریس + مثال» را نیز مطالعه کنید.
محاسبه دترمینان ماتریس ۳×۳
برای یک ماتریس ۳×۳ که ۳ سطر و ۳ ستون دارد، محاسبه دترمینان کمی طولانیتر از حالت ۲×۲ است، اما اگر الگوی آن را یاد بگیرید، خیلی راحت میشود آن را محاسبه نمود.
فرمول دترمینان یک ماتریس ۳×۳ به این صورت است:
در این فرمول، هر درایه از سطر اول در یک دترمینان ۲×۲ ضرب میشود و سپس نتایج با رعایت علامتهای مثبت و منفی با هم جمع میشوند.
برای محاسبه دترمینان، هیچ اجباری وجود ندارد که حتما از سطر اول شروع کنید؛ شما میتوانید هر سطر یا ستونی که میخواهید انتخاب کنید. بهترین استراتژی این است که سراغ سطر یا ستونی بروید که «صفر» بیشتری دارد، چون وجود صفر باعث میشود محاسبات آن بخش خودبهخود حذف شود و مراحل محاسباتی کمتری پیشروی شما باشد.
فقط این نکته را در نظر داشته باشید که علامتهای هر درایه متفاوت است. به این روش بسط لاپلاس نیز میگویند.
برای بهخاطر سپردن علامتها کافی است یک لوزی در ماتریس فرض کنید که راسهای آن منفی است.
اکنون برای درک بهتر روش محاسبه دترمینان، یک مثال را مرحلهبهمرحله حل میکنیم.
- ابتدا دنبال سطر و ستونی میگردیم که درایه ۰ بیشتری داشته باشد. بنابراین چون در این ماتریس درایه صفری وجود ندارد، سطر و ستون دلخواه را انتخاب میکنیم و دترمینان آن را محاسبه میکنیم.
- سطر دوم را برای محاسبه ماتریس انتخاب میکنیم، لازم به ذکراست که هر سطر و ستون دلخواهی را میتوان برای محاسبه ماتریس انتخاب نمود.
حال به سراغ محاسبات میرویم:
اکنون ماتریس به یک دترمینان ۲×۲ تبدیل شده و بهراحتی میتوانیم آن را محاسبه کنیم:
حاصل دترمینان ۳ در ۳ عدد ۴۹ است.
محاسبه دترمینان ۳ در ۳ با روش ساروس
برای محاسبه دترمینان یک ماتریس ۳×۳، معمولا از روش ساروس استفاده میشود. در این روش، ابتدا دو ستون اول ماتریس را در سمت راست آن تکرار میکنیم. سپس حاصلضرب درایههای واقع در سه قطر مورب رو به پایین(سه قطر مورب از سمت چپ) را با یکدیگر جمع میکنیم. در ادامه، حاصلضرب درایههای سه قطر مورب رو به بالا(سه قطر مورب از سمت راست) را به دست آورده و مجموع آنها را از مجموع حاصلضربهای قبلی کم میکنیم. عدد نهایی، برابر با دترمینان ماتریس خواهد بود.
برای محاسبه دترمینان ماتریس A، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
در این روش ابتدا ماتریس ۳ در ۳ را دوبار کنار هم مینویسیم. (در واقع دو ستون اول ماتریس برای محاسبه لازم است).
در مرحله بعد درایههای قطر اصلی ( سمت چپ) را در هم ضرب میکنیم. از حاصل ضرب هر قطر یک عدد به دست میآید که در آخر سه عدد را باهم جمع میکنیم.
این حاصل را X مینامیم.
سپس قطرهای فرعی ( سمت راست) را در هم ضرب میکنیم و ۳ عدد بهدست آمده را باهم جمع میکنیم.
حاصل این عبارت را نیز Y نام گذاری میکنیم.
در آخر حاصل جمع قطر اصلی را از قطر فرعی کم میکنیم.
آنگاه حاصل دترمینان برابر است با: |X-Y=|A
مثال دترمینان ۳ در ۳ با روش ساروس
ماتریس ۳×۳ زیر را به روش ساروس محاسبه کنید.
پاسخ: در روش ساروس، ماتریس A را یکبار دیگر در کنار خودش مینویسیم:
اکنون حاصلضرب درایههای قطرهای اصلی را با یکدیگر جمع میکنیم:
سپس حاصلضرب درایههای قطرهای فرعی را محاسبه میکنیم:
در پایان، مجموع حاصلضربهای قطرهای فرعی را از مجموع حاصلضربهای قطرهای اصلی کم میکنیم:
بنابراین، دترمینان ماتریس A برابر با ۳۲- است.
جمعبندی
دترمینان، عددی اسکالر و کلیدی برای ماتریسهای مربعی است که وضعیت معکوسپذیری آنها را مشخص میکند؛ اگر دترمینان صفر باشد، ماتریس معکوس ندارد و اگر غیرصفر باشد، ماتریس معکوسپذیر است. در حالی که دترمینان ماتریسهای ۲×۲ با یک فرمول ساده بهدست میآید، برای ماتریسهای ۳×۳ دو روش اصلی «روش بسط لاپلاس» و «روش ساروس» داریم. روش ساروس با استفاده از تکرار ماتریس و محاسبه حاصلضرب قطرها، ابزاری سریع و کاربردی برای رسیدن به پاسخ است. به طور کلی، دترمینان تنها یک عدد نیست؛ بلکه ابزاری مهم برای تحلیل رفتار ماتریس در مسائل مختلف ریاضی و کاربردی به شمار میآید.
سوالات متداول
دترمینان یک عدد اسکالر است که برای ماتریسهای مربعی تعریف میشود و ویژگیهای مهم آنها را نشان میدهد.
خیر. فقط ماتریسهای مربعی دارای دترمینان هستند.
در این حالت ماتریس معکوسپذیر نیست و به آن ماتریس منفرد گفته میشود.
در این حالت ماتریس معکوسپذیر است و میتوان از آن در حل بسیاری از مسائل استفاده کرد.
برای یک ماتریس ۲×۲، دترمینان از تفاضل حاصلضرب قطرها به دست میآید.
