جمعبندی مطالب درسی در روزهای منتهی به امتحان یا کنکور برای تثبیت آنها در حافظه بسیار موثر و مهم است، بهخصوص اگر آن مطالب مربوط به درس ریاضی باشد. در درس ریاضی اغلب با روابط و فرمولهای زیادی سروکار داریم که بهدلیل پراکنده بودن در بخشهای مختلف کتاب درسی ممکن است به خاطر سپردنشان برایمان دشوار باشد. همچنین هنگام نیاز و مراجعه دوباره به آنها پیدا کردنشان زمان زیادی را از ما بگیرد.
اگر شما نیز دغدغه این موضوع را دارید، نگران نباشید. ما در این آموزش از مجموعه سلام قصد داریم پرکاربردترین و مهمترین فرمول های ریاضی پایههای مختلف را یکجا در اختیارتان قرار دهیم.
فرمول های محیط، مساحت و حجم
در مقطع ابتدایی، دانشآموزان با مفاهیم اولیه ریاضی و هندسه ازجمله مساحت و محیط اشکال هندسی آشنا میشوند. در پایههای بالاتر نیز نحوه محاسبه حجم آنها را یاد میگیرند. در ادامه این بخش، این مجموعه فرمول های ریاضی با کاربرد برای دانشآموزان عزیز دبستانی آورده شده است.
فرمول های محیط اشکال هندسی
محیط اشکال هندسی برابر با اندازه دورتادور آنها است. محیط شکلهای گوناگون از روابط جدول زیر به دست میآید:
| شکل هندسی | فرمول محیط |
| مربع | یک ضلع × ۴ |
| مستطیل | (عرض + طول) × ۲ |
| مثلث | مجموع سه ضلع |
| لوزی | یک ضلع × ۴ |
| متوازیالاضلاع | مجموع دو ضلع مجاور × ۲ |
| ذوزنقه | مجموع چهار ضلع |
| دایره | شعاع × ۳/۱۴ × ۲ |
| چندضلعی منتظم | یک ضلع × تعداد اضلاع |
| چندضلعی غیرمنتظم | مجموع اضلاع |
فرمول های مساحت اشکال هندسی
مساحت به معنای اندازه سطح شکلهای مختلف است. فرمولهای مهم مساحت در اشکال و احجام هندسی مختلف بهصورت زیر است:
| شکل هندسی | فرمول مساحت |
| مربع | خودش × یک ضلع |
| مستطیل | عرض × طول |
| مثلث | ۲ ÷ (ارتفاع × قاعده) |
| لوزی | ۲ ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) |
| متوازیالاضلاع | ارتفاع × قاعده |
| ذوزنقه | ۲ ÷ ارتفاع × (قاعده کوچک + قاعده بزرگ) |
| چندضلعی منتظم | ۲ ÷ (محیط × ارتفاع) |
| دایره | شعاع × شعاع × ۳/۱۴ |
| بیضی | شعاع کوچک × شعاع بزرگ × ۳/۱۴ |
| کره | شعاع × شعاع × ۳/۱۴ × ۴ |
| هرم (مساحت جانبی) | مجموع مساحت وجههای جانبی |
| هرم (مساحت کل) | مساحت جانبی + مساحت قاعده |
| مخروط (مساحت جانبی) | طول مایل × شعاع قاعده × ۳/۱۴ |
| مخروط (مساحت کل) | مساحت جانبی + مساحت قاعده |
| استوانه (مساحت جانبی) | ارتفاع × محیط قاعده |
| استوانه (مساحت کل) | مساحت جانبی + مجموع مساحت قاعدهها |
| منشور (مساحت جانبی) | ارتفاع × محیط قاعده |
| منشور (مساحت کل) | مساحت جانبی + مجموع مساحت قاعدهها |
| مکعب مربع (مساحت جانبی) | ضلع × ضلع × ۴ |
| مکعب مربع (مساحت کل) | ضلع × ضلع × ۶ |
| مکعب مستطیل (مساحت کل) | (ارتفاع × عرض) × ۲ + (ارتفاع × طول) × ۲ + (عرض × طول) × ۲ |
فرمول های حجم اشکال هندسی
حجمهای هندسی اشکالی سهبعدی هستند که مقداری مشخص از فضا را اشغال میکنند. مقدار فضای اشغالشده توسط این اشکال را حجم مینامند. حجم شکلهای سهبعدی از مهمترین فرمول های ریاضی که در جدول زیر آمدهاند، محاسبه میشود.
| شکل هندسی | فرمول حجم |
| کره | شعاع × شعاع × شعاع × ۳/۱۴ × (۳ ÷ ۴) |
| مکعب مربع | ضلع × ضلع × ضلع |
| مکعب مستطیل | ارتفاع × عرض × طول |
| استوانه | ارتفاع × مساحت قاعده |
| منشور | ارتفاع × مساحت قاعده |
| هرم | ۳ ÷ (ارتفاع × مساحت قاعده) |
| مخروط | ۳ ÷ (ارتفاع × مساحت قاعده) |
تا اینجا با مجموعه فرمول های ریاضی محیط، مساحت و حجم آشنا شدیم. اگر میخواهید با مثالهای بیشتر تمرین کنید و در حل مسائل مختلف ریاضی مهارت بیشتری به دست آورید، پیشنهاد میکنیم مقاله محیط، مساحت و حجم شکلهای هندسی را مطالعه کنید.
در ادامه لیست فرمول های ریاضی متوسطه اول و دوم برای دانشآموزان عزیز آورده شده است.
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیههای مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر میشود!
پرکاربردترین فرمول های ریاضی متوسطه اول
در کتابهای ریاضی متوسطه اول نسبت به مقطع ابتدایی، با موضوعات متنوعتر و جدیدتری روبهرو میشویم. پس لازم است علاوهبر حل تمرین، مطالب خواندهشده قبلی را دوباره مرور کنیم تا در خاطرمان بمانند. راهکار مناسب جهت کاهش فراموشی مطالب، جمع بندی مجموعه فرمول های ریاضی است. در بخشهای بعدی، پرکاربردترین فرمول های ریاضی پایه نهم، هشتم و هفتم را معرفی خواهیم کرد.
فرمول های مجموع زوایا
چندضلعیها دارای زاویه داخلی و خارجی هستند. زاویههای درون چندضلعی را زاویه داخلی و زاویه بین امتداد یک ضلع با ضلع مجاور آن را زاویه خارجی مینامند. زوایای داخلی و خارجی مکمل یکدیگرند. جدول زیر فرمولهای مربوط به این زوایا را نشان میدهد.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| مجموع زاویای داخلی n ضلعی | (n − ۲) × ۱۸۰° |
| اندازه هر زاویه داخلی n ضلعی منتظم | (n − ۲) × ۱۸۰° n |
| مجموع زوایای خارجی n ضلعی | ۳۶۰° |
| اندازه هر زاویه خارجی یک n ضلعی منتظم | ۳۶۰° n |
| مجموع زوایای داخلی و خارجی n ضلعی | ۱۸۰°n |
فرمول های بردار و مختصات
مختصات و بردارها در تعیین موقعیت و مکانیابی مورد استفاده قرار میگیرند. مختصات یک نقطه را با کمک بردارهای جهتدار که دارای طول و عرض مشخص هستند نمایش میدهند. جدول زیر بیانکننده قوانین این بردارها و روابط آنهاست.
| مبحث | فرمول |
|---|---|
| مختصات (طول و عرض) بردارهای واحد | i = ۱ ۰ ، j = ۰ ۱ |
| قرینه بردار | –a = -x -y |
| ضرب عدد در بردار | k x y = kx ky |
| جمع بردارها | x y + m n = x + m y + n |
فرمول های اعداد توان دار
اعداد توان دار برای نمایش اعدادی به کار میروند که چند مرتبه در خودشان ضرب شدهاند. یک عدد تواندار از دو بخش پایه و توان تشکیل شده است. توان نشاندهنده تعداد مرتبههایی است که یک عدد در خودش ضرب شده است و پایه نیز آن عدد را نشان میدهد. این اعداد از قواعد خاصی که در جدول زیر آمده است، پیروی میکنند.
| مبحث | فرمول |
|---|---|
| ضرب اعداد تواندار با پایه مساوی | am × an = am+n |
| ضرب اعداد تواندار با توان مساوی | (ab)m = ambm |
| تقسیم اعداد تواندار با پایه مساوی | am an = am−n |
| تقسیم اعداد تواندار با توان مساوی | ( a b )m = am bm |
| توان در توان | (am)n = am×n |
| صفر به توان عدد غیرصفر | ۰a = ۰ |
| یک به توان هر عدد | ۱a = ۱ |
| عدد غیرصفر به توان صفر | a0 = ۱ |
| عدد به توان یک | a۱ = a |
| عدد غیرصفر به توان منفی | a−m = ۱ am , ( a b )−m = ( b a )m |
فرمول های رادیکال ها
رادیکال عملگری است که عکس توان عمل کرده و با کمک آن میتوان ریشه اعدادی را که زیر آن قرار میگیرند به دست آورد. اگر میخواهید با مفهوم ریشه، قوانین فرجهها و نحوه محاسبه رادیکال به همراه مثالهای ساده آشنا شوید، میتوانید مقاله رادیکال چیست؟ را مطالعه کنید. قوانین محاسباتی رادیکالها در جدول زیر آورده شده است:
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| ضرب رادیکالها با فرجه یکسان n | n√ab = n√a n√b |
| تقسیم رادیکالها با فرجه یکسان n | n√ a b = n√a n√b |
| جمع و تفریق رادیکالها با فرجه یکسان n | an√x + bn√x = (a + b)n√x |
| تبدیل عدد با توان گویا به رادیکال | a m n = n√am |
نکات مهم درمورد مثلث ها
مثلث شامل سه ضلع و سه راس است. از مهمترین فرمولهایی که میتوان برای این شکل هندسی نام برد، فرمول مربوط به قضیه فیثاغورس است که برای مثلث قائم الزاویه کاربرد دارد و ما در آموزش قضیه فیثاغورس به زبان ساده درباره آن صحبت کردهایم.
| عنوان | توضیح |
| قضیه فیثاغورس | در مثلثهای قائمالزاویه مجذور وتر برابر است با مجموع مجذور دو ضلع دیگر |
| عکس قضیه فیثاغورس | اگر در یک مثلث مجذور یک ضلع با مجموع مجذور دو ضلع دیگر مساوی باشد، آنگاه آن مثلث، قائمالزاویه خواهد بود. |
| فاصله نقاط روی نیمساز از دو ضلع زاویه | تمام نقاطی که روی نیمساز یک زاویه هستند، از دو ضلع آن زاویه فاصله یکسانی دارند. |
| فاصله نقاط روی عمودمنصف پارهخط از دو سر آن | تمام نقاطی که روی عمودمنصف یک پارهخط قرار دارند، دارای فاصله یکسانی از دو سر آن پارهخط هستند. |
| همنهشتی | شکلهایی که پس از یک یا چند تبدیل هندسی ازجمله انتقال، دوران و بازتاب بهطور کامل روی هم منطبق میشوند، شکلهای همنهشت نام دارند. |
| حالتهای همنهشتی دو مثلث قائمالزاویه | (و ز) و (و ض) |
| حالتهای همنهشتی دو مثلث | (ض ض ض)، (ض ز ض) و (ز ض ز) |
نکات مهم مجموعه اعداد و قدر مطلق
در جدول زیر، رابطه بین مجموعه اعداد گوناگون و نکات مربوط به قدر مطلق بیان شده است.
| عنوان | شکل جبری |
|---|---|
| قدر مطلق عدد مثبت | a > ۰ ⇒ |a| = a |
| قدر مطلق عدد منفی | a < ۰ ⇒ |a| = −a |
| قدر مطلق صفر | a = ۰ ⇒ |a| = ۰ |
| جذر مربع یک عدد | √a² = |a| |
| مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعه اعداد صحیح است. | N ⊆ Z |
| مجموعه اعداد صحیح زیرمجموعه اعداد گویاست. | Z ⊆ Q |
| مجموعه اعداد گویا زیرمجموعه اعداد حقیقی است. | Q ⊆ R |
| مجموعه اعداد گنگ زیرمجموعه اعداد حقیقی است. | Q′ ⊆ R |
| اشتراک مجموعه اعداد گویا و گنگ مساوی با مجموعه تهی است. | Q ∩ Q′ = ∅ |
فرمول عملیات ریاضی در عبارت های گویا
قوانین مربوط به جمع و تفریق و ضرب و تقسیم عبارتهای گویا در ساده کردن این عبارتها کاربرد فراوانی دارند. فرمول انجام عملیات ریاضی در این نوع عبارتها در جدول زیر نوشته شده است:
| مبحث | فرمول |
|---|---|
| تقسیم چندجملهایها بر تکجملهایها | a + b + c d = a d + b d + c d |
| تقسیم عبارتهای گویا | a b ÷ c d = a b × d c = ad bc |
| ضرب عبارتهای گویا | a b × c d = ac bd |
فرمول اتحادها
اتحادها تساویهایی هستند که بهازای تمام مقادیر متغیرهایی که در طرفین وجود دارند برقرار هستند. اتحاد مربع، مزدوج و جمله مشترک نمونههایی از اتحادهای پرکاربرد در عبارتهای جبری به شمار میروند.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| اتحاد مزدوج | (a + b)(a − b) = a2 − b2 |
| اتحاد مربع مجموع دوجملهای | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| اتحاد مربع تفاضل دوجملهای | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| اتحاد جمله مشترک | (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab |
معادله های خطی
معادله خطی یک معادله جبری است که برای توصیف خط راست به کار میرود.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| معادله خط راست | y = ax + b |
| معادله خطی که از مبدأ مختصات عبور میکند. | y = ax |
| شیب خط گذرنده از دو نقطه (x₁ , y₁) و (x₂ , y₂) | a = y2 − y1 x2 − x1 |
آمار و احتمال
در فصل مربوط به آمار و احتمال ریاضی متوسطه اول، مجموعه فرمول های ریاضی شامل میانگین، دامنه تغییرات، مرکز دسته دادهها و احتمال وقوع رویدادها مورد بررسی قرار میگیرد. فرمولهای مورداستفاده در این فصل در جدول زیر نوشته شده است.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| میانگین |
مجموع دادهها
تعداد دادهها
= میانگین
x̄ =
S
n
|
| مرکز دسته |
کوچکترین بازه دسته + بزرگترین بازه دسته
۲
|
| دامنه تغییرات |
کوچکترین داده − بزرگترین داده = دامنه تغییرات
|
| احتمال وقوع پیشامد A در فضای نمونه S |
تعداد حالتهای مطلوب
تعداد حالتهای ممکن
= احتمال
P(A) =
n(A)
n(S)
|
اگر میخواهید با توضیحات کاملتر، مثالهای حلشده و تمرینهای بیشتر درباره مفهوم احتمال آشنا شوید، پیشنهاد میکنیم مقاله احتمال چیست؟ را مطالعه کنید.
مهمترین فرمول های ریاضی متوسطه دوم
مقطع دبیرستان بهدلیل وجود امتحانهای نهایی و کنکور در آن، مقطع حساس و مهمی برای دانشآموزان محسوب میشود. دسترسی به فرمول های ریاضی دبیرستان برای مرور و جمعبندی مطالب یکی از دغدغههای مهم دبیرستانیها است که قرار است در این بخش مهمترین این فرمول های ریاضی با توضیح در اختیارتان قرار داده شود.
فرمول های ریاضی دهم
اول دبیرستان مرحله جدیدی برای ورود به دنیای علم ریاضی است. دانشآموزان با ورود به این پایه، مباحث ریاضی را بهطور گسترده فرامیگیرند. در این بخش، به فرمول های ریاضی مهم امتحانی پایه دهم اشاره خواهیم کرد. این موارد فرمول های ریاضی کنکور تجربی و فرمول های ریاضی کنکور ریاضی را نیز شامل میشود.
مجموعه ها و دنباله ها
در جدول زیر، مهمترین مجموعهها و دنبالههای ریاضی بهصورت خلاصه معرفی شدهاند تا بتوانید ارتباط بین آنها را بهتر درک کنید.
| عنوان | توضیح |
|---|---|
| مجموعه اعداد طبیعی | N = {۱, ۲, ۳, … } |
| مجموعه اعداد حسابی | W = {۰, ۱, ۲, ۳, … } |
| مجموعه اعداد صحیح | Z = {… , −۳, −۲, −۱, ۰, ۱, ۲, ۳, … } |
| مجموعه اعداد گویا | Q = {pq | p, q ∈ Z, q ≠ ۰ } |
| مجموعه اعداد گنگ | مجموعه اعدادی که نمیتوان آنها را بهصورت اعداد گویا بیان کرد. (Q′) |
| مجموعه اعداد حقیقی | R = {Q ∪ Q′} |
| رابطه مجموعه اعداد | N ⊆ W ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R |
| مجموعه مرجع | بزرگترین مجموعهای که مورد بحث ما است و با U نمایش داده میشود. |
| متمم مجموعه A | A′ = U − A |
| تعداد اعضای اجتماع A و B | n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) |
| جمله nام دنباله حسابی | tn = t۱ + (n − ۱)d |
| جمله nام دنباله هندسی | tn = t۱rn−۱ |
اگر میخواهید با مفهوم هر مجموعه و تفاوت اعداد طبیعی، صحیح، گویا، گنگ و حقیقی بیشتر آشنا شوید، پیشنهاد میکنیم مقاله مجموعه اعداد چیست؟ را مطالعه کنید.
نسبت های مثلثاتی
نسبتهای مثلثاتی رابطه بین زاویه و طول ضلعهای مثلث قائمالزاویه را نشان میدهند و شامل سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت هستند.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| سینوس θ | نسبت ضلع مقابل زاویه θ به وتر |
| کسینوس θ | نسبت ضلع مجاور زاویه θ به وتر |
| تانژانت θ | نسبت ضلع مقابل زاویه θ به ضلع مجاور آن |
| کتانژانت θ | نسبت ضلع مجاور زاویه θ به ضلع مقابل آن |
| تبدیل درجه و رادیان | D۱۸۰° = Rπ |
| شیب خط با زاویه θ نسبت به سطح افقی | tan θ |
| بازه مقادیر سینوس و کسینوس زاویه θ |
−۱ ≤ sin θ ≤ ۱ −۱ ≤ cos θ ≤ ۱ |
| روابط مثلثاتی |
sin²θ + cos²θ = ۱ tan²θ + ۱ = ۱cos²θ cot²θ + ۱ = ۱sin²θ tan θ + cot θ = ۱ |
اتحادهای مکعب و چاق و لاغر
در جدول پایین، یکی از مهمترین فرمول های ریاضی امتحان نهایی، اتحاد مکعب مجموع و تفاضل و همچنین اتحاد چاق و لاغر آورده شده است. این اتحادها برای بسط دادن و تجزیه عبارتهای درجه سه کاربرد دارند و در حل بسیاری از مسائل جبری استفاده میشوند.
اگر میخواهید هر کدام از این اتحادها را با مثالهای مرحلهبهمرحله یاد بگیرید، مقالات اتحاد مکعب چیست؟ و اتحاد چاق و لاغر چیست؟ را مطالعه کنید.
| اتحاد | فرمول |
|---|---|
| اتحاد مکعب مجموع | (a + b)³ = a³ + ۳a²b + ۳ab² + b³ |
| اتحاد مکعب تفاضل | (a − b)³ = a³ − ۳a²b + ۳ab² − b³ |
| اتحاد چاق و لاغر مجموع | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) |
| اتحاد چاق و لاغر تفاضل | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) |
معادله ها و نامعادله ها
معادلهها و نامعادلهها روابط ریاضی هستند که برای پیدا کردن مقدار مجهول یا بررسی مقایسه بین عبارتهای جبری استفاده میشوند.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| معادله درجه دوم | ax² + bx + c = ۰ , a ≠ ۰ |
| محاسبه ریشههای معادله درجه دوم | x = −b ± √b² − ۴ac۲a |
| تعداد ریشه با دلتا |
Δ = b² − ۴ac
· Δ > ۰: دو ریشه حقیقی
· Δ = ۰: یک ریشه حقیقی
· Δ < ۰: ریشه حقیقی ندارد.
|
| معادله خط تقارن سهمی | x = − b ۲a |
| مختصات رأس سهمی | (−b۲a , −Δ۴a) |
|
مختصات رأس سهمی با معادله y = a(x − h)² + k |
(h , k) |
|
معادله خط تقارن سهمی با معادله y = a(x − h)² + k |
x = h |
| ویژگی جمع در نامعادلهها | x < y → x + c < y + c |
| ویژگی ضرب در نامعادلهها |
x < y c>۰→ xc < yc x < y c<۰→ xc > yc |
| نامعادلههای قدر مطلق |
|x| ≤ a → −a ≤ x ≤ a |x| ≥ a → x ≥ a یا x ≤ −a |
شمارش بدون شمردن
در مبحث شمارش بدون شمردن با استفاده از فرمولهای جایگشت و ترکیب، تعداد حالتهای ممکن بدون شمارش تکتک آنها محاسبه میشود.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| ترکیب | (nr) = n!(n − r)! r! |
| جایگشت | P(n, r) = n!(n − r)! |
احتمال
احتمال شاخهای از ریاضیات است که میزان شانس وقوع یک پیشامد را بر اساس تعداد حالتهای ممکن و حالتهای مطلوب محاسبه میکند.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| احتمال وقوع پیشامد A | P(A) = n(A) n(S) |
| احتمال وقوع دستکم پیشامد A یا B | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) |
| احتمال وقوع دستکم یکی از پیشامدهای ناسازگار A یا B | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) |
| احتمال وقوع پیشامد متمم | P(A′) = ۱ − P(A) |
فرمول های ریاضی یازدهم تجربی
ریاضی یازدهم یکی دیگر از منابع مهم فرمول های ریاضی امتحان نهایی است. در ادامه میتوانید پرکاربردترین فرمول های ریاضی کنکور را مرور کنید.
معادلات خطی و درجه دو
در این بخش مهمترین روابط مربوط به معادلات خطی و درجه دوم مانند شیب خط، فاصله نقاط و ویژگیهای ریشههای معادله درجه دو را مرور میکنیم.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| شیب خط گذرنده از دو نقطه A و B | m = yB − yA xB − xA |
| شرط عمود بودن دو خط با شیبهای m و m′ | mm′ = −۱ |
| فاصله دو نقطه A = (xA, yA) و B = (xB, yB) | AB = √((xA − xB)² + (yA − yB)²) |
| مختصات نقطه وسط پارهخط AB | M( xA + xB ۲ , yA + yB ۲ ) |
| فاصله نقطه A(x₀, y₀) از خط ax + by + c = ۰ | d = |ax₀ + by₀ + c| √(a² + b²) |
|
حاصلضرب ریشههای معادله درجه دو ax² + bx + c = ۰ |
α · β = P = c a |
|
مجموع ریشههای معادله درجه دو ax² + bx + c = ۰ |
α + β = S = − b a |
| معادله درجه دومی که مجموع ریشههایش S و حاصلضرب ریشههایش P است. | x² + Sx + P = ۰ |
| مقدار مینیمم تابع درجه دو y = ax² + bx + c ، a > ۰ | x = − b ۲a |
| مقدار ماکزیمم تابع درجه دو y = ax² + bx + c ، a < ۰ | x = − b ۲a |
اعمال جبری روی توابع
اعمال جبری روی توابع شامل جمع، تفریق، ضرب و تقسیم توابع است که برای ساخت توابع جدید و بررسی دامنه آنها استفاده میشود.
| نام عمل | ضابطه | دامنه |
|---|---|---|
| جمع توابع | (f + g)(x) = f(x) + g(x) | Df+g = Df ∩ Dg |
| تفریق توابع | (f − g)(x) = f(x) − g(x) | Df−g = Df ∩ Dg |
| ضرب توابع | (f.g)(x) = f(x).g(x) | Df.g = Df ∩ Dg |
| تقسیم توابع | ( f g )(x) = f(x) g(x) | Dfg = Df ∩ Dg − {x | g(x) = ۰} |
رسم نمودار توابع-انتقال نمودارها
با استفاده از انتقالهای افقی و عمودی و تغییر ضرایب، میتوان نمودار توابع را جابهجا یا کشیده و فشرده کرد.
| ضابطه | توضیح |
|---|---|
| y = kf(x) | اگر k یک عدد مثبت باشد، برای رسم نمودار این تابع باید عرض هر نقطه از نمودار تابع y = f(x) را k برابر کنیم. |
| y = −f(x) | برای رسم نمودار این تابع، نمودار y = f(x) را نسبت به محور xها قرینه میکنیم. |
| y = f(ax) | اگر a > 1 باشد طول منحنی جمع و اگر 0 < a < 1 باشد طول منحنی باز میشود. |
| y = f(x + c) | نمودار تابع f به اندازه c به سمت چپ میرود. |
| y = f(x − c) | نمودار تابع f به اندازه c به سمت راست میرود. |
| y = f(x) + b | نمودار تابع f به اندازه b بالا میرود. |
| y = f(x) − b | نمودار تابع f به اندازه b پایین میآید. |
مثلثات
در این بخش روابط مهم مثلثاتی شامل تبدیل درجه و رادیان و ارتباط نسبتهای مثلثاتی در زوایای مختلف بررسی میشود.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| اندازه یک زاویه برحسب رادیان | طول کمان روبهروی زاویه اندازه شعاع دایره |
| رابطه بین درجه و رادیان |
یک درجه =
π
180
رادیان
|
| نسبتهای مثلثاتی زوایای قرینه |
sin(-θ) = -sin(θ)
cos(-θ) = cos(θ)
tan(-θ) = -tan(θ)
cot(-θ) = -cot(θ)
|
| نسبتهای مثلثاتی زوایای مکمل |
sin(π – θ) = sin(θ)
cos(π – θ) = -cos(θ)
tan(π – θ) = -tan(θ)
cot(π – θ) = -cot(θ)
|
| نسبتهای مثلثاتی دو زاویه با اختلاف π رادیان |
sin(π + θ) = -sin(θ)
cos(π + θ) = -cos(θ)
tan(π + θ) = tan(θ)
cot(π + θ) = cot(θ)
|
| نسبتهای مثلثاتی زوایای متمم |
sin( π2 – θ ) = cos(θ)
cos( π2 – θ ) = sin(θ)
tan( π2 – θ ) = cot(θ)
cot( π2 – θ ) = tan(θ)
|
| نسبتهای مثلثاتی دو زاویه با اختلاف π2 رادیان |
sin( π2 + θ ) = cos(θ)
cos( π2 + θ ) = -sin(θ)
tan( π2 + θ ) = -cot(θ)
cot( π2 + θ ) = -tan(θ)
|
| نسبتهای مثلثاتی زوایا با مجموع 2kπ رادیان (مضربهای زوج π رادیان) |
sin(2kπ – θ) = -sin(θ)
cos(2kπ – θ) = cos(θ)
tan(2kπ – θ) = -tan(θ)
cot(2kπ – θ) = -cot(θ)
|
| نسبتهای مثلثاتی زوایا با اختلاف 2kπ رادیان |
sin(2kπ + θ) = sin(θ)
cos(2kπ + θ) = cos(θ)
tan(2kπ + θ) = tan(θ)
cot(2kπ + θ) = cot(θ)
|
لگاریتم
در این بخش، مهمترین روابط و قواعد لگاریتم را مشاهده میکنید؛ مبحثی که یکی از فرمول های ریاضی کنکور است. لگاریتم در واقع عمل معکوس توانرسانی است و به ما کمک میکند توان مجهول را پیدا کنیم.
| قوانین لگاریتمها |
|---|
| logc ab = logc a + logc b a وb اعداد حقیقی مثبت و ۱ ≠ c |
| loga b = logc blogc a a وb وc اعداد حقیقی مثبت و ۱ ≠ c و a |
| aloga b = b a وb اعداد حقیقی مثبت و ۱ ≠ a |
| logb a × loga b = ۱ |
حد و پیوستگی
در این قسمت مهمترین قوانین حد و شرایط پیوستگی توابع بیان شده که پایه بسیاری از مباحث حسابان محسوب میشود.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| حد مجموع | limx→a(f(x) + g(x)) = limx→a f(x) + limx→a g(x) |
| حد تفاضل | limx→a(f(x) − g(x)) = limx→a f(x) − limx→a g(x) |
| حد حاصلضرب | limx→a(f(x).g(x)) = limx→a f(x) . limx→a g(x) limx→a(c·f(x)) = c · limx→a f(x) c عدد ثابت |
| حد تقسیم | limx→a(f(x)g(x)) = limx→a f(x)limx→a g(x) , limx→a g(x) ≠ ۰ |
| حد توان | limx→a(f(x))n = (limx→a f(x))n , n ∈ N |
| حد ریشه | limx→c(ax + b) = l > ۰ :آنگاه اگر limx→c √(ax + b) = √(limx→c ax + b) |
| پیوستگی راست در نقطه x = c | limx→c+ f(x) = f(c) |
| پیوستگی چپ در نقطه x = c | limx→c− f(x) = f(c) |
| پیوستگی در نقطه x = c | limx→c f(x) = f(c) |
تمام قوانینی که درمورد حد و پیوستگی ذکر شد، برای حد راست و چپ تابع نیز برقرار است.
آمار و احتمال
در مبحث آمار و احتمال با فرمولهایی مانند احتمال شرطی، استقلال پیشامدها و شاخصهای آماری آشنا میشویم.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| احتمال A به شرط B |
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
|
| مستقل بودن پیشامد A از B |
P(A ∩ B) = P(A).P(B)
|
| واریانس |
میانگین مجذور اختلاف دادهها از میانگین آنها
σ2 =
(x1 − X̄)2
+ ··· +
(xN − X̄)2
N
|
| انحراف معیار |
σ =
(x1 − X̄)2
+ ··· +
(xN − X̄)2
N
|
| ضریب تغییرات |
نسبت انحراف معیار به میانگین
cv =
σ
X̄
|
فرمول های ریاضی دوازدهم تجربی
در این بخش میخواهیم پرکاربردترین فرمول های ریاضی امتحان نهایی دوازدهم تجربی را با هم مرور کنیم. این فرمولها ازجمله فرمول های ریاضی امتحان نهایی نیز به شمار میروند.
توابع صعودی و نزولی
توابع صعودی و نزولی رفتار افزایش یا کاهش مقدار تابع را در بازههای مختلف مشخص میکنند.
| عنوان | تعریف |
|---|---|
| تابع صعودی | برای دو نقطه x۱ و x۲ که x۱ < x۲ است داریم: f(x۱) ≤ f(x۲) |
| تابع نزولی | برای دو نقطه x۱ و x۲ که x۱ < x۲ است داریم: f(x۱) ≥ f(x۲) |
| تابع اکیدا صعودی | برای دو نقطه x۱ و x۲ که x۱ < x۲ است داریم: f(x۱) < f(x۲) |
| تابع اکیدا نزولی | برای دو نقطه x۱ و x۲ که x۱ < x۲ است داریم: f(x۱) > f(x۲) |
توابع متناوب
تابع متناوب تابعی است که مقادیر آن در بازههای مشخصی به طور منظم تکرار میشود.
| عنوان | تعریف |
|---|---|
| تابع متناوب با دوره تناوب T | f(x ± T) = f(x), x ± T ∈ Df |
|
y = a sin bx + c y = a cos bx + c |
دارای دوره تناوب 2π |b| و مقدار مینیمم −|a| + c و ماکزیمم |a| + c |
معادلات مثلثاتی
در این بخش، روابط مهم مربوط به معادلات مثلثاتی را مشاهده میکنید که از فرمول های ریاضی پر تکرار در کنکور محسوب میشوند. این اتحادها برای سادهسازی عبارات، حل معادلات مثلثاتی و تبدیل توابع به فرمهای قابل حل کاربرد زیادی دارند.
| معادلات مثلثاتی |
| sin۲α=۲ sinα cosα |
| cos۲α=cos۲ α-sin۲ α |
| cos ۲α=۱-۲sin۲ α |
| cos۲α=۲cos۲ α-۱ |
جواب معادلات مثلثاتی
در این بخش پاسخ معادلات مثلثاتی مانند معادلات سینوسی و کسینوسی برای دانشآموزان گرامی ارائه شده است.
| معادله | جواب |
|---|---|
| sin x = sin α | x = ۲kπ + α x = (۲k + ۱)π − α k ∈ ℤ |
| cos x = cos α | x = ۲kπ ± α, k ∈ ℤ |
قضیه های حد بی نهایت
این قضیهها رفتار توابع را در شرایطی بررسی میکنند که مخرج یا صورت کسر به صفر نزدیک میشود.
| limx→a f(x) = L ≠ ۰ ، limx→a g(x) = ۰ | |
| limx→a f(x)g(x)= +∞ | اگر L > ۰ و تابع g(x) در همسایگی محذوفی از a مثبت باشد، آنگاه |
| limx→a f(x)g(x) = −∞ | اگر L > ۰ و تابع g(x) در همسایگی محذوفی از a منفی باشد، آنگاه |
| limx→a f(x)g(x) = −∞ | اگر L < ۰ و تابع g(x) در همسایگی محذوفی از a مثبت باشد، آنگاه |
| limx→a f(x)g(x) = +∞ | اگر L < ۰ و تابع g(x) در همسایگی محذوفی از a منفی باشد، آنگاه |
قضیه های حد در بی نهایت
در این بخش قوانین محاسبه حد توابع هنگامی که متغیر به بینهایت میل میکند بیان شده است.
| قضایا | توضیح |
|---|---|
| قضیه ۱ |
اگر n عددی طبیعی باشد آنگاه داریم:
limx→+∞
۱xⁿ
= ۰
،
limx→−∞
۱xⁿ
= ۰
|
| قضیه ۲ |
اگر
limx→+∞
f(x) = l
و
limx→+∞
g(x) = m
باشد داریم:
limx→+∞
(f(x) ± g(x)) =
limx→+∞
f(x) ±
limx→+∞
g(x) = l ± m
limx→+∞
(f(x)·g(x)) =
limx→+∞
f(x) ·
limx→+∞
g(x) = l·m
limx→+∞
(
f(x)g(x)
)
=
limx→+∞f(x)
limx→+∞g(x)
=
lm
، m ≠ ۰
|
| قضیه ۳ |
اگر n عددی طبیعی و a یک عدد حقیقی غیرصفر باشد، آنگاه:
limx→+∞
(axⁿ + bxⁿ⁻¹ + ··· + k) =
limx→+∞
axⁿ
|
مشتق پذیری و پیوستگی
مشتقپذیری و پیوستگی از مفاهیم مهم حسابان هستند که برای بررسی شیب نمودار و تغییرات تابع استفاده میشوند.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
|
شیب خط مماس بر منحنی تابع f در نقطه A(a, f(a)) یا مشتق تابع f در نقطه a |
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) – f(a)}{h}$$ |
| مشتق راست تابع f |
$$f’_+(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a + h) – f(a)}{h}$$
یا
$$f’_+(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x) – f(a)}{x – a}$$
|
| مشتق چپ تابع f |
$$f’_-(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a + h) – f(a)}{h}$$
یا
$$f’_-(a) = \lim_{x \to a^-} \frac{f(x) – f(a)}{x – a}$$
|
مشتق توابع
در این قسمت فرمول مشتق انواع توابع پایه و قوانین مشتقگیری آورده شده است.
| تابع | فرمول مشتق |
|---|---|
| f(x) = c | f′(x) = ۰ |
| f(x) = xn | f′(x) = nxn−۱ |
|
f(x) = √x
x > ۰
|
f′(x) = ۱۲√x
|
|
f(x) = √(ax + b)
ax + b > ۰
|
f′(x) = a۲√(ax + b)
|
| f ± g | (f ± g)′(x) = f′(x) ± g′(x) |
|
kf
k∈R
|
(kf)′(x) = kf′(x) |
| fg | (fg)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x) |
| fg |
(fg)′(x) =
f′(x)g(x) − g′(x)f(x)(g(x))۲
g(x) ≠ ۰
|
| fog(x) | (fog)′(x) = g′(x)f′(g(x)) |
شرط مشتقپذیری توابع بالا مشتقپذیری توابع f و g است.
آهنگ تغییر
آهنگ تغییر نشان میدهد مقدار یک تابع در یک بازه یا در یک نقطه با چه سرعتی تغییر میکند.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| آهنگ متوسط تغییر تابع f در بازه [a, a+h] | f(a + h) − f(a) h |
| آهنگ تغییر لحظهای تابع f در نقطه x = a | f′(a) = lim h→۰ f(a + h) − f(a) h |
معادله دایره
معادله دایره رابطهای است که تمام نقاطی را توصیف میکند که فاصله ثابتی از یک نقطه ثابت به نام مرکز دارند.
| عنوان | فرمول |
|---|---|
| معادله دایرهای به مرکز (α، β) و شعاع r | |
| نقاط داخل دایره | |
| نقاط خارج دایره | |
| معادله گسترده دایره |
مرکز دایره:
شعاع دایره:
|
سخن پایانی
در این مقاله به جمع بندی فرمول های ریاضی از پایه تا کنکور اشاره کردیم. این فرمولها صرفا برای مرور مطالب خواندهشده و یادآوری روابط مهم ریاضی است. حفظ کردن فرمولهای ریاضی بهتنهایی تاثیری در یادگیری عمیق آنها نخواهد داشت. مرور پرکاربردترین فرمول های ریاضی گام آخر برای تثبیت آن چیزی است که خواندهاید. در واقع، برای یادگیری مفید درس ریاضی ابتدا باید مفاهیم را بهخوبی یاد بگیرید و تمرینهای متنوع و زیادی حل کنید، سپس جهت یادآوری و بازآفرینی آنچه مطالعه کردهاید، به فرمولهای مهم و پرکاربرد نیز نگاهی بیاندازید.
