جذر تقریبی روشی برای یافتن مقدار نزدیک به جذر عددی است که مربع کامل نیست. برای به دست آوردن جذر تقریبی یک عدد ابتدا دو عدد مربع کاملی را که نزدیک به آن عدد هستند پیدا میکنیم، سپس تخمین مقدار جذر بین این دو عدد را انجام میدهیم و با توجه به ارقام اعشار عدد تخمینی، نزدیکترین مقدار را به دست میآوریم.
برای آموزش کاملتر و آشنایی با روش محاسبه جذر تقریبی حتما این مقاله از مجموعه مقالههای ریاضی مدرسه سلام را تا انتها مطالعه کنید. با خواندن این مقاله یاد میگیرید جذر تقریبی چیست و چه تفاوتی با جذر دقیق دارد، چگونه جذر تا یک رقم اعشار و دو رقم اعشار به دست میآید، خطاهای رایج در محاسبه جذر تقریبی چه هستند و جذر اعداد اعشاری چگونه محاسبه میشوند.
جذر چیست؟
جذر که معمولا با نام ریشه دوم نیز شناخته میشود، عکس توان دو عمل میکند. طبق این تعریف، جذر یک عدد، عددی است که اگر در خودش ضرب شود، عدد اصلی به دست میآید. برای مثال، جذر عدد ۱۶ برابر با ۴ است زیرا اگر ۴ در خودش ضرب شود، حاصل آن مساوی ۱۶ میشود.
علامت جذر چیست؟
جذر را با علامت رادیکال (√) نشان میدهند. رادیکالها اجزای مختلفی شامل عدد زیر رادیکال و فرجه رادیکال دارند که در مقاله رادیکال چیست کامل دراینباره توضیح داده شد. زمانی که رادیکال فرجه دو دارد، به این معناست که باید جذر یا ریشه دوم عدد زیر آن محاسبه شود. این نکته را در نظر داشته باشید که در محاسبه جذر فرجه ۲ رادیکال را نمینویسند و آن را بهصورت √ نمایش میدهند.
زیر رادیکال چیست؟
زمانی که میخواهیم جذر یک عدد را محاسبه کنیم، آن را زیر علامت رادیکال با فرجه دو (√) مینویسیم. مثلا جذر عدد ۱۶ را بهصورت زیر نمایش میدهیم:
√۱۶=√۴۲ =۴
همانطور که میبینید، رادیکال توان دو را از بین برده و عددی را به دست میدهد که اگر در خودش ضرب شود برابر با عدد زیر رادیکال میشود.
جذر چه فرقی با ریشه دوم دارد؟
منظور از جذر یا ریشه یک عدد، یافتن عددی است که اگر به توان مشخصی برسد، برابر با عدد اولیه شود. برایناساس، ریشه nام یک عدد برابر با عددی است که اگر به توان n برسد، همان عدد اصلی به دست میآید. برای مثال، جذر عدد ۸ با فرجه ۳ (ریشه سوم عدد ۸) مساوی است با ۲؛ به این معنا که اگر ۲ به توان ۳ برسد، عدد اولیه یعنی ۸ حاصل میشود.
پس تا اینجا متوجه شدیم که مفهوم کلی جذر یا ریشه چیست. اما منظور از ریشه دوم یا جذر دوم یک عدد، عددی است که توان دوی آن برابر با عدد اولیه باشد مانند ۱۶√که ریشه دوم آن برابر با ۴ است. لازم به ذکر است که به ریشه دوم جذر هم میگویند و زمانی که فقط واژه جذر را به کار میبریم، منظور همان ریشه دوم است. برای آشنایی بیشتر با مفهموم توان در اعداد به مقاله تعریف توان در ریاضی سر بزنید.
نکته: ریشه دوم یک جذر است، اما هر جذری لزوما ریشه دوم نیست.
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیههای مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر میشود!
جذر تقریبی چیست؟
منظور از جذر تقریبی یک عدد، تعیین مقدار تقریبی ریشه آن عدد در حالتی است که مقدار ریشه کامل نیست. طبق این تعریف، جذر تقریبی یک عدد برابر با عددی است که مربع آن به عدد اصلی نزدیک است. برای مثال، جذر عددی مانند ۷ برخلاف عددی مانند ۹ بهصورت تقریبی و عددی غیرصحیح بیان میشود:
√۹=√۳۲=۳
√۷≈۲/۶۵
همانطور که میبینید جذر عدد ۷ بهصورت یک عدد اعشاری بیان میشود. این مقدار تقریبی است و برای همین در اینجا بهجای علامت مساوی از علامت تقریبا مساوی (≈) استفاده کردهایم. اگر ۲/۶۵ را به توان دو برسانیم، تقریبا برابر با ۷/۰۲ میشود. این مقدار اگرچه دقیق نیست، اما به عدد اصلی یعنی ۷ نزدیک است.
چه زمانی به جذر تقریبی نیاز داریم؟
زمانی که قصد داریم جذر عددی را به دست آوریم که ریشه دوم آن کامل نیست، از جذر تقریبی استفاده میکنیم. در اینگونه اعداد بهدلیل اینکه ریشه دوم بهصورت یک عدد اعشاری است، لازم است مقدار جذر را تا یک یا دو رقم اعشار تقریب بزنیم.
چرا بعضی اعداد جذر کامل ندارند؟
برخی از اعداد بهگونهای هستند که هیچ عدد صحیح یا گویایی را نمیتوان پیدا کرد که وقتی در خودش ضرب میشود، دقیقا آن اعداد را به دست آورد. بهعنوان مثال، عدد ۷ که قبلا آن را مثال زدیم نمونهای از این دست اعداد است که جذر کامل ندارد و باید بهدلیل اعشاری بودن مقدار جذر، از تقریب جذر استفاده کرد.
√۷=۲/۶۴۵۷۵۱۳۱≈۲/۶۵
جذر چنین اعدادی در گروه اعداد گنگ قرار میگیرد، زیرا شامل ارقام اعشاری غیرمتناوب و غیرتکراری هستند. بنابراین، اعدادی مانند ۲√، ۳√، ۵√ و ۸√ اعداد گنگ به حساب میآیند.
تفاوت جذر دقیق و جذر تقریبی چیست؟
زمانی که جذر یک عدد کامل است و مقدار واقعی ریشه دوم عدد را نشان میدهد، مقدار جذر دقیق است، اما وقتی مقدار جذر را نزدیک به مقدار واقعی و بهصورت عدد اعشاری و ناکامل مینویسیم، در این صورت جذر ما بهصورت تقریبی و غیردقیق خواهد بود. مثالهای زیر نمونههایی از جذر تقریبی و دقیق هستند:
- جذر دقیق← ۴ =۱۶√
- جذر تقریبی← ۲/۲۴ ≈ ۵√
قبل از محاسبه جذر تقریبی، مربعهای کامل را بشناسید
قبل از اینکه سراغ آموزش جذر تقریبی برویم، لازم است ابتدا مربعهای کامل را بشناسید. مربعهای کامل اعدادی هستند که جذر یا ریشه دوم آنها برابر با یک عدد کامل است و نیازی به تقریب زدن ندارد.
جدول مربع کامل اعداد ۱ تا ۲۰
یکی از راههای حل کردن راحتتر و سریعتر معادلات و مسائل مربوط به جذر در ریاضی نهم آشنایی با مربع کامل اعداد پرکاربرد ۱ تا ۲۰ است که در جدول زیر آورده شدهاند. این جدول مربع کامل ضمن اینکه دسترسی شما به این اعداد را راحتتر میکند، باعث میشود برای مباحث بعدی یعنی محاسبه جذر تقریبی آمادهتر شوید و سریعتر تشخیص دهید هنگام جذر گرفتن چه اعدادی از تقریب استفاده کنید.
| مربع کامل | جذر | مربع کامل | جذر |
| ۱ | ۱ | ۱۲۱ | ۱۱ |
| ۴ | ۲ | ۱۴۴ | ۱۲ |
| ۹ | ۳ | ۱۶۹ | ۱۳ |
| ۱۶ | ۴ | ۱۹۶ | ۱۴ |
| ۲۵ | ۵ | ۲۲۵ | ۱۵ |
| ۳۶ | ۶ | ۲۵۶ | ۱۶ |
| ۴۹ | ۷ | ۲۸۹ | ۱۷ |
| ۶۴ | ۸ | ۳۲۴ | ۱۸ |
| ۸۱ | ۹ | ۳۶۱ | ۱۹ |
| ۱۰۰ | ۱۰ | ۴۰۰ | ۲۰ |
چطور از مربعهای کامل برای تخمین جذر استفاده کنیم؟
برای تخمین جذر ابتدا باید دو مربع کامل نزدیک به عدد موردنظر را پیدا کنیم، سپس مقدار جذر را بین آن دو عدد تخمین بزنیم و با بررسی ارقام اعشار، نزدیکترین مقدار را به دست آوریم. در ادامه به آموزش مرحلهبهمرحله محاسبه جذر بدون ماشین حساب خواهیم پرداخت و با مثال توضیح خواهیم داد که چگونه جذر عدد بین دو مربع کامل را محاسبه کنید.
روش ساده محاسبه جذر تقریبی با پیدا کردن دو مربع کامل
یکی از راههای ساده محاسبه جذر تقریبی برای تعیین جذر عدد غیر مربع کامل تخمین جذر با استفاده از دو مربع کامل نزدیک به آن عدد است. این روش محاسبه جذر تقریبی شامل چند مرحله ساده است که طی آن باید جذر عدد موردنظر را تخمین بزنیم.
مرحله اول: پیدا کردن دو مربع کامل نزدیک
اولین کاری که برای تخمین و محاسبه جذر عدد لازم است انجام دهیم، پیدا کردن دو عدد مربع کاملی است که عدد موردنظر ما بین آنها قرار دارد. برای مثال، فرض کنید میخواهیم جذر عدد ۴۰ را به دست آوریم. با توجه به اینکه این عدد مربع کامل نیست، برای محاسبه ریشه دوم یا جذر آن باید دو مربع کامل نزدیک به ۴۰ را بیابیم. طبق جدول مربع کامل، عدد ۴۰ بین دو مربع کامل ۳۶ و ۴۹ قرار دارد.
۳۶<۴۰<۴۹
مرحله دوم: مشخص کردن بازه جذر
براساس آنچه در مرحله اول مشخص شد، میتوان نتیجه گرفت که جذر ۴۰ نیز بین جذر ۳۶ و ۴۹ قرار دارد. بنابراین، داریم:
√۳۶<√۴۰<√۴۹
۶<√۴۰<۷
این بازه نشان میدهد که جذر ۴۰ بین ۶ و ۷ قرار دارد.
مرحله سوم: امتحان کردن عددهای اعشاری و انتخاب نزدیکترین مقدار
اکنون که بازه جذر مشخص شده است، میتوانیم ۴۰√ را تخمین بزنیم. برای تخمین زدن در این مرحله باید گامهای زیر را بهترتیب طی کنیم:
- ابتدا عدد وسط کران بالا و پایین بازه یعنی ۶ و ۷ را تعیین میکنیم:
- عدد وسط یعنی ۶/۵ را به توان دو میرسانیم تا ببینیم مجذور (مربع) آن از عدد موردنظر ما یعنی ۴۰ بزرگتر است یا کوچکتر. مجذور ۶/۵ برابر است با:
۶/۵۲=۴۲/۲۵
- میبینیم که حاصل از ۴۰ بزرگتر است. پس میتوان نتیجه گرفت که جذر ۴۰ حتما بین ۶ و ۶/۵ قرار دارد. این نکته را در نظر داشته باشید که اگر مجذور عدد وسط بازه از عددی که میخواستیم جذر آن را به دست آوریم کوچکتر میبود، باید سراغ بازه ۶/۵ تا ۷ یعنی بازه بین عدد وسط و کران بالا میرفتیم. پس در این مرحله مقدار مجذور عدد وسط بازه تعیین میکند که جذر عدد موردنظر در چه بازهای قرار میگیرد
- اکنون که مشخص شد ۴۰√ بین ۶ و ۶/۵ قرار دارد با گامهای ۰/۱ جلو میرویم و چهار عدد ۶/۱، ۶/۲، ۶/۳ و ۶/۴ را امتحان میکنیم. دقت کنید که اگر عدد موردنظر از مجذور عدد وسط یعنی ۴۲/۲۵ بزرگتر باشد باید اعداد ۶/۶، ۶/۷، ۶/۸ و ۶/۹ را امتحان کنیم.
- حالا مربع اعداد ۱/۶، ۲/۶، ۳/۶ و ۴/۶ را به دست آورده و با تهیه جدولی بهصورت زیر آنها را با عدد ۴۰ مقایسه میکنیم. عددی که مربع آن کمترین اختلاف را با ۴۰ دارد، بهعنوان جذر تقریبی ۴۰ در نظر میگیریم. در اینجا منظور از اختلاف، قدر مطلق فاصله عدد ۴۰ از مربع چهار عدد مشخصشده است.
| عدد | ۶/۱ | ۶/۲ | ۶/۳ | ۶/۴ |
| مربع عدد | ۳۷/۲۱ | ۳۸/۴۴ | ۳۹/۶۹ | ۴۰/۹۶ |
| اختلاف با ۴۰ | ۲/۷۹ | ۱/۵۶ | ۰/۳۱ | ۰/۹۶ |
از بین مربع اعداد بالا مربع ۶/۳ کمترین اختلاف را با ۴۰ دارد. بنابراین جذر تقریبی عدد ۴۰ تا یک رقم اعشار برابر است با ۶/۳. اگر با ماشینحساب هم جذر ۴۰ را محاسبه کنید، خواهید دید که تقریب جذر آن تا یک رقم اعشار همین مقدار است.
جذر تقریبی تا یک رقم اعشار چگونه به دست میآید؟
جذر تقریبی تا یک رقم اعشار یعنی به دست آوردن جذر عدد موردنظر با دقت ۰/۱. همان چیزی که در بخش قبل کامل درمورد آن توضیح دادیم. حالا که دیگر یاد گرفتهایم با تخمین زدن چگونه جذر بگیریم برای تثبیت مطالب گفتهشده و همچنین آشنایی با انواع مثالهای جذر تقریبی تا یک رقم اعشار چند مثال دیگر نیز در این رابطه حل میکنیم.
اگر میخواهید با اعداد اعشاری و عملیات ریاضی در آن ها بیشتر آشنا شوید مقاله اعداد اعشاری چیست؟ را مطالعه کنید.
جذر تقریبی ۱۷ تا یک رقم اعشار
اولین گام در یافتن جذر تقریبی، پیدا کردن مربعهای کاملی است که عدد موردنظر ما بین آنها قرار دارد. ۱۶ و ۲۵ دو مربع کامل نزدیک به ۱۷ هستند که عدد ۱۷ بین آنها وجود دارد. واضح است که جذر ۱۷ بین دو عدد ۴ و ۵ خواهد بود.
۱۶<۱۷<۲۵
√۱۶<√۱۷<√۲۵
۴<√۱۷<۵
در گام بعدی، عدد وسط بازه ۴ تا ۵ را محاسبه میکنیم:
اگر ۴/۵ را به توان دو برسانیم خواهیم داشت:
۴/۵۲=۲۰/۲۵
با توجه به بزرگتر بودن ۲۰/۲۵ از ۱۷ نتیجه میگیریم که ۱۷√ قطعا در بازه بین ۴ تا ۴/۵ قرار دارد. برای تقریب تا یک رقم اعشار به کران پایین مقدار ۰/۱ را اضافه میکنیم و اضافه کردن این مقدار را تا زمانی که به عدد وسط یعنی ۴/۵ برسیم، ادامه میدهیم که در این صورت چهار عدد ۴/۱، ۴/۲، ۴/۳ و ۴/۴ را خواهیم داشت. با به دست آوردن مربع این اعداد و محاسبه اختلاف آنها با ۱۷ میتوانیم جذر تقریبی ۱۷ را پیدا کنیم.
| عدد | ۴/۱ | ۴/۲ | ۴/۳ | ۴/۴ |
| مربع عدد | ۱۶/۸۱ | ۱۷/۶۴ | ۱۸/۴۹ | ۱۹/۳۶ |
| اختلاف با ۱۷ | ۰/۱۹ | ۰/۶۴ | ۱/۴۹ | ۲/۳۶ |
از بین چهار عدد بالا مربع عدد ۴/۱ با اختلاف ۰/۱۹ کمترین مقدار اختلاف با ۱۷ را دارد. پس جذر تقریبی ۱۷ تا یک رقم اعشار ۴/۱ خواهد بود. اگر با ماشینحساب ۱۷√ را محاسبه کنید، متوجه درستی این جواب خواهید شد.
جذر تقریبی ۲۲ تا یک رقم اعشار
برای یافتن جذر تقریبی ۲۲ تا یک رقم اعشار کافی است طبق مراحل زیر عمل کنید:
مرحله اول: یافتن دو مربع کامل نزدیک که عدد ۲۲ بین آنها قرار دارد.
۱۶<۲۲<۲۵
مرحله دوم: مشخص کردن بازه جذر ۲۲
√۱۶<√۲۲<√۲۵
۴<√۲۲<۵
مرحله سوم: پیدا کردن عدد وسط بازه جذر ۲۲
مرحله چهارم: محاسبه مربع عدد وسط بازه و مقایسه آن با عدد ۲۲
۴/۵۲=۲۰/۲۵
۲۰/۲۵<۲۲
۲۲ از ۲۰/۲۵ بزرگتر است. پس جذر آن از جذر ۲۰/۲۵ یعنی ۴/۵ بزرگتر خواهد بود و در بازه بین۴/۵ تا ۵ قرار میگیرد. در این حالت برای محاسبه جذر تقریبی تا یک رقم اعشار باید مقدار ۰/۱را به کران پایین یعنی ۴/۵ اضافه کنیم و این افزایش را تا رسیدن به کران بالا یعنی ۵ ادامه دهیم. چهار عددی که احتمال دارد جذر تقریبی ۲۲ برابر با آنها باشد، عبارتاند از:
۴/۶، ۴/۷، ۴/۸، ۴/۹
مرحله پنجم: مقایسه اختلاف مربع ۴/۶، ۴/۷، ۴/۸، ۴/۹ با ۲۲
| عدد | ۴/۶ | ۴/۷ | ۴/۸ | ۴/۹ |
| مربع عدد | ۱۶/۲۱ | ۲۲/۰۹ | ۲۳/۰۴ | ۲۴/۰۱ |
| اختلاف با ۲۲ | ۵/۷۹ | ۰/۹ | ۱/۰۴ | ۲/۰۱ |
مربع ۴/۷ دارای کمترین اختلاف با ۲۲ است. ازاینرو، جذر تقریبی ۲۲ تا یک رقم اعشار تقریبا برابر با ۴/۷ است.
جذر تقریبی ۳۲ تا یک رقم اعشار
برای به دست آوردن جذر تقریبی ۳۲ تا یک رقم اعشار طبق مراحل زیر پیش بروید:
مرحله اول: پیدا کردن دو مربع کامل نزدیک به عدد ۳۲
۲۵<۳۲<۳۶
مرحله دوم: مشخص کردن بازه جذر ۳۲
√۲۵<√۳۲<√۳۶
۵<√۳۲<۶
مرحله سوم: پیدا کردن عدد وسط بازه جذر ۳۲
مرحله چهارم: محاسبه مربع عدد وسط بازه و مقایسه آن با عدد ۳۲
۵/۵۲=۳۰/۲۵
۳۰/۲۵<۳۲
چون ۳۲ از ۳۰/۲۵ بزرگتر است، جذر ۳۲ نیز از جذر ۳۰/۲۵ یعنی ۵/۵ بزرگتر است و در بازه بین ۵/۵ تا ۶ قرار میگیرد. در این حالت، برای محاسبه جذر تقریبی تا یک رقم اعشار باید با اضافه کردن مقدار ۰/۱ به کران پایین یعنی ۵/۵ و افزایش آن تا رسیدن به کران بالا یعنی ۶ اعدادی را که گزینههای احتمالی برای جذر تقریبی ۳۲ هستند مشخص کنیم. این اعداد شامل موارد زیر هستند
۵/۶، ۵/۷، ۵/۸، ۵/۹
مرحله پنجم: مقایسه اختلاف مربع ۵/۶، ۵/۷، ۵/۸ و ۵/۹ با ۳۲
| عدد | ۵/۶ | ۵/۷ | ۵/۸ | ۵/۹ |
| مربع عدد | ۳۱/۳۶ | ۳۲/۴۹ | ۳۳/۶۴ | ۳۴/۸۱ |
| اختلاف با ۳۲ | ۰/۶۴ | ۰/۴۹ | ۱/۶۴ | ۲/۸۱ |
مربع ۵/۷ کمترین اختلاف را با ۳۲ دارد. بنابراین، جذر تقریبی ۳۲ تا یک رقم اعشار تقریبا مساوی با ۵/۷ است.
جذر تقریبی ۵۵ تا یک رقم اعشار
جذر تقریبی ۵۵ تا یک رقم اعشار طبق مواردی که در ادامه توضیح میدهیم به دست آورید:
مرحله اول: یافتن دو مربع کامل نزدیک به عدد ۵۵
۴۹<۵۵<۶۴
مرحله دوم: تعیین بازه جذر ۵۵
√۴۹<√۵۵<√۶۴
۷<√۵۵<۸
مرحله سوم: یافتن عدد وسط بازه جذر ۵۵
مرحله چهارم: به دست آوردن مربع (مجذور) عدد وسط بازه و مقایسه آن با عدد ۵۵
۷/۵۲=۵۶/۲۵
۵۶/۲۵>۵۵
۵۵ از ۵۶/۲۵ کوچکتر است. درنتیجه، جذر آن از جذر ۵۶/۲۵ یعنی ۷/۵ کچکتر بوده و در بازه ۷ تا ۷/۵ قرار خواهد داشت. در این صورت، جذر تقریبی ۵۵ تا یک رقم اعشار میتواند یکی از چهار عدد ۷/۱، ۷/۲، ۷/۳، ۷/۴ باشد.
مرحله پنجم: مقایسه اختلاف مربع ۷/۱، ۷/۲، ۷/۳، ۷/۴ با ۵۵
| عدد | ۷/۱ | ۷/۲ | ۷/۳ | ۷/۴ |
| مربع عدد | ۵۰/۴۱ | ۵۱/۸۴ | ۵۳/۲۹ | ۵۴/۷۶ |
| اختلاف با ۵۵ | ۴/۵۹ | ۳/۱۶ | ۱/۷۱ | ۰/۲۴ |
میبینیم که ۴/۷ دارای کمترین اختلاف با ۵۵ است. درنتیجه، جذر تقریبی ۵۵ تا یک رقم اعشار تقریبا مساوی است با ۴/۷.
جذر تقریبی ۶۲ تا یک رقم اعشار
اگر میخواهید جذر تقریبی ۶۲ تا یک رقم اعشار را محاسبه کنید میتوانید از مواردی که در ادامه توضیح میدهیم کمک بگیرید:
مرحله اول: پیدا کردن مربعهای کامل نزدیک به عدد ۶۲
۴۹<۶۲<۶۴
مرحله دوم: به دست آوردن بازه جذر ۶۲
√۴۹<√۶۲<√۶۴
۷<√۶۲<۸
مرحله سوم: مشخص کردن عدد وسط بازه جذر ۶۲
۷/۵۲=۵۶/۲۵
۵۶/۲۵<۶۲
با توجه به اینکه ۶۲ بزرگتر از ۵۶/۲۵ بوده و درنتیجه، جذر آن نیز از جذر ۵۶/۲۵ یعنی ۷/۵ بزرگتر است، جذر ۶۲ در بازه ۷/۵ تا ۸ قرار دارد. بهاینترتیب، جذر تقریبی ۶۲ تا یک رقم اعشار یکی از چهار عدد ۷/۶، ۷/۷، ۷/۸، ۷/۹ خواهد بود.
مرحله پنجم: مقایسه اختلاف مربع اعداد ۷/۶، ۷/۷، ۷/۸، ۷/۹ و با ۶۲
| عدد | ۷/۶ | ۷/۷ | ۷/۸ | ۷/۹ |
| مربع عدد | ۵۷/۷۶ | ۵۹/۲۹ | ۶۰/۸۴ | ۶۲/۴۱ |
| اختلاف با ۶۲ | ۴/۲۴ | ۲/۷۱ | ۱/۱۶ | ۰/۴۱ |
طبق جدول بالا، مربع ۷/۹کمترین اختلاف را با ۶۲ دارد. پس نتیجه میگیریم که جذر تقریبی ۶۲ تا یک رقم اعشار تقریبا ۷/۹ است.
جذر تقریبی تا دو رقم اعشار چگونه محاسبه میشود؟
برای محاسبه جذر تقریبی تا دو رقم اعشار از روشی مشابه جذر تقریبی تا یک رقم اعشار استفاده میکنیم با این تفاوت که در این مورد دقت محاسبه از ۱/۰ به ۱/۰۱ افزایش یافته و تقریب تا دو رقم اعشار خواهد بود. با استفاده از مثالهایی که در بخش قبل جذر تقریبی آنها را تا یک رقم اعشار محاسبه کردیم، روش به دست آوردن جذر تقریبی را تا دو رقم اعشار توضیح میدهیم.
جذر تقریبی ۵۵ تا دو رقم اعشار
از محاسبات بخش قبل میدانیم که جذر تقریبی ۵۵ بین ۷/۴ و ۷/۵ قرار دارد. اگر مربع این دو عدد را بهعنوان بازه جدید در نظر بگیریم، خواهیم داشت:
۵۴/۷۶<۵۵<۵۶/۲۵
√(۵۴/۷۶)<√۵۵<√(۵۶/۲۵)
۷/۴<√۵۵<۷/۵
حالا وسط دو عدد ۴/۷ و ۵/۷ را محاسبه کرده و به توان دو میرسانیم:
عدد موردنظر ما یعنی ۵۵ از ۵۵/۵۰۲۵ کوچکتر است. این موضوع نشان میدهد که جذر ۵۵ از ۷/۴۵ کوچکتر است و درنتیجه در بازه ۷/۴ تا ۷/۴۵ قرار میگیرد. با اضافه کردن ۰۱/۰ به عدد ۴/۷ و ادامه روند افزایش به مقدار ۰۱/۰ تا رسیدن به کران بالا یعنی ۴۵/۷ چهار عدد زیر را خواهیم داشت که یکی از آنها را میتوان بهعنوان جذر تقریبی ۵۵ در نظر گرفت.
۷/۴۱، ۷/۴۲، ۷/۴۳، ۷/۴۴
| عدد | ۷/۴۱ | ۷/۴۲ | ۷/۴۳ | ۷/۴۴ |
| مربع عدد | ۹۰۸۱/۵۴ | ۰۵۶۴/۵۵ | ۲۰۴۹/۵۵ | ۳۵۳۶/۵۵ |
| اختلاف با ۵۵ | ۰۹۱۹/۰ | ۰۵۶۴/۰ | ۲۰۴۹/۰ | ۳۵۳۶/۰ |
در اینجا باز هم باید عددی را انتخاب کنیم که قدر مطلق فاصله مربع آن از ۵۵ کمتر است. مطابق جدول، مربع عدد ۴۲/۷ کمترین اختلاف را با ۵۵ دارد. بهاینترتیب، جذر تقریبی ۵۵ تا دو رقم اعشار برابر با ۴۲/۷ خواهد بود.
جذر تقریبی ۶۲ تا دو رقم اعشار
از مربع اعداد در جدول بخش جذر تقریبی ۶۲ تا یک رقم اعشار میتوان فهمید که جذر ۶۲ بین ۷/۸ و ۷/۹ قرار دارد.
۶۰/۸۴<۶۲<۶۲/۴۱
√(۶۰/۸۴)<√۶۲<√(۶۲/۴۱)
۷/۸<√۶۲<۷/۹
مقدار وسط ۸/۷ و ۹/۷ برابر است با:
اگر این مقدار را به توان دو برسانیم، داریم:
۷/۸۵۲=۶۱/۶۲۲۵
این عدد کوچکتر از ۶۲ است. درنتیجه جذر آن نیز از جذر ۶۲ کوچکتر است. پس نتیجه میگیریم که جذر ۶۲ بین ۷/۸۵ و ۷/۹ قرار دارد. اگر از ۷/۸۵ شروع کنیم، با اضافه کردن ۰۱/ ۰ها چهار عدد بین ۸۵/۷ و ۹/۷ را به دست آورده و با کمک جدول زیر جذر تقریبی ۶۲ را مشخص میکنیم.
| عدد | ۷/۸۶ | ۷/۸۷ | ۷/۸۸ | ۷/۸۹ |
| مربع عدد | ۶۱/۷۷۹۶ | ۶۱/۹۳۶۹ | ۶۲/۰۹۴۴ | ۶۲/۲۵۲۱ |
| اختلاف با ۶۲ | ۰/۲۲۰۴ | ۰/۰۶۳۱ | ۰/۰۹۴۴ | ۰/۲۵۲۱ |
براساس جدول بالا عدد ۷/۸۷ جذر تقریبی ۶۲ است، زیرا اختلاف مربع آن با ۶۲ نسبت به سایر اعداد کمترین مقدار را دارد. برای تقریب جذر با تعداد ارقام اعشار بیشتر و درنتیجه دقت بالاتر میتوان همین مراحل را دوباره طی کرد.
روش ستونی یا ریشهیابی برای محاسبه جذر تقریبی
روش ستونی جذر که به آن ریشهیابی نیز گفته میشود، روش دیگر محاسبه دستی جذر است که طی چند مرحله قابل اجراست. برای آشنایی با این روش، یک مثال حل میکنیم. فرض کنید میخواهیم جذر تقریبی ۱۲۲۵ را با روش ستونی به دست آوریم. برای این کار کافی است گامهای زیر را بهترتیب طی کنیم. اما قبل از آن باید مانند تصویر زیر، صفحه را به سه ناحیه تقسیم کنیم. همانطور که میبینید، تقسیمبندی ناحیهها مانند عمل تقسیم به نظر میرسد.
در ناحیه اول عددی را قرار میدهیم که میخواهیم ریشه دوم آن را تعیین کنیم. در ناحیه دوم مقدار جذر یا ریشه دوم که باید آن را به دست آوریم قرار میگیرد و در ناحیه سوم نیز محاسبات و عملیات مربوط به ریشهیابی را مینویسیم.
گام اول: جدا کردن عددها دو رقمدو رقم
اولین کاری که برای ریشهیابی باید انجام دهیم، نوشتن عدد زیر رادیکال بدون علامت رادیکال در ناحیه اول است. برای مثال عدد ۱۲۲۵ را به همین صورت بدون رادیکال در ناحیه اول مینویسیم. سپس عددموردنظر را از سمت راست دو رقمدو رقم جدا میکنیم. جداسازی رقمها را میتوان با ایجاد یک فاصله کوچک انجام داد. اگر تعداد رقمهای عددی که میخواهید جذر آن را محاسبه کنید فرد بود مثلا سهرقمی، پس از جداسازی دو رقم از سمت راست یک تکرقم باقی خواهد ماند.
گام دوم: پیدا کردن بزرگترین مربع کامل کوچکتر
پس از جداسازی رقمها باید بزرگترین مربع کاملی که کوچکتر یا مساوی با قسمت جداشده در سمت چپ است را پیدا میکنیم. با توجه به اینکه بخش جداشده در سمت چپ عدد ۱۲۲۵، ۱۲ است باید بزرگترین مربع کاملی را که به ۱۲ نزدیک است و درعینحال کوچکتر یا مساوی با آن است، پیدا کنیم. عدد ۹ بزرگترین مربع کامل کوچکتر از ۱۲ است. این عدد را در ناحیه اول زیر ۱۲ نوشته و جذر آن را که برابر با ۳ است در ناحیه دوم یادداشت میکنیم.
گام سوم: کم کردن و پایین آوردن
در این مرحله ۹ را از ۱۲ کم کرده و حاصل تفریق را زیر آنها در پایین خط افقی مینویسیم. در مثالی که زدیم، حاصل تفریق برابر با ۳ است. ۳ را نوشته و دو رقم بعدی یعنی ۲۵ را پایین میآوریم.
عددی که در ناحیه دوم نوشتهایم یعنی عدد ۳ را در ۲ ضرب کرده و حاصل آن را در ناحیه سوم مینویسیم. حاصلضرب ۳ در ۲ مساوی ۶ میشود، پس باید عدد ۶ را در ناحیه سوم یادداشت کنیم. مانند تصویر زیر، کنار عدد حاصل یعنی ۶ برای رقم بعدی که قرار است در رقم نامشخص دیگری ضرب شود جای خالی قرار میدهیم. مقدار جاهای خالی را در مرحله بعد مشخص میکنیم.
گام چهارم: انتخاب رقم مناسب
حالا نوبت تعیین رقمهایی است که باید در جای خالی قرار بگیرند. دقت داشته باشید که در جای خالی اول کنار ۶ و در جای خالی دوم باید رقمهای یکسانی نوشته شود. این رقم نامعلوم را باید بهگونهای تعیین کنیم که مقدار حاصلضرب کوچکتر یا مساوی ۳۲۵ شود.
برای مثال، اگر عدد ۶ را انتخاب کنیم، حاصلضرب برابر با ۳۹۶ = ۶۶×۶ خواهد بود که مقدار آن از ۳۲۵ بزرگتر است. پس ۶ نمیتواند جواب ما باشد. اینبار جاهای خالی را با رقم کمتر یعنی ۵ پر میکنیم.
میبینیم که حاصل آن دقیقا برابر با ۳۲۵ یعنی همان عدد ناحیه اول میشود. بنابراین، رقم ۵ را علاوهبر اینکه در جاهای خالی مینویسیم، در ناحیه دوم کنار ۳ نیز یادداشت میکنیم.
اکنون در ناحیه دوم عدد ۳۵ را داریم که باید مربع آن را به دست آورده و از عدد ۳۲۵ در ناحیه اول کم کنیم. همانطور که در تصویر زیر هم میبینید، حاصل تفریق مربع ۳۵ و ۳۲۵ مساوی صفر است. صفر شدن حاصل این تفریق نشان میدهد که عملیات محاسبه جذر تقریبی پایان یافته و ریشه دوم ۱۲۲۵ برابر با ۳۵ است. البته درصورت وجود رقمهای بعدی میبایست مراحل را تکرار کرده و عملیات را تا رسیدن به جواب مناسب ادامه دهیم.
مثال کامل روش ستونی برای یک عدد
در این بخش جذر تقریبی عدد ۱۷۴۳ را تا دو رقم اعشار به کمک روش ستونی به دست میآوریم. مراحل جذر گرفتن این عدد را مانند مثال قبل انجام میدهیم. ابتدا دو رقمدورقم از سمت راست جدا میکنیم. مربع کامل نزدیک به دو رقم سمت چپ یعنی ۱۷ را پیدا میکنیم. عدد ۱۶ نزدیکترین مربع کامل به عدد ۱۷ است. جذر ۱۶ را که برابر با ۴ است در ناحیه دوم مینویسیم. سپس عدد ۱۶ را زیر ۱۷ نوشته و از آن کم میکنیم. حاصل تفریق را نوشته و دو رقم بعدی را پایین میآوریم.
پس از آن، عدد ناحیه دوم یعنی ۴ را در ۲ ضرب کرده و حاصل آن را در ناحیه سوم یادداشت میکنیم. باقی مراحل را مشابه مراحل مثال قبل انجام میدهیم، با این تفاوت که در اینجا جذر تقریبی بهصورت عدد اعشاری است. توجه داشته باشید در این مثال و مثالهای مشابه دیگر، وقتی حاصل نهایی تفریق صفر نیست و رقم اضافهای نیز برای پایین آوردن نداریم، رقم صفر در سمت راست عدد حاصل اضافه میکنیم و یک ممیز هم جلوی عدد ناحیه دوم میگذاریم.
مراحل جذر گرفتن در این مثال را تا جایی پیش میبریم که به دو رقم اعشار برسیم. البته میتوان جذر تقریبی این عدد را تا هر تعداد رقم اعشار به دست آورد، اما چون میخواهیم دقت جواب ما تا دو رقم اعشار باشد، از انجام باقی مراحل صرفنظر کردهایم.
اگر مقدار جذر ۱۷۴۳ را با ماشینحساب محاسبه کنید و جواب آن را تا دو رقم اعشار در نظر بگیرید، خواهید دید که با جواب ما در تصویر زیر تطابق دارد.
چه زمانی از روش ستونی استفاده کنیم؟
زمانی که میخواهیم جذر تقریبی یک عدد را بدون استفاده از ماشینحساب ولی با دقت بالا محاسبه کنیم، روش ستونی روش دستی مناسبی برای محاسبه ریشه دوم خواهد بود.
جذر اعداد اعشاری را چگونه حساب کنیم؟
جذر اعداد اعشاری را میتوان با استفاده از روشهای جذرگیری اعداد صحیح یعنی روش تخمین و روش ستونی انجام داد. البته بهدلیل وجود ممیز در این اعداد، شیوه انجام محاسبات در برخی مراحل ممکن است متفاوت باشد.
وقتی عدد اعشاری جذر دقیق دارد
زمانی که جذر عدد اعشاری دقیق است، میتوان با تبدیل عدد اعشاری به کسر عمل جذرگیری را بهراحتی انجام داد. برای مثال، جذر۰/۶۴ یا جذر ۶/۲۵ را میتوان بهصورت زیر به دست آورد:
روش دیگری برای جذر گرفتن اعداد اعشاری دارای جذر کامل نیز وجود دارد. در این روش کافی است عدد اعشاری را بدون ممیز در نظر بگیریم و جذر آن را محاسبه کنیم. پس از محاسبه جذر بهاندازه نصف تعداد ارقام اعشار عدد موردنظر، از سمت راست نتیجهی جذر، رقم اعشار جدا میکنیم. این روش زمانی کاربرد دارد که تعداد ارقام اعشار زوج باشد.
بهعنوان مثال، عدد۰/۲۵۰۰ چهار رقم اعشار دارد. این عدد بدون ممیز برابر با ۲۵ و درنتیجه جذر آن مساوی ۵ است که با جدا کردن دو رقم اعشار (نصف چهار رقم اعشار عدد اصلی) از سمت راست مقدار جذر عدد اعشاری مساوی ۰/۵۰ میشود.
نکته: اگر تعداد رقمهای اعشار در عدد اعشاری زوج باشد، با حذف ممیز میتوانید تشخیص دهید که عدد موردنظر جذر دقیق دارد یا خیر.
جذر تقریبی اعداد اعشاری با تخمین
همانگونه که جذر عدد صحیح را با تخمین زدن به دست آوردیم، میتوانیم جذر عدد اعشاری را نیز با همین روش پیدا کنیم. الگوریتم جذرگیری با این روش را در قالب چند مثال توضیح میدهیم.
مثال اول: جذر ۵/۲ را به دست آورید.
پاسخ: برای محاسبه جذر تقریبی ۵/۲ بهترتیب زیر عمل میکنیم:
ابتدا دو عدد نزدیک به ۵/۲ را که مربع کامل هستند، پیدا میکنیم. با توجه به اینکه۵/۲ بین ۴ و ۹ است، جذر آن بین ۲ و ۳ خواهد بود. عدد ۲/۵ به ۴ نزدیکتر است اما برای اینکه مقدار دقیقتر جذر آن به دست آید، ابتدا عدد وسط ۴ و ۹ را تعیین کرده و سپس مربع آن را با ۲/۵ مقایسه میکنیم. بنابراین داریم:
مربع عدد وسط برابر با ۶/۲۵ است و مقداری کوچکتر از ۵/۲ دارد. بنابراین جذر ۵/۲ بین ۲ و ۲/۵ خواهد بود. مشابه جذر تقریبی اعداد صحیح، با افزایش گامهای ۰/۱ برای بازه ۲ تا ۲/۵ جدولی بهصورت زیر تهیه میکنیم.
| عدد | ۲/۱ | ۲/۲ | ۲/۳ | ۲/۴ |
| مربع عدد | ۴/۴۱ | ۴/۸۴ | ۵/۲۹ | ۵/۷۶ |
| اختلاف با ۵/۲ | ۰/۷۹ | ۰/۳۶ | ۰/۰۹ | ۰/۵۶ |
از بین چهار عدد جدول بالا، مربع عدد ۲/۳ کمترین اختلاف را با ۵/۲ دارد. بهاینترتیب، جذر تقریبی ۵/۲ تا یک رقم اعشار مساوی ۲/۳ خواهد بود.
مثال دوم: جذر ۲/۲۵ را به دست آورید.
پاسخ: مانند مثال قبل مراحل زیر را طی میکنیم:
همانطور که دیدید، برخلاف مثالهای قبل روش تخمینی، در این مرحله عددی که مجذورش برابر عدد مورد نظر باشد؛ یعنی برابر با ۲/۲۵ باشد، به دست آمد. در این مثال، عدد ۵/۱ مقدار دقیق جذر ۲/۲۵ است.
مثال سوم: جذر ۰/۴۹ را محاسبه کنید.
پاسخ: ابتدا دو عدد مربع کامل نزدیک به ۰/۴۹ را تعیین میکنیم:
۰/۲۵ از ۰/۴۹ کوچکتر است. این موضوع نشان میدهد که جذر ۰/۴۹ بین ۰/۵ تا ۱ قرار دارد. با گامهای ۰/۱ چهار عددی را که جذر ۰/۴۹ یکی از آنهاست، مطابق جدول زیر به دست میآوریم.
| عدد | ۰/۶ | ۰/۷ | ۰/۸ | ۰/۹ |
| مربع عدد | ۰/۳۶ | ۰/۴۹ | ۰/۶۴ | ۰/۸۱ |
| اختلاف با ۴۹/۰ | ۰/۱۳ | ۰ | ۰/۱۵ | ۰/۳۲ |
جدول بالا نشان میدهد که ریشه دوم ۰/۴۹ دقیقا مساوی با ۰/۷ است.
جذر تقریبی اعداد اعشاری با ریشهیابی
در روش ریشهیابی یا ستونی که پیش از این برای جذرگیری اعداد صحیح آن را به کار بردیم، با تقسیم کردن صفحه به سه ناحیه یا بخش، جذر تقریبی عدد اعشاری بهصورت مرحلهبهمرحله تعیین میشود.
عدد اعشاری ۸/۷۴۵ را در نظر بگیرید. میخواهیم ریشه دوم این عدد را به دست آوریم. اولین کاری که باید انجام دهیم این است که مانند تصویر زیر، صفحه محاسبه را به سه ناحیه تقسیم کنیم و عدد اعشاری ۸/۷۴۵ را در ناحیه اول بنویسیم. مانند جذرگیری اعداد صحیح، عدد اعشاری را از سمت راست دو رقمدو رقم جدا میکنیم.
نکتهای که درمورد اعداد اعشاری حتما باید به آن توجه کنید این است که در روش ستونی تعداد ارقام اعشار در عدد اعشاری باید زوج باشد. اما در این مثال، تعداد ارقام اعشار فرد است. برای زوج کردن تعداد آنها کافی است یک صفر جلوی رقمهای اعشار قرار دهیم و سپس جداسازی دو رقمدو رقم را مثل تصویر زیر انجام دهیم.
باقی مراحل را به همان صورتی که در بخشهای قبل بیان کردیم، پیش میبریم تا مقدار جذر را با هر دقتی که در نظر داریم به دست آوریم. دقت داشته باشید که در محاسبات هرجا به ممیز رسیدیم باید در ناحیه دوم یعنی قسمتی که مقدار جذر در آن نوشته میشود آن را لحاظ کنیم.
تفاوت جذر، رادیکال، ریشه دوم و مجذور
جذر، رادیکال، ریشه دوم و مجذور ازجمله مفاهیم ریاضی هستند که معمولا با یکدیگر اشتباه گرفته میشوند. البته گاهی اوقات و بسته به مسئله برخی از آنها مفهوم یکسانی دارند، اما بهطور کلی، دارای تفاوتهایی هستند که در ادامه به آنها میپردازیم.
تفاوت جذر و مجذور
تفاوت جذر و مجذور در نحوه عمل کردن آنها روی اعداد است. مجذور عددی است که از ضرب یک عدد در خودش به دست میآید. بهعبارتی، مجذور همان عددی است که نتیجه به توان دو رساندن یک عدد است و زمانی که زیر رادیکال قرار میگیرد، باید جذر آن را محاسبه کنیم. اما منظور از جذر عددی است که اگر به توان دو برسد یعنی در خودش ضرب شود، مجذور آن به دست میآید. برای مثال، در رابطه عدد ۶ جذر و عدد ۳۶ مجذور است.
تفاوت جذر و رادیکال
در بخش قبل گفتیم که جذر چیست و چه تفاوتی با مجذور دارد. حالا میخواهیم بدانیم تفاوت جذر و رادیکال چیست. رادیکال نماد ریشهگیری است که اگر فرجه دو داشته باشد، عدد زیر آن را مجذور مینامیم. زمانی که مجذور زیر رادیکال قرار دارد، به این معناست که باید ریشه دوم یا جذر مجذور به دست آید. اگر به یاد داشته باشید در ابتدای مقاله توضیح دادیم که تفاوت جذر و ریشه دوم چیست و زمانی که واژه جذر را بهتنهایی به کار میبریم، منظورمان همان ریشه دوم عدد است.
آیا هر عدد دو ریشه دوم دارد؟
اگر یک عدد زیر رادیکال باشد و بخواهیم محاسبه ریشه دوم را انجام دهیم، باید جذر اصلی عدد زیر رادیکال را تعیین کنیم. برای مثال، ریشه دوم ۶۴ فقط عدد ۸ است (هم ۸ و هم ۸-). بنابراین، عددی که زیر رادیکال قرار میگیرد، دو ریشه ندارد و تنها یک ریشه دوم دارد.
چرا در جذرگیری معمولا فقط جواب مثبت نوشته میشود؟
جذرگیری یعنی ریشه دوم اصلی عدد زیر رادیکال را به دست آوریم. ازآنجا که هنگام جذر گرفتن تنها ریشه دوم اصلی مثبت یا صفر (غیرمنفی) در نظر گرفته میشود، فقط ریشه دوم مثبت را مینویسند و از ریشه دوم منفی صرفنظر میکنند.
البته هنگام حل معادلاتی مانند x۲=a هر دو ریشه مثبت و منفی را در نظر میگیریم و این موضوع با ریشهیابی در عمل جذر گرفتن متفاوت است.
x۲=a⟹x=±√a
جذر اعداد خاص
اهمیت و کاربرد جذر در محاسبات ریاضی بهگونهای است که به یاد سپردن مقدار آن برای برخی از اعداد خاص لازم و ضروری است. نکاتی که در ادامه بیان میکنیم، در این زمینه به شما کمک خواهد کرد.
جذر ۰ و ۱
۰ و ۱ تنها اعدادی هستند که جذرشان با خودشان برابر است، زیرا اگر هر کدام از آنها در خودشان ضرب شوند، پاسخ همان ۰ و ۱ میشود.
جذر اعداد مربع کامل
اعداد مربع کامل اعدادی هستند که از ضرب یک عدد صحیح در خودش حاصل میشوند. به همین دلیل، جذر این اعداد همیشه یک عدد صحیح است. پس اگر جذر عددی یک عدد صحیح شد، آن عدد مربع کامل خواهد بود. برای مثال، عدد ۲۲۵ یک عدد مربع کامل است چون جذر آن برابر با ۱۵ یعنی یک عدد صحیح میشود.
√۲۲۵=۱۵
جذر اعداد منفی
جذر اعداد منفی در مجموعه اعداد حقیقی تعریفنشده است. دلیل آن این است که مجذور یا مربع یک عدد حقیقی همواره مثبت یا صفر است و ازاینرو، اعداد منفی نمیتوانند زیر رادیکال قرار بگیرند.
مثلا ۱۶-√ در مجموعه اعداد حقیقی جواب ندارد.
آیا جذر همه اعداد طبیعی عدد صحیح است؟
خیر. جذر هر عدد طبیعی، عدد صحیح نیست. تنها اعدادی که مربع کاملاند، جذرشان یک عدد صحیح است. بهعنوان نمونه، جذر اعدادی مثل ۲، ۱۵ و ۱۱۰ عدد صحیح نیست.
√۲≈۱/۴۱
√۱۵≈۳/۸۷
√۱۱۰≈۱۰/۴۸
خطاهای رایج در محاسبه جذر تقریبی
در این بخش، تعدادی از خطاهای رایجی را که برخی دانشآموزان در محاسبه جذر تقریبی مرتکب میشوند بررسی میکنیم.
اشتباه گرفتن جذر با مجذور
اشتباه گرفتن جذر با مجذور رایجترین خطایی است که بهدلیل همخانواده بودن این دو کلمه در ذهن مخاطب ایجاد میشود. مجذور یعنی توان دوی عدد اما جذر برعکس این عمل است. جذر یک عدد ریشه دوم مجذور است.
انتخاب اشتباه بازه بین دو مربع کامل
در محاسبه جذر عدد با روش تخمینی حتما باید به بازه انتخابی توجه داشته باشید و آن را بهدرستی انتخاب کنید. مربعهای کاملی که برای تعیین بازه جذر در نظر گرفته میشوند، حتما باید نزدیک به عدد موردنظر باشند. انتخاب اشتباه بازه در رسیدن به جواب شما را گمراه میکند.
خطا در مقایسه فاصلهها
اشتباه در مقایسه فاصله عددی که میخواهیم جذر آن را به دست آوریم با اعداد بازه انتخابی یکی دیگر از خطاهای رایج در جذرگیری است که میتواند منجر به پاسخ اشتباه شود.
اشتباه در اعداد اعشاری و ممیز
توجه کردن به مکان ممیز و تعداد ارقام اعشار هنگام ریشهیابی اعداد اعشاری، در یافتن جواب درست و دقیق شما را یاری میکند، در غیر این صورت جذر عدد اعشاری اشتباه به دست میآید.
نوشتن جواب بدون بررسی مجذور
اشتباهی که خیلیها راحت از کنار آن میگذرند، بررسی نکردن درستی یا نادرستی مقدار جذر است. برای اطمینان از مقدار جذر بهدستآمده کافی است مقدار مجذور آن را بررسی کنید و ببینید آیا با عدد اصلی برابر است یا نیست.
جذر تقریبی در امتحان مدرسه چگونه میآید؟
سوالات جذر در امتحان ریاضی هشتم را میتوان به صورتهای مختلفی مطرح کرد. نمونههایی از انواع سوالات جذر تقریبی هشتم را در این بخش با هم بررسی کرده و حل میکنیم.
سوالات مستقیم
کدامیک از اعداد زیر گنگ هستند؟
√۴(۱
√۲۵(۲
√۴۵(۳
√۴۹(۴
پاسخ: اعداد ۴، ۲۵ و ۴۹ مربع کامل هستند که جذر آنها بهترتیب برابر است با ۲، ۵ و ۷. تنها عدد گنگ از بین گزینههای بالا جذر ۴۵ است که مقدار آن بهصورت عدد اعشاری با ارقام اعشاری غیرتکراری بیان میشود.
سوالات جایخالی
جایخخالی زیر را تکمیل کنید.
√(۰/۰۰۸۱)=⋯
پاسخ: عدد زیر رادیکال یک عدد اعشاری با چهار رقم اعشار است. با تبدیل این عدد به کسر میتوان مقدار جذر را بهراحتی تعیین کرد. بنابراین داریم:
سوالات مقایسهای
کدامیک از دو عدد ۹/۵ و ۹۰√ بزرگتر است؟
پاسخ: برای مقایسه کردن این دو عدد ابتدا باید مقدار جذر ۹۰ را محاسبه کنیم. با کمک روش حدسی، جذر این عدد را تا هر رقم اعشار که لازم باشد تخمین میزنیم. مقدار جذر تقریبی ۹۰ تا دو رقم اعشار برابر با ۹/۴۸ است. بنابراین، ۵/۹ بزرگتر از ۹۰√ است.
سوالات ترکیبی با معادله و رادیکال
مقدار x در معادله۱۱ = x√ را تعیین کنید.
پاسخ: در این معادله x عددی را نشان میدهد که جذر آن برابر با ۱۱ است. برای اینکه مقدار x را به دست آوریم، باید مجذور عدد ۱۱ را حساب کنیم یعنی آن را به توان دو برسانیم. خواهیم داشت:
۱۱۲=۱۲۱⟹x=۱۲۱
جمعبندی
در این آموزش یاد گرفتیم که جذر تقریبی چیست و با چه روشی به دست میآید. برای پیدا کردن جذر تقریبی از روشهای مختلفی میتوان استفاده کرد که در این مقاله با حل مثال آنها را کامل توضیح دادیم. اینکه از کدام روش برای جذرگیری استفاده کنید، بستگی به بزرگی یا کوچکی عدد شما دارد.
اگر عددی که میخواهید جذر آن را حساب کنید، کوچک است، روش حدسی یا تخمینی روش مناسبی است، اما اگر قصد دارید جذر یک عدد چندرقمی را محاسبه کنید، روش ستونی مناسبتر است. بنابراین، نمیتوان گفت سریعترین روش پیدا کردن جذر تقریبی بدون استفاده از ماشینحساب کدام روش است زیرا همانطور که گفتیم، برای هر عدد بزرگ یا کوچکی بهتر است از روش مناسب آن استفاده شود.
سوالات متداول
جذر تقریبی یک عدد یعنی مقدار تقریبی ریشه دوم آن عدد زمانی که مقدار جذر عدد صحیح نباشد.
جذر دقیق مقدار واقعی ریشه دوم و جذر تقریبی مقدار جذر را نزدیک به مقدار واقعی نشان میدهد.
برای مشخص شدن مقدار جذر تقریبی معمولا از عدد مربع کامل کوچکتر شروع کرده و با پیش رفتن بهسمت عدد مربع کامل بزرگتر مقدار تقریبی جذر را تعیین میکنیم.
جذر تقریبی تا یک رقم اعشار یعنی به دست آوردن مقدار جذر تقریبی با دقت یک رقم اعشار.
درصورت نداشتن ماشینحساب از روشهای حدسی و ستونی برای تعیین جذر تقریبی استفاده میکنیم.
جذر تقریبی در مقطع متوسطه اول با استفاده از روشهای تخمینی و جدول آموزش داده میشود.
برای آموزش ساده مفهوم جذر به فرزندتان میتوانید از روشهایی مانند رسم شکل مربع و استفاده از مفهوم مساحت استفاده کنید. البته بیان ساده مفهوم جذر همراه با مثال و پرسش و پاسخ راهکار دیگری برای آموزش این مبحث است. مثلا به زبان ساده بگویید جذر یعنی اینکه چه عددی در خودش ضرب شده است که حاصل آن این عدد شده است.
برای اینکه جذر را ساده حساب کنید، قبل از هر چیز باید مربعهای کامل پرکاربرد را حفظ باشید. سپس بررسی کنید که آیا عدد مربع کامل است یا نه و اگر عدد موردنظر مربع کامل نبود، دو مربع کامل نزدیک به آن را بیابید و مراحلی را که در بخش روش تخمینی توضیح دادیم انجام دهید.
اگر عدد مربع کامل نباشد، جذر آن را بهصورت تقریبی پیدا میکنیم.
هم عدد کوچکتر و هم عدد بزرگتر در یافتن جذر تقریبی به ما کمک میکنند.
مجذور عددی است که از ضرب یک عدد در خودش به دست میآید، اما جذر عددی را نشان میدهد که اگر در خودش ضرب شود، برابر با مجذور یعنی عدد زیر رادیکال میشود.
زیرا مجذور آنها جزو اعداد مربع کامل نیست.
در امتحان نهم سوالات مختلفی ممکن است طرح شود، ازجمله محاسبه جذر تقریبی اعداد صحیح و اعداد اعشاری، یافتن جذر در قالب معادله و مقایسه مقادیر جذر.
در مجموعه اعداد حقیقی اعداد منفی جذر یا ریشه دوم ندارند.
چون در عمل جذر ریشه دوم اصلی به دست میآید، باید تنها جواب مثبت یا صفر را در نظر بگیریم.
