کسر متعارفی چیست ؟ | معرفی انواع کسر متعارفی + چهار عمل اصلی

در آموزش‌‌های پیشین با مفهوم کسر در ریاضی آشنا شدیم. کسرها در درک بسیاری از مسائل و امور روزمره به ما کمک می‌‌کنند و استفاده از آن‌‌ها می‌‌تواند محاسبات را برایمان ساده‌‌تر کند. یکی از انواع کسرها کسر متعارفی است که در این مقاله قرار است شما را با آن آشنا کنیم و عملیات ریاضی و محاسبات مربوط به آن را همراه با مثال توضیح دهیم. اگر مایل هستید با این نوع کسر آشنا شوید، این آموزش را از دست ندهید.

کسر متعارفی چیست؟

کسر متعارفی کسری است که صورت و مخرج آن یک عدد صحیح است.

کسرهای متعارفی در مجموعه اعداد گویا قرار می‌‌گیرند زیرا همان‌‌طور که در مقاله اعداد گویا بیان کردیم، این اعداد به‌‌صورت کسری نوشته می‌‌شوند و صورت و مخرجشان عددی صحیح است اما مخرج آن‌‌ها باید مخالف صفر باشد. به‌‌طور کلی، اگر a و b دو عدد صحیح باشند و b≠0 باشد، آنگاه کسررا کسر متعارفی می‌‌گویند. a صورت و b مخرج کسر متعارفی است.

براساس این تعریف، صورت یا مخرج کسر متعارفی یا هر دوی آن‌‌ها می‌‌توانند مثبت یا منفی باشند. کسرهایی که در ادامه آورده شده‌‌اند، همگی کسرهای متعارفی محسوب می‌‌شوند.

توجه داشته باشید که اعداد صحیح تمام اعداد کاملی که مثبت، منفی و صفر هستند را شامل می‌‌شوند. اگر برای این دسته از اعداد مخرج ۱ قرار دهیم می‌‌توانیم آن‌‌ها را به‌‌شکل کسر متعارفی بنویسیم. 

نکته: در یک کسر متعارفی صورت می‌‌تواند صفر باشد، اما مخرج را نمی‌‌توان برابر با صفر قرار داد زیرا تقسیم عدد بر صفر تعریف نشده است.

پیشنهاد مطالعه: اعداد گنگ چیست؟

انواع کسر متعارفی

کسرهای متعارفی براساس مقدار صورت و مخرج به چند نوع دسته‌‌بندی می‌‌شوند:

• کسر واحد
• کسر صفر
• کسر کوچک‌‌تر از واحد
• کسر بزرگ‌‌تر از واحد

کسر واحد

کسری که صورت و مخرج آن برابر است کسر واحد نامیده می‌‌شود. مقدار عددی چنین کسری مساوی با یک است.
در زیر نمونه‌‌هایی از کسر واحد را می‌‌توانید ببینید.

کسر صفر

کسر صفر کسری است که صورت آن مساوی صفر است. چنین کسری مقدار صفر را نشان می‌‌دهد.

کسر کوچک تر از واحد

کسر کوچک‌‌تر از واحد به کسری گفته می‌‌شود که مقدار کمتر از یک را نمایش می‌‌دهد. در این نوع کسر متعارفی، مقدار صورت از مخرج کوچک‌‌تر است.

کسر بزرگ تر از واحد

در کسر بزرگ‌‌تر از واحد، صورت از مخرج بزرگ‌‌تر است. با توجه به اینکه این نوع کسر مقدار بزرگ‌‌تر از یک را نشان می‌‌دهد، برای درک بهتر می‌‌توان آن را به‌‌صورت عدد مخلوط نوشت.

نمایش کسر متعارفی روی محور

کسر را در نظر بگیرید. می‌‌خواهیم این کسر را روی محور اعداد نشان دهیم. با توجه به مقدار صورت و مخرج، واضح است که این کسر متعارفی در دسته کسرهای کوچک‌‌تر از واحد قرار می‌‌گیرد و مقدار آن از صفر بیشتر و از یک کمتر است. پس برای نمایش این کسر روی محور، در گام اول اعداد ۰ و ۱ را روی محور مشخص می‌‌کنیم.

چون مقدار مخرج ۴ است محور را به ۴ بخش مساوی تقسیم کرده و از صفر به‌‌سمت راست شروع به شمارش بخش‌‌های کوچک می‌‌کنیم. ازآنجا که مقدار صورت مساوی با ۳ است، به‌‌اندازه ۳ قسمت از ۴ قسمت جلو می‌‌رویم و آن را علامت می‌‌زنیم. نقطه مشخص‌‌شده نشان‌‌دهنده کسرخواهد بود.

پیشنهاد مطالعه: آموزش کسر روی محور 

تبدیل کسر متعارفی به عدد مخلوط

اعداد مخلوط اعدادی هستند که از یک عدد صحیح و یک کسر تشکیل شده‌‌اند. به همین خاطر، برای درک بهتر کسرهای متعارفی بزرگ‌‌تر از واحد گزینه مناسبی هستند. در این بخش، با یک مثال توضیح می‌‌دهیم که چگونه کسر متعارفی را به عدد مخلوط تبدیل کنید. 

کسر را در نظر بگیرید. می‌‌خواهیم این کسر را به‌‌شکل عدد مخلوط بنویسیم. هماطور که در مقاله تبدیل کسر به عدد مخلوط توضیح داده‌ایم، این کار را می‌‌توانیم با تقسیم ۲۱ بر ۵ یا سایر روش‌‌های تبدیل کسر به عدد مخلوط انجام دهیم. ابتدا باید مشخص کنیم که در عدد ۲۱ چند ۵ وجود دارد. می‌‌دانیم که ۵ ضربدر ۴ مساوی با ۲۰ می‌‌شود و ۲۰ تنها یک واحد از ۲۱ کمتر است. پس می‌‌توانیم بگوییم در عدد ۲۱، ۴ تا ۵ وجود دارد و عدد ۱ نیز باقی می‌‌ماند. بنابراین، کسر را می‌‌توانیم به‌‌صورت زیر به‌‌شکل یک عدد مخلوط بنویسیم:

حال سؤال اینجاست که اگر یک عدد مخلوط داشته باشیم آیا می‌‌توانیم آن را تبدیل به کسر متعارفی کنیم یا نه. پاسخ مثبت است. برای آشنایی با چگونگی تبدیل عدد مخلوط به کسر متعارفی به مثال زیر توجه کنید.

برای تبدیل یک عدد مخلوط مانند کسر متعارفی باید مراحل زیر را به‌‌ترتیب انجام دهیم:

• ابتدا عدد صحیح یعنی ۳ را در مخرج کسر یعنی ۴ ضرب می‌‌کنیم.
• حاصل‌‌ضرب ۳ در ۴ را با صورت کسر یعنی ۱ جمع زده و مقدار حاصل را به‌‌عنوان صورت کسر متعارفی یادداشت می‌‌کنیم.
• در آخر، مخرج بخش کسری عدد مخلوط یعنی ۴ را بدون تغییر در مخرج کسر متعارفی قرار می‌‌دهیم. به‌‌این‌‌ترتیب، خواهیم داشت:

تبدیل کسر متعارفی به کسر اعشاری

کسر اعشاری نوعی کسر متعارفی است که مخرج آن مضرب ۱۰ یا به‌‌عبارتی، اعدادی مثل ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰ و مانند آن است. پس اگر بخواهیم کسر متعارفی را به‌‌صورت کسر اعشاری بنویسیم، باید کاری کنیم که مخرج کسر متعارفی به مضرب ۱۰ تبدیل شود. با یک مثال این مورد را توضیح می‌‌دهیم.

فرض کنید قرار است کسر را به کسر اعشاری تبدیل کنیم. برای این کار، باید مخرج را در عددی ضرب کنیم که مقدار مخرج تبدیل به یکی از مضرب‌‌های ۱۰ شود. با توجه به اینکه مخرج کسر داده‌‌شده مساوی با ۴ است، می‌‌توانیم با ضرب ۴ در ۲۵ به عدد ۱۰۰ برسیم و مخرج را از ۴ به ۱۰۰ تبدیل کنیم. دقت داشته باشید که مخرج را در هر عددی ضرب کردیم باید صورت را نیز در همان عدد ضرب کنیم تا تغییری در مقدار کسر ایجاد نشود. پس خواهیم داشت:

کسر اعشاری به‌‌دست‌‌آمده را می‌‌توانیم به‌‌صورت عدد اعشاری نیز بنویسیم:

پیشنهاد مطالعه: آموزش تبدیل کسر به اعشار

تبدیل عدد اعشاری به کسر متعارفی

برای تبدیل عدد اعشاری به کسر متعارفی کافی‌‌ست به نحوه خواندمان دقت کنیم. مثلاً وقتی می‌‌خواهیم عدد ۰/۴۷ را بخوانیم می‌‌گوییم چهل‌‌وهفت صدم. این عبارت یعنی ۴۷ قسمت از ۱۰۰ قسمت. بنابراین کسر متعارفی معادل آن را می‌‌توانیم به‌‌صورت زیر بنویسیم:

تساوی کسرهای متعارفی

گاهی اوقات ممکن است دو یا چند کسر صورت و مخرج متفاوتی داشته باشند، اما اگر آن‌‌ها را ساده کنیم مقدار یکسانی را نشان می‌‌دهند. چنین کسرهایی را کسرهای مساوی می‌‌گویند. به‌‌عنوان مثال، دو کسردو کسر مساوی هستند زیرا اگر آن‌‌ها را ساده کنیم یعنی صورت و مخرجشان بر مقدار ثابتی تقسیم شود، مقدار یکسانی به ما می‌‌دهند.

همان‌‌طور که دیدید، دو کسر برابر با هستند.

به‌‌طور کلی، اگر صورت و مخرج یک کسر متعارفی را در یک عدد ضرب یا بر یک عدد تقسیم کنیم، مقدار کسر متعارفی تغییری نخواهد کرد.

مقایسه کسرهای متعارفی

برای مقایسه دو کسر متعارفی یا تعیین کوچک‌‌تر یا بزرگ‌‌تر بودن آن‌‌ها نسبت به هم با سه حالت روبه‌‌رو هستیم:

• مساوی بودن مخرج‌‌ها: اگر مخرج‌‌ها مساوی باشند، کسری بزرگ‌‌تر خواهد بود که صورت بزرگ‌‌تری دارد.

به‌‌عنوان مثال، کسر از کسر بزرگ‌‌تر است.

• مساوی بودن صورت‌‌ها: در حالتی که صورت‌‌ها برابر هستند، کسری را که مخرج آن کوچک‌‌تر باشد به‌‌عنوان کسر
• بزرگ‌‌تر در نظر می‌‌گیریم. برای مثال، کسر از کسر بزرگ‌‌تر است.
• مساوی نبودن صورت‌‌ها و مخرج‌‌ها: درصورت مساوی نبودن مقدار صورت و مخرج دو کسر، باید با ضرب یا تقسیم کردن صورت و مخرج کسرها در یک عدد ثابت کاری کنیم که صورت‌‌ها یا مخرج‌‌ها مساوی شوند و سپس کسرها را با هم مقایسه کنیم. البته می‌‌توانیم به‌‌جای یکسان کردن صورت‌‌ها یا مخرج‌‌ها از روش طرفین وسطین نیز استفاده کنیم.
• دو کسررا در نظر بگیرید.

برای مقایسه این دو کسر متعارفی به روش‌‌های زیر عمل می‌‌کنیم:

1. مساوی کردن مخرج‌‌ها: در این روش باید با کمک یافتن ک م م مخرج دو کسر، مخرج‌‌ها را برابر کنیم. ک م م ۷ و ۸ مساوی با ۵۶ است. پس خواهیم داشت:

با توجه به مقدار صورت‌‌ها معلوم می‌‌شود که کسر بزرگ‌‌تر است.

2.مساوی کردن صورت‌‌ها: در این حالت نیز برای برابر کردن صورت‌‌ها همان کاری را انجام می‌‌دهیم که برای مساوی کردن مخرج‌‌ها انجام دادیم. می‌‌دانیم که ک م م ۲ و ۳ عدد ۶ است. بنابراین، داریم:

مقدار مخرج‌‌ها نشان می‌‌دهد که کسربزرگ‌‌تر است.

3. روش طرفین وسطین: در روش طرفین وسطین، صورت کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کرده و حاصل آن را زیر کسر اول می‌‌نویسیم. پس از آن، صورت کسر دوم را در مخرج کسر اول ضرب کرده و مقدار آن را زیر کسر دوم یادداشت می‌‌کنیم. هر کدام از این دو عدد بزرگ‌‌تر باشد، کسر بالای آن نیز بزرگ‌‌تر است.

جمع و تفریق کسرهای متعارفی

در این بخش و بخش بعدی، چهار عمل اصلی کسر متعارفی ششم دبستان را توضیح می‌‌دهیم.

روش جمع و تفریق کسرهای متعارفی مشابه هم است. روشی که در ادامه برای جمع کسرهای متعارفی بیان می‌‌کنیم برای تفریق این نوع کسرها نیز صدق می‌‌کند.

برای جمع کردن دو کسر متعارفی باید مخرج‌‌ها حتماً برابر باشند. درصورت نابرابر بودن مقدار مخرج‌‌ها باید به کمک ک م م مخرج کسرها آن‌‌ها را برابر کنیم. فرض کنید قرار است دو کسررا با هم جمع کنیم. اولین‌‌کاری که باید انجام دهیم یکسان کردن مخرج‌‌ها با استفاده از کوچک‌‌ترین مضرب مشترک مخرج‌‌ها است. 

کوچک‌‌ترین مضرب مشترک ۶ و ۸ را با کمک روش‌‌های پیدا کردن ک م م تعیین می‌‌کنیم. ک م م ۶ و ۸ برابر با ۲۴ است. پس باید صورت و مخرج هر دو کسر را در عددی ضرب کنیم که مخرج‌‌ها مساوی ۲۴ شوند. خواهیم داشت:

جمع دو کسر حاصل برابر است با

نکته: اگر مخرج‌‌ها نسبت به هم اول باشند، در این صورت کوچک‌‌ترین مضرب مشترکشان مساوی با حاصل‌‌ضرب آن‌‌ها خواهد بود. 

برای مثال، در دو کسر مخرج‌‌ها نسبت به هم اول هستند. ازاین‌‌رو، ک م م آن‌‌ها مساوی با ۱۸ =۲ ×۸ خواهد بود. بنابراین، باید به‌‌شکل زیر صورت و مخرج کسر اول را در ۲ و صورت و مخرج کسر دوم را در ۹ ضرب کنیم و سپس عمل جمع یا تفریق را انجام دهیم. ما در اینجا قصد داریم دو کسر را از هم کم کنیم

پیشنهاد مطالعه: آموزش کامل جمع و تفریق کسرها

ضرب و تقسیم کسرهای متعارفی

ضرب و تقسیم کسرهای متعارفی طبق قواعد خاصی انجام می‌‌شود. برای ضرب کردن هر تعداد از کسرهای متعارفی کافی‌‌ست صورت‌‌ها را به‌‌صورت جداگانه و مخرج‌‌ها را نیز جدا در هم ضرب کنیم. حاصل‌‌ضرب صورت‌‌ها را در صورت و حاصل‌‌ضرب مخرج‌‌ها را در مخرج کسر حاصل قرار می‌‌دهیم. به مثال زیر توجه کنید:

صورت و مخرج کسر به‌‌دست‌‌آمده بر ۲ بخش‌‌پذیرند. پس می‌‌توانیم کسر حاصل را ساده‌‌تر کنیم:

البته می‌‌توانیم ساده کردن کسر را قبل از عمل ضرب نیز انجام دهیم.

در تقسیم کسرهای متعارفی هم از عمل ضرب استفاده می‌‌کنیم؛ به این صورت که کسر اول یعنی مقسوم را بدون تغییر نوشته و علامت تقسیم را به علامت ضربدر تبدیل می‌‌کنیم. پس از آن نیز کسر دوم را که مقسوم‌‌علیه است وارونه می‌‌کنیم. منظور از وارونه کردن کسر، جابه‌‌جایی مقدار صورت و مخرج است. در آخر هم حاصل‌‌ضرب کسرها را به روشی که در بالا توضیح دادیم به‌‌دست می‌‌آوریم.

برای درک بهتر شیوه تقسیم کسرها یک مثال حل می‌‌کنیم.

فرض کنید می‌‌خواهیم تقسیم کنیم. برای تعیین حاصل این عبارت به‌‌صورت زیر عمل می‌‌کنیم:

می‌‌توانیم کسر به‌‌دست‌‌آمده را ساده‌‌تر کنیم:

سخن پایانی

در این مقاله یاد گرفتیم که مفهوم کسر متعارفی چیست و به چه کسرهایی کسر متعارفی گفته می‌‌شود. براساس تعریف کسر متعارفی کسرهایی را که صورت و مخرج آن‌‌ها عددی صحیح است می‌‌توان در دسته کسرهای متعارفی قرار داد. البته در این نوع کسرها، مخرج باید مخالف صفر باشد چرا که کسر دارای مخرج صفر تعریف نشده است.

ازآنجا که آشنایی با مفهوم کسر در درک بسیاری از مسائل روزمره کمک‌‌کننده است، در این مقاله تلاش کردیم شما را با انواع محاسبات مربوط به کسر متعارفی نیز آشنا کنیم. امیدواریم این آموزش در درک بهتر کسرها به شما کمک کرده باشد.