ارتفاع مثلث چیست و چگونه رسم می شود؟

مثلث از آن دسته اشکال هندسی است که کاربرد فراوانی در علوم مختلف ازجمله ریاضی، مهندسی و معماری دارد. ازاین‌‌رو، آشنایی با اجزای آن به‌‌ویژه ارتفاع بسیار مهم است. ارتفاع مثلث پاره‌‌خطی است که از یکی از راس‌‌های مثلث رسم شده و بر ضلع مقابل یا امتداد آن عمود می‌‌شود. به‌‌دلیل نقش مهم ارتفاع در محاسبه مساحت مثلث و سایر مسائل هندسی قصد داریم در این مقاله به مفهوم ارتفاع مثلث بپردازیم و روش‌‌های رسم آن در انواع مثلث را همراه با سایر نکات مهمی که باید بدانید به زبان ساده توضیح دهیم.

مثلث چیست؟

مثلث یک شکل هندسی دو‌‌بعدی است که از سه پاره‌‌خط متصل‌‌به‌‌هم به‌‌نام «ضلع» ساخته شده است. مثلث‌‌ها شامل سه ضلع، سه راس و سه زاویه هستند که مجموع زوایای داخلی آن همواره ۱۸۰ درجه است. هر مثلث اجزای مختلفی دارد که در ادامه با آن‌‌ها آشنا می‌‌شویم:

• ضلع: پاره‌‌خط متصل‌‌کننده دو راس
• راس: نقطه تلاقی دو ضلع مثلث
• زاویه داخلی: زاویه بین دو ضلع مجاور
• زاویه خارجی: زاویه بین یک ضلع و امتداد ضلع مجاور آن (مجموع زوایای خارجی مثلث ۳۶۰ درجه است)
• ارتفاع: پاره‌‌خطی که از یک راس رسم شده و بر ضلع مقابل آن عمود می‌‌شود.
• نیمساز زاویه: نیم‌‌خطی که یک زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می‌‌کند.
• میانه: پاره‌‌خطی که راس مثلث را به وسط ضلع مقابل آن وصل می‌‌کند.
• عمودمنصف: خطی که از وسط ضلع عبور می‌‌کند و بر آن عمود است.

ارتفاع مثلث چیست؟

ارتفاع که در زبان انگلیسی به آن Height یا Altitude گفته می‌‌شود، پاره‌‌خطی است که از راس مثلث رسم شده و بر ضلع مقابل یا امتداد آن عمود می‌‌شود. طبق این تعریف، هر مثلث  با داشتن سه رأس و سه ضلع، سه ارتفاع می‌‌تواند داشته باشد. محل قرارگیری ارتفاع در مثلث بستگی به زاویه‌‌های راس‌‌های آن و درنتیجه نوع مثلث دارد. ازاین‌‌رو، ارتفاع یک مثلث می‌‌تواند در داخل یا خارج آن قرار بگیرد.

ارتفاع داخلی مثلث

ارتفاعی که طول آن به‌‌طور کامل درون مثلث قرار گرفته باشد، ارتفاع داخلی مثلث نام دارد. در مثلث‌‌هایی که زاویه باز یا منفرجه ندارند، هر سه ارتفاع مثلث داخلی هستند.

ارتفاع خارجی مثلث

ارتفاع خارجی مثلث به ارتفاعی می‌‌گویند که خارج از مثلث قرار گرفته باشد. این نوع ارتفاع از راس مثلث بر امتداد ضلع مقابل عمود شده و به همین دلیل خارج از محیط مثلث قرار دارد. از سه ارتفاع مثلث با زاویه باز تنها دو ارتفاع آن در خارج مثلث قرار می‌‌گیرند.

پای ارتفاع مثلث

پای ارتفاع یا پای عمود مثلث محل تلاقی ارتفاع با ضلع نظیر یا امتداد آن است. اگر ارتفاع مثلث داخلی باشد، پای ارتفاع روی ضلع نظیر آن قرار می‌‌گیرد، اما اگر ارتفاع مثلث خارجی باشد، پای ارتفاع روی امتداد ضلع نظیر قرار خواهد گرفت. منظور از ضلع نظیر ضلعی است که ارتفاع بر آن عمود شده است.

ارتفاع در انواع مثلث

همان‌‌طور که قبلا هم اشاره کردیم، مثلث‌‌ها سه ارتفاع دارند که بسته به نوع مثلث ممکن است در داخل یا خارج قرار گیرند. در ادامه‌‌ی این بخش، ارتفاع انواع مثلث‌‌ها را مورد بررسی قرار می‌‌دهیم.

ارتفاع مثلث قائم الزاویه

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که دو ضلع آن بر یکدیگر عمود هستند و زاویه ۹۰ درجه می‌‌سازند. ضلع‌‌های عمودبرهم را ساق و ضلع سوم را که روبه‌‌روی زاویه قائمه قرار دارد، وتر می‌‌نامند. در این نوع مثلث، دو تا از ارتفاع‌‌ها روی ساق‌‌ها منطبق هستند و ارتفاع سوم نیز که عمود بر وتر است، در داخل مثلث قرار دارد.

ارتفاع مثلث حاده

مثلثی که اندازه هر سه زاویه آن کمتر از ۹۰ درجه باشد، مثلث حاده نام دارد. هر سه ارتفاع این مثلث از نوع ارتفاع داخلی است و درنتیجه، درون مثلث قرار می‌‌گیرند. ارتفاع‌‌های مثلث حاده به‌‌صورت خط‌‌چین در تصویر زیر نشان داده شده است.

ارتفاع مثلث منفرجه

مثلث منفرجه به مثلثی گفته می‌‌شود که یکی از زوایای آن بزرگ‌‌تر از ۹۰ درجه است. در این نوع مثلث‌‌ها ارتفاعی که از راس زاویه منفرجه یا باز بر ضلع مقابلش که بزرگ‌‌ترین ضلع مثلث است عمود می‌‌شود، درون مثلث قرار می‌‌گیرد، درحالی که دو ارتفاع دیگر در خارج از مثلث واقع می‌‌شوند. بنابراین، در مثلث‌‌های منفرجه یک ارتفاع داخلی و دو ارتفاع خارجی داریم.

ارتفاع مثلث متساوی الضلاع

مثلث متساوی الاضلاع دارای سه ضلع برابر و سه زاویه ۶۰ درجه است و هر سه ارتفاع آن با هم برابر و از نوع داخلی هستند. به‌‌دلیل برابر بودن تمام اضلاع و زوایای داخلی مثلث متساوی‌‌الاضلاع، ارتفاع‌‌های این نوع مثلث، نیمساز، میانه، عمودمنصف و خط تقارن هم به حساب می‌‌آیند. تصویر زیر، سه ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع کلاس چهارم دبستان را به‌‌خوبی نشان می‌‌دهد.

ارتفاع مثلث متساوی الساقین

مثلثی که دو ضلع (ساق) و دو زاویه مساوی دارد، مثلث متساوی الساقین نامیده می‌‌شود. نوع ارتفاع‌‌ها در این مثلث را زاویه سوم تعیین می‌‌کند؛ یعنی زاویه‌‌ای که با دو زاویه مساوی متفاوت است. اگر زاویه سوم منفرجه باشد، یک ارتفاع داخلی و دو ارتفاع خارجی خواهیم داشت، اما اگر زاویه سوم حاده باشد، هر سه ارتفاع داخلی خواهند بود. البته در هر دو حالت، ارتفاع رسم‌‌شده از راسی که زاویه آن متفاوت است، داخل مثلث قرار می‌‌گیرد. این ارتفاع، نیمساز، میانه، عمودمنصف و خط تقارن مثلث متساوی‌‌‌‌الساقین هم محسوب می‌‌شود.

ارتفاع مثلث مختلف الاضلاع

در مثلث مختلف‌‌الاضلاع، اضلاع مثلث با هم مساوی نیستند. با توجه به اینکه اندازه سه زاویه این مثلث نیز با هم متفاوت‌‌اند و هر یک از آن‌‌ها می‌‌تواند قائمه، حاده یا منفرجه باشد. البته درباره داخلی یا خارجی بودن ارتفاع‌‌های مثلث مختلف‌‌الاضلاع نمی‌‌توان با قطعیت صحبت کرد. در واقع، نوع ارتفاع‌‌ها به اندازه زاویه‌‌های مثلث بستگی دارد.

ویژگی های ارتفاع مثلث چیست؟

اولین ویژگی ارتفاع در مثلث، برخورد آن‌‌ها یا امتدادشان در یک نقطه مشترک است. محل نقطه تلاقی یا برخورد ارتفاع‌‌ها در یک مثلث بستگی به نوع آن دارد:

• اگر مثلث حاده باشد: نقطه تلاقی ارتفاع‌‌ها داخل مثلث قرار می‌‌گیرد.
• اگر مثلث منفرجه باشد: نقطه برخورد سه ارتفاع خارج از مثلث قرار می‌‌گیرد.
• اگر مثلث قائم‌‌الزاویه باشد: محل برخورد ارتفاع‌‌ها روی رأس زاویه قائمه قرار می‌‌گیرد.

دومین ویژگی مربوط به ارتفاع مثلث‌‌ها ثابت بودن مقدار حاصل‌‌ضرب فاصله راس تا نقطه مشترک در فاصله نقطه مشترک تا پای ارتفاع است. این ویژگی برای تمام مثلث‌‌ها صادق است، حتی اگر محل برخورد ارتفاع‌‌ها خارج مثلث باشد.. برای مثال، در مثلث ABC شکل زیر داریم:

AO.OM=BO.ON=CO.OP

علاوه‌‌بر این، برای ارتفاع‌‌های مثلث تساوی‌‌های زیر نیز همواره برقرارند:

سومین ویژگی ارتفاع مثلث‌‌ها درمورد مثلث متساوی‌‌الاضلاع است. این ویژگی بیان می‌‌کند که اگر یک نقطه دلخواه درون مثلث متساوی‌‌الاضلاع داشته باشیم، مجموع فاصله عمودی آن نقطه از سه ضلع برابر با طول ارتفاع مثلث می‌‌شود. طبق تصویر زیر، این ویژگی را می‌‌توان به‌‌صورت زیر نوشت:

OA+OB+OC=DB

ارتفاع مثلث را چگونه رسم کنیم؟

روش‌‌های مختلفی برای رسم ارتفاع مثلث کلاس چهارم وجود دارد. بسته به ابزاری که در اختیار دارید، می‌‌توانید با کمک روش‌‌هایی که در ادامه توضیح خواهیم داد، ارتفاع مثلث را رسم کنید.

رسم ارتفاع مثلث با گونیا

استفاده از گونیا به شما کمک می‌‌کند تا خیلی سریع ارتفاع مثلث موردنظر خودتان را رسم کنید. این ابزار مثلث‌‌شکل به‌‌دلیل داشتن یک زاویه ۹۰ درجه، رسم ارتفاع را برایتان راحت‌‌تر می‌‌کند. مثلث (آ ب ج) در شکل زیر را در نظر بگیرید. می‌‌خواهیم ارتفاع وارد بر ضلع (ب ج) را رسم کنیم.

برای رسم ارتفاع نظیر ضلع (ب ج) کافی‌ است گونیا را به‌‌گونه‌‌ای روی مثلث قرار دهیم که یک ساق گونیا روی ضلع (ب ج) و ساق دیگر آن از راس (آ) بگذرد. در این حالت، گوشه راست (۹۰ درجه) گونیا پای ارتفاع خواهد بود. با رسم کردن  پاره‌‌خط از راس (آ) به ضلع (ب ج) ارتفاع موردنظر ما رسم خواهد شد. برای رسم ارتفاع نظیر دو ضلع (آ ب) و (آ ج) نیز به همین صورت عمل می‌‌کنیم.

رسم ارتفاع مثلث با پرگار و خط کش

استفاده از پرگار و خط‌‌کش راهکار دیگری برای رسم ارتفاع مثلث است. فرض کنید می‌‌خواهیم در مثلث (آ ب ج) شکل زیر ارتفاع نظیر ضلع (ب ج) را رسم کنیم. اولین کاری که باید انجام دهیم، رسم یک کمان با کمک پرگار است. دهانه پرگار را به‌‌اندازه ضلع (آ ب) باز می‌‌کنیم و با قرار دادن سوزن پرگار روی راس (ب) یک کمان به مرکز (ب) و شعاع (آ ب) رسم می‌‌کنیم.

در مرحله بعد، پرگار را به‌‌اندازه ضلع (آ ج) باز کرده و این‌‌بار یک کمان به مرکز (ج) و شعاع (آ ج) می‌‌کشیم. پس از رسم هر دو کمان، نقطه برخورد آن‌‌ها را با کمک خط‌‌کش به هم وصل می‌‌کنیم تا ارتفاع رسم شود. همان‌‌طور که می‌‌بینید، یکی از نقاط برخورد دو کمان، راس (آ) است که ارتفاع از آن بر ضلع نظیر (ب ج) عمود می‌‌شود.

فرمول محاسبه ارتفاع مثلث

ارتفاع مثلث را می‌‌توان با توجه به داده‌‌های مسئله از فرمول‌‌های مختلفی محاسبه کرد. در این بخش توضیح می‌‌دهیم که در حالت‌‌های مختلف از چه فرمولی برای محاسبه ارتفاع مثلث استفاده کنید.

فرمول ارتفاع مثلث با مساحت و قاعده

در آموزش مساحت مثلث یاد گرفتیم که فرمول مساحت یک مثلث با ارتفاع h و قاعده نظیر b از رابطه زیر به دست می‌‌آید:

A مساحت مثلث است. با طرفین وسطین کردن این تساوی می‌‌توان به فرمول ارتفاع برحسب مساحت و قاعده رسید. داریم:

فرمول ارتفاع مثلث با سه ضلع

محاسبه ارتفاع مثلث با داشتن سه ضلع نیز امکان‌‌پذیر است. کافی‌ است از فرمول هرون استفاده کنیم. طبق فرمول هرون، مساحت مثلثی با سه ضلع a، b و c از رابطه زیر محاسبه می‌‌شود:

در اینجا h ارتفاع نظیر قاعده b است. اگر بخواهیم ارتفاع نظیر قاعده‌‌های a و c را به دست آوریم، کافی‌ است در مخرج به‌‌جای b به‌‌ترتیب a و c قرار دهیم.

فرمول ارتفاع مثلث با ضلع و زاویه

با داشتن اندازه یک ضلع مثلث و اندازه زاویه‌‌ای که با ضلع مجاورش می‌‌سازد نیز می‌‌توان ارتفاع مثلث را حساب کرد. به مثلث زیر نگاه کنید. اگر بخواهیم ارتفاع نظیر قاعده b (h) را در این مثلث به دست آوریم، می‌‌توانیم از دو فرمول زیر استفاده کنیم:

h=a sin⁡C

یا

h=c sin⁡A

• a و c: اضلاع مجاور قاعده b
• C: زاویه بین a و b
• A: زاویه بین b و c
• h: ارتفاع نظیر قاعده b

برای ارتفاع‌‌های نظیر ضلع a و c نیز می‌‌توانید از این فرمول کمک بگیرید و برای هرکدام دو فرمول به‌‌شکل بالا به دست آورید.

فرمول ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع

ارتفاع یک مثلث متساوی‌‌الاضلاع به ضلع a از رابطه زیر به دست می‌‌آید:

فرمول ارتفاع مثلث قائم الزاویه

ارتفاع وارد بر وتر یک مثلث قائم‌‌الزاویه که اندازه دو ساق یعنی دو ضلع عمودبرهم آن a و b است، از رابطه زیر قابل محاسبه است:

در این فرمول c اندازه وتر مثلث است.

جمع‌‌بندی

در این مقاله آموزشی از مدرسه‌های سلام یاد گرفتیم که ارتفاع مثلث فاصله عمودی یک راس تا ضلع مقابل آن است که از یک راس آغاز شده و بر ضلع مقابلش وارد می‌‌شود. آشنایی با ارتفاع مثلث و نحوه رسم و محاسبه آن از این جهت اهمیت دارد که در محاسبات مربوط به مساحت مثلث و بررسی ویژگی‌‌های آن به کار می‌‌رود. با توجه به اهمیت این موضوع، سعی کردیم به مبحث قاعده و ارتفاع مثلث کلاس چهارم بپردازیم و با انواع ارتفاع در مثلث‌‌ها آشنا شویم. فرمول‌‌هایی که برای محاسبه ارتفاع مثلث در این آموزش معرفی کردیم، همگی در تعیین ارتفاع مثلث می‌‌توانند به شما کمک کنند و باید براساس اطلاعات مسئله مورد استفاده قرار گیرند.

سوالات متداول