آموزش ضرب ماتریس + مثال های کاربردی

ماتریس جدولی مستطیلی متشکل از اعداد حقیقی، نمادها یا عبارت‌های ریاضی است که به‌صورت منظم در سطرها و ستون‌ها کنار هم قرار می‌گیرند. به هر یک از اعداد یا عبارت‌هایی که خانه‌های ماتریس را پر می‌کنند، درایه می‌گویند. در واقع، درایه همان «واحد سازنده» یا «عضو» ماتریس است که جایگاه دقیق آن با شماره‌ی سطر و ستون مشخص می‌‌شود. ماتریس‌ها ابزاری مهم در ریاضی، علوم و رشته های مهندسی هستند و برای نمایش اطلاعات، حل دستگاه معادلات و انجام محاسبات مختلف به کار می‌‌روند. در ادامه این مقاله از مدارس سلام، نحوه ضرب و تقسیم ماتریس‌ها و خواص آن‌ها را بررسی می‌کنیم.

ضرب یک عدد حقیقی در یک ماتریس

برای ضرب یک عدد حقیقی در ماتریس A، آن عدد را در تمام درایه‌های ماتریس ضرب می‌کنیم به عبارتی می‌توان نوشت:

A=[a_ij​]_m×n​ , r∈R⇒rA=r[a_ij​]_m×n​=[ra_ij​]_m×n​

به زبان ساده تر، هنگامی که قصد دارید یک عدد حقیقی را در یک ماتریس ضرب کنید، این عدد در تک تک درایه ها ضرب می‌شود، در واقع، آن عدد نباید فقط در یکی از اعضا ضرب شود، بلکه باید در تمام خانه‌های ماتریس ضرب شود.

مثال : حاصل ضرب عدد حقیقی ۱− در ماتریس زیر را بیابید.

تقسیم یک عدد حقیقی در یک ماتریس

برای تقسیم یک عدد حقیقی در یک ماتریس آن عدد را معکوس یا وارونه می‌کنیم و در آخر مانند ضرب یک عدد حقیقی عمل می‌کنیم. این موضوع به این معنا است که:

توجه: این روش صرفا تقسیم یک عدد حقیقی در یک ماتریس است و تقسیم ماتریس از رابطه ی زیر بدست می‌آید:

A ÷ B = A × (۱ ÷ B) = A × B ^-۱

منظور از ^۱- B همان معکوس ماتریس B است. بنابراین، در واقع تقسیم مستقیم میان ماتریس‌ها انجام نمی‌شود، بلکه ماتریس مورد نظر در معکوس ماتریس دیگر ضرب می‌شود.

خواص مهم ضرب عدد در ماتریس

برای آشنایی با خواص مهم ضرب عدد در ماتریس به موارد زیر دقت کنید:

ضرب ماتریس سطری در ماتریس ستونی

ضرب ماتریس سطری در ماتریس ستونی، پایه و اساس یادگیری ضرب ماتریس در ماتریس است و محاسبات پیچیده‌تر جبر خطی بر مبنای همین عمل ساده شکل می‌گیرند. برای انجام دقیق این ضرب، ابتدا باید ساختار و ویژگی‌های ابعادی ماتریس‌های تک‌سطری و تک‌ستونی را به‌درستی بشناسیم.

آشنایی با ماتریس‌های سطری و ستونی

در جبر خطی، ماتریس‌های سطری و ستونی ساده‌ترین ساختارها را دارند و سنگ‌بنای عملیات پیچیده‌تر محسوب می‌شوند.

• ماتریس سطری (Row Matrix): به ماتریسی که تنها از یک سطر تشکیل شده باشد، ماتریس سطری می‌گوییم. ابعاد این ماتریس به صورت 1×n نمایش داده می‌شود که در آن n نشان‌دهنده تعداد ستون‌هاست. به عنوان نمونه، ماتریس A=[۲ -۳ ۵] یک ماتریس سطری ۱×۳ است.
  
• ماتریس ستونی (Column Matrix): ماتریسی که تنها از یک ستون تشکیل شده باشد، ماتریس ستونی نامیده می‌شود. ابعاد این ماتریس به صورت m×۱ بیان می‌شود که در آن m تعداد سطرها را مشخص می‌کند. برای مثال، ماتریس زیر یک ماتریس ستونی ۳×۱ است:

اگر A یک ماتریس سطری و B یک ماتریس ستونی باشد، به‌طوری‌که تعداد ستون‌های ماتریس A با تعداد سطرهای ماتریس B برابر باشد، در این صورت ضرب A × B تعریف می‌شود. برای محاسبه این ضرب، کافی است درایه‌های متناظر دو ماتریس را در هم ضرب کنیم و سپس حاصل این ضرب‌ها را با یکدیگر جمع کنیم. نتیجه این عمل، یک ماتریس ۱ × ۱ یا به بیان ساده‌تر، یک عدد حقیقی است.

ضرب ماتریس در ماتریس

فرض کنیم A=[a__ij ]_(m×n)و B=[b__ij ]_(n×k) دو ماتریس باشند. حاصل‌ضرب ماتریس A در ماتریس B برابر با ماتریس است C=[c_{_ij} ]_{_(m×k)} که آن را با نماد ABنشان می‌دهیم.
برای حل ضرب ماتریس کافی است به این مثال توجه کنید:

نکته مهم: حاصل ضرب ماتریس AB با BA  برابر نیست، مگر آنکه ماتریس‌ها از نوع همانی، معکوس یکدیگر، صفر، قطری، اسکالر و یا توان‌هایی از یک ماتریس واحد باشند.

برای تسلط بر ضرب ماتریس ها این مثال را به عنوان تمرین در منزل حل کنید.

جمع بندی

ماتریس‌ها آرایه‌های مستطیلی از اعداد هستند که از سطر و ستون تشکیل شده اند. اگر عددی در ماتریسی ضرب شود، آن عدد در تک تک درایه های ضرب می‌شود. در تقسیم عدد حقیقی بر ماتریس ، کافی است آن عدد را معکوس کرده و مانند ضرب عدد در ماتریس عمل کنیم. برای ضرب دو ماتریس، تعداد ستون‌های ماتریس اول باید با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل‌ضرب دو ماتریس معمولا خاصیت جابه‌جایی ندارد (AB≠BA) ،مگر ماتریس از نوع همانی یا معکوس باشد.

سوالات متداول