قطر چیست؟ ׀ قطر در اشکال هندسی + فرمول ها

قطر یک مفهوم هندسی است که در بسیاری از اشکال هندسی یافت می‌شود و در محاسبه محیط و مساحت آن‌ها به‌کار می‌آید. در ریاضی، قطر به‌صورت پاره‌خطی تعریف می‌شود که یک گوشه (رأس) چندضلعی را به گوشه دیگر غیرمجاور آن متصل می‌کند. اگر می‌خواهید بدانید قطر چیست و در هر کدام از اشکال هندسی دوبعدی و سه‌بعدی چند قطر وجود دارد، با این آموزش همراه باشید. 

قطر چیست؟

قطر پاره‌خط مستقیمی است که دو رأس مقابل و غیرمجاور یک چندضلعی یا چندوجهی را به هم وصل می‌کند. البته، قطر در اشکال هندسی منحنی‌شکل که چندضلعی نیستند مانند دایره و بیضی هم وجود دارد، اما به‌گونه‌ای دیگر تعریف می‌شود. در بخش‌های بعدی، بیشتر دراین‌باره صحبت خواهیم کرد.

قطر اشکال هندسی دوبعدی

در این بخش، قطرهای هر یک از اشکال دوبعدی شناخته‌شده را با هم بررسی می‌کنیم.

قطر دایره

قطر یک دایره، پاره‌خطی است که از مرکز آن می‌گذرد و دو نقطه از دایره را که روی محیط و مقابل هم قرار دارند به هم متصل می‌کند. ازآنجا که محیط یک دایره از بی‌نهایت نقطه تشکیل شده است، می‌توان گفت یک دایره بی‌نهایت قطر دارد.

اندازه قطر یک دایره دو برابر شعاع آن است. بنابراین، با استفاده از قطر می‌توان مساحت دایره و محیط دایره را محاسبه کرد. همچنین، اگر مقدار محیط یا مساحت یک دایره را داشته باشیم، به‌راحتی می‌توانیم طول قطر یک دایره را تعیین کنیم. فرمول تعیین قطر دایره برحسب شعاع، محیط و مساحت دایره به‌صورت زیر است:

• فرمول محاسبه قطر با شعاع:

• فرمول محاسبه قطر برحسب محیط دایره:

۳/۱۴ ÷  محیط دایره = قطر

فرمول محاسبه قطر برحسب مساحت دایره:

قطر بیضی

قطر بیضی پاره‌خطی است که نقاط مقابل روی محیط بیضی را به هم وصل می‌کند. یک بیضی می‌تواند بی‌نهایت قطر داشته باشد. دو تا از قطرهای بیضی که در محاسبه محیط و مساحت این شکل هندسی مورد لستفاده قرار می‌گیرند، قطر بزرگ و کوچک نام دارند.

قطر مثلث

مثلث یک شکل هندسی دوبعدی با سه ضلع و سه رأس است. در این شکل هندسی، هیچ دو رأس غیرمجاوری وجود ندارد. به همین دلیل، نمی‌توان برای آن قطر رسم کرد. بنابراین، مثلث قطر ندارد.

قطر مربع

مربع یک چهارضلعی با چهار ضلع برابر و چهار رأس ۹۰ درجه است که ۲ قطر دارد. قطرهای مربع با هم برابرند و علاوه‌بر اینکه همدیگر را نصف می‌کنند بر یکدیگر عمود هم هستند. این یعنی اینکه قطرهای مربع عمودمنصف یکدیگرند.

قطرها زاویه‌های قائمه مربع را به دو زاویه برابر ۴۵ درجه‌ای تقسیم می‌کنند. ازآنجا که مربع توسط هر کدام از قطرها به دو مثلث قائم‌الزاویه مساوی تقسیم می‌شود، می‌توانیم با داشتن مقدار ضلع مربع، اندازه قطر را با کمک قضیه فیثاغورس محاسبه کنیم. به‌طور کلی، اگر طول یک ضلع مربع برابر با a باشد، اندازه قطر آن از رابطه زیر محاسبه خواهد شد:

• a: ضلع مربع
• d: قطر مربع

با توجه به اینکه قطر و ضلع مربع با هم رابطه مستقیمی دارند، می‌توانیم با داشتن مقدار قطر مربع، محیط و مساحت آن را حساب کنیم.

مثال: اندازه قطر مربعی به‌طول ۷ سانتی‌متر را به‌دست آورید.جواب: با توجه به فرمول قطر مربع داریم:

$$d=\sqrt{۲}a$$

قطر مستطیل

مستطیل یکی دیگر از چهارضلعی‌هاست که دارای چهار زاویه ۹۰ درجه است و اضلاع مقابل آن دوبه‌دو با هم مساوی هستند. مستطیل ۲ قطر برابر دارد که همدیگر را نصف می‌کنند، اما بر هم عمود نیستند.

هر کدام از قطرها مستطیل را به دو مثلث قائم‌الزاویه یکسان تقسیم می‌کنند. ازاین‌رو، می‌توان طول قطر مستطیل را با استفاده از قضیه فیثاغورس تعیین کرد.

همان‌طور که می‌بینید، اندازه قطر مستطیل را می‌توانیم با استفاده از مقدار طول و عرض آن به‌دست آوریم. با توجه به رابطه‌ای که این سه پارامتر با هم دارند، می‌توان گفت با داشتن قطر و یکی از دو پارامتر طول یا عرض، محیط و مساحت مستطیل قابل محاسبه است.

قطر لوزی

لوزی یک چهارضلعی با چهار ضلع برابر است که در آن زاویه‌های مقابل با هم برابرند. لوزی ۲ قطر نابرابر دارد که بر هم عمود هستند و با نام قطر بزرگ و قطر کوچک شناخته می‌شوند. قطرها زاویه‌های لوزی را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کنند. بنابراین، می‌توان گفت قطرهای لوزی نیمسازهای زوایای آن نیز هستند.

ازآنجا که قطرهای لوزی بر هم عمودند، می‌توان با استفاده از قضیه فبثاغورس، فرمول مقدار ضلع لوزی را برحسب قطرهای آن به‌صورت زیر تعیین کرد:

 پس علاوه‌بر مساحت لوزی می‌توانیم مقدار محیط لوزی را نیز که از فرمول «ضلع لوزی × ۴» به‌دست می‌آید، با کمک قطرها محاسبه کنیم.

قطر متوازی الاضلاع

متوازی‌الاضلاع چهار رأس و چهار ضلع دارد. در متوازی‌الاضلاع، اضلاع روبه‌رو و زوایای مقابل با هم برابرند. این چهارضلعی دارای ۲ قطر است که همدیگر را نصف می‌کنند

اندازه قطرهای متوازی‌الاضلاع را می‌توانیم با داشتن دو ضلع و زوایای آن به‌دست آوریم. گاهی اوقات می‌توان برای محاسبه محیط و مساحت متوازی الاضلاع از قطرها نیز استفاده کرد.

قطر ذوزنقه

ذوزنقه یکی دیگر از انواع چهارضلعی است که دو ضلع موازی و دو ضلع غیرموازی دارد و مانند سایر چهارضلعی‌ها دارای ۲ قطر است. در ذوزنقه متساوی‌الساقین که دو ساق آن با هم برابر است، طول قطرها یکسان است.

فرمول تعداد قطر در یک چندضلعی

تعداد قطرهای یک چندضلعی را می‌توان از فرمول زیر به‌دست آورد:

۲÷  ((۳ – تعداد اضلاع) × تعداد اضلاع) = تعداد قطر

این فرمول نشان می‌دهد که برای محاسبه تعداد قطرهای یک چندضلعی کافی‌ست تعداد اضلاع آن را بدانیم. برای مثال، در یک پنج‌ضلعی تعداد اضلاع (n) برابر با ۵ است و ازاین‌رو، تعداد قطرهای آن به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$d_n=\frac{n(n-<!--\; -\; -->۳)}{۲}=\frac{۵(۵-<!--\; -\; -->۳)}{۲}=\frac{۵}{۲}=۵$$

اگر تعداد اضلاع را ۳ قرار دهیم، تعداد قطرها صفر می‌شود، یعنی همان چیزی که قبلاً هم درمورد مثلث گفتیم. همچنین، اگر تعداد ضلع‌ها یعنی n را ۴ قرار دهیم، تعداد قطرها برابر با ۲ خواهد بود. بنابراین، در تمام چهارضلعی‌ها ۲ قطر خواهیم داشت. 

در جدول زیر، تعداد قطرهای چندضلعی‌های گوناگون آورده شده است.

قطر اشکال هندسی سه بعدی

اشکال هندسی سه‌بعدی مانند اشکال دوبعدی می‌توانند قطر داشته باشند. درادامه، قطرهای چند نمونه از اشکال سه‌بعدی را  بررسی می‌کنیم.

قطر مکعب

یک مکعب مربع را که ۶ وجه مربعی به ضلع a دارد در نظر بگیرید. در هر کدام وجه‌ها می‌توان مانند شکل زیر دو قطر رسم کرد که طول آن‌ها برابر با 2a√ است. این مکعب علاوه‌بر قطر وجه‌ها، قطرهای دیگری هم دارد که در داخل آن قرار می‌گیرند و یک رأس را به رأس غیرمجاور خود در وجه دیگر متصل می‌کنند. طول این قطرها برابر است با 3a√.

قطر مکعب مستطیل

مکعب مستطیل دارای ۶ وجه مستطیلی است و مانند مکعب مربع دو نوع قطر دارد: قطر روی وجه و قطر درون مکعب مستطیل. ازآنجا که مقدار طول، عرض و ارتفاع مکعب مستطیل متفاوت است، طول قطر هر کدام از وجه‌ها را می‌توان با کمک قضیه فیثاغورس محاسبه کرد. اندازه قطر داخلی مکعب مستطیل را هم می‌توان از فرمول زیر به‌دست آورد:

قطر کره زمین

حداکثر فاصله مستقیم از یک سمت کره تا سمت دیگر آن را قطر کره می‌گویند. یک کره بی‌نهایت قطر دارد که در محاسبات مربوط به محیط و مساحت کره مورد استفاده قرار می‌گیرد. کره زمین نیز که تقریباً کروی‌شکل است، دارای قطری با اندازه مشخص است. قطر کره زمین تقریباً برابر است با ۱۲۷۵۶ کیلومتر.

سخن پایانی

قطر یکی از مشخصه‌های اشکال هندسی است که در محاسبه محیط و مساحت آن‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. به‌طور کلی، قطر پاره‌خطی است که رأس‌های غیرمجاور را در یک چندضلعی یا چندوجهی به هم متصل می‌کند. در اشکال دوبعدی بسته به نوع شکل، فرمول محاسبه اندازه قطر می‌تواند متفاوت باشد، اما تعداد قطر در یک چندضلعی را می‌توان تنها از فرمول nn-32 محاسبه کرد. از میان چندضلعی‌ها، مثلث تنها شکلی است که قطر ندارد. در اشکال سه‌بعدی چندوجهی مانند مکعب مربع و مستطیل نیز قطر وجود دارد، اما این نوع اشکال دو نوع قطر دارند: قطر روی وجه‌ها و قطر داخل مکعب که رأس‌های غیرمجاور دو وجه را به هم وصل می‌کند.

سؤالات متداول

1. قطر چیست؟
   قطر پاره‌خطی است که دو رأس غیرمجاور یک چندضلعی یا چندوجهی را به هم وصل می‌کند.
2. تعداد قطر در یک چندضلعی چگونه به‌دست می‌آید؟
   تعداد قطر در یک چندضلعی با n ضلع، از رابطه nn-32 به‌دست می‌آید.
3. مثلث چند قطر دارد؟
   مثلث هیچ قطری ندارد.
4. چهارضلعی‌ها چند قطر دارند؟
   چهارضلعی‌ها ۲ قطر دارند.
5. دایره چند قطر دارد؟
   دایره بی‌نهایت قطر دارد.
6. قطر کره زمین چقدر است؟
   قطر کره زمین تقریباْ ۱۲۷۵۶ کیلومتر است.