آیا مفهوم محیط و مساحت را می‌توان برای استوانه که یک شکل هندسی سه‌بعدی و دارای حجم است، تعریف کرد؟ اگر استوانه نیز دارای محیط و مساحت است، فرمول آن چیست؟ در این مقاله و در ادامه مباحث محیط و مساحت اشکال هندسی، به این پرسش‌ها پاسخ خواهیم داد و روش محاسبه محیط و مساحت استوانه را بررسی خواهیم کرد.
مساحت جانبی استوانه
استوانه یکی از انواع اشکال هندسی سه‌بعدی است که از دو قاعده مسطح دایره‌ای و یک وجه منحنی‌شکل به‌نام سطح جانبی ساخته شده است. به تصویر زیر نگاه کنید. این تصویر، شکل گسترده یک استوانه را نشان می‌دهد که شامل دو دایره و یک مستطیل است. دایره‌ها، قاعده‌های استوانه و شکل مستطیل نیز سطح جانبی آن است.
ازآنجا که وقتی مستطیل تا میشود، دورتادور قاعده را پوشش می‌دهد، می‌توان گفت طول مستطیل همان محیط قاعده دایره‌ای است و مقدار آن از فرمول محیط دایره بهدست میآید. ازطرفی، عرض مستطیل هم برابر با ارتفاع استوانه یعنی h است. با توجه به این توضیحات، می‌توان نتیجه گرفت که مساحت جانبی استوانه که برابر با اندازه سطح جانبی آن است، با استفاده از فرمول مساحت مستطیل یعنی طول ضربدر عرض تعیین میشود. پس خواهیم داشت:
ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی استوانه
پیشنهاد مطالعه: ارتفاع چیست؟
مساحت جانبی استوانه به صورت جبری
با توجه به اینکه فرمول محیط قاعده استوانه یعنی همان فرمول محیط دایره، برابر با 2πr است، فرمول مساحت جانبی استوانه را به‌صورت جبری به‌شکل زیر بازنویسی می‌کنیم:
A = ۲πrh
- A: مساحت جانبی استوانه
- r: شعاع قاعده استوانه
- h: ارتفاع استوانه
- π: عدد پی (۳/۱۴)
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیه‌های مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر میشود!
مساحت کل استوانه
مساحت کل یک استوانه برابر با مجموع مساحت وجه‌های آن است. اگر وجه‌های یک استوانه را باز کنیم، می‌بینیم که سطح آن از دو وجه دایره‌ای و یک وجه جانبی مستطیلی تشکیل شده است. پس مساحت کل استوانه از جمع مساحت دو قاعده دایره‌ای و مساحت جانبی که در بخش قبل آن را بهدست آوردیم، محاسبه میشود.
فرمول مساحت استوانه
همان‌طور که گفتیم، مساحت کل استوانه برابر با مجموع مساحت قاعدهها و مساحت جانبی آن است. بنابراین، فرمول آن را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:
مساحت جانبی + مساحت قاعدهها = مساحت کل استوانه
فرمول مساحت استوانه به صورت جبری
ازآنجا که مساحت قاعده‌های دایره‌ای‌شکل استوانه از فرمول مساحت دایره یعنی r به‌توان ۲ و مساحت جانبی آن از فرمول ۲πrh بهدست میآید، فرمول مساحت استوانه به‌صورت زیر خواهد بود:
( S=πr۲ + πr۲ + ۲πrh = ۲πr۲ + ۲πrh= ۲πr (r + h
( S = ۲πr ( r + h
- S: مساحت کل استوانه
- r: شعاع قاعده استوانه
- h: ارتفاع استوانه
- π: عدد پی (۳/۱۴)
فرمول مساحت استوانه مایل
فرمول مساحت کل یک استوانه مایل با شعاع r و ارتفاع h، همان فرمول مساحت استوانه قائم است.
مساحت استوانه توپر
مساحت استوانه توپر برابر با مساحت کل سطح آن است. اگر استوانه توپر به‌شکل مایل یا قائم باشد، از همان فرمولی که در بخش قبل معرفی کردیم، یعنی (۲πr (r+h مساحت جانبی و مساحت کل آن را محاسبه می‌کنیم.
مساحت استوانه توخالی
استوانه توخالی شامل دو استوانه است که یکی از آن‌ها درون دیگری قرار دارد و فضای درون آن خالی است. در ادامه، فرمول مساحت جانبی و مساحت کل این استوانه را معرفی خواهیم کرد.
فرمول مساحت جانبی استوانه توخالی
استوانه توخالی دارای دو سطح جانبی داخلی و خارجی با فاصله‌های متفاوت از مرکز استوانه است. اگر شعاع داخلی استوانهای توخالی با ارتفاع h برابر با r و شعاع خارجی آن R باشد، فرمول مساحت جانبی آن به‌صورت زیر خواهد بود:
ارتفاع × (محیط قاعده استوانه داخلی + محیط قاعده استوانه خارجی) = مساحت جانبی استوانه توخالی
A = (۲πR + ۲πr) h = ۲π (R + r) h
- A: مساحت جانبی استوانه توخالی
- r: شعاع داخلی استوانه توخالی
- R: شعاع خارجی استوانه توخالی
- h: ارتفاع استوانه توخالی
- π: عدد پی (۳/۱۴)
فرمول مساحت کل استوانه توخالی
مساحت کل استوانه توخالی از جمع مساحت سطح جانبی داخلی و خارجی و مساحت قاعده‌های آن بهدست میآید. فرمول مساحت قاعده استوانه یا به‌عبارتی مساحت سطح مقطع استوانه توخالی برابر است با:
مساحت دایره کوچک‌تر – مساحت دایره بزرگ‌تر = مساحت قاعده استوانه توخالی
(A = πR۲– πr۲= π (R۲ – r۲
با توجه به فرمول مساحت جانبی و مساحت قاعده استوانه توخالی می‌توان نتیجه گرفت که مساحت کل این استوانه از رابطه زیر محاسبه میشود:
مساحت جانبی + مساحت قاعدهها = مساحت کل استوانه توخالی
S=۲×π R۲-r۲+۲π ( R + r ) h
محیط استوانه
برای محاسبه محیط استوانه، حجم استوانه را در نظر نمی‌گیریم، بلکه استوانه را در صفحه‌ای دوبعدی تصور می‌کنیم و سپس محیط آن را بهدست می‌آوریم. بسته به اینکه شکل استوانه را از قاعده آن مشاهده می‌کنیم یا از روبه‌رو و سطح جانبی آن، می‌توان فرمول محیط استوانه را بهدست آورد. اگر مانند تصویر زیر، شکل استوانه را از روبه‌رو ببینیم، مستطیلی خواهیم دید که طول آن برابر با ارتفاع استوانه و عرض آن برابر با قطر قاعده است. در چنین حالتی، محیط استوانه از فرمول محیط مستطیل بهدست میآید:
P = ۲d +۲h
- P: محیط استوانه
- d: قطر قاعده استوانه (برای آشنایی با قطر، مقاله قطر چیست را مطالعه کنید)
- h: ارتفاع استوانه
اگر استوانه را از وجه‌های مسطح یعنی قاعدهها مشاهده کنیم، دایره‌ای به شعاع r خواهیم دید که محیط آن از فرمول محیط دایره به‌صورت زیر محاسبه میشود:
- P: محیط استوانه
- r: شعاع قاعده استوانه
نمونه سوال مساحت استوانه
در این بخش، به‌منظور درک عمیق‌تر نحوه محاسبه مساحت استوانه به حل چند نمونه سؤال می‌پردازیم.
سؤال ۱: شعاع و ارتفاع یک استوانه به‌ترتیب ۳ و ۷ سانتی‌متر است. مساحت جانبی و مساحت کل این استوانه را بهدست آورید.
جواب: مقادیر داده‌شده را در فرمول‌هایی که در بخش‌های پیشین معرفی کردیم، جای‌گذاری می‌کنیم. ابتدا مساحت جانبی و سپس مساحت کل را بهدست می‌آوریم. بنابراین، خواهیم داشت:
A = ۲πrh = ۲×۳.۱۴×۳×۷ = ۱۳۱.۸۸ cm۲
S = ۲πr۲+۲πrh = ۲×۳.۱۴×۳۲+۱۳۱.۸۸ = ۱۸۸.۴ cm۲
سؤال ۲: مساحت جانبی شمع استوانهای زیر را محاسبه کنید.
جواب: در شکل بالا قطر شمع برابر با ۵ سانتی‌متر و درنتیجه شعاع آن ۲/۵ سانتی‌متر است. بنابراین با توجه به فرمول مساحت جانبی استوانه خواهیم داشت:
A = ۲πrh = ۲×۳.۱۴×۲.۵×۸ = ۱۲۵.۶ cm۲
سؤال ۳: مساحت کل استوانه توخالی در تصویر زیر را محاسبه کنید.
جواب: ابتدا با استفاده از فرمول مساحت جانبی استوانه توخالی، مساحت جانبی استوانه را محاسبه می‌کنیم. داریم:
A= ۲πR + rh = ۲ × ۳.۱۴ ×۳ + ۲ × ۵ = ۲ × ۳.۱۴ × ۲۵ = ۱۵۷cm۲
اکنون که مساحت جانبی را بهدست آوردیم، مقدار آن را در فرمول مساحت کل استوانه توخالی قرار می‌دهیم. خواهیم داشت:
S = ۲π ( R۲ – r۲) +۲π ( R + r) h
S = ۲ × ۳.۱۴ × (۳۲-۲۲) + ۱۵۷ = ۲×۳.۱۴×۵ + ۱۵۷ = ۳۱.۴ + ۱۵۷ = ۱۸۸.۴ cm۲
سؤال ۴: مساحت جانبی یک استوانه مایل ۱۵۷۰ سانتی‌متر مربع است. اگر شعاع این استوانه ۱۰ سانتی‌متر باشد، مساحت کل استوانه چند سانتی‌متر مربع خواهد بود؟
جواب: همان‌طور که گفتیم، فرمول مساحت استوانه مایل همان فرمول مساحت استوانه قائم است. در این سؤال ارتفاع استوانه نامشخص است. پس باید ابتدا با استفاده از مساحت جانبی و فرمول آن، مقدار ارتفاع را تعیین کنیم.
A=۲πrh
۱۵۷۰ = ۲ × ۳.۱۴ × ۱۰ × h
۱۵۷۰=۶۲.۸ × h
h=۲۵ cm
حالا که مقدار ارتفاع بهدست آمد، می‌توانیم مساحت کل استوانه را محاسبه کنیم.
(S = ۲πr (r + h
S = ۲ × ۳.۱۴ × ۱۰ × ۱۰ + ۲۵ = ۶۲.۸ × ۳۵ = ۲۱۹۸ cm۲
سخن پایانی
در این مقاله، به آموزش مساحت استوانه و محیط آن پرداختیم و گفتیم که مساحت استوانه از مجموع مساحت قاعدهها و سطح جانبی آن بهدست میآید. قاعده‌های استوانه به‌شکل دایره هستند و مساحت آن‌ها از فرمول مساحت دایره محاسبه میشود. مساحت سطح جانبی استوانه نیز که همان وجه منحنی‌شکل آن است، از فرمول مساحت مستطیل تعیین میشود. استوانه یک شکل سه‌بعدی است و برای محاسبه محیط، باید آن را در یک صفحه دوبعدی در نظر گرفت.
سؤالات متداول
- مساحت استوانه چیست؟
مساحت مستطیل از جمع مساحت قاعدهها و مساحت جانبی آن بهدست میآید. - فرمول مساحت استوانه چیست؟
مساحت استوانهای با شعاع r و ارتفاع h از فرمول( ۲πr (r + h محاسبه میشود. - مساحت استوانه توخالی چیست؟
مساحت استوانه توخالی برابر است با مجموع مساحت سطح جانبی داخلی و خارجی و مساحت قاعدهها. - فرمول مساحت استوانه توخالی چیست؟
فرمول مساحت یک استوانه توخالی با شعاع داخلی r و شعاع خارجی R و ارتفاع h برابر با ۲π (R۲– r۲ ) + ۲π (R + r) h است. - محیط استوانه چگونه بهدست میآید؟
برای محاسبه محیط استوانه، باید آن را در یک صفحه دوبعدی تصور کنیم.
