اگر به گل‌ها و طرح‌های روی فرش‌ها دقت کرده باشید، می‌بینید که هر کدام از آن‌ها در نیمه دیگر فرش هم تکرار شده‌اند، به‌گونه‌ای که به‌نظر می‌رسد نسبت به مرکز فرش نیم‌دور چرخیده‌اند. درواقع، فرش یکی از نمونه‌های رایج تقارن مرکزی در دنیای اطراف ماست. در طبیعت هم نمونه‌های زیادی از این نوع تقارن مشاهده می‌شود، مانند برگ‌ها، گل‌های رنگارنگ و نقش روی بدن حیوانات. برای اینکه بتوانید تفاوت تقارن مرکزی و مرکز تقارن را در اشکال هندسی و اجسام پیرامون خود به‌راحتی تشخیص دهید، پیشنهاد می‌کنیم این مقاله را دنبال کنید.
تقارن چیست؟
اگر بتوان یک شکل را به دو نیمه یکسان و مشابه تقسیم کرد، طوری که یک نیمه قرینه و بازتاب نیمه دیگر باشد یعنی اگر از یک خط فرضی آن را تا کنیم، دو قسمت دقیقاً روی هم بیفتند، آن شکل را دارای تقارن یا متقارن می‌نامند، در غیر این‌صورت، به آن شکل نامتقارن می‌گویند. به‌عنوان مثال، در تصویر زیر، شکل سمت راست متقارن است چون می‌توان از وسط (خط فرضی) آن را به دو قسمت مشابه و مساوی تقسیم کرد، اما در شکل سمت چپ این کار امکان‌پذیر نیست و نیمه راست و چپ شکل هیچ شباهتی با هم ندارند و مساوی نیستند. درنتیجه می‌گوییم شکل تقارن ندارد یا به‌عبارت دیگر، نامتقارن است.
توضیحاتی که تا اینجا ارائه کردیم، صرفاً جهت آشنایی شما با مفهوم تقارن است. اما این مفهوم هندسی فقط به تقارن محوری اشکال مختلف محدود نمی‌شود، بلکه شامل تقارن‌های دیگری مانند تقارن مرکزی یا تقارن نسبت به یک نقطه نیز هست. درادامه شما را با این نوع تقارن آشنا خواهیم کرد.
تقارن مرکزی چیست؟
یکی از انواع تقارن است و به این معناست که اگر یک شکل را به‌اندازه نیم‌دور (۱۸۰ درجه) حول نقطه‌ای (مرکز) بچرخانیم، طوری که پس از چرخش، شکل روی خودش منطبق شود، می‌گوییم شکل تقارن مرکزی یا تقارن نقطه‌ای دارد. در تصویر زیر، تقارن مرکزی یک مثلث حول نقطه ب نشان داده شده است.
چگونه تقارن مرکزی یک شکل را تشخیص دهیم؟
برای اینکه بررسی کنیم آیا یک شکل تقارن مرکزی دارد یا خیر، دو راه وجود دارد:
راه‌حل اول: شکل را به‌اندازه ۱۸۰ درجه بچرخانید. اگر شکل پس از چرخش مشابه و قرینه شکل اصلی بود و روی خودش منطبق شد، یعنی شکل موردنظر تقارن مرکزی دارد.
راه‌حل دوم: کافی‌ست نقاط مختلفی از شکل را درنظر بگیرید و از آن نقاط تا مرکز یک خط رسم کنید سپس، خط را به همان اندازه تا مرکز امتداد دهید. اگر همان نقاط از شکل در طرف مقابل با همان فاصله از مرکز وجود داشت، شکل تقارن مرکزی دارد. مثلاً در شکل زیر، فاصله هر دو نقطه هم‌رنگ تا مرکز با هم برابر است. این نشان می‌دهد که شکل زیر تقارن مرکزی دارد.
مرکز تقارن یعنی چه؟
نقطه‌ای که یک شکل نسبت به آن تقارن مرکزی دارد را مرکز تقارن می‌گویند. به‌عبارت دیگر، مرکز تقارن همان نقطه‌ای است که اگر شکل را حول آن به‌اندازه نیم‌دور بچرخانیم، به حالت اولیه‌اش برمی‌گردد و روی خودش منطبق می‌شود.
مثال هایی از تقارن مرکزی
در این بخش، به بررسی تقارن مرکزی چند شکل مختلف می‌پردازیم.
مثال ۱: با ذکر دلیل بررسی کنید که آیا شکل زیر تقارن مرکزی دارد یا خیر.
جواب: برای اینکه بفهمیم شکل بالا تقارن مرکزی دارد یا نه، از چند نقطه مختلف تا مرکز یک خط رسم می‌کنیم و به‌همان اندازه تا نقطه مشابه در شکل دیگر امتداد می‌دهیم. همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، فاصله خطوط رسم‌شده تا مرکز برای دو نقطه مشابه در شکل یکسان است. بنابراین، شکل بالا تقارن مرکزی دارد.
مثال ۲: تقارن مرکزی شکل زیر را بررسی کنید.
جواب: اگر از هر کدام از رأس‌های ستاره تا مرکز یک خط رسم کنیم و آن را به‌همان اندازه امتداد دهیم به نقطه مشابه در شکل روبه‌رو می‌رسیم. پس طبق تصویر زیر، شکل موردنظر تقارن مرکزی دارد.
مثال ۳: آیا شکل زیر تقارن مرکزی دارد؟
جواب: همان‌طور که در تصویر زیر می‌بینید، اگر شکل را نیم‌دور بچرخانیم و از دو نقطه مشابه تا مرکز یک خط رسم کنیم، فاصله نقاط از مرکز با هم برابر نیست. بنابراین، این شکل نسبت به مرکز متقارن نیست.
مثال ۴: آیا شکل زیر دارای تقارن مرکزی است؟ دلیل بیاورید.
جواب: خیر. چون فاصله نقاط مشابه در دو شکل تا مرکز یکسان نیست. علاوه‌براین، اگر شکل را ۱۸۰ درجه بچرخانید، متوجه خواهید شد که رنگ‌های دو شکل قرینه و بازتاب یکدیگر نیستند.
مثال ۵: تقارن مرکزی حروف انگلیسی N، O و Z را مشخص کنید.
جواب: ابتدا مرکز این حروف را مشخص کرده. سپس، نقاط قرینه و مشابه را به مرکز وصل می‌کنیم. همان‌طور که در تصویر زیر نشان داده شده است، در هر سه حروف فاصله خطوط رسم‌شده تا مرکز برای دو نقطه مشابه یکسان است. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که این حروف تقارن مرکزی و درنتیجه مرکز تقارن دارند. به‌عبارت دیگر، اگر هر یک از حروف را حول نقطه o (مرکز تقارن) به‌اندازه ۱۸۰ درجه بچرخانیم، روی خودشان منطبق می‌شوند.
خط تقارن اشکال هندسی
در این قسمت، تقارن مرکزی اشکال هندسی را بررسی کرده و مشخص می‌کنیم که هر کدام خط تقارن مرکزی دارند یا خیر. دقت داشته باشید، وقتی که می‌گوییم یک شکل هندسی مرکز تقارن دارد، منظور این است که شکل پس از چرخیدن به‌اندازه ۱۸۰ درجه حول مرکزش، روی خودش منطبق می‌شود.
مرکز تقارن دایره
مرکز تقارن دایره، همان مرکز دایره یا به‌عبارتی، محل برخورد قطرهای آن است.
مرکز تقارن بیضی
محل برخورد قطرهای بزرگ و کوچک بیضی مرکز تقارن آن است. اگر بیضی را نسبت به مرکزش ۱۸۰ درجه بچرخانیم شکل روی خودش منطبق می‌شود.
مرکز تقارن متوازی الاضلاع
محل برخورد قطرهای متوازی‌الاضلاع مرکز تقارن این شکل هندسی است.
مرکز تقارن مثلث
هیچ‌کدام از انواع مثلث مرکز تقارن ندارند، چون پس از چرخش۱۸۰ درجه روی خودشان منطبق نمی‌شوند و به حالت اولیه برنمی‌گردند. در تصویر زیر، به‌عنوان نمونه تقارن مرکزی مثلث متساوی‌الاضلاع را بررسی کرده‌ایم.
مرکز تقارن ستاره
ستاره‌هایی که تعداد رأس آن‌ها فرد است، دارای مرکز تقارن نیستند، اما آن‌هایی که تعداد رأسشان زوج است، تقارن مرکزی و درنتیجه مرکز تقارن دارند. برای مثال، ستاره پنج‌رأس پس از دوران به حالت اولیه برنمی‌گردد و تقارن مرکزی ندارد، اما ستاره چهاررأس پس از چرخش، روی خودش منطبق می‌شود و نسبت به مرکزش متقارن است.
مرکز تقارن ذوزنقه
هیچ‌کدام از انواع ذوزنقه مرکز تقارن ندارند.
مرکز تقارن مربع
محل برخورد قطرهای مربع مرکز تقارن است.
مرکز تقارن لوزی
محل برخورد قطرهای بزرگ و کوچک لوزی مرکز تقارن آن است.
مرکز تقارن مستطیل
محل برخورد قطرهای مستطیل، همان مرکز تقارن است.
مرکز تقارن چندضلعی منتظم
اگر تعداد اضلاع چندضلعی منتظم زوج باشد، چندضلعی مرکز تقارن دارد، اما اگر تعداد اضلاع آن فرد باشد، چندضلعی پس از دوران به حالت اولیه برنمی‌گردد و درنتیجه تقارن مرکزی و مرکز تقارن ندارد.
سخن پایانی
اگر یک شکل را نیم‌دور (۱۸۰ درجه) حول نقطه‌ای دوران دهیم، طوری که پس از چرخش روی شکل اولیه‌اش منطبق شود، آن شکل دارای تقارن مرکزی یا نقطه‌ای خواهد بود.. نقطه‌ای که شکل حول آن می‌چرخد و نسبت به آن تقارن مرکزی دارد را مرکز تقارن می‌گویند. برای اینکه مشخص کنیم یک شکل تقارن مرکزی دارد یا نه، دو راه وجود دارد:
۱) اینکه شکل را نیم‌دور دوران دهیم، اگر شکل روی خودش منطبق شد، پس شکل موردنظر تقارن مرکزی دارد، در غیر این‌صورت شکل دارای تقارن مرکزی نیست.
۲) اینکه نقاط مشابه دو شکل را به مرکز وصل کنیم، اگر فاصله هر دو نقطه تا مرکز برابر بود و دو شکل قرینه هم بودند، شکل موردنظر تقارن مرکزی خواهد داشت. بسیاری از اشکال هندسی شناخته‌شده نیز دارای تقارن مرکزی و درنتیجه مرکز تقارن هستند، ازجمله دایره، بیضی، مربع، مستطیل، لوزی، متوازی‌الاضلاع و چندضلعی‌های منتظمی که تعداد اضلاعشان زوج است.
سؤالات متداول
- تقارن مرکزی چیست؟
اگر یک شکل را به‌اندازه نیم‌دور (۱۸۰ درجه) حول نقطه‌ای (مرکز) بچرخانیم، طوری که پس از چرخش، شکل روی خودش منطبق شود، می‌گوییم شکل تقارن مرکزی یا تقارن نقطه‌ای دارد. - چگونه تقارن مرکزی یک شکل را تشخیص دهیم؟
برای مشخص کردن تقارن مرکزی یک شکل دو روش وجود دارد:
۱) شکل را به‌اندازه ۱۸۰ درجه بچرخانیم. اگر شکل پس از چرخش مشابه و قرینه شکل اصلی بود و روی خودش منطبق شد یعنی شکل موردنظر تقارن مرکزی دارد.
۲) نقاط مختلفی از شکل را با رسم خط به مرکز وصل کنیم و به‌همان اندازه، خط را تا نقاط مشابه آن‌ها امتداد دهیم، اگر فاصله نقاط مشابه تا مرکز برابر باشد، شکل موردنظر دارای تقارن مرکزی است. - مرکز تقارن چیست؟
نقطه‌ای است که شکل پس از دوران ۱۸۰ درجه حول آن، به حاالت اولیه‌اش برمی‌گردد و روی خودش منطبق می‌شود. - تفاوت مرکز تقارن و تقارن مرکزی چیست؟
مرکز تقارن نقطه‌ای است که شکل پس از دوران ۱۸۰ درجه حول آن، به حاالت اولیه‌اش برمی‌گردد. تقارن نسبت به این نقطه را تقارن مرکزی می‌گویند. - کدام شکل مرکز تقارن ندارد؟
شکل‌هایی که پس از دوران ۱۸۰ درجه روی خودشان منطبق نمی‌شوند، مرکز تقارن ندارند، ازجمله مثلث، ذوزنقه، چندضلعی‌های منتظم با تعداد ضلع فرد و ستاره‌هایی که تعداد رأس آن‌ها فرد است. - چه شکل‌هایی مرکز تقارن دارند؟
شکل‌هایی که پس از دوران ۱۸۰ درجه روی خودشان منطبق می‌شوند، مرکز تقارن دارند، مانند دایره، بیضی، متوازی‌الاضلاع، مربع، مستطیل، لوزی، چندضلعی‌های منتظم با تعداد ضلع زوج و ستاره‌هایی که تعداد رأس زوج دارند.
