آموزش فرمول اتحاد در ریاضی به زبان ساده + جدول انواع اتحاد

در ریاضی پایه نهم و مقطع دبیرستان یکی از مبحث‌‌هایی که به دانش‌‌‌‌آموزان آموزش داده می‌‌شود، مبحث اتحادهاست. مبحث اتحاد ها در ریاضی اگرچه جذاب و شیرین است، اما برخی از دانش‌‌آموزان با آن ارتباط خوبی برقرار نمی‌‌کنند و یادگیری و به خاطر سپردن فرمول اتحاد ها را دشوار می‌‌دانند. اگر شما نیز از این دسته از دانش‌‌آموزان هستید یا حتی صرفا برای تثبیت مطالبی که خوانده‌‌اید اینجا آمده‌‌اید، نگران نباشید.

در این مطلب از مجموعه مطالب ریاضی مدارس سلام قرار است با آموزش اتحاد به زبان ساده به شما یاد بدهیم که فرمول اتحاد در ریاضی چیست و چگونه باید آن‌‌ها را حفظ کنیم، اتحادهای مهم و پرکاربرد کدام‌‌اند، چگونه اتحاد مناسب را تشخیص دهیم و در تجزیه کردن چگونه از آن‌‌ها استفاده کنیم. پس با ما همراه باشید تا همه اتحاد ها را به شما بیاموزیم.

اتحاد در ریاضی چیست؟ | تعریف اتحاد به زبان ساده

اتحاد یک رابطه برابری است که تساوی دو عبارت دارای یک یا چند متغیر را نشان می‌‌دهد. اتحادها به‌‌صورتی هستند که به‌‌ازای تمام مقادیر متغیرها همچنان تساوی در آن‌‌ها برقرار است و هر مقداری در متغیرهای آن، تساوی عبارت‌‌های دو طرف را نشان می‌‌دهد.

برای مثال، تساوی زیر را در نظر بگیرید:

a^۲-b^۲=(a-b)(a+b)

این تساوی شامل متغیرهای a و b است و به اتحاد مزدوج که در ادامه با آن آشنا خواهیم شد معروف است. اگر به‌‌ازای a و b به‌‌ترتیب ۴ و ۳ قرار دهیم، خواهیم داشت:

۴^۲-۳^۲=(۴-۳)(۴+۳)
۱۶-۹=(۱)(۷)
۷=۷

همان‌‌طور که می‌‌بینید، تساوی بالا به‌‌ازای مقادیر داده‌‌شده برقرار است. اگر به‌‌جای a و b هر مقدار دیگری مانند اعداد اعشاری یا حتی رادیکالی و غیره هم قرار دهیم، خواهیم دید که مقدار هر دو طرف با هم برابر می‌‌شود.

تفاوت اتحاد با معادله چیست؟

معادله و اتحاد هر دو یک تساوی هستند؛ با این تفاوت که در معادله تنها به‌‌ازای برخی از مقادیر متغیر یا متغیرها، طرفین با هم برابرند اما در اتحاد به‌‌ازای تمام مقادیر متغیرها دو طرف با هم مساوی هستند.

یک مثال می‌‌زنیم تا بهتر متوجه این موضوع شوید. تساوی زیر را نگاه کنید:

۳x-۵=۱

این تساوی معادله‌‌ای را نشان می‌‌دهد که تنها متغیر یا به‌‌عبارتی تنها مجهول آن x است و به‌‌راحتی می‌‌توان مقدار آن را به‌‌صورت زیر به دست آورد:

پس معادله بالا تنها به‌‌ازای مقدارx=۲  برقرار است. حالا رابطه زیر را در نظر بگیرید:

x^۲-۲^۲=(x-۲)(x+۲)

این تساوی همان اتحاد مزدوج است که قبلا هم به آن اشاره کردیم. در این تساوی به‌‌ازای x هر مقداری که قرار دهیم، طرفین با هم برابر می‌‌شوند.

بنابراین تساوی اول که به‌‌ازای مقداری مشخص برقرار بود، یک معادله است. اما تساوی دوم که هر مقداری از متغیر x در آن صدق می‌‌کند، یک اتحاد به شمار می‌‌رود.

برای دسترسی به تمام این روابط کلیدی، می‌توانید مقاله پرکاربردترین فرمول‌های ریاضی از پایه تا پیشرفته را مطالعه کنید. در ادامه، سراغ بررسی انواع فرمول‌های اتحاد می‌رویم.

مهم‌‌ترین فرمول اتحاد در ریاضی در یک جدول

در این بخش به‌‌منظور دسترسی و مرور راحت تعدادی از مهم‌‌ترین و پرکاربردترین اتحادها، اتحادهای مهم برای امتحان ریاضی را در قالب یک جدول برایتان آورده‌ایم. جدول اتحاد های جبری به شما کمک می‌‌کند تا تفاوت آن‌‌ها را به‌‌خوبی دریابید و بهتر به ذهن خود بسپارید.

جدول خلاصه اتحادهای پرکاربرد

در تصویر زیر، جدول خلاصه اتحاد های پرکاربرد را مشاهده می‌‌کنید.

جدول اتحادهای دو جمله‌‌ای

اتحاد دوجمله‌‌ای اتحادی است که عبارت سمت چپ آن تنها شامل مجموع یا تفاضل دو جمله است. در ادامه جدول اتحادهای جبری دوجمله‌‌ای آورده شده است.

جدول اتحادهای سه جمله‌‌ای

منظور از اتحاد سه‌‌جمله‌‌ای آن دسته از اتحادهایی است که طرف چپ آن‌‌ها تنها سه جمله را شامل می‌‌شود. تصویر زیر، مهم‌‌ترین فرمول‌‌های اتحاد های سه‌‌جمله‌‌ای را نشان می‌‌دهد.

انواع اتحاد ها در ریاضی

در ریاضی اتحادها انواع مختلفی دارند و شامل موارد زیر هستند:

• اتحاد جبری
• اتحاد مثلثاتی
• اتحاد لگاریتمی
• اتحاد نمایی

در ادامه این آموزش، در مورد هر یک از انواع اتحادها توضیح خواهیم داد.

اتحادهای جبری

منظور از اتحادهای جبری اتحادهایی هستند که رابطه میان عبارت‌‌های جبری را به ما نشان می‌‌دهند. ازجمله اتحادهای جبری می‌‌توان اتحاد مزدوج، اتحاد جمله مشترک، انواع اتحاد مربع و انواع اتحاد مکعب را نام برد که در جدول‌‌های بالا به آن‌‌ها اشاره شد.

اتحادهای مثلثاتی

اتحادهایی که نشان‌‌دهنده رابطه بین نسبت‌‌های مثلثاتی هستند، اتحادهای مثلثاتی نام دارند. برخی از مهم‌‌ترین و پرکاربردترین این نوع اتحادها شامل موارد زیر است:

اتحادهای لگاریتمی

اتحادهای لگاریتمی اتحادهایی هستند که قوانین مربوط به لگاریتم‌‌ها را بیان می‌‌کنند. تعدادی از مهم‌‌ترین اتحادهای لگاریتمی در ادامه آورده شده است:

اتحادهای نمایی

توابع نمایی عکس لگاریتم عمل می‌‌کنند و اتحادهای آن‌‌ها نشان‌‌دهنده روابط بین این توابع است. در ادامه می‌‌توانید برخی از اتحادهای توابع نمایی که در واقع قوانین این توابع را نشان می‌‌دهند مشاهده کنید.

آموزش اتحادهای جبری پرکاربرد با مثال

با توجه به اینکه اتحادهای جبری ازجمله مهم‌‌ترین اتحادها در ریاضی به حساب می‌‌آیند، این بخش را به آموزش اتحادهای پرکاربرد جبری و توضیح فرمول هر اتحاد با مثال اختصاص می‌‌دهیم. علاوه‌‌بر این، با حل نمونه سوال برای همه اتحادها شما را با کاربرد اتحادهای جبری آشنا می‌‌کنیم.

اتحاد مربع مجموع دو جمله‌‌ای

اتحاد مربع مجموع دو جمله‌‌ای که به اتحاد نوع اول نیز معروف است، اتحادی است که در آن مجموع دو جمله مانند a و b به توان ۲ برسد. با توجه به توضیح اتحاد می‌‌توان فرمول اتحاد مربع مجموع را به‌‌صورت زیر بیان کرد:

(a+b)^۲=a^۲+۲ab+b^۲

نمونه سوال اتحاد مربع مجموع دوجمله‌‌ای

مربع مجموع دو جمله ۵x و ۲yz را به دست آورید.

پاسخ: اگر جمله ۵x را a و جمله ۲yz را b در نظر بگیریم، می‌‌توانیم با کمک اتحاد مربع به‌‌راحتی مجموع آن‌‌ها را به توان دو برسانیم. بنابراین داریم:

اتحاد مربع تفاضل دو جمله‌‌ای

اتحاد مربع تفاضل دو جمله‌‌ای که با نام اتحاد نوع دوم نیز شناخته می‌‌شود، شبیه اتحاد نوع اول است، با این تفاوت که بین دو جمله a و b علامت منها قرار می‌‌گیرد. فرمول این اتحاد به‌‌صورت زیر است:

(a-b)^۲=a^۲-۲ab+b^۲

همان‌‌طور که می‌‌بینید، فرمول اتحاد مربع مجموع و تفاضل دوجمله‌‌ای تنها در یک علامت منفی در دو طرف تساوی با هم فرق دارند. اگر اتحاد نوع اول و دوم را به‌‌شکل زیر با هم جمع کنیم، می‌‌توانیم روابط اتحاد های مربع دوجمله‌‌ای را به دست آوریم. این رابطه در حل مسائل جبری به کارتان خواهد آمد.

(a+b)^۲+(a-b)^۲=۲a^۲+۲b^۲=۲(a^۲+b^۲)

نمونه سوال اتحاد مربع تفاضل دوجمله‌‌ای

سوال: مربع تفاضل x^۲ و ۲y^۲ را بسط دهید.

پاسخ: برای حل این اتحاد از بسط دوجمله‌‌ای استفاده می‌‌کنیم. بنابراین داریم:

(x^۲-۲y^۲ )^۲=(x^۲ )^۲-۲(x^۲ )(۲y^۲ )+(۲y^۲ )^۲

(x^۲-۲y^۲ )^۲=x^۴-۴x^۲ y^۲+۴y^۴

اتحاد مربع مجموع سه جمله‌‌ای

اتحاد مربع سه جمله‌‌ای اتحادی است که رابطه مجموع یا تفاضل سه جمله‌‌ای که به توان دو رسیده است را نشان می‌‌دهد. اگر علامت بین سه جمله مثبت باشد، آن را اتحاد مربع مجموع سه‌‌جمله‌‌ای می‌‌نامیم که فرمول آن به‌‌صورت زیر نوشته می‌‌شود:

(a+b+c)^۲=a^۲+b^۲+c^۲+۲ab+۲bc+۲ca

نمونه سوال اتحاد مربع مجموع سه‌‌جمله‌‌ای

سوال: اگر a+b+c=۵ و ab+bc+ca=۸ باشد، مقدار a^۲+b^۲+c^۲ چقدر خواهد بود؟

پاسخ: برای حل این سوال از فرمول اتحاد مربع مجموع سه‌‌جمله‌‌ای کمک می‌‌گیریم. کافی است مقادیر داده‌‌شده را در فرمول اتحاد جای‌‌گذاری کنیم تا مقدار عبارت خواسته‌‌شده به دست آید. در نتیجه خواهیم داشت:

(a+b+c)^۲=a^۲+b^۲+c^۲+۲(ab+bc+ca)

a^۲+b^۲+c^۲=(a+b+c)^۲-۲(ab+bc+ca)

a^۲+b^۲+c^۲=(۵)^۲-۲(۸)=۲۵-۱۶=۹

اتحاد مربع تفاضل سه جمله‌‌ای

اگر علامت بین سه جمله در اتحاد مربع سه‌‌جمله‌‌ای منفی باشد، اتحاد مربع تفاضل سه‌‌جمله‌‌ای را خواهیم داشت. در این حالت، فرمول اتحاد به‌‌شکل زیر خواهد بود:

(a-b-c)^۲=a^۲+b^۲+c^۲-۲ab+۲bc-۲ca

نمونه سوال اتحاد مربع تفاضل سه‌‌جمله‌‌ای

پاسخ: با قرار دادن مقادیر معلوم در فرمول اتحاد مربع تفاضل سه‌‌جمله‌‌ای خواهیم داشت:

(a-b-c)^۲=a^۲+b^۲+c^۲-۲(ab-bc-ca)

(a-b-c)^۲=۵۰-۲(۱۰)=۵۰-۲۰=۳۰

تا اینجا با انواع اتحادهای مربع به‌همراه مثال‌های متنوع و توضیحات کوتاه آشنا شدید. اگر می‌خواهید در این زمینه عمیق‌تر شوید، نکات تکمیلی را یاد بگیرید و تمرین‌های بیشتری حل کنید، پیشنهاد می‌کنیم مقاله اتحاد مربع چیست؟ را مطالعه کنید.

اتحاد مزدوج

اتحاد مزدوج یکی از اتحادهای مهم در ریاضی است که در حل مسائل جبری از آن بسیار استفاده می‌‌شود. این اتحاد تفاضل مربع (مجذور) دو جمله را نمایش می‌‌دهد و برای دو جمله a و b به‌‌صورت زیر تعریف می‌‌شود:

a^۲-b^۲=(a+b)(a-b)

فرمول اتحاد مزدوج نشان می‌‌دهد که تفاضل مربع دو جمله برابر است با حاصل‌‌ضرب مجموع دو جمله در تفاضل آن‌‌ها.

به‌‌دلیل شباهت اتحاد مزدوج و اتحاد مربع دوجمله‌‌ای، سوالی که در اینجا ممکن است پیش آید این است که فرق اتحاد مربع و مزدوج چیست. در اتحاد مربع دو جمله داریم که مجموع یا تفاضل‌‌شان به توان دو می‌‌رسد یعنی مجموع یا تفاضل دو جمله در خودش ضرب می‌‌شود، اما در اتحاد مزدوج اینگونه نیست و باید مجموع دو جمله را در تفاضل‌‌شان ضرب کنیم.

• اتحاد مزدوج: (a+b)(a-b)
• اتحاد مربع مجموع یا تفاضل دوجمله‌‌ای: (a+b)(a+b) یا (a-b)(a-b)

در ادامه درباره نحوه استفاده از فرمول اتحاد مزدوج با مثال توضیح خواهیم داد.

نمونه سوال اتحاد مزدوج

سوال: حاصل عبارت ^۲ ۷ – ۱۳^۲ را به دست آورید.

پاسخ: این عبارت تفاضل مربع دو عدد را نشان می‌‌دهد. پس برای یافتن پاسخ می‌‌توانیم از اتحاد مزدوج استفاده کنیم. خواهیم داشت:

۱۳^۲-۷^۲=(۱۳+۷)(۱۳-۷)=(۲۰)(۶)=۱۲۰

اتحاد جمله مشترک

اتحاد جمله مشترک مانند اتحاد مزدوج یکی از اتحادهای پرکاربرد در حل مسائل جبری به شمار می‌‌رود. این اتحاد همان‌‌طور که از نامش پیداست، اتحادی است که در آن یک جمله مشترک وجود دارد. اتحاد جمله مشترک رابطه دو عبارت دوجمله‌‌ای ضرب‌‌شده در هم را نشان می‌‌دهد که یکی از جملات در آن‌‌ها مشترک است. فرمول اتحاد جمله مشترک به‌‌صورت زیر نوشته می‌‌شود:

(x+a)(x+b)=x^۲+(a+b)x+ab

در اینجا جمله x در هر دو عبارت داخل پرانتز مشترک است.

نمونه سوال اتحاد جمله مشترک

سوال: حاصل عبارت (x+۱)(x-۴) را تعیین کنید.

پاسخ: می‌‌دانیم که عبارت بالا نشان‌‌دهنده یک اتحاد جمله مشترک است. بنابراین، برای به دست آوردن جواب کافی است آن را به‌‌شکل زیر بسط دهیم:

(x+۱)(x-۴)=x^۲+(۱-۴)x+(۱)(-۴)

(x+۱)(x-۴)=x^۲-۳x-۴

این مثال به خوبی نشان داد که چگونه می‌توان با کمک اتحاد جمله مشترک، عبارت‌های جبری را به‌سادگی بسط داد.

اگر می‌خواهید با نکات کلیدی، روش‌های کاربردی برای حل مسائل پیچیده‌تر و نمونه سوالات امتحانی بیشتری از این مبحث آشنا شوید، پیشنهاد می‌کنیم مقاله اتحاد جمله مشترک چیست؟ را مطالعه کنید.

اتحاد مکعب مجموع دو جمله‌‌ای

اتحاد مکعب مجموع دوجمله‌‌ای بیان‌‌کننده رابطه مجموع دو جمله به توان ۳ است. فرمول اتحاد مکعب مجموع دو جمله به‌‌صورت زیر نمایش داده می‌‌شود:

(a+b)^۳=a^۳+۳a^۲ b+۳ab^۲+b^۳

(a+b)^۳=a^۳+۳ab(a+b)+b^۳

نمونه سوال اتحاد مکعب مجموع دو‌‌جمله‌‌ای:

سوال: مقدار ^۳ ۲۳ را به دست آورید.

پاسخ: حاصل این عبارت را می‌‌توان از اتحاد مکعب مجموع دوجمله‌‌ای محاسبه کرد. این اتحاد به ما کمک می‌‌کند تا به‌‌راحتی حاصل عبارت‌‌هایی مانند این عبارت را به دست آوریم.

۲۳^۳=(۲۰+۳)^۳=۲۰^۳+۳(۲۰)(۳)(۲۰+۳)+۳^۳

۲۳^۳=(۲۰+۳)^۳=۸۰۰۰+۴۱۴۰+۲۷=۱۲۱۶۷

اتحاد مکعب تفاضل دو جمله‌‌ای

اتحاد مکعب تفاضل دوجمله‌‌ای مشابه اتحاد مکعب مجموع دوجمله‌‌ای است. تنها تفاوت آن‌‌ها در علامت بین دو جمله‌‌ای است که به توان سه می‌‌رسند. فرمول این اتحاد برابر است با:

(a-b)^۳=a^۳-۳a^۲ b+۳ab^۲-b^۳

(a-b)^۳=a^۳-۳ab(a-b)-b^۳

نمونه سوال اتحاد مکعب تفاضل دو‌‌جمله‌‌ای

سوال: عبارت ^۳ (۲x-۳y) را ساده کنید.

پاسخ: در اینجا تفاضل دو جمله داریم که به توان سه رسیده‌‌اند. پس تنها کاری که لازم است برای ساده‌‌سازی این عبارت انجام دهیم، بسط آن به کمک اتحاد مکعب تفاضل دوجمله‌‌ای است. داریم:

(۲x-۳y)^۳=(۲x)^۳-۳(۲x)^۲ (۳y)+۳(۲x) (۳y)^۲-(۳y)^۳

(۲x-۳y)^۳=۸x^۳-۳۶x^۲ y+۵۴xy^۲-۲۷y^۳

اتحاد مکعب سه جمله‌‌ای

در اتحاد مکعب سه‌‌جمله‌‌ای یک تساوی داریم که در یک طرف آن مجموع سه جمله به توان سه رسیده است. فرمول این اتحاد به‌‌شکل زیر است:

(a+b+c)^۳=a^۳+b^۳+c^۳+۳(a+b)(b+c)(c+a)

نمونه سوال اتحاد مکعب سه‌‌جمله‌‌ای:

سوال: عبارت ^۳(x-۲y-z) را ساده کنید.

پاسخ: با استفاده از اتحاد مکعب سه‌‌جمله‌‌ای داریم:

(x-۲y-z)^۳=x^۳+(-۲y)^۳+(-z)^۳+۳(x-۲y)(-۲y-z)(x-z)

(x-۲y-z)^۳=x^۳-۸y^۳-z^۳-۳(x-۲y)(۲y+z)(x-z)

برای بررسی مثال‌های متنوع‌تر و تمرین حل ، پیشنهاد می‌کنیم مقاله اتحاد مکعب را مطالعه کنید.

اتحاد چاق و لاغر مجموع

اتحاد چاق و لاغر مجموع بیان‌‌کننده مجموع مکعبات دو جمله است. فرمول اتحاد چاق و لاغر مجموع به‌‌صورت زیر نوشته می‌‌شود:

a^۳+b^۳=(a+b)(a^۲-ab+b^۲ )

نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر مجموع

سوال: عبارت x^۹+۲۷y^۳ را تجزیه کنید.

پاسخ: با اندکی دقت و تطبیق این عبارت با اتحاد چاق و لاغر مجموع می‌‌توان آن را تجزیه کرد. کافی‌‌ست جمله x۹ را به‌‌صورت ^۳(x^۳ ) و جمله ۲۷y ^۳ را به‌‌صورت ^۳(۳y) بنویسیم. در این صورت خواهیم داشت:

x^۹+۲۷y^۳=(x^۳ )^۳+(۳y)^۳=(x^۳+۳y)((x^۳ )^۲-(x^۳ )(۳y)+(۳y)^۲ )

x^۹+۲۷y^۳=(x^۳ )^۳+(۳y)^۳=(x^۳+۳y)(x^۶-۳x^۳ y+۹y^۲ )

اتحاد چاق و لاغر تفاضل

اتحاد چاق و لاغر تفاضل، همان اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله است که با تساوی زیر نشان داده می‌‌شود:

a^۳-b^۳=(a-b)(a^۲+ab+b^۲ )

نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر تفاضل

سوال: عبارت x^۱۲-y^۶ را محاسبه کنید.

پاسخ: با مقایسه این دو جمله با فرمول اتحاد چاق و لاغر تفاضل می‌‌توانیم عبارت داده‌‌شده را به‌‌شکل زیر تجزیه کنیم:

x^۱۲-y^۶=(x^۴ )^۳-(y^۲ )^۳=(x^۴-y^۲ )((x^۴ )^۲+(x^۴)(y^۲ )+(y^۲)^۲ )

x^۱۲-y^۶=(x^۴ )^۳-(y^۲ )^۳=(x^۴-y^۲ )(x^۸+x^۴y^۲+y^۴ )

این اتحاد کاربرد زیادی در ساده‌سازی عبارت‌های جبری دارد؛ برای دیدن کاربردها و تمرین‌های متنوع، در مقاله چاق و لاغر چیست؟ مثال‌های بیشتری درباره این بخوانید.

اثبات اتحادهای مهم

تا اینجا به آموزش اتحاد ها و ارائه فرمول اتحاد در ریاضی پرداختیم. در این قسمت، می‌‌خواهیم به اثبات اتحادها بپردازیم تا دید شما نسبت به مسائل جبری گسترده‌‌تر شود و صرفا به حفظ کردن فرمول‌‌ها بسنده نکنید.

اثبات اتحاد مربع مجموع

اثبات اتحاد مربع دو جمله ای را می‌‌توان به‌‌راحتی و با بسط اتحاد به‌‌صورت زیر انجام داد. کافی است از عبارت سمت چپ تساوی شروع کنیم و به عبارت سمت راست برسیم.

(a+b)^۲=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^۲+ab+ba+b^۲=a^۲+۲ab+b^۲

اثبات اتحاد مربع تفاضل

برای اثبات اتحاد مربع تفاضل همان روش اثبات اتحاد مربع مجموع را در پیش می‌‌گیریم.

(a-b)^۲=(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)=a^۲-ab-ba+b^۲=a^۲-۲ab+b^۲

اثبات اتحاد مزدوج

می‌‌دانیم که اتحاد مزدوج به‌‌صورت زیر است:

(a+b)(a-b)=a^۲-b^۲

اگر عبارت‌‌های سمت داخل پرانتز را در هم ضرب کنیم، می‌‌توانیم تساوی بالا را اثبات کنیم. بنابراین داریم:

(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a^۲-ab+ba-b^۲=a^۲-b^۲

اثبات اتحاد جمله مشترک

از عبارت سمت چپ فرمول اتحاد جمله مشترک آغاز می‌‌کنیم و ساده‌‌سازی را انجام می‌‌دهیم تا به عبارت سمت راست اتحاد برسیم:

(x+a)(x+b)=x(x+b)+a(x+b)=x^۲+xb+ax+ab=x^۲+(a+b)x+ab

اثبات اتحاد چاق و لاغر

اکنون که می‌‌دانیم اتحاد چاق و لاغر چیست می‌‌توانیم به اثبات آن بپردازیم. ابتدا فرمول اتحاد چاق و لاغر مجموع و تفاضل را می‌‌نویسیم تا آن‌‌ها را جلوی دست داشته باشیم و بدانیم از کدام طرف باید اثبات را آغاز کنیم.

a^۳+b^۳=(a+b)(a^۲-ab+b^۲ )

a^۳-b^۳=(a-b)(a^۲+ab+b^۲)

برای اثبات این دو اتحاد، طرف راست تساوی‌‌ها را بسط می‌‌دهیم یا به‌‌عبارتی، جملات داخل پرانتز‌‌ها را در هم ضرب می‌‌کنیم تا عبارت سمت چپ تساوی‌‌ها حاصل شود:

(a+b)(a^۲ab+b^۲)=a(a^۲-ab+b^۲)+b(a^۲-ab+b^۲ )=a^۳-a^۲ b+ab^۲+ba^۲-ab^۲+b^۳

پس از حذف جمله‌‌های قرینه خواهیم داشت:

(a+b)(a^۲-ab+b^۲ )=a^۳+b^۳

حالا اتحاد چاق و لاغر تفاضل را اثبات می‌‌کنیم:

(a-b)(a^۲+ab+b^۲ )=a(a^۲+ab+b^۲ )-b(a^۲+ab+b^۲ )=a^۳ + a^۲b+ab^۲-ba^۲-ab^۲-b^۳

درنتیجه داریم:

(a-b)(a^۲+ab+b^۲ )=a^۳-b^۳

برای اثبات سایر اتحادها ازجمله اتحادهای مکعب و مربع سه‌‌جمله‌‌ای نیز می‌‌توانید از روش‌‌هایی مشابه با روش‌‌های به‌‌کاررفته استفاده کنید. اثبات این اتحادها را به‌‌عنوان تمرین به خودتان می‌‌سپاریم.

چگونه اتحاد مناسب را تشخیص دهیم؟

تشخیص اتحاد در مسائل جبری، همان چالشی است که اکثر دانش‌‌آموزان با آن مواجه می‌‌شوند و آن را دشوار می‌‌دانند. ازاین‌‌رو، ما در این بخش سعی می‌‌کنیم با ارائه نحوه تشخیص درست اتحادهای مهم ریاضی این مشکل را برای دانش‌‌آموزان تاحدودی هموار کنیم.

اگر عبارت به توان ۲ باشد

اگر یک عبارت درون پرانتز به توان ۲ رسیده باشد، باید به تعداد جملات و علامت بین آن‌‌ها دقت کنیم. درصورتی که دو جمله درون پرانتز وجود داشته باشد، اتحاد مربع دوجمله‌‌ای خواهیم داشت، اما اگر عبارت درون پرانتز شامل سه جمله باشد، با یک اتحاد مربع سه‌‌جمله‌‌ای روبه‌‌رو خواهیم بود.

بنابراین، اگر عبارتی شامل دو یا سه جمله دیدیم که به توان دو رسیده است، بدین معناست که یک اتحاد مربع داریم. به‌‌طور کلی، توان ۲ یعنی آن اتحاد مربع است. حتما توجه داشته باشید که پس از شمارش تعداد جملات، به علامت بین آن‌‌ها نیز دقت کنید.

اگر تفاضل دو مربع داشته باشیم

خطای رایجی که بسیاری از دانش‌‌آموزان مرتکب آن می‌‌شوند، اشتباه گرفتن عبارت‌‌های تفاضل دو مربع و مربع تفاضل دو جمله است. شاید شما نیز در نگاه اول این دو عبارت را مشابه هم تصور کنید، اما جالب است بدانید چیزی که سبب تمایز دو عبارت «تفاضل دو مربع» و «مربع تفاضل دو جمله» شده است، ترتیب کلمات به‌‌کاررفته در آن‌‌هاست. به همین خاطر، ما در اینجا سعی می‌‌کنیم برای برطرف شدن خطای ذهنی، این موضوع را یک‌‌بار برای همیشه توضیح دهیم تا مجددا مرتکب آن نشوید.

منظور از تفاضل دو مربع، تفاضل دو جمله‌‌ای است که هرکدام جداگانه به توان ۲ رسیده‌‌اند. برای مثال، اگر دو جمله a و b را داشته باشیم، تفاضل دو مربع آن‌‌ها به‌‌صورت زیر خواهد بود:

a^۲-b^۲

اگر دقت کنید، این عبارت همان اتحاد مزدوج است که فرمول آن به‌‌صورت زیر بود:

(a+b)(a-b)=a^۲-b^۲

و اما مربع تفاضل دو جمله بیان‌‌کننده تفاضل دو جمله‌‌ای است که کل آن به توان دو رسیده است. مثلا اگر دو جمله a و b را داشته باشیم، مربع تفاضل آن‌‌ها به‌‌صورت زیر نوشته می‌‌شود:

(a-b)^۲

می‌‌بینیم که این عبارت همان اتحاد مربع تفاضل دوجمله‌‌ای است که قبلا با آن آشنا شدیم. پس نکته‌‌ای که در مواجه شدن با اتحادها باید در نظر داشته باشید این است که تفاضل دو مربع یعنی اتحاد مزدوج و مربع تفاضل دو جمله یعنی اتحاد مربع تفاضل دوجمله‌‌ای.

اگر مجموع یا تفاضل مکعب‌‌ها داشته باشیم

منظور از مجموع یا تفاضل مکعبات، مجموع یا تفاضل جملاتی است که به توان سه رسیده‌‌اند. پس واژه مکعب یعنی توان ۳. می‌‌دانیم که در اتحادهای چاق و لاغر، یک طرف تساوی به‌‌صورت مجموع یا تفاضل دو جمله‌‌ای است که به توان سه رسیده‌‌اند. بنابراین، اگر در یک طرف یک تساوی، تنها مجموع یا تفاضل مکعبات دو جمله وجود داشت، می‌‌توانیم از اتحادهای چاق و لاغر استفاده کنیم.

اگر دو پرانتز با جمله مشترک داشته باشیم

واضح است که اگر دو پرانتز دو جمله‌‌ای که یک جمله مشترک دارند در هم ضرب شوند، باید از فرمول اتحاد جمله مشترک استفاده کنیم.

(x+a)(x+b)=x^۲+(a+b)x+ab

اگر چندجمله‌‌ای برای تجزیه داده شود

زمانی که با یک چندجمله‌‌ای مواجه می‌‌شویم و از ما خواسته می‌‌شود آن را تجزیه کنیم، معمولا در ابتدا حس سردرگمی داریم و نمی‌‌دانیم از کدام اتحاد باید استفاده کنیم. مواردی که هنگام تجزیه چندجمله‌‌ای‌‌ها باید به آن‌‌ها توجه داشته باشیم، تعداد جملات، توان و علامت بین آن‌‌ها و پس از آن تطبیق جملات با فرمول اتحادهاست. نحوه تجزیه عبارت جبری به کمک اتحادهای مختلف را در ادامه با مثال توضیح خواهیم داد.

کاربرد اتحادها در تجزیه و فاکتورگیری

گاهی اوقات یک چندجمله‌‌ای داریم که به‌‌صورت بسط اتحاد مشخصی نوشته شده است و باید با کمک فاکتورگیری آن را تجزیه کنیم تا مسئله جبری حل شود. در این بخش قرار است به کمک حل چند مثال به آموزش تجزیه با اتحاد بپردازیم و توضیح دهیم که چگونه می‌‌توان فاکتورگیری با اتحاد را انجام داد.

تجزیه با اتحاد مربع

تجزیه با اتحاد مربع یکی از رایج‌‌ترین کاربردهایی است که پس از آموزش اتحاد مربع می‌‌توان مسئله‌‌های زیادی پیرامون آن حل کرد. اگر فرمول اتحادها را حفظ کنید، تشخیص درست اتحادها هنگام تجزیه برایتان ساده خواهد بود. یک مثال از تجزیه با اتحاد مربع حل می‌‌کنیم تا با روند کلی حل مسائل این‌‌چنینی بیشتر آشنا شوید.

مثال: عبارت زیر را تجزیه کنید.

x^۲-۱۲x+۳۶

پاسخ: در اینجا یک عبارت جبری درجه دوم داریم که شامل سه جمله است. اولین اتحادهایی که در اینجا به ذهن‌‌مان می‌‌رسد، اتحاد مربع یا اتحاد جمله مشترک است. اما اگر دقت کنید می‌‌بینید که جمله سوم را می‌‌توان به‌‌صورت مربع یک عدد و جمله دوم را به‌‌صورت حاصل‌‌ضرب عدد ۲ در همان عددی که در جمله سوم به توان ۲ رسیده است نوشت. پس در این مثال باید سعی کنیم ابتدا عبارت جبری را به‌‌شکل استاندارد اتحاد مربع بنویسیم:

x^۲-۲(۶)x+۶^۲

اگر جمله اول را x و جمله دوم را ۶ در نظر بگیریم عبارت بالا به‌‌راحتی تجزیه می‌‌شود. با توجه به اینکه در چندجمله‌‌ای بالا علامت جمله دوم منفی است، عبارت جبری داده‌‌شده را می‌‌توان به‌‌صورت اتحاد مربع تفاضل دوجمله‌‌ای تجزیه کرد. درنتیجه خواهیم داشت:

x^۲-۲(۶)x+۶^۲=(x-۶)^۲

تجزیه با اتحاد مزدوج

ازآنجا که بسط اتحاد مزدوج به‌‌صورت تفاضل مربع دو جمله نوشته می‌‌شود، تشخیص آن نسبت به سایر اتحادها آسان‌‌تر خواهد بود. برای تجزیه عبارت‌‌هایی که بسط اتحاد مزدوج را نشان می‌‌دهند، کافی‌ است دو پرانتز باز کنید؛ ابتدا جذر جمله اول و سپس جذر جمله دوم را درون هر دو پرانتز قرار دهید. در پرانتز اول علامت بین دو جمله را مثبت و در پرانتز دوم علامت بین جمله‌‌ها را منفی بگذارید.

مثال: عبارت x^۱۰-y^۱۰ را تجزیه کنید.
پاسخ: در این مثال تنها دو جمله داریم که توان هر دوی آن‌‌ها زوج و یکسان است. پس برای تجزیه طبق توضیحات بالا از اتحاد مزدوج استفاده می‌‌کنیم. بنابراین داریم:

x^۱۰-y^۱۰=(x^۵+y^۵ )(x^۵-y^۵ )

تجزیه با اتحاد جمله مشترک

با یک مثال، نحوه تجزیه با اتحاد جمله مشترک را توضیح می‌‌دهیم.

مثال: عبارت x^۲-۳x-۴ را تجزیه کنید.

پاسخ: این عبارت جبری یا یک اتحاد مربع است یا اتحاد جمله مشترک، که با توجه به علامت منفی جمله آخر و همچنین عدد جمله سوم و ضریب x گزینه اتحاد مربع رد می‌‌شود. پس سراغ اتحاد جمله مشترک می‌‌رویم. باید بررسی کنیم آیا می‌‌توان دو عدد پیدا کرد که حاصل‌‌جمع‌‌شان ۳- و حاصل‌‌ضرب‌‌شان ۴- شود. با اندکی تفکر و آزمون‌‌وخطا می‌‌توان این دو عدد را یافت. این اعداد ۴- و ۱ هستند.

-۴+۱= -۳
-۴×۱= -۴

همچنین جمله مشترک x است. بنابراین، شکل تجزیه‌‌شده عبارت جبری موردنظر به‌‌صورت زیر خواهد بود:

x^۲-۳x-۴=(x-۴)(x+۱)

تجزیه با اتحاد چاق و لاغر

اگر عبارتی دوجمله‌‌ای داشته باشیم که هر دو جمله آن را بتوان به‌‌صورت مکعب دو عدد متفاوت نوشت، آنگاه برای تجزیه این عبارت از اتحاد چاق و لاغر استفاده می‌‌کنیم. به مثال زیر توجه کنید:

مثال: عبارت جبری ۲۷x^۳-۶۴ را تجزیه کنید.
پاسخ: عبارت داده‌‌شده به‌‌صورت تفاضل مکعبات دو جمله است. با کمک فرمول اتحاد چاق و لاغر، این دو جمله‌‌ای به‌‌راحتی تجزیه می‌‌شود. در نتیجه داریم:

۲۷x^۳-۶۴=(۳x)^۳-۴^۳

a^۳-b^۳=(a-b)(a^۲+ab+b^۲ )

اگر a=۳x و b=۴ قرار داده شود، خواهیم داشت:

(۳x)^۳-۴^۳=(۳x-۴)((۳x)^۲+۱۲x+۴^۲ )=(۳x-۴)(۹x^۲+۱۲x+۱۶)

تجزیه چندمرحله‌‌ای با چند اتحاد پشت‌‌سرهم

برای حل برخی از مسائل جبری لازم است تجزیه عبارت موردنظر را طی چند مرحله و با کمک چند اتحاد انجام دهیم. به‌‌عنوان مثال، برای تجزیه عبارتی مانند x^۴-۸x+۱۶ باید اینگونه عمل کنیم:

ابتدا تجزیه را با کمک اتحاد مربع تفاضل دو‌‌جمله‌‌ای انجام می‌‌دهیم:

x^۴-۸x+۱۶=(x^۲-۴)(x^۲-۴)=(x^۲-۲^۲ )(x^۲-۲^۲)

می‌‌بینیم که توان دو جمله‌‌ای که درون پرانتز قرار دارد، زوج و یکسان است. پس در اینجا می‌‌توانیم از اتحاد مزدوج استفاده کنیم:

(x^۲-۲^۲)(x^۲-۲^۲ )=(x-۲)(x+۲)(x-۲)(x+۲)=(x-۲)^۲ (x+۲)^۲

بهترین روش حفظ کردن اتحادها

چگونه اتحادها را حفظ کنیم؟ این سوالی است که پس از آموزش تعداد زیادی فرمول اتحاد در ریاضی تمایل داریم پاسخش را خیلی سریع بیابیم. در جواب باید بگوییم هیچ میان‌‌بر یا ترفند عجیبی که بتوان با کمک آن در کسری از ثانیه فرمول اتحادها را به حافظه سپرد، وجود ندارد. اما درعوض دو راهکار مناسب برای حفظ سریع همه اتحاد های مهم ریاضی پیش پای شما خواهیم گذاشت.

دسته‌‌بندی اتحادها برای حفظ سریع

دسته‌‌بندی اتحادها به دو دسته اتحاد دوجمله‌‌ای و اتحاد سه‌‌جمله‌‌ای راهکار مناسبی برای تفکیک و درنتیجه حفظ کردن فرمول آن‌‌هاست. این کار را در قالب دو جدول در ابتدای مقاله انجام داده‌‌ایم. می‌‌توانید دوباره به آن‌‌ها رجوع کرده و فرمول‌‌ها را با یکدیگر مقایسه کنید تا با درک تفاوت‌‌ها و شباهت‌‌های بین اتحادها فرایند حفظ کردن در ذهن‌‌تان با سرعت بیشتری انجام شود.

رمز حفظی اتحادهای مربع و مکعب

می‌‌دانیم که مربع یعنی توان دو و مکعب یعنی توان سه، این دو واژه رمز حفظی مناسبی برای تشخیص توان در اتحادها و درنتیجه یادآوری فرمول آن‌‌ها به شمار می‌‌روند. اگر در نام اتحاد کلمه مربع به کار رفته باشد، باید سریع تشخیص دهید که در این اتحاد توان دو داریم یا اگر به‌‌جای مربع از واژه مکعب استفاده شده باشد، باید بدانید که توان سه در آن اتحاد وجود دارد.

البته همان‌‌طور که قبلا هم توضیح دادیم، دقت در نام اتحاد و توجه به ترتیب کلمات نقش مهمی در به خاطر سپردن و تشخیص به‌‌موقع اتحادها دارد.

کدام اتحادها از همه مهم‌‌ترند؟

تمام اتحادهایی که در این مقاله نام بردیم، مهم و کاربردی هستند. اما اتحاد مربع دوجمله‌‌ای، اتحاد مزدوج، اتحاد جمله مشترک و اتحاد چاق و لاغر اتحادهای مشهوری هستند که بیشترین کاربرد را دارند و ازاین‌‌رو از سایر اتحادها کاربردی‌‌تر و مهم‌‌ترند.

جمع بندی

در این مقاله به آموزش اتحاد ها در ریاضی به زبان ساده پرداختیم و سعی کردیم با توضیح اتحاد جبری و حل تمرین اتحاد های مهم، درس‌‌نامه مفیدی جهت آموزش اتحاد برای دانش‌‌آموزان پایه نهم و مقطع دبیرستان ارائه دهیم. اتحادهایی از قبیل اتحاد مزدوج، جمله مشترک، چاق و لاغر و مربع دوجمله‌‌ای جزو مهم‌‌ترین اتحادهای لازم برای مدرسه محسوب می‌‌شوند که بایستی آن‌‌ها را با کمک روش‌‌های بیان‌‌شده در این مقاله حفظ کنید.

به یاد داشته باشید که تثبیت فرمول اتحاد در ریاضی با مثال و حل تمرین ممکن است. بنابراین، ضروری است که تمرین‌‌های زیادی در این زمینه حل کنید. در آخر این که اگر به‌‌دنبال سریع‌‌ترین روش مرور قبل از امتحان هستید، جدول‌‌های دسته‌‌بندی‌‌شده اتحادهای دوجمله‌‌ای و سه‌‌جمله‌‌ای یا اتحادهای مربع و مکعب را تهیه کرده و به آن‌‌ها نگاهی اجمالی بیندازید.

سوالات متداول