میانه مثلث چیست؟ ׀ تعریف، ویژگی ها و فرمول محاسبه

مثلث یکی از انواع چندضلعی است که سه ضلع و سه رأس دارد. برای یک مثلث علاوه‌‌بر مفاهیمی همچون ارتفاع و نیمساز، می‌‌توان مفهوم هندسی دیگری به‌‌نام میانه نیز تعریف کرد. میانه مثلث پاره‌‌خطی است که رأس آن را به وسط ضلع مقابلش وصل می‌‌کند.

برای آشنایی بیشتر با میانه، در این مقاله ابتدا به تعریف میانه در مثلث خواهیم پرداخت و سپس خواص و فرمول‌‌های محاسبه آن را به‌‌طور کامل بیان خواهیم کرد.

تعریف میانه در هندسه

در هندسه میانه به پاره‌‌خطی گفته می‌‌شود که هر رأس مثلث را به وسط ضلع مقابلش وصل می‌‌کند. براساس این تعریف می‌‌توان گفت میانه‌‌ها، اضلاع مثلث را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌‌کنند. ازآنجا که مثلث از ۳ رأس و ۳ ضلع ساخته شده است، هر مثلث دارای ۳ میانه خواهد بود. میانه‌‌های مثلث همدیگر را در یک نقطه به‌‌نام «مرکز ثقل» قطع می‌‌کنند.

میانه در مثلث چیست؟

واژه میانه به معنای وسط است. بنابراین، وقتی صحبت از میانه مثلث می‌‌شود منظورمان پاره‌‌خطی است که ضلع مثلث را به دو نیمه مساوی تقسیم می‌‌کند. همان‌‌طور که در تصویر زیر مشاهده می‌‌کنید، میانه AD ضلع BC را به دو قسمت مساوی تقسیم کرده است.

تعریف میانه در ریاضی

میانه در ریاضی و آمار مفهومی مشابه میانه در هندسه دارد چرا که در اینجا نیز منظور از میانه، نصف یا وسط مجموعه‌‌ای از داده‌‌هاست. اگر مجموعه‌‌ای از اعداد داشته باشیم و آن‌‌ها را از کوچک به بزرگ یا از بزرگ به کوچک مرتب کنیم، به عددی که در وسط قرار می‌‌گیرد میانه می‌‌گوییم.

رسم میانه مثلث

برای رسم میانه‌‌های یک مثلث تنها به یک خط‌‌کش و مداد نیاز دارید. ابتدا با کمک خط‌‌کش، طول سه ضلع مثلث را اندازه‌‌گیری کرده و بر دو تقسیم کنید تا مانند تصویر زیر، محل برخورد میانه‌‌ها در وسط اضلاع مشخص شود. پس از این کار، هر یک از سه رأس مثلث را به‌‌وسیله خط‌‌کش به وسط ضلع مقابلشان وصل کنید. به همین راحتی، میانه‌‌های یک مثلث رسم می‌‌شوند.

ویژگی های میانه در مثلث

میانه ازجمله مفاهیم هندسی است که دانستن ویژگی‌‌های آن در محاسبات مربوط به مثلث حائز اهمیت است. برای همین در این بخش از آموزش، به خواص میانه در مثلث‌‌ها اشاره خواهیم کرد. این ویژگی‌‌ها به شرح زیر است:

• یک مثلث ۳ میانه دارد که هر کدام از آن‌‌ها اضلاع مثلث را به دو نیمه مساوی تقسیم می‌‌کنند.
• در هر مثلث، میانه‌‌ها یکدیگر را در نقطه‌‌ای مشترک به‌‌نام «مرکز ثقل» قطع می‌‌کنند.
• میانه، مثلث را به دو مثلث کوچک‌‌تر با مساحت یکسان تقسیم می‌‌کند. به‌‌عبارتی هر سه میانه، مثلث را به ۶ مثلث کوچک‌‌تر با مساحت مساوی تقسیم می‌‌کنند.
• محل برخورد میانه‌‌های مثلث، هر میانه را با نسبت ۱ به ۲ تقسیم می‌‌کند؛ طوری‌‌که فاصله محل تقاطع روی هر میانه تا رأس نظیر آن برابر با دوسوم طول میانه و تا ضلع نظیرش مساوی یک‌‌سوم طول میانه است. منظور از رأس نظیر، رأسی است که میانه را از آن رسم می‌‌کنیم و ضلع نظیر هم ضلعی است که میانه بر آن وارد می‌‌شود.
• مجموع دو میانه از اندازه میانه سوم بزرگ‌‌تر است.
• کوچک‌‌ترین میانه مثلث بزرگ‌‌ترین ضلع نظیر و بزرگ‌‌ترین میانه نیز کوچک‌‌ترین ضلع نظیر را دارد.
• مجموع دو ضلع یک مثلث از میانه رسم‌‌شده از رأس بین آن‌‌ها بزرگ‌‌تر است که کاملاً بدیهی است.
• مجموع مربعات هر سه میانه مثلث برابر با سه‌‌چهارم مجموع مربعات اضلاع آن است.

پیشنهاد مطالعه: محیط، مساحت و حجم شکل های هندسی

فرمول میانه مثلث

اندازه میانه از طریق طول اضلاع مثلث قابل محاسبه است. برای به‌‌د‌‌ست آوردن فرمول میانه مثلث، مانند شکل زیر یک مثلث با اضلاعی به طول a، b و c رسم کرده و سه میانه آن را مشخص می‌‌کنیم. میانه‌‌ها را با حرف m که حرف اول معادل انگلیسی میانه یعنی «median» است نشان می‌‌دهیم. برای تفکیک میانه‌‌ها و تشخیص بهتر آن‌‌ها، طول میانه‌‌ها را به‌‌صورت m_a، m_b و m_c نشان داده‌‌ایم.

اندیس‌‌های a، b و c به‌‌ترتیب نشان‌‌دهنده ضلع‌‌های نظیری هستند که میانه‌‌ها بر آن‌‌ها وارد شده‌‌اند یا به‌‌عبارتی میانه‌‌ها آن‌‌ها را نصف کرده‌‌اند. برای مثال، ma طول میانه‌‌ای است که بر ضلع a وارد شده است.

فرمول محاسبه طول میانه‌‌های مثلث به‌‌صورت زیر هستند:

• m_a: میانه ضلع BC
• m_b: میانه ضلع AC
• m_c: میانه ضلع AB
• a: طول ضلع BC
• b: طول ضلع AC
• c: طول ضلع AB

مثال: طول میانه‌‌های مثلث زیر را محاسبه کنید.

جواب: ابتدا میانه‌‌های مثلث را مانند شکل زیر رسم می‌‌کنیم و سپس با استفاده از فرمول میانه‌‌ها و اندازه سه ضلع، طول هر سه میانه مثلث را به‌‌دست می‌‌آوریم.

قضیه میانه ها در مثلث (قضیه هم رأسی میانه ها)

به محل تقاطع میانه‌‌های مثلث، نقطه هم‌‌رأسی می‌‌گویند. این نقطه، هر میانه را با نسبت ۱ به ۲ تقسیم می‌‌کند و به‌‌راحتی می‌‌توان آن را اثبات کرد. شکل زیر را در نظر بگیرید. در این شکل، QE و DR به‌‌ترتیب میانه وارد بر اضلاع PR و PQ هستند و آن‌‌ها را نصف کرده‌‌اند. وسط دو ضلع PR و PQ نیز با کمک پاره‌‌خط DE (پاره‌‌خط موازی با QR) به هم وصل شده‌‌اند.

همان‌‌طور که در تصویر بالا می‌‌بینید، جفت زاویه y و جفت زاویه x طبق قواعد زوایای مساوی در خطوط موازی و متقاطع با هم برابرند. علاوه‌‌بر این، دو زاویه متقابل به رأس DGE و QGR نیز مساوی یکدیگرند. بنابراین، براساس قواعد تشابه مثلث‌‌ها می‌‌توان گفت ضلع‌‌های دو مثلث نیز با هم تناسب دارند و روابط زیر بین آن‌‌ها برقرار است:

طبق تناسب بالا می‌‌توان نوشت:

از تساوی‌‌های بالا نتیجه می‌‌گیریم:

با توجه به روابط به‌‌دست‌‌آمده داریم:

همان‌‌طور که در روابط بالا مشاهده می‌‌کنید، میانه‌‌های RD و QE نقطه هم‌‌رأسی دارند. این نقطه روی میانه‌‌ها و در فاصله دو سوم از رأس و یک سوم از وسط ضلع نظیر قرار دارد.

تعریف میانه و نیمساز و عمود منصف و تفاوت آن ها

میانه، نیمساز و عمودمنصف ازجمله مفاهیم هندسی مربوط به مثلث‌‌ها هستند که ممکن است شبیه به هم به نظر برسند. برای همین ما در اینجا با تعریف هر یک از این مفاهیم به تفاوت آن‌‌ها اشاره خواهیم کرد.
میانه: پاره‌‌خطی است که رأس هر مثلث را به وسط ضلع مقابلش وصل می‌‌کند.
نیمساز: نیم‌ساز، نیم‌‌خطی که یک زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می‌‌کند.
عمودمنصف: عمودمنصف خطی است که یک پاره‌‌خط را نصف کرده و در نقطه تلاقی بر آن عمود هم هست.

تعاریف بالا و تصویر زیر، تفاوت این سه مفهوم هندسی را به‌‌خوبی نشان می‌‌دهند.

تفاوت میانه و ارتفاع مثلث

ارتفاع مثلث پاره‌‌خطی است که از رأس آن شروع می‌‌شود و با ضلع مقابلش زاویه قائمه می‌‌سازد. به بیان دیگر، ارتفاع برابر با کوتاه‌‌ترین فاصله از رأس تا ضلع مقابل آن است. اما میانه مثلث پاره‌‌خطی است که رأس مثلث را به وسط ضلع نظیر آن متصل می‌‌کند و لزوماً بر آن عمود نیست.

ارتفاع می‌‌تواند در داخل یا خارج مثلث باشد اما میانه در داخل مثلث قرار می‌‌گیرد. میانه‌‌های مثلث صرف‌‌نظر از نوع مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می‌‌کنند. در تصویر زیر می‌‌توانید تفاوت ارتفاع و میانه مثلث را مشاهده کنید.

میانه در انواع مثلث

تا اینجا درباره میانه مثلث‌‌ها به‌‌طور کلی صحبت کردیم. در این بخش می‌‌خواهیم میانه و خواص آن را در مثلث‌‌های شناخته‌‌شده به‌‌طور جداگانه مورد بررسی قرار دهیم.

میانه مثلث متساوی الساقین

مثلث متساوی‌‌الساقین از دو ضلع برابر به‌‌نام ساق و یک ضلع دیگر به‌‌نام قاعده شکل می‌‌گیرد. میانه‌‌ای که بر قاعده (ضلع سوم) این مثلث وارد می‌‌شود، علاوه‌‌بر نصف کردن قاعده بر آن عمود نیز هست و رأس نظیر قاعده را هم به دو زاویه برابر تقسیم می‌‌کند. بنابراین، میانه وارد بر قاعده، ارتفاع، نیمساز و عمودمنصف هم محسوب می‌‌شود و می‌‌توان آن را ازجمله خواص میانه در مثلث متساوی الساقین برشمرد.

اندازه میانه نظیر قاعده را که ارتفاع مثلث نیز به شمار می‌‌رود با کمک قضیه فیثاغورس و از فرمول زیر قابل محاسبه است:

• m_b: میانه (ارتفاع) وارد بر قاعده
• a: طول ساق
• b: اندازه قاعده

میانه مثلث قائم الزاویه

مثلث قائم‌‌الزاویه به مثلثی گفته می‌‌شود که یکی از زوایای آن قائمه و مجموع دو زاویه دیگر آن که حاده هستند برابر با ۹۰ درجه باشد. برای محاسبه طول میانه‌‌ها در این نوع مثلث از همان فرمول میانه‌‌ها که پیش‌‌تر معرفی کردیم استفاده می‌‌کنیم.

اگر دو ضلع مثلث قائم‌‌الزاویه که بر هم عمودند و ساق نامیده می‌‌شوند با هم برابر باشند، آن را مثلث قائم‌‌الزاویه متساوی‌‌الساقین می‌‌گوییم. در این نوع مثلث، میانه‌‌ای که از رأس ۹۰ درجه رسم شده و وتر را نصف می‌‌کند، بر وتر عمود خواهد بود و بر ارتفاع، نیمساز و عمودمنصف وتر منطبق خواهد شد. در تصویر زیر، محل برخورد میانه ها در مثلث قائم الزاویه متساوی‌‌الساقین با حرف O نشان داده شده است.

اگر اندازه هر سه ضلع مثلث قائم‌‌الزاویه متساوی‌‌الساقین مشخص باشد، با کمک فرمول زیر می‌‌توان طول میانه وارد بر وتر را محاسبه کرد:

• m_c: میانه (ارتفاع) وارد بر وتر
• c: وتر
• a و b: اندازه ساق‌‌ها

درصورتی که تنها اندازه یک ساق مشخص باشد، فرمول میانه وارد بر وتر به‌‌صورت زیر خواهد بود:

• m_c: میانه (ارتفاع) وارد بر وتر
• a: اندازه ساق

پیشنهاد مطالعه: وتر چیست؟

میانه مثلث متساوی الاضلاع

مثلث متساوی‌‌الاضلاع به‌‌دلیل داشتن سه ضلع و سه زاویه برابر، دارای سه میانه با طول یکسان است. همان‌‌گونه که در تصویر زیر دیده می‌‌شود، هر میانه زاویه‌‌های ۶۰ درجه را به دو زاویه مساوی تقسیم می‌‌کند و بر اضلاع مقابلشان عمود است. از این نظر می‌‌توان نتیجه گرفت که هر سه میانه، ارتفاع، نیمساز و عمودمنصف نیز هستند و طول آن‌‌ها را می‌‌توان از فرمول زیر به‌‌دست آورد:

• h: طول میانه (ارتفاع)
• a: اندازه یک ضلع

سخن پایانی

در این آموزش، درمورد میانه مثلث صحبت کردیم و آن را مورد بررسی قرار دادیم. میانه مثلث را پاره‌‌خطی تعریف کردیم که از رأس مثلث رسم می‌‌شود و ضلع نظیرش را به دو نیمه با طول مساوی قسمت می‌‌کند. با توجه به این تعریف، تفاوت میانه با نیمساز، ارتفاع و عمودمنصف را شرح داده و ویژگی‌‌هایش را در انواع مثلث‌‌ها توضیح دادیم.

گذشته از اینها، فرمول محاسبه میانه‌‌ها را ارائه کردیم تا با کمک آن بتوانید اندازه سه میانه مثلث را با استفاده از اضلاع مثلث تعیین کنید. میانه‌‌ها داخل مثلث قرار می‌‌گیرند و در یک نقطه مشترک در مرکز مثلث به‌‌نام مرکز ثقل یکدیگر را قطع می‌‌کنند.

سؤالات متداول

1. میانه در مثلث چیست؟
   به پاره‌‌خط وصل‌‌کننده رأس مثلث به وسط ضلع مقابل آن میانه مثلث می‌‌گوییم.
2. یک مثلث چند میانه دارد؟
   یک مثلث ۳ میانه دارد.
3. محل تلاقی میانه‌‌ها در مثلث را چه می‌‌گویند؟
   محل تلاقی یا برخورد میانه‌‌های مثلث را مرکز ثقل می‌‌نامند.
4. بزرگ‌‌ترین میانه مثلث کدام است؟
   بزرگ‌‌ترین میانه مثلث، میانه وارد بر کوچک‌‌ترین ضلع مثلث است.
5. تفاوت میانه با نیمساز چیست؟
   نیمساز زاویه‌‌های رأس را به دو نیمه مساوی تقسیم می‌‌کند. میانه بسته به نوع مثلث می‌‌تواند نیمساز باشد یا نباشد.
6. تفاوت میانه با ارتفاع چیست؟
   میانه پاره‌‌خطی است که از رأس مثلث بر ضلع روبه‌‌رویش وارد می‌‌شود و آن را نصف می‌‌کند و لزوماً بر آن عمود نیست. ارتفاع نیز به پاره‌‌خطی گفته می‌‌شود که از رأس بر ضلع مقابل عمود می‌‌شود. میانه در داخل مثلث قرار دارد ولی ارتفاع می‌‌تواند در داخل یا خارج مثلث قرار گیرد.
7. در کدام مثلث، میانه، ارتفاع و نیمساز بر هم منطبق هستند؟
   در مثلث متساوی‌‌الساقین، میانه وارد بر قاعده و در مثلث متساوی‌‌الاضلاع هر سه میانه، ارتفاع و نیمساز هم به حساب می‌‌آیند.
8. در کدام مثلث، میانه بر ضلع مثلث عمود می‌‌شود؟
   در مثلث متساوی‌‌الساقین تنها یک میانه و در مثلث متساوی‌‌الاضلاع هر سه میانه بر ضلع نظیرشان عمود هستند.