دایره یک شکل هندسی دوبعدی و گرد است که هیچ ضلع و زاویه‌ای ندارد و ظاهر آن نسبت به سایر اشکال هندسی ساده‌تر به نظر می‌رسد. در این آموزش، با این شکل هندسی و ویژگی‌های آن آشنا می‌شویم. ابتدا به تعریف دایره می‌پردازیم و سپس اجزا و مفاهیم هندسی مربوط به آن را معرفی می‌کنیم.
تعریف دایره به زبان ساده
دایره شکلی مسطح و بسته است که رأس و لبه ندارد. منظور از بسته بودن این است که ابتدا و انتهای آن در یک نقطه به هم می‌رسند. به‌طور کلی، یک دایره از مجموعه نقاطی تشکیل شده است که از یک نقطه ثابت روی صفحه فاصله یکسان و ثابتی دارند.
ویژگی های دایره
در این بخش، به برخی از ویژگی‌های جالب دایره‌ها که آن‌ها را از سایر اشکال هندسی متمایز می‌کند اشاره می‌کنیم. این ویژگی‌ها به شرح زیر است:
- تمام نقاط روی محیط دایره از مرکز آن فاصله یکسانی دارند.
- یک دایره بینهایت شعاع و قطر دارد.
- شعاع دایره یک‌دوم قطر آن است.
- یک دایره دارای بینهایت خط تقارن است.
- قطرهای دایره، خط تقارن و بزرگ‌ترین وتر دایره نیز محسوب می‌شوند.
- مرکز دایره، مرکز تقارن دایره است.
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیه‌های مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر میشود!
مرکز دایره چیست؟
در تعریف مرکز دایره، نقطه‌ای که در وسط (مرکز) دایره قرار دارد و تمام نقاط روی دایره از آن فاصله برابری دارند مرکز دایره نامیده میشود.
نیم دایره چیست؟
اگر یک دایره کامل را از وسط به دو قسمت مساوی تقسیم کنیم، دو نیمدایره خواهیم داشت. نیمدایره از یک پاره‌خط و یک کمان ساخته میشود.
آیا برای شما هم سوال است که چگونه محیط و مساحت نیم دایره را محاسبه کنید؟
پس حتما به مقالات قبلی ما، محیط نیم دایره و مساحت نیم دایره سر بزنید.
ربع دایره چیست؟
ربع دایره یک‌چهارم دایره است که از تقسیم دایره به چهار قسمت مساوی یا تقسیم یک نیمدایره به دو قسمت مساوی ایجاد میشود.
پیشنهاد می‌کنم حتما به مقالات قبلی ربع دایره، محیط ربع دایره و مساحت ربع دایره سر بزنید.
اجزای یک دایره
دایره بخش‌های مختلفی دارد که برای درک ویژگی‌های این شکل هندسی باید با آن‌ها آشنا شویم.
اجزای مهم یک دایره عبارت‌اند از:
- شعاع
- قطر
- وتر
- کمان
- مماس
- قطاع
- قطعه
شعاع دایره چیست؟
به فاصله مرکز دایره تا محیط (مرز) آن شعاع دایره می‌گویند. به‌عبارت دیگر، شعاع پاره‌خطی است که یک سر آن در مرکز دایره و سر دیگر آن روی محیط یا مرز دایره قرار دارد. ازآنجا که محیط دایره از بینهایت نقطه تشکیل شده است و همه آن‌ها از مرکز فاصله یکسانی دارند، می‌توان گفت یک دایره بینهایت شعاع دارد. در ریاضی شعاع را با r (حرف اول radius) نشان می‌دهند.
قطر دایره چیست؟
پاره‌خطی که از مرکز دایره می‌گذرد و دو انتهای آن روی محیط دایره قرار می‌گیرد، قطر دایره نام دارد. طبق این تعریف، اگر شعاع را از مرکز دایره تا مرز دایره امتداد دهیم، درنهایت پاره‌خطی خواهیم داشت که اندازه آن دو برابر شعاع است.
با توجه به اینکه از مرکز دایره بینهایت خط مستقیم عبور می‌کند، در یک دایره بینهایت قطر وجود خواهد داشت. قطر دایره را با d (حرف اول diameter) نشان می‌دهند.
نمونه سؤال شعاع و قطر سوم ابتدایی با جواب
سؤال ۱: اگر شعاع دایره ۳ باشد قطر آن چند است؟
جواب: ازآنجا که قطر دایره دو برابر شعاع است، اندازه قطر این دایره برابر است با
۶ سانتی‌متر = ۳ × ۲ = شعاع × ۲ = قطر
سؤال ۲: اگر شعاع دایره ای ۴ سانتی متر باشد قطر آن چقدر است؟
جواب: برای به‌دست آوردن اندازه قطر باید مقدار شعاع را در دو ضرب کنیم:
۸ سانتی‌متر = ۴ × ۲ = شعاع × ۲ = قطر
وتر دایره چیست؟
وتر دایره پاره‌خطی است که دو نقطه متفاوت روی محیط (مرز) دایره را به هم وصل می‌کند. بزرگ‌ترین وتر دایره قطر آن است که از مرکز عبور کرده و دایره را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. در شکل زیر به‌عنوان نمونه چهار وتر از یک دایره را نشان داده‌ایم که یکی از آن‌ها قطر دایره است.
محاسبه وتر دایره
دایره شکل زیر را در نظر بگیرید. در این دایره پاره‌خط PQ وتری است که می‌خواهیم اندازه آن را به‌دست آوریم. در این شکل پارامترهای دیگری نیز داریم که عبارت‌اند از:
- a: طول وتر
- r: شعاع
- d: فاصله عمودی وتر از مرکز دایره
- c: زاویه بین r و d
همان‌طور که می‌بینید، شعاع دایره، نصف وتر و فاصله عمودی وتر از مرکز دایره یک مثلث قائم‌الزاویه تشکیل داده‌اند. پس با استفاده از قضیه فیثاغورس می‌توانیم فرمولی به‌دست آوریم که با کمک آن بتوان اندازه وتر را تعیین کرد. ازاین‌رو، خواهیم داشت:
با استفاده از زاویه c و شعاع (r) نیز می‌توان مقدار وتر را محاسبه کرد. در این حالت، فرمول وتر به‌صورت زیر خواهد بود:
a=2.r.sin c
کمان و مماس دایره چیست؟
کمان یا قوس بخشی از دایره است که تمام نقاط آن روی دایره قرار دارند. به‌عبارت دیگر، کمان به منحنی‌ای گفته میشود که بخشی از محیط دایره است.
مماس خطی است که خارج از دایره قرار می‌گیرد و در یک نقطه با دایره تماس می‌یابد.
قطعه و قطاع دایره چیست؟
قطعه به ناحیه‌ای گفته میشود که توسط وتر و کمان دایره محصور شده است. اما قطاع بخشی از دایره است که توسط دو شعاع و کمان بین آن‌ها محصور شده است.
خط تقارن دایره
منظور از خط تقارن خطی است که اگر شکل را از آن قسمت تا کنیم، شکل موردنظر به دو نیمه یکسان تقسیم شده و قسمت‌های مساوی روی هم منطبق می‌شوند. دایره به‌دلیل اینکه شکل منحصربه‌فرد و یکنواختی دارد و تمام نقاط روی محیط آن از مرکز فاصله یکسانی دارند، دارای بینهایت خط تقارن است. هر یک از قطرهای دایره خط تقارن نیز هستند.
نیمدایره و ربع دایره برخلاف دایره تنها یک خط تقارن دارند.
معادله دایره
معادله استاندارد یک دایره اطلاعات دقیقی درمورد مرکز دایره و شعاع آن می‌دهد و به ما کمک می‌کند تا در یک نگاه مرکز و شعاع دایره را تشخیص دهیم. به‌طور کلی، معادله استاندارد یک دایره با مرکز a,b و شعاع r به‌صورت زیر است:
x – a )2+ ( y – b ) 2=r2 )
در این معادله x,y یک نقطه دلخواه روی دایره است. همان‌طور که در شکل زیر نشان داده شده است، این معادله نشان می‌دهد که هر نقطه روی دایره از مرکز آن یعنی a,b فاصله‌ای برابر با r دارد. با توجه به شکل زیر و با کمک قضیه فیثاغورس به معادله‌ای می‌رسیم که در بالا معرفی کردیم.
مثال: معادله دایره‌ای را بنویسید که مرکز آن ۲,۵ و شعاع آن ۴ است.
جواب: با توجه به معادله دایره که در بالا معرفی کردیم، داریم:
x – a) 2 +( y – b ) 2 = r2 )
x – 2 )2 + ( y – 5) 2 = 42 )
محیط دایره
محیط دایره مساوی با اندازه دور آن است. محیط یک دایره از فرمول زیر به‌دست می‌آید:
شعاع × ۳/۱۴ × ۲ = محیط دایره
عدد ۳/۱۴ را عدد پی مینامند و آن را با نماد π نشان می‌دهند. اگر شعاع دایره را با r و محیط آن را با P نمایش دهیم، فرمول محیط دایره را می‌توانیم به‌صورت جبری نیز بنویسیم:
P=2πr
مثال: قطر یک دایره ۲۰ سانی‌متر است. محیط آن را محاسبه کنید.
جواب: اندازه شعاع دایره نصف قطر است. بنابراین شعاع دایره موردنظر ۱۰ سانتی‌متر خواهد بود. با جای‌گذاری مقدار شعاع خواهیم داشت:
شعاع × ۳/۱۴ × ۲ = محیط دایره
سانتی‌متر ۶۲/۸ = ۱۰ × ۳/۱۴ × ۲ = محیط دایره
مساحت دایره
مساحت دایره یعنی اندازه سطح آن که فرمول محاسبه آن برابر است با
شعاع × شعاع × ۳/۱۴ = مساحت دایره
شکل جبری فرمول مساحت دایره به‌صورت زیر است:
A=πr2
در اینجا r شعاع دایره و A مساحت آن است.
مثال: مساحت دایره‌ای به شعاع ۵ سانتی‌متر چقدر است؟
جواب: کافی‌ست مقدار شعاع را در فرمول مساحت دایره قرار دهیم. داریم:
شعاع × شعاع × ۳/۱۴ = مساحت دایره
سانتی‌متر مربع ۷۸/۵ = ۵ × ۵ × ۳/۱۴ = مساحت دایره
سخن پایانی
در این آموزش یاد گرفتیم که دایره چیست و چه ویژگی‌هایی دارد. دایره به‌دلیل داشتن ظاهری گرد مانند ویژگی‌هایی دارد که آن را از سایر اشکال هندسی متمایز می‌کند. تمام نقاطی که روی محیط یک دایره واقع شده‌اند از مرکز دایره فاصله یکسانی به‌نام شعاع دارند.
همان‌طور که در این مقاله نیز اشاره کردیم، دایره اجزای مختلفی ازجمله، شعاع، قطر، وتر، کمان، مماس و غیره دارد که از میان آن‌ها شعاع و قطر پارامترهای مهمی در محاسبات مربوط به دایره به‌ویژه محیط و مساحت محسوب می‌شوند. امیدواریم با ارائه این مقاله توانسته باشیم شما را با این شکل هندسی و خواص آن آشنا کرده باشیم.
سؤالات متداول
- تعریف دایره ریاضی هشتم چیست؟
دایره شامل مجموعه نقاطی است که همگی از یک نقطه ثابت، فاصله ثابت و یکسانی دارند. نقطه ثابت را مرکز دایره و فاصله ثابت را شعاع دایره مینامند. - هر دایره چند قطر و چند شعاع دارد؟
دایره بینهایت شعاع و قطر دارد. - نسبت شعاع دایره به قطر آن چقدر است؟
نسبت شعاع دایره به قطر دایره برابر با یک دوم است. - دایره چند خط تقارن دارد؟
دایره بینهایت خط تقارن دارد. - نیم دایره چند خط تقارن دارد؟
نیمدایره تنها یک خط تقارن دارد. - فرمول مساحت دایره چیست؟
فرمول مساحت دایره «۳/۱۴ ضربدر شعاع ضربدر شعاع» است. - فرمول محیط دایره چیست؟
محیط دایره از فرمول «۳/۱۴ ضربدر شعاع ضربدر ۲» محاسبه میشود.
