وتر چیست ؟ | محاسبه وتر در دایره و مثلث + حل مثال

مفهوم وتر در بسیاری از قضایا و محاسبات هندسی به‌ویژه در هندسه دایره مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این آموزش، با مفهوم وتر در دایره و مثلث قائم‌الزاویه آشنا می‌شویم و روش تعیین اندازه آن را با فرمول و حل مثال فرامی‌گیریم.

وتر چیست؟

در هندسه، واژه وتر بیشتر برای دایره به‌کار می‌رود. البته، هنگام توصیف ویژگی‌های مثلث قائم‌الزاویه نیز این واژه بسیار شنیده می‌شود، اما تعریف وتر در این دو شکل با هم متفاوت است در ادامه، درمورد وتر دایره و وتر مثلث قائم‌الزاویه بیشتر توضیح می‌دهیم.

وتر دایره

وتر در دایره، پاره‌خطی مستقیم است که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل می‌کند. ازآنجا که محیط دایره از بی‌نهایت نقطه تشکیل شده است، می‌توان گفت یک دایره بی‌نهایت وتر دارد. طولانی‌ترین وتر دایره، قطر آن است که از مرکز دایره عبور می‌کند. شکل زیر، تفاوت شعاع، قطر و وتر دایره را به‌خوبی نمایش می‌دهد. در این شکل، پاره‌خط PQ وتر دایره است.

پیشنهاد مطالعه: قطر چیست؟

ویژگی های وتر دایره

در این بخش، ویژگی‌های مهم وتر دایره را در قالب چند قضیه بیان می‌کنیم: 
قضیه ۱: وترهایی که طول آن‌ها مساوی است، زوایای مقابلشان که در مرکز دایره قرار دارند با هم برابرند. عکس این قضیه نیز برقرار است یعنی اگر زاویه مقابل وترها که در مرکز دایره قرار دارند، با هم برابر باشند، طول آن وترها برابر خواهد بود.

قضیه ۲: وترهایی که فاصله عمودی آن‌ها از مرکز دایره یکسان است، با هم برابرند. عکس این قضیه نیز درست است یعنی وترهایی که طول برابر دارند، فاصله عمودی آن‌ها از مرکز دایره مساوی است.

قضیه ۳: هر پاره‌خط رسم‌شده از مرکز دایره که وتر را نصف می‌کند، بر آن عمود است. بنابراین، می‌توان گفت پاره‌خطی که بر وتر عمود است، وتر را نصف کرده و از مرکز دایره عبور می‌کند.

وتر مثلث قائم الزاویه

به طولانی‌ترین ضلع مثلث قائم‌الزاویه که روبه‌روی زاویه ۹۰ درجه آن قرار دارد، وتر گفته می‌شود.

محاسبه وتر

در این بخش، به معرفی فرمول محاسبه وتر دایره و مثلث قائم‌الزاویه می‌پردازیم.

محاسبه طول وتر دایره

طول وتر دایره را می‌توان به دو روش محاسبه کرد:

1. با استفاده از شعاع دایره
2. با استفاده از زاویه

در ادامه، هر دو روش را با مثال توضیح خواهیم داد.

رابطه بین وتر و شعاع دایره

اگر شعاع دایره (r) و فاصله عمودی وتر از مرکز دایره (d) را داشته باشیم، می‌توانیم مطابق شکل زیر فرمول محاسبه آن را با کمک قضیه فیثاغورس به‌دست آوریم.

مثال: طول وتر دایره زیر را مشخص کنید.

محاسبه طول وتر با زاویه

با استفاده از شعاع دایره (r) و زاویه مقابل به وتر (C) نیز می‌توانیم طول وتر را محاسبه کنیم.

همان‌طور که می‌بینید، در این فرمول نیز بین طول وتر و شعاع دایره رابطه مستقیم برقرار است.

مثال: طول پاره‌خط AB را به‌دست آورید.

جواب: با قرار دادن مقادیر معلوم در فرمول زیر، طول وتر AB را محاسبه می‌کنیم.

طول وتر=

$$۲rsin(\frac{c}{2})$$

• شعاع دایره (r = ۲۶)
• زاویه مقابله به وتر (C = ۷۵°)

= طول وتر

$$۲\times <!--\; \times \; -->۲۶\times <!--\; \times \; -->sin(\frac{۷۵\circ <!--\; \circ \; -->}{۲})$$

= طول وتر

$$۵۲\times <!--\; \times \; -->\times <!--\; \times \; -->sin(۳۷/۰°)=۵۲\times <!--\; \times \; -->۰.۶=۳۱.۲M$$

محاسبه وتر مثلث قائم الزاویه

طول وتر مثلث قائم‌الزاویه را با استفاده از قضیه فیثاغورس می‌توان محاسبه کرد. بنابراین، با توجه به تصویر زیر، طبق قضیه فیثاغورس خواهیم داشت:

مثال: طول وتر مثلث شکل زیر را محاسبه کنید.

جواب: مطابق قضیه فیثاغورس، طول وتر برابر است با

$$AC=\sqrt{C{B}^{۲}+B{A}^{۲}}$$ $$AC=\sqrt{{۵}^{۲}+{۴}^{۲}}=\sqrt{۲۵+۱۶}=\sqrt{۴۱}=۶.۴CM$$

پیشنهاد مطالعه: ارتفاع چیست؟

سخن پایانی

وتر در دایره به پاره‌خط مستقیمی گفته می‌شود که دو نقطه روی محیط دایره را به هم متصل می‌کند. یک دایره بی‌نهایت وتر دارد که طولانی‌ترین آن‌ها همان قطر دایره است که از مرکز عبور می‌کند. در مثلث قائم‌الزاویه نیز مفهومی به‌نام وتر وجود دارد که تعریف آن متفاوت از تعریف وتر در دایره است. وتر در مثلث قائم‌الزاویه به بزرگ‌ترین ضلع این مثلث گفته می‌شود که در مقابل زاویه قائمه آن قرار دارد. فرمول وتر مثلث و دایره با استفاده از قضیه فیثاغورس به‌دست می‌آید که در این آموزش آن‌ها را همراه با حل مثال فراگرفتیم.

سؤالات متداول

1. وتر یعنی چه؟
   وتر در دایره پاره‌خطی‌ست که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل می‌کند.
2. وتر دایره کجاست؟
   وتر دایره درون محیط دایره قرار می‌گیرد.
3. دایره چند وتر دارد؟
   دایره بی‌نهایت وتر دارد.
4. بزرگ‌ترین وتر دایره چه نام دارد؟
   بزرگ‌ترین وتر دایره که از مرکز دایره می‌گذرد، قطر نام دارد.
5. وتر مثلث قائم‌الزاویه کدام است؟
   وتر مثلث قائم‌الزاویه طولانی‌ترین ضلع این مثلث است که مقابل زاویه قائمه قرار می‌گیرد.