حجم مخروط چیست؟ | فرمول محاسبه با مثال و حل تمرین

احتمالاً با شنیدن نام مخروط و دیدن شکل آن، اولین مثال‌هایی که در دنیای واقعی به ذهنتان می‌رسد، نان بستنی قیفی یا کلاه‌های تولد است. همان‌طور که می‌دانید، اجسام مخروطی‌شکل چون سه‌بعدی هستند، مقداری از فضا را اشغال می‌کنند و دارای حجم هستند. برای محاسبه حجم مخروط مانند سایر اشکال سه‌بعدی باید از فرمول مخصوص آن استفاده کرد. در این مقاله، قصد داریم حجم مخروط و نحوه محاسبه آن را به شما آموزش دهیم و برای کمک به یادگیری بهتر، به حل چند مثال متنوع بپردازیم. 

مخروط چیست؟

اگر یک مثلث قائم‌الزاویه را مانند شکل زیر حول یکی از دو ضلع زاویه قائمه به‌اندازه ۳۶۰ درجه دوران دهید، یک شکل سه‌بعدی فرضی به‌نام مخروط شکل می‌گیرد.

مخروط از یک وجه دایره‌ای و یک وجه منحنی‌شکل با یک رأس ساخته شده است. به‌طور کلی، می‌توان گفت اجزای اصلی یک مخروط شامل موارد زیر است:

انواع مخروط

مخروط‌ها براساس موقعیت رأسشان نسبت به قاعده به دو دسته تقسیم می‌شوند:

مخروط قائم

مخروط قائم مخروطی است که رأس آن دقیقاً در بالای مرکز قاعده قرار می‌گیرد، به‌گونه‌ای که اگر از رأس مخروط، خطی عمود بر قاعده رسم کنیم، انتهای خط درست روی مرکز قاعده می‌افتد. ویژگی دیگری که این نوع مخلوط دارد، این است که پاره‌خط‌هایی که نقاط روی محیط قاعده را به رأس مخروط وصل می‌کنند، طول یکسانی دارند.

مخروط مایل

در مخروط مایل، برخلاف مخروط قائم، رأس مخروط در بالای قاعده قرار ندارد. به‌عبارت دیگر، اگر از رأس خطی عمود بر قاعده رسم کنیم، خط عمود بر مرکز قاعده منطبق نمی‌شود. علاوه‌بر این، در این نوع مخروط پاره‌خط‌هایی که قاعده را به رأس مخروط وصل می‌کنند، طول یکسانی ندارند.

مخروط ناقص

اگرچه در دسته‌بندی مخروط‌ها براساس مکان قرارگیری رأس، به مخروط ناقص اشاره‌ای نکردیم، اما بهتر است با شکل ظاهری آن آشنا شوید. مخروط ناقص همان‌طور که از نامش پیداست، مخروطی است که قسمتی از بالای آن بریده شده و ازاین‌رو، رأس ندارد. این مخروط دارای دو قاعده دایره‌ای موازی با سطح مقطع متفاوت است.

حجم مخروط چیست؟

حجم یک مخروط برابر با کل فضای اشغال‌شده توسط آن است و مانند سایر اشکال هندسی سه‌بعدی مقدار آن را برحسب مکعب بیان می‌کنند، مثل سانتی‌متر مکعب، متر مکعب و مانند اینها. اگر شعاع قاعده مخروط و ارتفاع مخروط را داشته باشیم، به‌راحتی می‌توانیم حجم آن را محاسبه کنیم. به‌طور کلی، حجم یک مخروط برابر است با یک‌سوم حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع. 

ارتفاع مخروط برابر با فاصله عمود بین رأس و قاعده است.

فرمول حجم مخروط مانند فرمول حجم هرم است. بنابراین، با توجه به مفاهیم هندسی و ریاضی، می‌توان مخروط را هرمی در نظر گرفت که قاعده آن به‌جای چندضلعی، یک دایره است. ازآنجا که قاعده مخروط به‌شکل یک دایره است، مساحت آن برابر با مساحت دایره خواهد بود. پس فرمول حجم مخروط را می‌توان به‌شکل زیر نوشت:

$$v=\frac{۱}{۳}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^{۲}h$$

رابطه بین حجم مخروط و استوانه

همان‌طور که می‌دانید، حجم استوانه از رابطه π r^۲h به‌دست می‌آید. ازطرفی، حجم مخروط هم برابر با π× r²× h × (۱ ÷ ۳) است. این بدین معناست که حجم یک استوانه با شعاع و ارتفاع معین ۳ برابر حجم مخروط با همان شعاع و ارتفاع است. شکل زیر، این رابطه را به‌خوبی نشان می‌دهد.

حجم مخروط ناقص

فرمولی که در بخش‌های قبل بیان کردیم، برای محاسبه حجم مخروط قائم و مایل بود. حالا سؤال اینجاست که اگر مخروط ناقص باشد، حجم آن چگونه به‌دست می‌آید. برای محاسبه حجم مخروط ناقص از فرمول زیر استفاده می‌شود:

$$v=\frac{۱}{۳}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}h(R^2+Rr+r^2)$$

حتماً می‌پرسید این فرمول از کجا به‌دست آمد. اگر به‌یاد داشته باشید، گفتیم که مخروط ناقص، مخروط کاملی است که قسمت بالای آن برش خورده است. درواقع، در اثر برش خوردن مخروط کامل، یک مخروط کوچک و یک مخروط ناقص به‌وجود می‌آید. پس با توجه به شکل زیر، می‌توان گفت حجم مخروط ناقص از اختلاف حجم مخروط کامل و حجم مخروط کوچک به‌دست می‌آید.

چند مثال از محاسبه حجم مخروط 

در این بخش، چند نمونه سؤال از مبحث حجم مخروط ریاضی نهم حل می‌کنیم تا نحوه محاسبه حجم مخروط را به‌صورت کاربردی یاد بگیرید.

مثال ۱: یک لیوان مخروطی‌شکل را از شربت پر کرده‌ایم. اگر قطر این لیوان ۸ سانتی‌متر و ارتفاع آن ۱۰ سانتی‌متر باشد، حجم شربت داخل این لیوان چند سانتی‌متر مکعب است؟

جواب: می‌دانیم که برای به‌دست آوردن حجم مخروط باید مساحت قاعده آن را به‌دست آوریم. مساحت قاعده برابر با r2 و برحسب شعاع است. ازآنجا که اندازه شعاع برابر با نصف قطر است، شعاع هم برابر با نصف ۸ سانتی‌متر یعنی ۴ سانتی‌متر خواهد بود. بنابراین، حجم شربت که برابر با حجم لیوان مخروطی‌شکل است، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$v=\frac{۱}{۳}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^{۲}h=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->۳.۱۴\times <!--\; \times \; -->{۴}^{۲}\times <!--\; \times \; -->۱۰=۱۶۷.۴۶c{m}^{۳}$$

مثال ۲: حجم مخروط زیر را به‌دست آورید.

جواب: حجم مخروط مایل از فرمول زیر به دست می‌آید.

$$v=\frac{۱}{۳}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^{۲}h=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->۳.۱۴\times <!--\; \times \; -->{۳}^{۲}\times <!--\; \times \; -->۷=۶۵.۹۴c{m}^{۳}$$

مثال ۳: اگر حجم یک مخروط قائم برابر با ۷/۰۶۵ سانتی‌متر مکعب و ارتفاع آن ۳ سانتی‌متر باشد، مساحت قاعده و شعاع آن چقدر است؟
جواب: داده‌های مسئله را در فرمول حجم مخروط جای‌گذاری می‌کنیم:

$$v=\frac{۱}{۳}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^{۲}h$$ $$۷.۰۶۵c{m}^{۳}=\frac{۱}{۳}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^{۲}۳cm$$ $$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^{۲}=۷.۰۶۵c{m}^{۲}$$

پس مساحت قاعده دایره‌ای مخروط برابر با ۷/۰۶۵ سانتی‌متر مربع است. حالا نوبت محاسبه شعاع قاعده است. شعاع قاعده مخروط را به‌صورت زیر به‌دست می‌آوریم:

$$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^{۲}=۷.۰۶۵c{m}^{۲}$$ $$۳.۱۴\times <!--\; \times \; -->r^{۲}=۷.۰۶۵c{m}^{۲}$$ $$r^{۲}=۲.۲۵c{m}^{۲}$$ $$r=\sqrt{۲.۲۵c{m}^{۲}}$$ $$r=\sqrt{۲.۲۵c{m}^{۲}}=۱.۵cm$$

شعاع قاعده مخروط برابر با ۱/۵ سانتی‌متر است.

مثال ۴: محیط قاعده یک مخروط ۵۶/۵۲ سانتی‌متر و ارتفاع آن ۲۰ سانتی‌متر است، حجم این مخروط را محاسبه کنید.

جواب: برای محاسبه حجم مخروط باید شعاع قاعده را پیدا کنیم. شعاع قاعده را می‌توان از طریق محیط قاعده به‌صورت زیر تعیین کرد:

$$۲\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}r=۵۶.۵۲cm$$ $$۲\times <!--\; \times \; -->۳.۱۴\times <!--\; \times \; -->r=۵۶.۵۲cm$$ $$r=\frac{۵۶.۵۲}{۶.۲۸}$$

حالا که شعاع را پیدا کردیم، مقدار آن را در فرمول حجم مخروط قرار می‌دهیم:

$$v=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\times <!--\; \times \; -->r^{۲}\times <!--\; \times \; -->h=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->۳.۱۴\times <!--\; \times \; -->{۹}^{۲}\times <!--\; \times \; -->۲۰=۱۶۹۵c{m}^{۲}$$

مثال ۵: یک سطل را به‌شکل زیر پر از آب کرده‌ایم. حجم آب داخل این سطل چقدر است؟

جواب: طبق تصویر بالا، سطل پر از آب به‌شکل یک مخروط ناقص است. پس برای تعیین حجم آب داخل آن که برابر با حجم سطل است، باید از فرمول حجم مخروط ناقص استفاده کنیم.

$$v=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\times <!--\; \times \; -->h(R^2+Rr+r^2)$$ $$v=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->۳.۱۴\times <!--\; \times \; -->۳۰(۲{۰}^2+۲۰\times <!--\; \times \; -->۱۵+۱{۵}^2)$$ $$v=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->۹۴.۲\times <!--\; \times \; -->۳۰\times <!--\; \times \; -->(۴۰۰+۳۰۰+۲۲۵)$$ $$v=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->۹۴.۲\times <!--\; \times \; -->۹۲۵=۲۹۰۴۵c{m}^{۳}$$

سخن پایانی

مخروط مانند سایر اشکال سه‌بعدی دارای حجم است و مقداری از فضا را اشغال می‌کند. این شکل هندسی از یک وجه دایره‌ای صاف به‌نام قاعده و یک وجه منحنی‌شکل به‌نام سطح جانبی تشکیل شده است. مخروط یک رأس دارد و فاصله آن تا قاعده را با یک خط عمود به‌نام ارتفاع مشخص می‌کنند. فرمول محاسبه حجم مخروط برابر با یک‌سوم حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع است. با کمک این فرمول می‌توان حجم مخروط‌های قائم و مایل را محاسبه کرد.

سؤالات متداول

1. مخروط چیست؟
   مخروط یک شکل هندسی سه‌بعدی است که از یک وجه دایره‌ای‌شکل مسطح و یک وجه منحنی‌شکل ساخته شده است و فقط یک رأس دارد.
2. انواع مخروط را نام ببرید.
   مخروط از نظر مکان قرارگیری رأس آن نسبت به قاعده، به دو نوع مخروط قائم و مایل دسته‌بندی می‌شود.
3. حجم مخروط چیست؟
   حجم مخروط برابر است با مقدار فضای اشغال‌شده توسط آن.
4. فرمول حجم مخروط کدام است؟
   حجم مخروط قائم و مخروط مایل از رابطه π× r²× h × (۱ ÷ ۳) به‌دست می‌آید.