زاویه متقابل به راس چیست؟ + نمونه سوال کاربردی

مبحث زاویه‌‌ها در دروس ریاضی ازجمله مباحثی است که دانش‌‌آموزان را با کاربرد ریاضی و هندسه در دنیای واقعی آشنا می‌‌کند. زاویه‌‌ها از برخورد دو نیم‌‌خط ساخته می‌‌شوند و نقطه‌‌ای را که این دو نیم‌‌خط به هم برخورد می‌‌کنند راس می‌‌نامند. زاویه متقابل به راس یکی از انواع جفت زاویه‌‌ها است که در تعیین زاویه‌‌ها بسیار به کار می‌‌آید و قرار است در اینجا شما را با آن آشنا کنیم.

اگر کلاس ششم و هفتم هستید و می‌‌خواهید با زاویه متقابل به راس آشنا شوید، به شما پیشنهاد می‌‌کنیم این آموزش مدرسه سلام را حتماً دنبال کنید. در این مقاله، ابتدا توضیح می‌‌دهیم که زاویه متقابل به راس یعنی چه سپس با حل چند نمونه سوال کاربردی نحوه تعیین زاویه‌‌های متقابل به راس را به شما خواهیم آموخت.

زاویه متقابل به راس چیست ؟

در مباحث قبل خواندیم، زاویه از برخورد دو نیم‌خط ساخته می‌شود. زاویه‌‌های متقابل به راس به دو زاویه‌‌‌ گفته می‌‌شود که دارای راس مشترک هستند و روبه‌‌روی یکدیگر قرار دارند. این زاویه‌‌ها در محل برخورد دو خط متقاطع ایجاد می‌‌شوند. به شکل زیر نگاه کنید. در این شکل دو خط متقاطع را می‌‌بینید که در یک نقطه مشترک همدیگر را قطع کرده‌‌اند.

همان‌‌طور که مشاهده می‌‌کنید، برخورد این دو خط باعث شده است که در نقطه برخورد چهار زاویه ایجاد شود. زاویه‌‌هایی که با رنگ یکسان نمایش داده شده‌‌اند و روبه‌‌روی یکدیگر قرار دارند، زاویه‌‌های متقابل به راس هستند.

با توجه به تعریف بالا می‌‌توان نتیجه گرفت که زوایای متقابل به راس دارای سه ویژگی هستند:

1. یک راس مشترک دارند.
2. اندازه آن‌‌ها با هم برابر است.
3. دارای ضلع مشترک نیستند (منظور از ضلع زاویه، همان نیم‌‌خط‌‌هایی است که زاویه را می‌‌سازند).

پیشنهاد مطالعه: خط متقاطع چیست؟

اثبات مساوی بودن زوایای متقابل به راس

در این بخش می‌‌خواهیم به شما نشان دهیم که چگونه ثابت کنید دو زاویه متقابل به راس با هم برابرند . این کار را با رسم دو خط متقاطع شروع می‌‌کنیم. برای انجام مراحل اثبات زاویه متقابل به راس لازم است ابتدا چهار زاویه ایجادشده را مانند شکل زیر نام‌‌گذاری کنیم. در این صورت، چهار زاویه شامل AOB، BOC، COD و DOA خواهیم داشت. پس ما در اینجا باید ثابت کنیم که زاویه‌‌های DOA و BOC و زاویه‌‌های AOB و COD با هم برابر و درنتیجه متقابل به راس هستند.

با توجه به اینکه روش اثبات برابر بودن زاویه‌‌های DOA و BOC و زاویه‌‌های AOB و COD مشابه هم است، تنها به اثبات زاویه‌‌های DOA و BOC می‌‌پردازیم.
می‌‌دانیم دو زاویه‌‌ مکمل یعنی مجموع اندازه آن‌‌ها برابر با ۱۸۰ درجه است، وقتی در مجاورت هم قرار بگیرند، یعنی یک ضلعشان مشترک باشد، دو ضلع غیرمشترکشان یک خط راست تشکیل می‌‌دهند. بنابراین، واضح است که طبق شکل زیر زاویه‌‌های DOA و AOB مکمل هم هست.

ازطرفی، براساس این تعریف می‌‌توان مکمل بودن زاویه‌‌های DOA و COD را نیز به‌‌صورت نوشت:

از این دو رابطه می‌‌توان نتیجه گرفت که مجموع زاویه‌‌های DOA و AOB با مجموع زاویه‌‌های DOA و COD برابر است:

اگر زاویه DOA را که در دو طرف تساوی وجود دارد حذف کنیم به تساوی زیر می‌‌رسیم:

این تساوی، برابر بودن زوایای متقابل به راس AOB و COD را به‌‌خوبی نشان می‌‌دهد.

نمونه سوال زاویه متقابل به راس

در این بخش سعی می‌‌کنیم چند مثال از زاویه متقابل به راس کلاس ششم و هفتم حل کنیم تا این مفهوم هندسی بهتر در خاطرتان بماند.

سؤال ۱:

مجموع دو زاویه متقابل به راس ۸۰ درجه است اندازه هر کدام چند درجه است ؟

پاسخ: طبق صورت سؤال، دو زاویه داریم که مجموعشان ۸۰ درجه است:

ازآنجا که این دو زاویه متقابل به راس هستند، از ویژگی مساوی بودن زوایای متقابل به راس کمک می‌‌گیریم. در این صورت، عبارت بالا را می‌‌توانیم به‌‌صورت زیر بنویسیم:

بنابراین، اندازه هر کدام از زوایای متقابل به راس ۴۰ درجه است.

سؤال ۲:

اگر مجموع دو زاویه متقابل به راس ۲۱۰ درجه باشد اندازه هر یک چند درجه است ؟

پاسخ: مجموع این دو زاویه را به‌‌صورت زیر می‌‌نویسیم:

با توجه به برابر بودن دو زاویه متقابل به راس می‌‌توانیم به‌‌راحتی به جواب برسیم. داریم:

می‌‌بینیم که اندازه هر زاویه متقابل به راس برابر با ۱۰۵ درجه شد.

سؤال ۳:

در شکل زیر اندازه زاویه‌‌های x و y را تعیین کنید.

پاسخ: در این سؤال برای به دست آوردن مقدار x از ویژگی دو زاویه متقابل به راس با هم برابرند ریاضی هفتم استفاده می‌‌کنیم. با توجه به اینکه زاویه x و زاویه ۱۰۵ درجه متقابل به راس هستند، می‌‌توان نتیجه گرفت که مقدار x نیز برابر با ۱۰۵ درجه است.

حالا نوبت تعیین زاویه y است. شکل بالا به‌‌خوبی نشان می‌‌دهد که زاویه y و زاویه ۱۰۵ درجه مکمل یکدیگر هستند. این یعنی اینکه مجموع زاویه y و زاویه ۱۰۵ درجه باید برابر با ۱۸۰ درجه باشد. پس خواهیم داشت:

y+۱۰۵°=۱۸۰°

y=۱۸۰°-۱۰۵°

y=۷۵°

درنتیجه زاویه x مساوی ۱۰۵ درجه و زاویه y برابر با ۷۵ درجه است.

سؤال ۴:

در شکل زیر اندازه یکی از زاویه‌‌هایی که قطرهای یک متوازی‌‌الاضلاع با هم ساخته‌‌اند داده شده است. اندازه سایر زاویه‌‌ها را به دست آورید.

پاسخ: با توجه به اینکه زاویه‌‌های ۱ و ۳ مکمل زاویه ۶۰ درجه هستند، زاویه ۱ برابر خواهد بود با:

همان‌‌طور که می‌‌بینید، زاویه ۱ و ۳ متقابل به راس هستند. پس اندازه زاویه ۳ نیز برابر با ۱۲۰ درجه خواهد بود. با توجه به شکل، زاویه ۲ متقابل به راس زاویه ۶۰ درجه است. درنتیجه اندازه زاویه ۲ نیز ۶۰ درجه خواهد بود.

سؤال ۵: اندازه زاویه‌‌های ۱، ۲ و ۳ را مشخص کنید.

پاسخ: ابتدا اندازه زاویه ۱ را تعیین می‌‌کنیم. زاویه ۱ و زاویه ۲۵ درجه متمم یکدیگرند. پس باید زاویه ۱ را طوری تعیین کنیم که مجموع اندازه آن و زاویه ۲۵ درجه برابر با ۹۰ درجه شود.

زاویه ۲ و زاویه ۲۵ درجه متقابل به راس‌‌اند. ازاین‌‌رو، اندازه آن‌‌ها برابر خواهد بود:

زاویه ۳ را نیز می‌‌توان به‌‌راحتی تعیین کرد. اگر به شکل بالا دقت کنید متوجه می‌‌شوید که این زاویه مکمل زاویه ۲۵ درجه است. پس مقدار آن به‌‌صورت زیر محاسبه می‌‌شود:

سؤال ۶:

دو زاویه متقابل به راس متمم یکدیگرند اندازه هر کدام چند درجه است ؟

پاسخ: می‌‌دانیم که مجموع یک زاویه و متمم آن ۹۰ درجه می‌‌شود:

اگر این دو زاویه متقابل به راس باشند باید مقدارشان یکسان باشد، یعنی اندازه زاویه و متمم آن با هم برابر باشد. در این صورت، رابطه بالا را می‌‌توانیم به‌‌صورت زیر بازنویسی کنیم:

بنابراین، اندازه هر یک از زاویه‌‌ها برابر با ۴۵ درجه است.

سؤال ۷:

دو زاویه متقابل به راس مکمل یکدیگر هستند اندازه هر کدام جای خالی درجه است ؟

پاسخ: اگر دو زاویه مکمل هم باشند مجموعشان ۱۸۰ درجه خواهد بود:

درصورت متقابل به راس بودن دو زاویه، مقدار زاویه و مکمل آن مساوی است. پس خواهیم داشت:

اندازه هر کدام از دو زاویه متقابل به راس ۹۰ درجه است.

سخن پایانی

زاویه‌‌های متقابل به راس به‌‌دلیل اینکه دارای اندازه‌‌های برابر هستند، در مسائل هندسی ازجمله تعیین زاویه‌‌های مجهول نقشی حیاتی دارند. در طول این آموزش دیدیم که زاویه‌‌های متقابل به راس از تقاطع دو خط ایجاد می‌‌شوند و در راس مشترک روبه‌‌روی یکدیگر قرار می‌‌گیرند. این ویژگی راهنمای مناسبی برای تشخیص این نوع جفت‌‌زاویه‌‌هاست و در حل مسائل بسیار کمک‌‌کننده خواهد بود.

سؤالات متداول

1. زاویه متقابل به راس یعنی چه ؟
   زاویه‌‌های متقابل به راس جفت‌‌زاویه‌‌هایی هستند که از برخورد دو خط ایجاد می‌‌شوند و درنتیجه یک راس مشترک دارند.
2. آیا دو زاویه متقابل به راس با هم برابرند ؟
   بله. این زوایا با یکدیگر برابرند.
3. آیا زاویه‌‌های متقابل به راس متمم یکدیگرند؟
   این زوایا همواره متمم یکدیگر نیستند. تنها درصورتی متمم یکدیگرند که اندازه آن‌‌ها ۴۵ درجه باشد.
4. آیا زوایای متقابل به راس مکمل هم نیز هستند؟
   تنها در یک حالت مکمل هم هستند، اینکه هر یک از آن‌‌ها ۹۰ درجه باشند.
5. مجموع دو زاویه متقابل به راس ۱۲۰ درجه است اندازه هر زاویه چند درجه است ؟
   ازآنجا که دو زاویه متقابل به راس مساوی هستند، با تقسیم ۱۲۰ درجه بر ۲ مقدار هر یک از زوایا ۶۰ درجه خواهد بود.
6. مجموع دو زاویه متقابل به راس ۹۴ درجه است اندازه هر یک چند درجه است ؟
   به‌‌دلیل برابر بودن زوایای متقابل به راس، ۹۴ درجه را تقسیم بر ۲ می‌‌کنیم تا مقدار هر کدام از دو زاویه به دست آید. این مقدار برابر با ۴۷ درجه است.