اگر فرمولهای مشتق را متوجه نمیشوید و هر بار بین قاعده ضرب، تقسیم و زنجیرهای گیر میکنید مسئله احتمالا کمبود فرمول نیست. مشکل از یک مرحله قبلتر شروع میشود و آن مشتق گیری است. مشتق سرعت تغییر یک مقدار نسبت به مقدار دیگر را نشان میدهد. در نمودار هم میتوان آن را شیب خط مماس بر منحنی در یک نقطه دانست.
مثلا اگر تابعی مکان یک خودرو را برحسب زمان نشان دهد مشتق آن میتواند سرعت لحظهای خودرو را مشخص کند. اگر تابع هزینه تولید را داشته باشیم مشتق میتواند نشان دهد افزایش مقدار تولید تقریبا چه تغییری در هزینه ایجاد میکند. پس مشتق فقط یک فصل پر از فرمول عجیب در ریاضی دوازدهم نیست؛ ابزاری برای اندازهگیری تغییر است.
در این آموزش مشتقگیری مدارس سلام قرار نیست فرمولها را پشت سر هم بهکار ببریم. از پایه جلو میرویم، چند بار مسئله را از راه سادهتر حل میکنیم و بعد میرسیم به مشتق توابع مرکب، رادیکالی، لگاریتمی، ضمنی و مشتقگیری عددی را با هم تمرین میکنیم.
مشتق گیری چیست؟
فرض کنید در جاده رانندگی میکنید. در ۲ ساعت ۱۲۰ کیلومتر پیمودهاید و خیلی راحت میتوانیم بگوییم سرعت متوسط شما ۶۰ کیلومتر بر ساعت بوده است چون ۶۰ = ۲ ÷ ۱۲۰ است. اما اگر سوال را این گونه کنیم که در دقیقه ۴۳ سرعت خودرو چقدر بوده؟ دیگر نمیتوانیم کل مسافت را بر کل زمان تقسیم کنیم. باید تغییر مکان را در یک بازه زمانی بسیار کوچک اطراف همان لحظه بررسی کنیم، مشتق تقریبا همین است. اگر تابع f(x) را داشته باشیم، نرخ تغییر متوسط آن در فاصله x تا x+h برابر است با:
حالا h را آنقدر کوچک میکنیم که به صفر نزدیک شود. به تعریف مشتق میرسیم:
مشتق در واقع حد نسبت تغییرات تابع به تغییرات ورودی است و به همین دلیل با نرخ تغییر لحظهای و شیب خط مماس ارتباط مستقیم دارد. ممکن است این تعریف در نگاه اول سنگین باشد اما نگرانش نباشید. در بیشتر سوالهای مشتقگیری قرار نیست هر بار این حد را حساب کنیم، بلکه قواعدی داریم که کار را چند برابر سریعتر میکنند که در ادامه آنها را بررسی میکنیم.
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیههای مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر میشود!
مشتق در یک نقطه چیست؟
بین تابع مشتق و مشتق در یک نقطه تفاوت کوچکی وجود دارد. اگر f(x) = x۲ باشد، مشتق تابع برابر است با f'(x) = ۲x که این هنوز یک تابع است، ولی اگر بخواهیم مشتق در نقطه x=۳ را پیدا کنیم f'(۳) = ۶ درست است. عدد ۶ شیب خط مماس بر نمودار y = x۲ در نقطهای با مختصات x=3 است. پس وقتی سوال میگوید مشتق تابع را پیدا کنید، معمولا باید f'(x) را به دست آورید.
نکته مهم: وقتی میگوییم مشتق تابع در نقطه ۳ چند است، بعد از مشتقگیری باید x=۳ را جایگذاری کنید. همین تفاوت کوچک نقطه اشتباه محاسبه تعداد قابل توجهی از سوالها است.
مثال از مشتق گیری با استفاده از تعریف مشتق
جدول مهم ترین فرمول های مشتق گیری
این جدول را میتوان هسته اصلی فرمولهای مشتق دانست که باید به خوبی آن را یاد بگیرید:
| تابع | مشتق |
|---|---|
| c | ۰ |
| x | ۱ |
| xn | nxn-۱ |
| cf(x) | cf'(x) |
| f(x) + g(x) | f'(x) + g'(x) |
| f(x) – g(x) | f'(x) – g'(x) |
| f(x)g(x) | f'(x)g(x) + f(x)g'(x) |
| f(x) g(x) | f'(x)g(x) – f(x)g'(x) [g(x)]۲ |
| sin x | cos x |
| cos x | -sin x |
| tan x | sec۲ x |
| ex | ex |
| ax | ax ln a |
| ln x | ۱ x |
قواعد ثابت، توان، جمع، تفریق، ضرب و تقسیم جزو قواعد پایه مشتقگیری هستند. حالا ببینیم هرکدام واقعا چطور استفاده میشوند.
مشتق عدد ثابت
اگر تابع فقط یک مقدار ثابت باشد، مشتق آن صفر است. مثلا برای تابع f(x) = ۸ مشتق f'(x) = ۰ را داریم. دلیل این موضوع هم ساده است؛ نمودار تابع ثابت یک خط افقی است و خط افقی شیب صفر دارد. در نتیجه برای هر مقدار ثابت c مشتق آن نسبت به x صفر خواهد بود. برای مثال، مشتق عدد ۱۲۵ صفر است و مشتق π نیز صفر میشود؛ چرا که هر دو، مقادیر ثابت هستند.
قانون توان
قانون توان یکی از پرکاربردترین قوانین مشتقگیری است. اگرf(x) = xn باشد، مشتق آن برابر f'(x) = nxn-۱ خواهد بود. روش بهخاطر سپردنش هم ساده است توان را به جلوی عبارت بیاورید و یکی از توان کم کنید.
مثال: اگر f(x) = x۵ باشد مشتق آن f'(x) = ۵x۴ است. برای تابعf(x) = ۷x۴ نیز بهf'(x) = ۲۸x۳ میرسیم.
مشتق توان منفی
همین موضوع برای توانهای کسری هم کاربرد دارد و کمی جلوتر در مشتق توابع رادیکالی از آن استفاده میکنیم.
مشتق گیری جمع و تفریق
در جمع و تفریق کار نسبتا راحت است کافی است از هر جمله جداگانه مشتق بگیریم.
فرمول مشتق گیری ضرب
اینجا یکی از اشتباههای مهم دانشآموزان رخ میدهد. مشتق حاصلضرب دو تابع، حاصلضرب مشتقهای آن دو نیست. اگر y = u(x)v(x) باشد قانون صحیح چنین است:
(uv)’ = u’v + uv’
یعنی یک بار تابع اول را مشتق میگیریم و دومی را همانطور نگه میداریم، سپس برعکس این کار را انجام میدهیم و دو حاصل را با هم جمع میکنیم.
فرمول مشتق گیری تقسیم
اگر تابع از تقسیم دو تابع دیگر ساخته شده باشد، از قاعده خارج قسمت استفاده میکنیم:
ترتیب صورت مهم است؛ بهخصوص اگر علامت منفی بین دو بخش صورت کسر باشد. فرض کنید:
قبل از اجرای قوانین سنگین، بررسی کنید آیا تابع قابل سادهسازی هست یا نه.
مشتق گیری توابع مرکب و قاعده زنجیره ای
قاعده زنجیرهای یکی از مهمترین قوانین مشتق است. هر وقت یک تابع داخل تابع دیگری قرار گرفته باشد، احتمال زیادی دارد که به این قانون احتیاج داشته باشیم.
برای تابعی به شکل y = [g(x)]n مشتق به صورت زیر نوشته میشود:
اگر بخواهیم سادهتر این قاعده را توضیح دهیم باید گفت که ابتدا از تابع بیرونی مشتق بگیرید سپس جواب را در مشتق تابع داخلی ضرب کنید.
مشتق گیری از جذر و توابع رادیکالی
برای مشتقگیری از رادیکالها، معمولا بهتر است ابتدا رادیکال را به توان کسری تبدیل کنیم.
مثلاً همان است. طبق قانون توان، مشتق آن برابر میشود و در شکل رایجتر داریم:
مشتق گیری توابع کسری و گویا
برای هر تابع کسری مجبور نیستیم از قانون تقسیم استفاده کنیم. گاهی تبدیل کسر به توان منفی مسیر بسیار کوتاهتری میسازد.
مثلاً در تابع میتوانیم ابتدا بنویسیم
طبق قانون توان، مشتق برابر خواهد بود؛ یعنی:
برای کسرهای ساده این روش معمولا سریعتر است. در توابع کسری پیچیدهتر، قاعده تقسیم انتخاب مناسبتری خواهد بود.
مشتق گیری دوازدهم تجربی و ریاضی را چطور بخوانیم؟
برای دانشآموز دوازدهم، بدترین روش این است که یک جدول بزرگ فرمول را یکشبه حفظ کند. فصل مشتق در منابع آموزشی دوازدهم فقط به محاسبه چند مشتق محدود نیست و موضوعاتی مانند مفهوم مشتق، مشتق در یک نقطه، مشتقپذیری، پیوستگی و آهنگ تغییر هم اهمیت دارند. برای یادگیری مشتقگیری دوازدهم این ترتیب منطقیتر است. بنابراین طبق آن عمل کنید:
- مفهوم شیب و خط مماس را بفهمید.
- تعریف مشتق در یک نقطه را یاد بگیرید.
- مشتق ثابت و توان را مسلط شوید.
- جمع و تفریق را تمرین کنید.
- سراغ حاصلضرب و خارجقسمت بروید.
- قاعده زنجیرهای را جدی تمرین کنید.
- سوالهای ترکیبی حل کنید.
- بعد وارد کاربرد مشتق و مسائل اکسترمم شوید.
مشتق گیری عددی چیست؟
تا اینجا معمولا یک تابع مشخص داشتیم و فرمول دقیق مشتق آن را حساب میکردیم. ولی گاهی ممکن است فرمول تابع را نداشته باشیم بلکه فقط تعدادی داده اندازهگیریشده داشته باشیم. به این مثال توجه کنید:
| زمان | دما |
| ۰ | ۲۰ |
| ۱ | ۲۴ |
| ۲ | ۲۹ |
| ۳ | ۳۱ |
در چنین وضعیتی میتوان مشتق را بهصورت تقریبی محاسبه کرد. به این کار مشتق گیری عددی گفته میشود که یکی از روشهای رایج، تفاضل مرکزی است و برابر است با:
چند تمرین مشتق گیری با جواب
در ادامه برخی از نمونه سوالات مشتق گیری را با هم مرور میکنیم:
برای تابع جواب این است:
برای تابع قاعده زنجیرهای لازم است. ابتدا مشتق تابع بیرونی را میگیریم و سپس در مشتق داخل ضرب میکنیم؛ بنابراین جواب است.
برای باید از قاعده ضرب استفاده کنیم. جواب نهایی برابر است با:
نتیجهگیری
در شروع ممکن است مشتقگیری شبیه یک کمد شلوغ از فرمولها دیده میشود. توان، ضرب، تقسیم و زنجیرهای هر کدام راه حل خودشان را دارند. بعد از تمرین اتفاق جالبی میافتد دیگر تابع را به شکل یک رشته طولانی از نمادها نمیبینید و اجزایش مشخص میشوند. از همین نقطه مشتقگیری از حفظ فرمول تبدیل به حل مسئله میشود. اگر تازه شروع کردهاید عجله نکنید که یکباره سراغ سختترین سوالها بروید. چند قانون اصلی را واقعا بفهمید، با مثال تثبیتشان کنید و بعد ترکیبشان کنید.
سوالات متداول
مشتق نشان میدهد یک تابع در یک نقطه با چه سرعتی تغییر میکند. از دید هندسی مقدار مشتق برابر شیب خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه است.
ابتدا قانون توان، ثابت، جمع و تفریق را یاد بگیرید. سپس حاصلضرب و تقسیم و در مرحله بعد قاعده زنجیرهای را تمرین کنید.
یک فرمول واحد وجود ندارد اما قانون توان و قاعده زنجیرهای در تعداد بسیار زیادی از مسائل استفاده میشوند. قوانین ضرب و تقسیم نیز جزو قواعد اصلی مشتق هستند.
