استوانه چیست؟ ׀ ویژگی ها و فرمول ها + روش ساخت استوانه

استوانه یکی از کاربردی‌‌ترین حجم‌‌های هندسی است که هم در زندگی روزمره بسیار به چشم می‌‌خورد و هم در علوم و صنایع مختلف نقش مهمی ایفا می‌‌کند. از قوطی‌‌های نوشابه گرفته تا قطعات مهم در صنعت، همگی نمونه‌‌هایی از شکل استوانه هستند. در این آموزش می‌‌خواهیم بررسی کنیم که استوانه چیست چه ویژگی‌‌هایی دارد و چگونه ساخته می‌‌شود. بنابراین، ابتدا با توضیح مختصری به مبحث استوانه چیست سوم ابتدایی می‌‌پردازیم، سپس الگو و روش ساخت استوانه ریاضی ششم را توضیح می‌‌دهیم. در انتها نیز درمورد شیوه محاسبه محیط و مساحت استوانه صحبت می‌‌کنیم.

استوانه چیست ؟

استوانه یک شکل هندسی سه‌‌بعدی یا به‌‌عبارتی دارای حجم است. این حجم هندسی از دو سطح (وجه) دایره‌‌ای هم‌‌اندازه و موازی با هم تشکیل شده است که توسط یک سطح (وجه) خمیده به هم متصل شده‌‌اند. به‌‌طور کلی، یک استوانه از سه سطح (وجه) ساخته می‌‌شود.

وسایل استوانه ای شکل فراوانی در پیرامون ما وجود دارند. در اینجا ما چند نمونه وسیله و شئ استوانه‌‌ای‌‌شکل را که بیشتر در اطرافمان می‌‌بینیم، نام می‌‌بریم.

این نمونه‌‌ها عبارت‌‌اند از:
• قوطی نوشابه یا کنسرو
• شمع استوانه‌‌ای
• دستمال توالت
• باتری‌‌های قلمی و نیم‌‌قلمی
• لیوان یا ماگ استوانه‌‌ای
• ستون‌‌های ساختمان
• لوله آب یا گاز

قاعده استوانه

در این بخش به شما توضیح می‌‌دهیم که قاعده کجاست . منظور از قاعده استوانه همان سطوح یا وجه‌‌های دایره‌‌ای مشابهی است که به‌‌صورت موازی در بالا و پایین استوانه قرار گرفته‌‌اند. به فاصله عمودی بین این دو قاعده، ارتفاع استوانه گفته می‌‌شود. بنابراین، در پاسخ به سؤال قاعده استوانه چه شکلی است (هفتم متوسطه) باید گفت که قاعده استوانه به‌‌شکل یک دایره است.

ساخت استوانه با مستطیل

برای ساختن این حجم هندسی ابتدا باید بدانیم استوانه از چه شکل هایی درست شده است یا به‌‌عبارتی، الگو ساخت استوانه چیست. طبق تعریف بخش قبل و تصاویر گسترده استوانه، واضح است که یک استوانه شامل دو دایره هم‌‌اندازه و یک مستطیل است. برای ساختن استوانه قبل از هر چیزی لازم است وسایل زیر را تهیه کنید:

• مداد
• مقوا
• قیچی
• چسب

پس از آماده کردن این وسایل، کافی‌‌ست مانند مراحل زیر عمل کنید تا بتوانید استوانه را خودتان بسازید.

1. ابتدا یک تکه مقوا را به هر اندازه که می‌‌خواهید به‌‌شکل مستطیل برش دهید.
2. سپس مستطیل را لوله کرده و چسب بزنید. دقت کنید که اگر می‌‌خواهید یک استوانه بلند داشته باشید مستطیل را از قسمت طول آن یعنی ضلعی که بزرگ‌‌تر است لوله کنید اما اگر می‌‌خواهید ارتفاع استوانه کمتر باشد، می‌‌توانید لوله کردن مقوا را از قسمت عرض آن یعنی ضلع کوچک‌‌تر انجام دهید.
3. در مرحله سوم شما باید یک لوله مقوایی داشته باشید. برای کامل کردن ساخت استوانه باید قاعده‌‌های دایره‌‌ای‌‌شکل را نیز برش دهید و بچسبانید. برای این کار، کافی‌‌ست سر لوله مقوایی را که به‌‌شکل یک دایره است روی مقوا قرار دهید و با مداد دورتادور آن را رسم کنید. دایره دیگری نیز به همین اندازه بکشید.
4. در مرحله آخر هر دو دایره را با قیچی برش دهید و با چسب به دو طرف لوله مقوایی بچسبانید تا استوانه کامل شود. به همین راحتی می‌‌توانید یک استوانه بسازید.

انواع استوانه

تا اینجا یاد گرفتیم که استوانه چیست حالا در این بخش می‌‌خواهیم به معرفی انواع استوانه بپردازیم. به‌‌طور کلی، استوانه چهار نوع دارد که عبارت‌‌اند از:
• استوانه قائم: استوانه‌‌ای که محور آن عمود بر قاعده‌‌هاست. منظور از محور استوانه خطی است که از مرکز دو قاعده می‌‌گذرد.
• استوانه مایل: استوانه‌‌ای است که محور آن بر قاعده‌‌ها عمود نیست. به بیان دیگر، استوانه مایل به استوانه‌‌ای گفته می‌‌شود که محور آن با قاعده‌‌ها زاویه‌‌ای غیر از زاویه ۹۰ درجه می‌‌سازد.
• استوانه بیضوی: به استوانه‌‌ای گفته می‌‌شود که قاعده‌‌های آن بیضی‌‌شکل هستند.
• استوانه توخالی: این نوع استوانه از دو استوانه قائم ساخته شده است که یکی از آن‌‌ها درون دیگری قرار دارد. برای همین درون این استوانه یک فضای خالی ایجاد می‌‌شود.

فرمول محیط استوانه

محیط ازجمله مفاهیمی است که برای اشکال دوبعدی به کار می‌‌رود. با توجه به اینکه استوانه یک شکل هندسی سه‌‌بعدی و دارای حجم است، باید ابتدا آن را در یک صفحه مسطح (دوبعدی) تجسم کنیم و سپس محیطش را به دست آوریم. به‌‌طور کلی، فرمول محیط استوانه بستگی به این دارد که استوانه را از چه قسمتی مشاهده می‌‌کنیم. در اینجا دو حالت خواهیم داشت:
• اگر استوانه را از قاعده آن مشاهده کنیم، یک دایره خواهیم دید. در این صورت، فرمول محیط استوانه همان فرمول محیط دایره خواهد بود. بنابراین، برای استوانه‌‌ای که شعاع قاعده‌‌های آن r است، محیط استوانه از رابطه زیر به دست می‌‌آید:

P=۲πr

P محیط استوانه و π همان عدد پی یعنی ۳/۱۴ است.
• اگر استوانه را از سطح خمیده نگاه کنیم، با یک مستطیل روبه‌‌رو خواهیم شد که طولش برابر با ارتفاع استوانه و عرضش مساوی با قطر قاعده است. در این حالت، فرمول محیط استوانه با فرمول محیط این مستطیل یکسان خواهد بود:

P=۲d+۲h

h ارتفاع استوانه و d قطر قاعده است.

مساحت استوانه

مساحت کل یک استوانه از مجموع مساحت سطح خمیده و مساحت دو قاعده آن محاسبه می‌‌شود. بنابراین، قبل از اینکه فرمول مساحت کل استوانه را به دست آوریم، باید فرمول مساحت سطح خمیده و مساحت قاعده آن را تعیین کنیم. در ادامه، بیشتر دراین‌‌باره توضیح خواهیم داد.

فرمول مساحت جانبی استوانه

مساحت جانبی برابر با اندازه سطح کنار آن است. بنابراین، وقتی صحبت از مساحت جانبی یک استوانه به میان می‌‌آید، منظور همان مساحت سطح خمیده استوانه است. به سطح خمیده استوانه سطح جانبی گفته می‌‌شود.

اگر سطح جانبی یک استوانه را مطابق شکل زیر گسترده کنیم، آن را به‌‌شکل یک مستطیل مشاهده خواهیم کرد که طول آن برابر با محیط قاعده دایره‌‌ای‌‌شکل و عرض آن برابر با ارتفاع استوانه است. پس می‌‌توان نتیجه گرفت مساحت جانبی استوانه با مساحت این مستطیل برابر است و از فرمول زیر محاسبه می‌‌شود.

ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی استوانه

A=۲πr×h

• r: شعاع قاعده استوانه
• h: ارتفاع استوانه
• π: عدد پی (۳/۱۴)

پیشنهاد مطالعه: فرمول محیط دایره چیست؟

مساحت قاعده استوانه

اکنون که می‌‌دانیم قاعده‌‌های استوانه به‌‌شکل دایره هستند، تعیین مساحت قاعده کار بسیار راحتی است. کافی‌‌ست از فرمول مساحت دایره استفاده کنیم. داریم:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت قاعده استوانه

A_۱=πr^۲

• A_۱: مساحت قاعده استوانه
• r: شعاع قاعده استوانه
• π: عدد پی (۳/۱۴)

مساحت کل استوانه

مساحت کل استوانه مساوی با مجموع مساحت دو قاعده و مساحت سطح جانبی استوانه است. این رابطه را می‌‌توانیم به‌‌صورت جبری نیز بنویسیم:

S=۲πr^۲+۲πrh
S=۲πr(r+h)

بیایید با هم یک مثال برای استوانه حل کنیم تا نحوه محاسبه مساحت استوانه را به‌‌خوبی یاد بگیرید.
مثال: مساحت کل شکل زیر را محاسبه کنید.

جواب: در این شکل، اندازه شعاع قاعده و ارتفاع استوانه داده شده است. پس با کمک فرمول ارائه‌‌شده در بالا می‌‌توانیم به‌‌راحتی مساحت کل استوانه را حساب کنیم. کافی‌‌ست این مقادیر را در فرمول جای‌‌گذاری کنیم. خواهیم داشت:

S=۲πr(r+h)

• h=۱۰ cm
• r=۳ cm

S=۲×۳/۱۴×۳×(۳+۱۰)

S=۲×۳/۱۴×۳×۱۳

S=۲۴۴/۹۲

مساحت کل استوانه ۲۴۴/۹۲ سانتی‌‌متر مربع است.

برای بررسی دقیق تر محیط ومساحت این شکل هندسی، مقاله محیط و مساحت استوانه را مطالعه کنید.

حجم استوانه

اگر به شکل استوانه خوب نگاه کنید، متوجه می‌‌شوید که این شکل هندسی مقداری از فضا را اشغال می‌‌کند و به‌‌عبارتی، دارای حجم است. برای تعیین مقدار حجم یک استوانه تنها کاری که لازم است انجام دهید این است که مساحت قاعده را که به‌‌شکل دایره است با استفاده از فرمول مساحت دایره به دست آورید، سپس حاصل آن را در ارتفاع استوانه ضرب کنید. بنابراین، می‌‌توانیم حجم استوانه را با فرمول زیر محاسبه کنیم:

ارتفاع × مساحت قاعده = حجم استوانه

فرمول جبری حجم استوانه نیز به‌‌صورت زیر خواهد بود:

V=πr^۲ h

• V: حجم استوانه
• π: عدد پی (۳/۱۴)
• r: شعاع قاعده استوانه
• h: ارتفاع استوانه

مثال: حجم استوانه‌‌ای را به دست آورید که شعاع قاعده آن ۵ سانتی‌‌متر و ارتفاعش ۹ سانتی‌‌متر است.
جواب: از فرمول حجم استوانه کمک می‌‌گیریم و مقادیر معلوم را در آن قرار می‌‌دهیم. داریم:

V=πr^۲ h

V=۳/۱۴×(۵)^۲×۹

V=۳/۱۴×۲۵×۹

V=۷۰۶/۵

درنتیجه، حجم این استوانه برابر با ۷۰۶/۵ سانتی‌‌متر مکعب است.

سخن پایانی

در این آموزش با شکل استوانه کلاس چهارم دبستان آشنا شدیم و شیوه ساخت آن با استفاده از مقوا را برای دانش‌‌آموزان ابتدایی توضیح دادیم. استوانه یک شکل هندسی دارای حجم است که از دو سطح دایره‌‌ای مشابه و یک مستطیل خمیده ساخته می‌‌شود و از آن دسته شکل‌‌هایی است که ساختن آن برای دانش‌‌آموزان لذت‌‌بخش و سرگرم‌‌کننده خواهد بود. برای این حجم هندسی مانند دیگر حجم‌‌های هندسی می‌‌توان مفاهیمی همچون مساحت و حجم تعریف کرد که شیوه محاسبه آن‌‌ها را با مثال در این مقاله آموختیم. در بخش بعدی، به چند سؤال کلی و پرتکرار درمورد استوانه پاسخ خواهیم داد.

سؤالات متداول

1. استوانه چیست ؟
   استوانه یک شکل هندسی سه‌‌بعدی و دارای حجم است که از دو سطح دایره‌‌ای هم‌‌اندازه و یک سطح خمیده به‌‌شکل مستطیل تشکیل می‌‌شود.
2. قاعده استوانه چه شکلی است؟
   قاعده‌‌های استوانه همان سطوح دایره‌‌ای‌‌شکل هستند. بنابراین، قاعده استوانه به‌‌شکل یک دایره است.
3. مساحت استوانه چگونه محاسبه می‌‌شود؟
   مساحت استوانه از مجموع مساحت دو قاعده و مساحت سطح خمیده به دست می‌‌آید.
4. فرمول حجم استوانه چیست ؟
   فرمول حجم استوانه به‌‌صورت «مساحت قاعده ضربدر ارتفاع استوانه» نوشته می‌‌شود.