چگونه مخرج مشترک بگیریم؟ | آموزش ساده و گام‌به‌گام + مثال

کسرها مجموعه‌‌ای از اعداد بسیار پرکاربرد در زندگی روزمره ما هستند. از همین رو، یادگیری محاسبات آن‌‌ها از اهمیت خاصی برخوردار است. ازجمله محاسبات مهم مربوط به دو یا چند کسر متعارفی عمل جمع و تفریق آن‌‌ها است که برخلاف ضرب و تقسیم، باید به یکسان بودن مخرج آن‌‌ها توجه کرد. در مواقعی که مخرج کسرها یکسان نیست باید با مخرج مشترک گرفتن آن‌‌ها را یکسان کرد و سپس محاسبات را انجام داد.

در ادامه این مطلب به شما خواهیم گفت چگونه بین دو یا چند کسر مخرج مشترک بگیرید تا مخرج‌‌ها با هم برابر شوند. پس تا انتهای این آموزش با ما همراه باشید.

مخرج مشترک چیست ؟

می‌‌دانیم که کسر از صورت و مخرج ساخته شده است. صورت و مخرج کسرها توسط یک خط کسری از هم جدا شده‌‌اند؛ بخش بالای خط کسری را صورت و بخش پایین آن را مخرج می‌‌نامند.

برای مثال، در کسر عدد ۴ صورت و عدد ۷ مخرج است. وقتی که با کسرها آشنا می‌‌شویم، لازم است که مانند اعداد صحیح، توانایی تشخیص بزرگی و کوچکی آن‌‌ها را داشته باشیم و بتوانیم به مقایسه آن‌‌ها بپردازیم. همچنین، باید چهار عمل اصلی جمع و تفریق و ضرب و تقسیم آن‌‌ها را نیز یاد بگیریم. اما اگر مخرج‌‌ها نامساوی باشند چه؟ در این حالت باید چه کار کرد؟ پاسخ روشن است. باید سعی کنیم مخرج‌‌ها برابر شوند.

این عمل یعنی یکسان کردن مخرج‌‌ها را در ریاضی اصطلاحاً مخرج مشترک گرفتن می‌‌گویند. درواقع، اگر مخرج دو یا چند کسر یکسان باشد، آن مخرج را مخرج مشترک می‌‌نامند.

راه‌‌های مختلفی برای پیدا کردن مخرج مشترک بین کسرها وجود دارد که در ادامه به آن‌‌ها خواهیم پرداخت.

پیشنهاد مطالعه: نشان دادن کسر روی محور

چگونه مخرج مشترک بگیریم ؟

برای تبدیل کسرهای با مخرج نامساوی به کسرهای دارای مخرج مساوی دو روش وجود دارد:

• روش ضرب مخرج‌‌ها
• روش یافتن ک م م (کوچک‌‌ترین مضرب مشترک)

در بخش‌‌های بعدی، نحوه استفاده از این دو روش را برای مقایسه ی کسرها و جمع و تفریق کسرها توضیح می‌‌دهیم.

مخرج مشترک به روش ضرب مخرج ها

همان‌‌طور که بیان کردیم، مقایسه کسرها و جمع و تفریق آن‌‌ها با مخرج مشترک امکان‌‌پذیر است. اگر به یاد داشته باشید، در مقاله تساوی کسرها آموختیم که اگر صورت و مخرج یک کسر را در یک عدد غیرصفر ضرب کنیم، مقدار کسر تغییری نخواهد کرد. به‌‌عنوان مثال، کسر و تمام کسرهای زیر یک مقدار را نشان می‌‌دهند و با هم برابرند.

از این ویژگی کسرها می‌‌توان در تعیین مخرج مشترک استفاده کرد. به‌‌عبارتی، هنگام مخرج مشترک گرفتن باید هر عددی را که در مخرج ضرب می‌‌کنیم در صورت نیز ضرب کنیم تا مقدار کسر و درنتیجه حاصل جمع و تفریق آن‌‌ها تغییر نکند.

یک روش ساده برای مساوی کردن مخرج دو کسر، ضرب کردن مخرج‌‌ها در یکدیگر است. با این کار، کسرهای جدیدی خواهیم داشت که مخرج آن‌‌ها یکسان و برابر با حاصل‌‌ضرب مخرج‌‌های اولیه است. البته طبق توضیحاتی که درمورد تساوی کسرها دادیم، در اینجا باید دقت کرد که هنگام ضرب مخرج کسر اول در مخرج کسر دوم، صورت کسر اول را نیز در همان مخرج کسر دوم ضرب کنیم تا در مقدار کسر تغییری ایجاد نشود. 

همین کار را برای کسر دوم نیز باید اجرا کرد. یعنی صورت و مخرج کسر دوم را باید در مخرج کسر اول ضرب کنیم. برای درک بهتر این روش و آشنایی با شیوه استفاده از آن برای مقایسه و جمع و تفریق دو کسر، به دو مثالی که در ادامه حل می‌‌کنیم توجه کنید.

مثال اول: می‌‌خواهیم کسرهای زیر را با هم مقایسه کنیم:

برای مقایسه دو کسر، باید به مقدار صورت‌‌ها و مخرج‌‌ها توجه کنیم. اگر صورت‌‌ها یا مخرج‌‌ها با هم برابر باشند، کار ما راحت خواهد بود و می‌‌توانیم به‌‌آسانی کسر بزرگ‌‌تر و کوچک‌‌تر را مشخص کنیم.

زمانی که صورت دو کسر با هم مساوی است، کسری که مخرج آن کوچک‌‌تر باشد را به‌‌عنوان کسر بزرگ‌‌تر در نظر می‌‌گیریم. اما درصورتی که مخرج‌‌ها یکسان باشند، کسری بزرگ‌‌تر خواهد بود که صورت آن بزرگ‌‌تر است.

همان‌‌طور که می‌‌بینید، در این مثال صورت‌‌ها و مخرج‌‌های دو کسر یکسان نیست و نمی‌‌توان به‌‌راحتی آن‌‌ها را با هم مقایسه کرد. پس در اینجا لازم است که مخرج مشترک بگیریم. 

ابتدا صورت و مخرج کسر را در مخرج کسر دوم یعنی ۷ ضرب می‌‌کنیم:

حالا باید صورت و مخرج کسر را در مخرج کسر اول یعنی ۵ ضرب کنیم:

اکنون دو کسر جدید با مخرج مشترک ۳۵ داریم و می‌‌توانیم به‌‌راحتی کسر بزرگ‌‌تر و کوچک‌‌تر را تعیین کنیم.

با توجه به توضیحاتی که دادیم، کسری بزرگ‌‌تر است که صورت آن بزرگ‌‌تر است. بنابراین، رابطه بزرگ‌‌تر و کوچک‌‌تر بودن دو کسر بالا به‌‌صورت زیر خواهد بود:

مثال دوم: فرض کنید می‌‌خواهیم حاصل عبارت زیر را به‌‌دست آوریم:

برای حل سوال طبق قواعد جمع کسر ها، باید ابتدا مخرج‌‌ها را مساوی کنیم. از روش ضرب کردن مخرج‌‌ها استفاده می‌‌کنیم و مخرج مشترک می‌‌گیریم. به همین منظور، صورت و مخرج کسر اول یعنیرا در مخرج کسر دوم (۹) و صورت و مخرج کسر دوم یعنی را در مخرج کسر اول (۸)  ضرب کرده و کسرها را به‌‌صورت زیر می‌‌نویسیم:

حالا دو کسر را با هم جمع می‌‌زنیم:

حاصل‌‌جمع یک کسر بزرگ‌‌تر از واحد است و می‌‌توان تبدیل کسر به عدد مخلوط انجام داد:

مخرج مشترک به کمک ک م م

علاوه‌‌بر روش ضرب مخرج‌‌ها روش دیگری نیز برای یافتن مخرج مشترک وجود دارد. در این روش، با کمک پیدا کردن ک م م (کوچک‌‌ترین مضرب مشترک) مخرج کسرها، مخرج‌‌ها را یکسان می‌‌کنیم. برای یافتن کوچک‌‌ترین مضرب مشترک بین مخرج‌‌ها می‌‌توان از روش لیست کردن مضرب مخرج‌‌ها یا تجزیه آن‌‌ها به عامل‌‌های اول استفاده کرد. 

در روش لیست کردن، مضرب‌‌های مخرج کسرها را از کوچک به بزرگ می‌‌نویسیم و کوچک‌‌ترین مضربی را که بین آن‌‌ها مشترک است به‌‌عنوان ک م م و درنتیجه مخرج مشترک انتخاب می‌‌کنیم. اما در روش تجزیه، باید مخرج‌‌ها را به عامل‌‌های اول تجزیه کنیم. در این روش، کوچک‌‌ترین مضرب مشترک از حاصل‌‌ضرب عامل‌‌های مشترک با بزرگ‌‌ترین توان در عامل‌‌های غیرمشترک به‌‌دست می‌‌آید.

با یک مثال، هر دو روش را توضیح می‌‌دهیم.

مثال: عبارت زیر را در نظر بگیرید:

می‌‌خواهیم حاصل تفریق این دو کسر را حساب کنیم. در گام اول، باید مخرج‌‌ها را یکی کنیم. یکی کردن مخرج‌‌ها را با استفاده از پیدا کردن ک م م مخرج دو کسر انجام می‌‌دهیم. اگر بخواهیم از روش لیست کردن استفاده کنیم، باید مضرب‌‌های ۱۲ و ۱۸ را از کوچک به بزرگ به‌‌شکل زیر بنویسیم:

• مضرب‌‌های عدد ۱۲: ۱۲، ۲۴، ۳۶، ۴۸ و غیره.

• مضرب‌‌های عدد ۱۸: ۱۸، ۳۶، ۵۴، ۷۲ و غیره.

همان‌‌طور که می‌‌بینید، عدد ۳۶ کوچک‌‌ترین مضربی است که بین دو عدد ۱۲ و ۱۸ مشترک است. بنابراین، ۳۶ را به‌‌عنوان مخرج مشترک در نظر می‌‌گیریم. پس باید صورت و مخرج هر دو کسر را در عددی ضرب کنیم که مخرج آن‌‌ها مساوی ۳۶ شود. داریم:

حالا می‌‌توانیم دو کسر را از هم کم کنیم:

اگر از روش تجزیه به عامل‌‌های اول استفاده کنیم، باید ابتدا مخرج‌‌ها به‌‌صورت زیر به عامل‌‌های اول تجزیه شوند:

۱۲= ۲× ۲× ۳ = ۲ ^۲ × ۳

۱۸ = ۲ × ۳ ×۳ = ۲ × ۳ ^۲

در اینجا عامل غیرمشترک وجود ندارد. اگر عامل‌‌های مشترک با توان بیشتر را در هم ضرب کنیم به حاصل‌‌ضرب زیر می‌‌رسیم:

۲ ^۲ × ۳ ^۲ = ۴ × ۹ = ۳۶

می‌‌بینیم که در این روش، مخرج مشترک همان مقداری به‌‌دست آمد که در روش اول به‌‌دست آوردیم. پس روش‌‌ها جواب یکسانی به ما می‌‌دهند و شما با هر روشی که راحت‌‌تر هستید می‌‌توانید ک م م مخرج‌‌ها را تعیین کنید.

مخرج مشترک بین سه کسر

مثال‌‌هایی که تا اینجا حل کردیم، همگی درمورد نحوه مخرج مشترک گرفتن بین مخرج دو کسر بود. حال این سؤال پیش می‌‌آید که اگر بیشتر از دو کسر داشته باشیم باید چه روشی را در پیش بگیریم. برای محاسبه مخرج مشترک بین سه کسر روش یافتن ک م م مخرج‌‌ها روش مناسبی خواهد بود. 

برای مثال، فرض کنید سه کسر داریم که مخرج آن‌‌ها ۸ و ۶ و ۹ است و باید مخرج مشترک آن‌‌ها را به‌‌دست آوریم.

برای تعیین مخرج مشترک بین ۸ و ۶ و ۹ ابتدا از طریق یکی از دو روش لیست کردن مضرب‌‌ها و تجزیه به عامل‌‌های اول، کوچک‌‌ترین مضرب مشترک بین این سه عدد را مشخص می‌‌کنیم.

اگر از روش تجزیه استفاده کنیم، خواهیم داشت:

۶ = ۲ × ۳
۸ =۲× ۲× ۲= ۲ ^۳
۹ = ۳ × ۳ = ۳ ^۲

چون در اینجا عامل غیرمشترک نداریم، از حاصل‌‌ضرب عامل‌‌های مشترک با توان بزرگ‌‌تر می‌‌توانیم ک م م ۸ و ۶ و ۹ را به‌‌دست آوریم. داریم:

۲^۳ × ۳^۲ = ۸ × ۹ = ۷۲

بنابراین، ک م م مخرج‌‌ها و درنتیجه مخرج مشترک سه کسر مساوی با ۷۲ است. اکنون باید صورت و مخرج هر کدام از کسرها را در عددی ضرب کنیم که مقدار مخرج‌‌ها مساوی ۷۲ شود.

پیشنهاد مطالعه: آموزش ضرب و تقسیم کسرها

آزمون سنجش یادگیری مخرج مشترک

سؤال ۱: کدام یک از گزینه‌‌های زیر می‌‌تواند مخرج مشترک کسرهایباشد؟

الف) ۲۴ 

ب) ۱۸

ج) ۱۶

د) ۴۰

جواب صحیح: گزینه «ج»

پاسخ تشریحی: مخرج مشترک را عددی انتخاب می‌‌کنیم که بر ۱۶ و ۸ بخش‌‌پذیر باشد. از بین چهار گزینه تنها گزینه «ج» بر این دو عدد بخش‌‌پذیر است. البته با نوشتن مضرب‌‌های ۱۶ و ۸ به‌‌صورت زیر، می‌‌توانیم خیلی راحت به پاسخ برسیم.

• مضرب‌‌های ۸: ۸، ۱۶، ۲۴، ۳۲، ۴۰ و غیره
• مضرب‌‌های ۱۶: ۱۶، ۳۲، ۴۸ و غیره

واضح است که کوچک‌‌ترین مضرب مشترک ۱۶ و ۸ و درنتیجه مخرج مشترک دو کسر عدد ۱۶ است. البته می‌‌توان مضرب‌‌های مشترک دیگر مانند ۳۲ را نیز به‌‌عنوان مخرج مشترک در نظر گرفت اما این مورد هم در گزینه‌‌ها نیست، هم اینکه انتخاب کوچک‌‌ترین مضرب مشترک یعنی ۱۶ محاسبات را به مراتب برای ما راحت‌‌تر می‌‌کند.

سؤال ۲:حاصل عبارت کدام یک از گزینه‌‌های زیر است؟

الف)

ب)

ج)

د)

جواب صحیح: گزینه «الف»

پاسخ تشریحی: مخرج‌‌ها نامساوی و نسبت به هم اول هستند. کافی‌‌ست صورت و مخرج کسر اول را در ۷ و صورت و مخرج کسر دوم را در ۳ ضرب کنیم تا مخرج‌‌ها مشترک شوند. به‌‌این‌‌ترتیب، داریم:

سؤال ۳: حاصل برابر است با

• الف)
• ب)
• ج)
• د)

جواب صحیح: گزینه «ج»

پاسخ تشریحی: در این سؤال یک عدد مخلوط داریم. ابتدا این عدد را به‌‌شکل کسر می‌‌نویسیم:

حالا حاصل عبارت داده‌‌شده را محاسبه می‌‌کنیم. مخرج دو کسر برابر با ۵ است. پس باید برای عدد ۲ که یک عدد صحیح است نیز مخرج ۵ قرار دهیم تا مخرج‌‌ها یکسان شوند. خواهیم داشت:

سؤال ۴: حاصل عبارت برابر است یا

الف)

ب)

ج)

د)

جواب صحیح: گزینه «ب»

پاسخ تشریحی: ابتدا اعداد مخلوط را به کسر تبدیل می‌‌کنیم:

حالا مخرج مشترک می‌‌گیریم و دو کسر را با هم جمع می‌‌زنیم. ک م م ۶ و ۹ و درنتیجه مخرج مشترک کسرها برابر با ۱۸ است. پس حاصل‌‌جمع دو کسر به‌‌صورت زیر به‌‌دست می‌‌آید:

سخن پایانی

توانایی یافتن مخرج مشترک هنگام مقایسه و جمع و تفریق کسرهایی که مخرج نابرابر دارند حائز اهمیت است. طبق تعریف مخرج مشترک اگر مخرج دو یا چند کسر با هم برابر باشند، آن مخرج‌‌ها را مخرج مشترک می‌‌نامند. روش‌‌های مختلفی برای محاسبه مخرج مشترک یا به‌‌عبارتی، یکسان کردن مخرج‌‌ها وجود دارد که در این مقاله با ذکر مثال آن‌‌ها را معرفی کرده و آموزش لازم را دادیم.

نکته‌‌ای که در یکسان کردن مخرج‌‌ها باید در نظر داشته باشیم این است که هر عددی را در مخرج کسر ضرب کردیم باید همان عدد را در صورت نیز ضرب کنیم تا مقدار کسرها تغییر نکند. در آخر، یادآور می‌‌شویم که حل نمونه سؤال‌‌های بیشتر راهکار مفیدی برای تسلط بیشتر بر مطالب گفته‌‌شده در این مقاله است. پس آن را فراموش نکنید.