مساحت دایره | فرمول مساحت دایره + مثال ساده و تصویری

چرخ‌های دوچرخه، تایرهای اتومبیل، میدان‌های داخل شهر، ساعت‌های مچی و خوراکی‌هایی مثل پیتزا و کیک‌های تولد، همگی نمونه‌هایی از دایره هستند که روزانه با آن‌ها سروکار داریم. دایره، به‌دلیل نداشتن ضلع و گوشه، برخلاف دیگر اشکال هندسی، ظاهری ساده‌تر دارد. اما آیا می‌توان مانند محیط و مساحت اشکال هندسی دیگر، مساحت آن را نیز به‌دست آورد؟ مثلاً مساحت یک میدان شهری چگونه محاسبه می‌شود؟

خوشبختانه، دایره هم مانند سایر اشکال هندسی، فرمول مشخصی برای محاسبه مساحت دارد که برابر است با مجذور شعاع ضربدر عدد پی. اما عدد π (پی) چیست و مقدار آن چقدر است و شعاع دایره چه نقشی در این فرمول دارد؟ در ادامه، علاوه بر پاسخ به این سؤالات، با ارائه مثال‌های کاربردی، نحوه محاسبه مساحت دایره از طریق روش‌های مختلف را به شما آموزش می‌دهیم.

دایره چیست؟

«دایره» (Circle) به مجموعه نقاطی از یک صفحه گفته می‌شود که همگی از یک نقطه ثابت (مرکز) فاصله یکسان و ثابتی دارند. نقطه ثابت را مرکز دایره و فاصله ثابت نقاط از مرکز را شعاع می‌گویند.

اگر شعاع را مستقیم تا روی دایره امتداد دهیم، پاره‌خطی به‌وجود می‌آید که به آن قطر می‌گویند. به بیانی ساده، قطر پاره‌خطی است که از مرکز دایره می‌گذرد و دو انتهای آن روی دایره قرار می‌گیرد. پس، براساس این تعریف، می‌توان گفت که قطر 2 برابر شعاع است. شکل زیر را ببینید تا تفاوت شعاع و قطر را بهتر متوجه شوید.

پیشنهاد مطالعه: چگونه با پرگار دایره رسم کنیم؟

مساحت دایره چیست؟

مساحت دایره معیاری است که نشان‌دهنده فضای داخلی دایره است. مساحت دایره به زبان ساده برابر با π ضربدر مربع شعاع دایره است.

فرمول مساحت دایره

در مقاله «مساحت چیست» گفتیم که مساحت یک شکل برابر است با اندازه سطح آن شکل. طبق این تعریف، مساحت دایره برابر است با اندازه سطح آن، که در شکل زیر یعنی اندازه قسمت رنگ‌شده.

فرمول مساحت دایره با شعاع

مساحت دایره را می‌توان با استفاده از شعاع آن از فرمول زیر به‌دست آورد:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

دانش‌آموزان کلاس هفتم که برای اولین بار با عبارت‌های جبری آشنا می‌شوند و در حل مسائل ریاضی آن‌ها را به‌کار می‌برند، بهتر است فرمول مساحت دایره کلاس هفتم را برحسب متغیرها به‌صورت زیر استفاده کنند:

A = πr²

عدد پی یک عدد ثابت است و مقدار آن تقریباً برابر است با ۳/۱۴.
مثال: شعاع یک دایره 5 سانتی‌متر است، مساحت آن را حساب کنید (عدد پی را تقریباْ ۳ در نظر بگیرید).

برای به‌دست آوردن مساحت این دایره، مقدار شعاع را در فرمول جای‌گذاری کنیم:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره
75 سانتی‌متر مربع = ۲۵ × ۳ = ۵ × ۳ × ۵ = مساحت دایره

فرمول مساحت دایره با قطر

در ابتدای این آموزش گفتیم که قطر ۲ برابر شعاع یا به‌عبارتی شعاع نصف قطر است. بنابراین، کافی‌ست در فرمول مساحت دایره به‌جای شعاع، قطرتقسیم بر 2 را قرار دهیم:

(۲ ÷ قطر) × ( ۲ ÷ قطر) × عدد پی = مساحت دایره

فرمول مساحت دایره برحسب قطر:

A =(πd²) ÷ ۴

• A: مساحت دایره
• π: عدد پی (۳/۱۴)
• r: شعاع دایره
• d:قطر دایره

مثال: مساحت دایره زیر را محاسبه کنید (عدد پی را تقریباْ 3 در نظر بگیرید).

در شکل بالا، قطر دایره برابر 8 سانتی‌متر است. پس مساحت دایره را به‌صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

۴ ÷ ( قطر × قطر × عدد پی ) = مساحت دایره
۴۸ = ۴ ÷ ۱۹۲ = ۴ ÷ ( ۶۴ × ۳) = ۴ ÷ (۳ × ۸ × ۸) = مساحت دایره

فرمول رابطه بین محیط دایره و مساحت دایره چیست؟

فرمول مساحت دایره را می‌توان به‌جای استفاده از شعاع، با استفاده از محیط دایره نیز بیان کرد. با توجه به اندازه محیط و شعاع، مساحت دایره به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

شعاع × نصف محیط دایره = مساحت دایره

نمونه سؤال مساحت دایره 

سؤال ۱: مساحت دایره‌های زیر را محاسبه کنید.

در دایره بزرگ، اندازه قطر داده شده است. در اینجا هم می‌توان از فرمول مساحت دایره با قطر و هم از فرمول مساحت با شعاع که در بالا به آن اشاره کردیم استفاده کرد. قطر دایره بزرگ ۸ سانتی‌متر است، پس شعاع آن ۴ سانتی‌متر می‌شود. این مقدار را در فرمول قرار می‌دهیم:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره بزرگ

۵۰/۲۴ سانتی‌متر مربع = ۱۶× ۳/۱۴ = ۴ × ۴ × ۳/۱۴ = مساحت دایره بزرگ

شعاع دایره کوچک ۳ سانتی‌متر است، پس با جای‌گذاری در فرمول، مساحت آن را مانند مساحت دایره بزرگ به‌دست می‌آوریم:

۲۸/۲۶ سانتی‌متر مربع = ۹× ۳/۱۴ = ۳ × ۳ × ۳/۱۴ = مساحت دایره کوچک

سؤال ۲: مساحت قسمت رنگ‌شده را در شکل زیر به‌دست آورید.

برای به‌دست آوردن مساحت قسمت رنگ‌شده، کافی‌ست مساحت دایره کوچک را از مساحت دایره بزرگ کم کنیم.

۲۸/۲۶ سانتی‌متر مربع = ۹× ۳/۱۴ = ۳ × ۳ × ۳/۱۴ = مساحت دایره بزرگ

۱۲/۵۶ سانتی‌متر مربع = ۴× ۳/۱۴ = ۲ × ۲ × ۳/۱۴ = مساحت دایره کوچک

مساحت دایره کوچک – مساحت دایره بزرگ = مساحت قسمت رنگ‌شده

۱۵/۷ = ۱۲/۵۶ – ۲۸/۲۶ = مساحت قسمت رنگ‌شده

مساحت قسمت رنگ‌شده ۱۵/۷ سانتی‌متر مربع است.

سؤال ۳: برای زیباسازی ۳ میدان در داخل شهر قرار است سطح آن‌ها را چمن بکارند، اگر شعاع این میدان‌ها ۴ متر باشد، برای زیبا کردن هر ۳ میدان چند متر مربع چمن لازم است؟

چون هر ۳ میدان شعاع یکسانی دارند و هم‌اندازه هستند، مساحت یکی از میدان‌ها را حساب می‌کنیم و سپس حاصل آن را در ۳ ضرب می‌کنیم تا مشخص شود چند متر مربع چمن لازم است.

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت یک میدان

۵۰/۲۴ سانتی‌متر مربع = ۱۶ × ۳/۱۴ =۴ × ۴ × ۳/۱۴ = مساحت یک میدان

۱۵۰/۷۲ متر مربع = ۵۰/۲۴ × ۳ = مساحت ۳ میدان

پس با محاسبه مساحت دایره، برای زیباسازی این ۳ میدان، ۱۵۰/۷۲ متر مربع چمن لازم است.

سؤال ۴: مساحت شکل زیر را به‌دست آورید.

برای محاسبه مساحت این شکل، مساحت هر سه شکل را جداگانه حساب می‌کنیم:

۲۰۰/۹۶ سانتی‌متر مربع = ۶۴ × ۳/۱۴ = ۸ × ۸ × ۳/۱۴ = مساحت دایره بزرگ

۱۵۳/۸۶ سانتی‌متر مربع = ۴۹ × ۳/۱۴ = ۷ × ۷ × ۳/۱۴ = مساحت دایره وسط

۱۱۳/۰۴ سانتی‌متر مربع = ۳۶ × ۳/۱۴ = ۶ × ۶ × ۳/۱۴ = مساحت دایره کوچک

حالا مقدارهای به‌دست‌آمده را با هم جمع می‌کنیم تا مساحت کل شکل به‌دست آید:

۴۶۷/۸۶ = ۱۱۳/۰۴ + ۱۵۳/۸۶ + ۲۰۰/۹۶ = مساحت کل شکل

مساحت کل شکل برابر با ۴۶۷/۸۶ سانتی‌متر مربع است.

سؤال ۵: یک پیتزا با قطر ۲۰ سانتی‌متر را بین ۸ نفر به‌طور مساوی تقسیم کرده‌ایم. مقدار مساحت هر تکه پیتزا چقدر است؟

قطر پیتزا  ۲۰ سانتی‌متر است، پس شعاع آن ۱۰ سانتی‌متر می‌شود. با جای‌گذاری مقدار شعاع در فرمول مساحت دایره، مساحت پیتزا را به‌دست می‌آوریم:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت پیتزا

۳۱۴ سانتی‌متر مربع = ۱۰ × ۱۰× ۳/1۴ = مساحت پیتزا

چون پیتزا را به ۸ قسمت مساوی تقسیم شده است، برای به‌دست آوردن مساحت هر تکه از آن کافی‌ست مقدار مساحت پیتزا را بر ۸ تقسیم کنیم.

۳۹/۲۵ سانتی‌متر مربع = (۸ ÷ ۳/۱۴) = مساحت یک تکه پیتزا

پس مقدار مساحت هر تکه پیتزا ۳۹/۲۵ سانتی‌متر مربع است.

سخن پایانی

مساحت دایره برابر است با اندازه سطح آن. برای محاسبه مساحت دایره به اندازه شعاع یا قطر آن نیاز داریم. گفتیم که قطر پاره‌خطی است که از مرکز دایره می‌گذرد و دو سر آن روی دایره قرار می‌گیرد و شعاع هم برابر با نصف قطر است. بنابراین مساحت دایره را هم می‌توان با قطر و هم با شعاع به‌دست آورد. فرمول مساحت دایره با شعاع به‌صورت «شعاع × شعاع × عدد پی» و فرمول مساحت دایره با قطر، « پی عدد قطر قطر۴» است.

سؤالات متداول

1. مساحت دایره چیست؟
   اندازه سطح یک دایره را مساحت آن دایره می‌گویند.
   
2. محاسبه مساحت دایره به چه صورت است؟
   مساحت دایره از فرمول «شعاع × شعاع × ۳/۱۴» به‌دست می‌آید.
   
3. فرمول مساحت دایره با استفاده از قطر چگونه است؟
   ۴÷ (قطر×قطر×۳/۱۴)