قدر مطلق چیست؟ ׀ آموزش کامل قدر مطلق در ریاضی + مثال

قدر مطلق به معنای فاصله یک عدد از صفر است. ازآنجا که امکان منفی شدن فاصله وجود ندارد، مقدار قدر مطلق همواره مقداری نامنفی است. با توجه به کاربرد مفهوم قدر مطلق در رسم نمودارها و حل معادله‌‌ها و نامعادله‌‌های پایه نهم، استفاده از آموزشی که قدر مطلق را به‌‌طور کامل و به زبانی ساده توضیح دهد، بسیار اهمیت دارد. زیرا آموزش پایه‌‌ای و صحیح این مفهوم ادامه مسیر را برای دانش‌‌آموزان در مقاطع بالاتر هموارتر می‌‌کند.

اگر شما نیز از آن دسته از افراد هستید که می‌‌خواهید قدر مطلق را مفهومی و کاربردی یاد بگیرید و در حل معادلات و نامعادلات کمتر دچار مشکل شوید، این مطلب را از دست ندهید. در این آموزش از مجموعه آموزش‌‌های ریاضی مدارس سلام قرار است از تعریف ساده تا حل مسئله به آموزش قدر مطلق پایه نهم بپردازیم و شما را با اشتباهات رایج قدر مطلق آشنا کنیم.

قدر مطلق چیست؟

قدر مطلق که در زبان انگلیسی به آن Absolute value گفته می‌‌شود، بیان‌‌کننده فاصله تا مبدا (صفر) است. بنابراین، در ریاضی وقتی صحبت از قدر مطلق یک عدد می‌‌شود، منظور فاصله آن عدد از صفر است. برای نشان دادن قدر مطلق یک عدد، علامت «|» را در هر دو طرف آن عدد قرار می‌‌دهیم. برای مثال، قدر مطلق عددی مانند ۳ به‌‌صورت |۳| نمایش داده می‌‌شود.

چرا قدر مطلق همیشه مثبت یا صفر است؟

همان‌‌طور که گفتیم، قدر مطلق به زبان ساده یعنی فاصله تا مبدا (صفر). می‌‌دانیم که فاصله با مقدار مثبت بیان می‌‌شود و فاصله منفی نداریم. بنابراین، مقدار قدر مطلق همیشه مثبت یا صفر است.

قدر مطلق روی محور اعداد

با توجه به تعریف قدر مطلق که به‌‌صورت فاصله عدد از صفر بیان می‌‌شود، می‌‌توانیم مقدار مطلق یک عدد را با فاصله روی محور اعداد نشان دهیم. به‌‌عنوان مثال، همان‌‌طور که در تصویر زیر نیز نشان داده شده است، عدد ۵، ۵ واحد از مبدا (صفر) فاصله دارد و فاصله ۵- از مبدا نیز به‌‌اندازه ۵ واحد است. پس می‌‌توان گفت که فاصله عدد ۵ و -۵ از صفر یکسان است و علامت منفی تاثیری در مقدار فاصله آن‌‌ها از مبدا ندارد. این بدین معناست که قدر مطلق ۵ مساوی ۵ و قدر مطلق ۵- نیز برابر با ۵ است.

مثال‌‌های ساده از فاصله عدد تا صفر

اکنون که با مفهوم قدر مطلق آشنا شده‌‌ایم، می‌‌توانیم برای نمایش قدر مطلق اعداد مختلف به‌‌جای رسم محور اعداد از نماد قدر مطلق استفاده کنیم. مثال‌‌های زیر نمونه‌‌هایی از قدر مطلق اعداد مختلف هستند:

• ۸=|۸| و ۸=| ۸- |← فاصله از صفر ۸ واحد است.
• ۱۳=|۱۳| و ۱۳=|۱۳ -|← فاصله از صفر ۱۳ واحد است.
• ۵۴=|۵۴| و ۵۴=|۵۴- |←فاصله از صفر ۵۴ واحد است.

قدر مطلق صفر، عدد مثبت و عدد منفی

همان‌‌طور که دیدیم، نمایش قدر مطلق روی محور اعداد با مشخص کردن فاصله از صفر انجام می‌‌شود. بنابراین، طبق توضیحات داده‌‌شده و محورهایی که در بخش‌‌های قبل رسم کردیم، می‌‌توانیم به سه نتیجه کلی برسیم:

• قدر مطلق صفر، صفر است (۰=|۰|).
• قدر مطلق عدد مثبت برابر با همان عدد مثبت است (۱+=|۱+|).
• قدر مطلق عدد منفی برابر با قرینه آن است (۱+=|۱ـ|).

مطابق با سه گزاره بالا، خروجی قدر مطلق همواره مثبت یا صفر است. برای درک بهتر نحوه محاسبه قرینه اعداد و کاربرد آن در مسائل ریاضی، می‌توانید به مقاله آموزشی قرینه عدد چیست؟ مراجعه کنید.

فرمول قدر مطلق

با توجه به ویژگی‌‌هایی که تا اینجا بیان کردیم، می‌‌توانیم قدر مطلق را به‌‌صورت یک تابع ریاضی تعریف کنیم. تابع قدر مطلق برای مقدار دلخواه x به‌‌صورت |x| نوشته می‌‌شود. بسته به اینکه مقدار x مثبت، منفی یا صفر باشد حاصل تابع مقدار متفاوتی خواهد داشت. در ادامه فرمول قدر مطلق برای حالت‌‌های مختلف را بررسی می‌‌کنیم.

فرمول |x| برای حالت x≥۰

طبق تعریف قدر مطلق در ریاضی زمانی که مقدار درون قدر مطلق مثبت (بزرگ‌‌تر از صفر) یا صفر باشد، خودش را می‌‌نویسیم. در این حالت، تابع قدر مطلق به‌‌صورت زیر نمایش داده می‌‌شود:

x| = x|

فرمول |x| برای حالت x<۰

حالا اگر مقدار x یعنی مقدار درون قدر مطلق منفی باشد یعنی از صفر کوچک‌‌تر باشد، باید علامتش را قرینه کنیم تا به عددی مثبت تبدیل شود زیرا خروجی تابع قدر مطلق همیشه مثبت یا صفر است. در این صورت، تابع قدر مطلق را می‌‌توان به‌‌شکل زیر نوشت:

x| = -x|

جدول تشخیص سریع مقدار قدر مطلق

در تعریف ریاضی قدر مطلق تابع قدر مطلق به‌‌صورت زیر نشان داده می‌‌شود:

این نمایش ریاضی، فرمول قدر مطلق را برای مقادیر مختلف به‌‌خوبی بیان می‌‌کند.

مثال‌‌های ساده از قدر مطلق

برای درک بهتر تابع مطلق و تشخیص سریع قدر مطلق مقادیر مختلف، به بررسی چند مثال قدر مطلق می‌‌پردازیم. با کمک این مثال‌‌های ساده می‌‌توانید روش تعیین مقدار مطلق عبارت‌‌های ساده را یاد بگیرید و اشتباهات رایجی را که ممکن است با آن‌‌ها مواجه شوید دیگر انجام ندهید.

قدر مطلق اعداد صحیح

اعداد صحیح اعداد کاملی هستند که تمام اعداد مثبت، منفی و حتی صفر را شامل می‌‌شوند. براساس جدول تصویر بالا، می‌‌توانیم قدر مطلق این گروه از اعداد را به‌‌راحتی به دست آوریم. برای مثال، قدر مطلق عدد ۱۵- را به‌‌صورت زیر مشخص می‌‌کنیم:

واضح است که ۱۵- یک عدد منفی است. پس برای تعیین قدر مطلق باید آن را قرینه کنیم تا به یک عدد مثبت یعنی ۱۵ تبدیل شود. بنابراین داریم:

|-۱۵| = -(-۱۵) =۱۵

مثال‌‌های دیگری از قدر مطلق اعداد صحیح را در ادامه مشاهده می‌‌کنید:

|۱۰۱| = ۱۰۱
|-۲۸| = -(-۲۸) =۲۸
|-۷|= -(-۷) =۷
|۲۴۱| = ۲۴۱
|-۶۵۳| = -(-۶۵۳) = ۶۵۳

قدر مطلق کسر و اعشار

اعداد اعشاری و کسری بیانگر اعداد غیرصحیح هستند. قدر مطلق این اعداد مانند اعداد صحیح به‌‌راحتی به دست می‌‌آید و غیرصحیح بودن‌‌شان تفاوتی در شیوه تعیین قدر مطلق آن‌‌ها نسبت به اعداد صحیح نخواهد داشت زیرا همان‌‌طور که یاد گرفتیم قدر مطلق تنها علامت اعداد منفی را قرینه می‌‌کند و همواره خروجی مثبت دارد. مثال‌‌های زیر نمونه‌‌هایی حل‌‌شده از قدر مطلق اعداد کسری و اعشاری هستند که این موضوع را تایید می‌‌کنند.

اگر برای درک بهتر این مثال‌ها نیاز به مرور نکات پایه دارید، پیشنهاد می‌کنیم مقاله کسر چیست؟ را نیز مطالعه کنید تا با اعداد کسری بیشتر آشنا شوید.

قدر مطلق عبارت‌‌های ساده

عبارت داخل قدر مطلق همیشه یک عدد یا یک جمله نیست، به‌‌ویژه در مسائل جبری که معمولا از عبارت‌‌های ساده جبری بسیار استفاده می‌‌شود و باید قدر مطلق آن‌‌ها را به دست آوریم. برای آشنایی با نحوه محاسبه قدر مطلق این عبارت‌‌ها چند مثال حل می‌‌کنیم.

مثال ۱: مقدار قدر مطلق ۱۱ -۲^۳ را تعیین کنید.

پاسخ: برای به دست آوردن قدر مطلق این عبارت کافی است ابتدا حاصل آن را تعیین کنیم تا مثبت یا منفی بودن حاصل عبارت مشخص شود.

۲^۳-۱۱ = ۸-۱۱= -۳

همان‌‌طور که می‌‌بینید، پاسخ یک عدد منفی است. پس با قرینه کردن آن می‌‌توان قدر مطلق را به دست آورد. بنابراین داریم:

|۲^۳-۱۱|= |-۳| = -(-۳) = ۳

مثال ۲: حاصل |۱۰√-۴ | را بیابید.

پاسخ: برای محاسبه عبارت قدر مطلقی اولین کاری که باید انجام دهیم، محاسبه تفریق داخل قدر مطلق است. در اینجا از دو روش می‌‌توانیم استفاده کنیم. اول اینکه مقدار رادیکال را به دست آوریم و آن را از عدد ۴ کم کنیم. دوم اینکه عدد ۴ را به‌‌صورت رادیکالی بنویسیم که در اینجا برای محاسبه راحت‌‌تر روش دوم را در پیش می‌‌گیریم.

می‌‌دانیم که جذر ۱۶ یعنی۱۶ √ برابر با ۴ است. پس می‌‌توانیم به‌‌جای ۴، بنویسیم ۱۶ √ که در این صورت عبارت بالا به‌‌صورت زیر خواهد بود:

|۴-√۱۰| = |√۱۶-√۱۰|

واضح است که ۱۰√ < ۱۶√ است. به‌‌این‌‌ترتیب حاصل تفریق۱۰ √-۱۶√ مثبت بوده و قدر مطلق آن برابر با خود عبارت داخل قدر مطلق است.

|۴-√۱۰| = ۴-√۱۰

همان‌طور که دیدید، تبدیل عدد ۴ به فرم رادیکالی حل مسئله را بسیار ساده‌تر کرد. اگر می‌خواهید مفاهیم پایه ریشه‌گیری و ویژگی‌های اعداد رادیکالی را عمیق‌تر درک کنید، مقاله رادیکال چیست؟ را مطالعه کنید.

مثال ۳:

پاسخ: ابتدا باید مشخص کنیم عدد کسری بزرگ‌‌تر است یا عدد اعشاری؛ برای مقایسه این اعداد باید کسر را به عدد اعشاری یا عدد اعشاری را به کسر تبدیل کنیم تا مقایسه برایمان راحت‌‌تر شود. ما در اینجا از روش مقاله تبدیل عدد کسری به عدد اعشاری استفاده می‌کنیم:

مثال ۴: قدر مطلق عبارت a-b را درصورتی به دست آورید که b>a باشد.

پاسخ: طبق صورت مسئله اگر b>a باشد، عبارت a-b منفی خواهد بود زیرا عدد کوچک‌‌تر منهای عدد بزرگ‌‌تر یک مقدار منفی به دست می‌‌دهد. بنابراین، در اینجا باید قدر مطلق عبارتی را به دست آوریم که حاصلش مقداری منفی است. اگر به یاد داشته باشید، برای محاسبه قدر مطلق مقدار منفی بایستی آن را قرینه می‌‌کردیم یا به‌‌عبارتی آن را در یک علامت منفی ضرب می‌‌کردیم. با این اوصاف، برای یافتن قدر مطلق عبارت داده‌‌شده باید a-b را در یک علامت منفی ضرب کنیم. خواهیم داشت:

|a-b| = -(a-b) = b-a

پس با توجه به شرط مسئله قدر مطلق a-b برابر با b-a می‌‌شود.

مثال‌‌هایی که دانش‌‌آموزان معمولا اشتباه می‌‌کنند

دانش‌‌آموزان هنگام حل مثال‌‌های قدر مطلق پایه نهم چند اشتباه رایج دارند که به شرح زیر هستند:

۱.فراموش کردن این نکته که قدر مطلق همواره مثبت است

بسیاری از دانش‌‌آموزان علامت منفی عدد را بدون توجه به تعریف قدر مطلق حفظ می‌‌کنند، در حالی که قدر مطلق فقط فاصله عدد از صفر را نشان می‌‌دهد.

|-۶|=-۶←اشتباه

۲. اشتباه در جمع و تفریق قدر مطلق‌‌ها

برخی دانش‌‌آموزان تصور می‌‌کنند قدر مطلق را می‌‌توان روی اجزای عبارت پخش کرد، در حالی که ابتدا باید عبارت داخل قدر مطلق محاسبه شود.

|۴-۹|=|۴|-|۹|←اشتباه
|۴|-|۹|=-۵←اشتباه
|۴-۹|=|-۵|=۵←درست

۳. بررسی نکردن علامت داخل قدر مطلق

مانند |x-۱| که برای مقادیر مختلف آن را برابر با x-۱ در نظر می‌‌گیرند، درحالی که برای عبارت‌‌های جبری این‌‌چنینی بایستی دو حالت مثبت یا منفی شدن عبارت داخل قدر مطلق را بررسی کرد. مثلا برای |x-۱|، دو حالت زیر را خواهیم داشت:

• اگر x-۱ ≥۰ باشد یعنی داشته باشیم x ≥ ۱ آنگاه x -۱|= x-۱| است.
• اگر x-۱<۰ باشد یعنی داشته باشیم x<۱ آنگاه x-۱| = -(x-۱)| است.

تفاوت قدر مطلق با علامت عدد

از ابتدای مقاله تا اینجا درباره این صحبت کردیم که خروجی قدر مطلق صفر یا عددی مثبت است. این گفته شاید اکثر شما را به اشتباه بیندازد و تصور کنید که قدر مطلق یعنی مثبت کردن یک عد؛ درصورتی که اینگونه نیست و قدر مطلق به معنای اندازه عدد یا همان فاصله عدد از صفر بدون در نظر گرفتن جهت است.

مثال: چرا ۵ =|۵-| ولی ۵- هنوز منفی است؟

پاسخ: با توجه به مفهوم قدر مطلق و محور اعداد می‌‌توانیم به این سوال پاسخ دهیم. |۵-|=۵ به معنای این است که عدد ۵- به‌‌اندازه ۵ واحد تا صفر فاصله دارد. به‌‌عبارتی، اندازه عدد ۵-مساوی با ۵ است. درحالی که ۵- یک عدد صحیح است که علامت آن منفی است. بنابراین، فرق عدد منفی با قدر مطلق آن در این است که عدد منفی دارای علامت منفی و بیان‌‌کننده مقدار و جهت آن عدد روی محور اعداد است، اما قدر مطلق علامت و درنتیجه جهت را حذف کرده و تنها اندازه یا همان فاصله عدد از صفر را نمایش می‌‌دهد.

خواص قدر مطلق

در این بخش سراغ معرفی مهم‌‌ترین خواص قدر مطلق در ریاضی می‌‌رویم. این دسته از خواص تابع قدر مطلق به‌‌عنوان پایه‌‌ای برای درک و حل مسائل، معادله‌‌ها و نامعادله‌‌های قدر مطلقی عمل می‌‌کنند. پس ضروری است آن‌‌ها را یاد بگیرید. در ادامه خواص قدر مطلق را مورد بررسی قرار می‌‌دهیم.

x| ≥۰|

این خاصیت بیان می‌‌کند که خروجی تابع قدر مطلق یعنی |x| همیشه مثبت (بزرگ‌‌تر از صفر) یا صفر است. این خاصیت تابع قدر مطلق همان ویژگی‌‌ای است که تا اینجا از آن بسیار استفاده کردیم.

|a| = |a-|

این خاصیت نشان می‌‌دهد که فاصله یک عدد از مبدا (صفر) با فاصله قرینه آن از مبدا (صفر) برابر است. البته a می‌‌تواند یک عدد یا یک عبارت جبری باشد. در هر صورت این تساوی برقرار است برای مثال، فاصله عدد ۳ از صفر و فاصله ۳- از صفر برابر با مقدار یکسان ۳ است.

|-۳| = |۳| =۳

|ab|=|a||b|

قدر مطلق حاصل‌‌ضرب دو عبارت a و b برابر با حاصل‌‌ضرب قدر مطلق دو عبارت a و b است. این خاصیت در حل سوالات قدر مطلق نهم بسیار کاربرد دارد.

a b = a b

از دیگر خواص قدر مطلق مساوی بودن قدر مطلق تقسیم دو عبارت a‌ و b و تقسیم قدر مطلق دو عبارت a و b است. این خاصیت شبیه خاصیت قبلی است اما به‌‌جای عمل ضرب عمل تقسیم را نمایش می‌‌دهد.

a |^۲=a^۲ |

مربع عبارتی مانند a برابر با مربع قدر مطلق آن عبارت است. می‌‌دانیم که هر عدد یا عبارتی به توان ۲ برسد، حاصل آن مثبت است. بنابراین، بدیهی است که وقتی قدر مطلق با خروجی همواره نامنفی به توان ۲ می‌‌رسد مقدار آن مثبت باشد.

√ a^۲ = a

نابرابری مثلث در قدر مطلق

نابرابری مثلث یکی دیگر از خواص قدر مطلق است که برخلاف خواص قبلی یک تساوی نیست. طبق این خاصیت، قدر مطلق مجموع دو عبارت a و b کوچک‌‌تر یا مساوی مجموع قدر مطلق این عبارت‌‌هاست.

|a+b| ≤ |a|+|b|

اگر حاصل‌‌ضرب a و b بزرگ‌‌تر یا مساوی صفر باشد (ab≥۰)، این نامساوی مثلثی به تساوی زیر تبدیل می‌‌شود:

|a+b|=|a|+|b|

اگر حاصل‌‌ضرب a و b کوچک‌‌تر از صفر باشد (ab<۰)، نامساوی زیر را خواهیم داشت:

|a+b|<|a|+|b|

نابرابری مثلث معکوس

نابرابری مثلثی معکوس بیان می‌‌کند که قدر مطلق اختلاف قدر مطلق‌‌های دو عبارت a و b از قدر مطلق اختلاف خود دو عبارت هیچ‌‌گاه بیشتر نیست.

||a|-|b|| ≤ |a-b|

کاربردهای قدر مطلق در ریاضی و زندگی

حالا که با قدر مطلق و خواص آن آشنا شده‌‌اید، بهتر است با کاربرد قدر مطلق در علم ریاضی و حتی زندگی روزمره نیز آشنایی داشته باشید. این تابع ریاضی نه‌‌تنها در اندازه‌‌گیری فاصله و حل معادله‌‌ها و نامعادله‌‌ها کاربرد دارد، بلکه در هندسه، فیزیک و مهندسی نیز مورد استفاده قرار می‌‌گیرد. در ادامه با این کاربردها آشنا می‌‌شوید.

کاربرد قدر مطلق در محاسبه فاصله

زمانی که می‌‌خواهیم فاصله دو عدد را محاسبه کنیم، این قدر مطلق است که به کارمان می‌‌آید زیرا برای تعیین فاصله نیازی به در نظر گرفتن جهت نداریم. تنها چیزی که لازم است مشخص شود تعداد واحدهای بین دو عدد است. برای مثال، فاصله دو عدد ۶ و ۴- به‌‌صورت زیر محاسبه می‌‌شود:

|۶-(-۴)| = |۶+۴| = |۱۰| =‍۱۰

توجه داشته باشید که به‌‌دلیل وجود قدر مطلق فرقی نمی‌‌کند که ۶ منهای ۴- را بنویسیم یا ۴- منهای ۶، زیرا در هر صورت پاسخ یکسانی به دست خواهد آمد. محاسبه زیر این موضوع را به‌‌خوبی نشان می‌‌دهد.

|-۴-۶| = |-۱۰| =‍۱۰

کاربرد در حل معادله

مثال: اگر |x =|۷ باشد، آنگاه مقدار x چقدر خواهد بود؟

این تساوی نشان می‌‌دهد x عددی است که فاصله آن از صفر ۷ واحد است. از میان اعداد صحیح تنها دو عدد ۷ و۷- هستند که از صفر ۷ واحد فاصله دارند. بنابراین، مقدار x برابر است با:

x=۷ یا x=-۷

کاربرد در نامعادله

مثال: اگر |x|<۷ باشد، آنگاه مقدار x چقدر است؟

این نامساوی آن دسته از مقادیر x را از ما می‌‌خواهد که فاصله آن‌‌ها از صفر از ۷ واحد کوچک‌‌تر است. اگر محور اعداد را به خاطر بیاورید، متوجه خواهید شد که تمام اعداد بین ۷ و ۷- فاصله کمتر از ۷ واحد با صفر دارند. پس مقدار x باید بین این دو عدد باشد. درنتیجه داریم:

-۷<x<۷

کاربرد در هندسه

در هندسه از قدر مطلق برای محاسبه طول پاره‌‌خط، اندازه بردار و فاصله نقاط از خط یا محورهای مختصات استفاده می‌‌شود. به‌‌عنوان مثال، فاصله نقطه‌‌ای با مختصات (۳-, ۵-) از محور عرض‌‌ها را می‌‌توان به‌‌صورت ۳=|۳-| بیان کرد.

کاربرد در فیزیک، دما و اختلاف مقدارها

محاسبه اختلاف اندازه‌‌ها بدون در نظر گرفتن جهت و همچنین تعیین اندازه خطا، سرعت، شتاب و کمیت‌‌هایی مانند آن ازجمله کاربردهای قدر مطلق در فیزیک و مهندسی است.

برای مثال، اگر بخواهیم تغییر دمای شهری را که طی یک هفته دمای آن از۳- درجه به ۴ درجه رسیده است محاسبه کنیم، از قدر مطلق استفاده می‌‌کنیم.

|۴-(-۳)| = |۴+۳ |=|۷|=۷

یا مثلا اگر طول واقعی یک میز ۲ متر باشد، اما ما آن را ۱/۹ متر اندازه‌‌گیری کرده باشیم، خطای اندازه‌‌گیری به‌‌صورت زیر تعیین می‌‌شود:

|۲-۱/۹| = |۰/۱| = ۰/۱

حل معادله قدر مطلقی

معادله قدر مطلقی به معادله‌‌ای گفته می‌‌شود که در آن متغیر مجهول داخل علامت قدر مطلق قرار دارد. معادلات مطلقی انواع مختلفی دارند و ممکن است تنها یک جواب داشته باشند یا اصلا هیچ جوابی برای آن‌‌ها وجود نداشته باشد. تمام این حالت‌‌ها را در ادامه این بخش توضیح می‌‌دهیم.

وقتی x|= a| باشد

هنگام حل معادله با قدر مطلق باید حتما این نکته را در نظر داشته باشید که طرف معلوم معادله یک عدد غیرمنفی باشد، زیرا قدر مطلق هیچ‌‌گاه منفی نمی‌‌شود. ساده‌‌ترین معادله قدر مطلقی معادله x| = a| است که در آن x متغیر مجهول و a یک عدد نامنفی است. این دست از معادلات مطلقی از ما می‌‌خواهند عددی را به دست آوریم که فاصله آن از صفر برابر با a است. طبق تعریف قدر مطلق روی محور اعداد، برای این نوع معادلات دو جواب به دست می‌‌آید که به‌‌صورت زیر هستند:

x=±a

وقتی x-a|= b| باشد

عبارت قدر مطلقی x-a به معنای فاصله x از a است. بنابراین، معادله x-a| = b| این مفهوم را به ما می‌‌رساند که فاصله x از a برابر با b است و ما باید عدد مجهول یعنی x را مشخص کنیم. با توجه به اینکه یک معادله قدر مطلقی داریم، عبارت درون قدر مطلق می‌‌تواند b یا b- باشد. بنابراین، پاسخ‌‌های ما در اینگونه معادلات به‌‌صورت زیر خواهد بود:

x-a = ±b

وقتی معادله قدر مطلق فقط یک جواب دارد

هنگام حل قدر مطلق ممکن است با معادله‌‌ای مواجه باشیم که تنها یک جواب دارد. این حالت درصورتی اتفاق می‌‌افتد که طرف راست معادله برابر با صفر باشد. مثلا دو معادله‌‌ای که معرفی کردیم، اگر به‌‌صورت زیر باشند، تنها یک جواب دارند:

|x| =۰⇒ x =۰

|x-a|= ۰⟹ x = a

وقتی معادله قدر مطلق هیچ جوابی ندارد

در این قسمت می‌‌خواهیم به این سوال پاسخ دهیم که معادله قدر مطلقی چه زمانی جواب ندارد. اگر به یاد داشته باشید در بخش‌‌های قبلی اشاره کردیم که خروجی قدر مطلق مقداری نامنفی است. بنابراین، اگر در دو معادله بالا سمت راست تساوی یک عدد منفی داشته باشیم، می‌‌گوییم معادله هیچ جوابی ندارد. معادلات زیر نمونه‌‌هایی از معادلات قدر مطلقی بدون جواب هستند:

|x| = -۱
|x-۳| = -۹

حل گام‌‌به‌‌گام چند مثال ساده

در این بخش برای یادگیری بهتر، به حل معادله قدر مطلقی با مثال های ساده می‌‌پردازیم.

مقدار x در معادلات زیر را به دست آورید.

|x-۲|=۶
|x+۳|=۵
|۲x-۹|=۱۵

عبارت قدر مطلقی در سه معادله بالا همگی شبیه عبارت قدر مطلقی در معادله x-a|=b| هستند. از معادله اول یعنیx-۲|=۶| شروع می‌‌کنیم.

معادله اول: در این معادله مقدار x عددی است که از عدد ۲ به‌‌اندازه ۶ واحد فاصله دارد. حال باید ببینیم که روی محور چه اعدادی از ۲ فاصله ۶ واحدی دارند. پس داریم:

|x-۲| = ۶
x-۲ = ±۶

اگر x-۲=۶ باشد مقدار x برابر است با:

x-۲=۶
x=۶+۲=۸

اگر x-۲=-۶ باشد مقدار x برابر است با:

x-۲=-۶

x=-۶+۲=-۴

درنتیجه، دو عددی که فاصله آن‌‌ها از ۲ برابر با ۶ واحد است، ۸ و -۴ هستند.

معادله دوم: در معادله دوم یعنی x+۳ | =۵ | نشان‌‌دهنده عددی است که از ۳-، ۵ واحد فاصله دارد. حتما می‌‌پرسید ۳- از کجا آمد و چرا ۳+ ننوشتیم. پاسخ ساده است چرا که فرم کلی معادله قدر مطلقی به‌‌صورت x-a|=b| بود. اگر معادله دوم را به این شکل بنویسیم، x-(-۳) | = ۵ | را خواهیم داشت. جواب این معادله به‌‌صورت زیر به دست می‌‌آید:

|x+۳| = ۵
x+۳= ± ۵

اگر داشته باشیم x+۳=۵:

x+۳=۵
x=۵-۳=۲

اگر داشته باشیم x+۳=-۵:

x+۳=-۵
x=-۵-۳=-۸

بنابراین، دو عدد ۲ و ۸- از ۳- به‌‌اندازه ۵ واحد فاصله دارند.

معادله سوم: شکل کلی معادله سوم نیز مانند دو معادله اول است، با این تفاوت که در آن x ضریب ۲ دارد. جواب این معادله به‌‌صورت زیر است:

|۲x-۹| =۱۵
۲x-۹= ±۱۵

اگر داشته باشیم ۲x-۹=۱۵:

۲x-۹=۱۵
۲x=۱۵+۹
۲x=۲۴
x=۱۲

اگر داشته باشیم ۲x-۹=-۱۵:

۲x-۹= -۱۵
۲x= -۱۵+۹
۲x= -۶
x= -۳

حل نامعادله قدر مطلقی

نامعادلات مطلقی با علامت‌‌های نامساوی مانند <,>,≤,≥ همراه است. برای حل نامعادله با قدر مطلق دو حالت داریم که در ادامه به معرفی و توضیح درمورد هر یک خواهیم پرداخت.

حالت x|<a| و x|≤a|

زمانی که نامعادلات مطلقی به‌‌صورت x|<a| و x|≤a| هستند و a نیز عددی مثبت است، عبارت درون قدر مطلق بین دو عدد قرار می‌‌گیرد.

|x|<a ⇒ -a<x<a
|x|≤a ⇒ -a≤x≤a

در این نامعادلات x برابر با مجموعه اعدادی است که فاصله آن‌‌ها از صفر کمتر از a یا مساوی با آن است.

نکته: اگر در نامعادله‌‌های بالا a عددی منفی باشد، آنگاه نامعادله قدر مطلقی هیچ جوابی نخواهد داشت، زیرا قدر مطلق از عدد منفی کوچک‌‌تر نمی‌‌شود.

حالت x|≥a| و x|>a|

اگر نامعادلات مطلقی به‌‌صورت x|>a| وx|≥ a| باشند و a نیز مثبت باشد، آنگاه داریم:

|x|>a⇒ x>a یا x<-a
|x|≥a⇒ x≥a یا x≤-a

تبدیل نامعادله قدر مطلق به بازه

جواب نامعادله‌‌های هر دو حالت بالا را می‌‌توان به‌‌صورت بازه نیز نوشت یا به‌‌عبارتی، به بازه تبدیل کرد. بازه مربوط به جواب هر یک از این نامعادله‌‌ها به‌‌صورت زیر است:

• بازه نامعادله x| < a|:

-a<x<a ⇒ x ϵ (-a,a)

• بازه نامعادله x|≤a|:

-a≤x≤a⇒x ϵ [-a,a]

• بازه نامعادله x|>a|:

x>a یا x<-a⇒ x ϵ (-∞,-a)∪(a,+∞)

• بازه نامعادله x|≥a|:

𝑥≥𝑎 یا 𝑥≤−𝑎⇒𝑥 𝜖 −∞,−𝑎∪[𝑎,+∞)

در مثال‌‌های که در جلوتر حل می‌‌کنیم، درمورد نحوه تبدیل نامعادله قدر مطلق به بازه بیشتر صحبت خواهیم کرد.

تفاوت «و» با «یا» در نامعادله‌‌های قدر مطلق

در نامعادلات مطلقی باید بین دو حرف ربط «و» و «یا» تفاوت قائل شویم تا جواب نامعادله به‌‌درستی تعیین شود. حرف «و» زمانی به کار می‌‌رود که جواب‌‌های نامعادله هم‌‌زمان برقرار باشند. در چنین حالتی باید اشتراک جواب‌‌ها را تعیین کنیم. در نامعادلات x|<a| و x|≤a| هنگام تعیین جواب از حرف «و» استفاده می‌‌شود زیرا جواب‌‌ها بین دو عدد قرار می‌‌گیرند.

مثال‌‌های حل‌‌شده از نامعادله قدر مطلقی

حل نامعادله قدر مطلقی با مثال های ساده برای درک عمیق‌‌تر مسائل ضروری است. به همین خاطر، ما در این بخش به بررسی چند نمونه سوال قدر مطلق با جواب می‌‌پردازیم تا با شیوه جواب‌‌دهی به این مسائل آشنا شوید.

جواب نامعادله‌‌های زیر را بیابید.

|x-۱|<۴

|x+۲|≥۱

|۲x-۲|≤۳

|x+۵|>۷

نامعادله اول: در این نامعادله باید مقادیری از x را تعیین کنیم که فاصله آن‌‌ها از ۱ کمتر از ۴ واحد است. با توجه به توضیحات بخش‌‌های قبل، جواب این نامعادله به‌‌صورت زیر به دست می‌‌آید:

|x-۱|<۴

-۴<x-۱<۴

-۳<x<۵⇒x ϵ (-۳,۵)

طبق جواب این نامعادله مقادیری از x که از ۳- بزرگ‌‌تر و از ۵ کوچک‌‌تر هستند، کمتر از ۴ واحد از ۱ فاصله دارند. همان‌‌طور که می‌‌بینید، در اینجا برای بیان بازه مقادیر x از حرف «و» استفاده کردیم؛ همان چیزی که قبلا برای این نوع نامعادله‌‌ها بیان کردیم. شما می‌‌توانید برای فهم بهتر محور اعداد را رسم کنید تا درستی جواب تعیین‌‌شده را بسنجید.

نامعادله دوم: نامعادله x+۲|≥۱| مقادیری را از ما می‌‌خواهد که فاصله آن‌‌ها از۲- بزرگ‌‌تر مساوی ۱ واحد است. جواب این نامعادله برابر است با:

x+۲ ≥ ۱ ⇒ x≥ -۱
یا

x+۲≤-۱ ⇒ x≤ -۳

بنابراین، بازه مقادیر x برابر با اجتماع دو جواب بالاست (به حرف «یا» در بالا دقت کنید).

x ϵ (-∞,-۳]∪[-۱,+∞)

نامعادله سوم: جواب این نامعادله به‌‌شکل زیر محاسبه می‌‌شود:

نامعادله چهارم: در نامعادله x+۵|>۷| باید مشخص کنیم چه مقادیری از x فاصله‌‌شان از ۵- بیشتر از ۷ واحد است. پس داریم:

x+۵>۷ ⇒ x>۲
یا
x+۵<-۷ ⇒ x<-۱۲

جواب‌‌های به‌‌دست‌‌آمده را می‌‌توانیم به‌‌صورت زیر نیز بنویسیم:

x ϵ (-∞,-۱۲)∪(۲,+∞)

نمودار تابع قدر مطلق

پس از آموزش قدر مطلق پایه نهم با مثال های گوناگون، در این قسمت قصد داریم به شما یاد دهیم که نمودار قدر مطلق چگونه رسم می‌‌شود و چگونه با کمک نمودار قدر مطلق می‌‌توان جواب معادله قدر مطلق را تعیین کرد.

نمودار |y=|x

نمودار |y=|x ساده‌‌ترین نمودار قدر مطلق است. برای رسم این نمودار کافی‌‌ست به x مقادیر مختلف مثبت و منفی بدهیم تا شکل کلی آن به دست آید. درنهایت، پس از دان مقادیر مختلف نموداری به‌‌صورت زیر خواهیم داشت.

راس و تقارن نمودار قدر مطلق

راس و تقارن دو مفهوم مهم در نمودار توابع قدر مطلق به شمار می‌‌روند. راس نمودار قدر مطلق همان نقطه‌‌ای است که جهت نمودار تغییر می‌‌کند. برای مثال، در نمودار |y=|x راس نمودار مبدا مختصات است. به‌‌طور کلی، اگر تابع قدر مطلقی به‌‌شکل زیر داشته باشیم:

y=|x-a|+b

راس آن برابر است با:

(a,b)

به‌‌عنوان مثال، راس تابع y=|x-۳|+۵ به‌‌صورت (۳,۵) است.

ویژگی جالب دیگر نمودار قدر مطلق متقارن بودن آن نسبت به خط عمودی گذرنده از راس است. اگر به نمودار توابع قدر مطلق دقت کنید، متوجه می‌‌شوید که به‌‌شکل V هستند و همین نشان‌‌دهنده تقارن آن‌‌هاست. در نمودار|y=|xخط x=۰ خط تقارن است. درکل، در تابع y=|x-a|+b خط تقارن x=a است. برای مثال، در تابع y=|x-۷|-۴ خط تقارن برابر است با x=۷.

درک درست از مفهوم تقارن و دستگاه مختصات، پایه و اساس رسم تمام نمودارهای ریاضی است. اگر حس می‌کنید نیاز دارید این مفاهیم را از پایه و به صورت اصولی مرور کنید، مطالعه مقاله آموزش تقارن و مختصات ریاضی ششم را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

انتقال افقی در |y=|x-a

برای رسم نمودار سایر توابع قدر مطلق، راحت‌‌ترین کار روش انتقال است. در این روش، با انتقال (جابه‌‌جایی) نمودار پایه قدر مطلق یعنی نمودار |y=|x نمودار دیگر توابع رسم می‌‌شود. به‌‌عنوان مثال، نمودار تابع |y=|x-a را می‌‌توان با انتقال نمودار قدر مطلق x به‌‌صورت افقی رسم کرد.

به‌‌طور کلی در توابع قدر مطلقی که به‌‌شکل |y=|x-aهستند، برای رسم نمودارشان کافی‌‌ست به‌‌اندازه a نمودار |y=|x را به راست یا چپ انتقال دهیم زیرا در هر دو تابع |y=|x-a و |y=|x عرض راس نمودار صفر است و تنها طول راس‌‌های آن‌‌ها متفاوت است که با جابه‌‌جایی افقی نمودار |y=|x می‌‌توان به‌‌راحتی نمودار |y=|x-a| را نیز رسم کرد. برای انتقال افقی در |y=|x-a دو حالت وجود دارد:

• اگر a>۰ باشد، آنگاه نمودار پایه باید به‌‌اندازه a به‌‌سمت راست جابه‌‌جا شود.
• اگر a<۰ باشد، آنگاه نمودار پایه باید به‌‌اندازه a به‌‌سمت چپ جابه‌‌جا شود.

تصویر زیر، نمونه‌‌ای از انتقال افقی نمودار قدر مطلق را نشان می‌‌دهد.

انتقال عمودی در y=|x|+b

در تابع y=|x|+b راس نمودار (۰,b) است. اگر مختصات راس نمودار این تابع را با مختصات راس نمودار |y=|x که در مبدا مختصات قرار دارد مقایسه کنیم، می‌‌بینیم که عرض نقاط راس هر دو نمودار با هم متفاوت است. پس اگر نمودار |y=|x را به‌‌صورت عمودی و به‌‌اندازه b جابه‌‌جا کنیم یعنی انتقال دهیم، نمودار y=|x|+b نیز به‌‌راحتی رسم می‌‌شود. با توجه به مقدار b دو حالت خواهیم داشت:

• اگر b>۰ باشد، آنگاه نمودار |y=|x باید به‌‌اندازه b به‌‌سمت بالا جابه‌‌جا شود.
• اگر b<۰ باشد، آنگاه نمودار |y=|x باید به‌‌اندازه b به‌‌سمت پایین جابه‌‌جا شود.

انتقال عمودی در تصویر زیر این دو حالت را به‌‌خوبی نشان می‌‌دهد.

رسم نمودار توابع ساده قدر مطلق

برای رسم نمودار توابعی به‌‌صورت y=f(x)=a|x-h|+k باید مطابق نکاتی که در تصویر زیر بیان شده است، نمودار پایه قدر مطلق را انتقال دهید یا وارونه کنید.

حل معادله با کمک نمودار

نمودارها ابزار خوبی برای به دست آوردن جواب معادلات هستند. برای یافتن جواب معادله‌‌های قدر مطلقی که قبلا محاسبه آن‌‌ها را آموختیم، می‌‌توان از نمودارها استفاده کرد. با یک مثال روش حل معادله قدر مطلقی را به کمک نمودار توضیح می‌‌دهیم.

فرض کنید می‌‌خواهیم جواب معادله x+۲|=۱| را به دست آوریم. ابتدا باید نمودار این معادله را رسم کنیم. برای رسم نمودار، معادله را را به‌‌شکل y = a|x-h|+k درمی‌‌آوریم. بنابراین داریم:

|x+۲|=۱ ⇒ |x+۲|-۱=۰

y=|x+۲|-۱=۰

برای حل معادله x+۲|-۱=۰ | باید نقاطی از نمودار y=|x+۲|-۱ را که با محور xها برخورد کرده‌‌اند یا به‌‌عبارتی مقدار y آن‌‌ها صفر است مشخص کنیم. این نقاط جواب معادله ما خواهند بود. پاسخ این معادله در تصویر زیر نشان داده شده است.

نکات تکمیلی قدر مطلق در ریاضی نهم

در این بخش، مهم‌‌ترین نکات قدر مطلق برای پایه نهم را که غالبا در امتحان ریاضی نهم تکرار می‌‌شوند به‌‌طور خلاصه ارائه می‌‌کنیم. خلاصه قدر مطلق برای امتحان نهم همراه با نکات به شرح زیر است:

• قدر مطلق به معنی فاصله از مبدأ (صفر) است یعنی اندازه بدون توجه به جهت.
• خروجی تابع قدر مطلق همیشه نامنفی است یعنی یا صفر است یا یک عدد مثبت.
• جواب معادله قدر مطلقی x − a = b برابر است با x − a = ±b.
• اگر در معادله x − a = b، b منفی باشد، معادله جواب ندارد.
• اگر در معادله x − a = b، b صفر باشد، معادله تنها یک جواب دارد.
• جواب نامعادله قدر مطلقی x − a ≤ b به‌صورت −b ≤ x − a ≤ b است.
• جواب نامعادله قدر مطلقی x − a ≥ b مساوی است با x − a ≥ b یا x − a ≤ −b.

در کنار این نکات، مرور نابرابری مثلثی و خواص قدر مطلق نیز برای آشنایی با قوانین قدر مطلق‌‌ها توصیه می‌‌شود.

جمع‌‌بندی

در این مطلب به آموزش قدر مطلق برای دانش‌‌آموزان نهم و مقاطع بالاتر پرداختیم و یاد گرفتیم که قدر مطلق absolute value همیشه نامنفی و بیانگر فاصله از صفر و فاصله تا مبدا است. همچنین به این سوال که چرا قدر مطلق همیشه مثبت است یا چرا قدر مطلق منفی نیست جواب دادیم و گفتیم دلیل آن این است که قدر مطلق فاصله را بیان می‌‌کند و نمی‌‌تواند منفی باشد. علاوه‌‌بر این، آموختیم که تعداد جواب‌‌های معادله‌‌های قدر مطلقی به مقدار سمت راست معادله یعنی عددی که داخل قدر مطلق نیست بستگی دارد.

یافتن پاسخ نامعادله‌‌های قدر مطلقی با معادلات آن‌‌ها اندکی متفاوت است چرا که پاسخ‌‌ها به‌‌صورت بازه‌‌ای بیان می‌‌شوند و ازاین‌‌رو، برای نامعادله‌‌ها باید فرق «بازه» و «اجتماع بازه‌‌ها» را فهمید. پس از آشنایی با نامعادله‌‌ها، با نمودار V شکل قدر مطلق آشنا شدیم و توضیح دادیم که با کمک آن می‌‌توان جواب معادله‌‌های ساده را به دست آورد. کلام آخر اینکه در قدر مطلق فقط بزرگی را ببینید، جهت را فعلا نادیده بگیرید. این جمله را با خود تکرار کنید تا در ذهن‌‌تان باقی بماند و هنگام حل مسائل، معادله‌‌ها و نامعادله‌‌ها برایتان یادآوری شود که ویژگی قدر مطلق چیست.

سوالات متداول