ضرب و تقسیم اعداد توان دار + مثال

اعداد توان‌دار برای ساده کردن نمایش اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک مورد استفاده قرار می‌گیرند. این اعداد را در آموزش‌های پیشین معرفی کردیم و گفتیم که اعداد توان‌دار از پایه و توان تشکیل شده‌اند. توان یک عدد نشان‌دهنده تعداد دفعاتی است که آن عدد (پایه) در خودش ضرب شده است. برای مثال، ۷ × ۷ × ۷ × ۷ = ۷^۴ (۷ به‌ توان ۴) نشان می‌دهد که عدد ۷ (پایه) ۴ بار در خودش ضرب شده است. عملیات ریاضی این اعداد تابع قواعد خاصی است که انجام محاسبات را برایمان ساده‌تر می‌کند. در این مقاله، به آموزش قوانین ضرب و تقسیم اعداد توان دار خواهیم پرداخت و با حل مثال‌های گوناگون با نحوه انجام محاسبات در این اعداد آشنا خواهیم شد.

ضرب اعداد توان دار

عمل ضرب در اعداد توان دار براساس قوانین خاصی صورت می‌گیرد که در ادامه برای حالت‌های مختلف، آن‌ها را بیان می‌کنیم.

ضرب اعداد توان دار با پایه های مساوی

اگر بخواهیم اعداد توان‌داری را که توان‌های متفاوت اما پایه‌های برابری دارند، در هم ضرب کنیم، حاصل‌ضرب آن‌ها برابر با عددی توان‌دار خواهد بود که پایه آن همان پایه اعداد درهم‌ضرب‌شده و توان آن مساوی با مجموع توان‌ها است.

a^m × aⁿ= a^m+n

مثال ۱: حاصل‌ضرب ۲^۲ × ۲^۴ را به‌دست آورید.
جواب: در عبارت داده‌شده، پایه‌ها مساوی ۲ و توان‌ها نابرابر هستند. پس باید پایه را همان ۲ قرار دهیم و توان‌ها را با هم جمع کنیم.

۲^۴ × ۲^۲=۲^۴+۲=۲^۶

اکنون درستی پاسخ به‌دست‌آمده را بررسی می‌کنیم.

۲^۴ × ۲^۲= (۲ × ۲× ۲ × ۲× ۲× ۲) = ۲× ۲× ۲× ۲× ۲× ۲=۲^۶

همان‌طور که می‌بینید، حاصل‌ضرب به‌دست‌آمده صحیح است و این قانون بیان‌شده را تأیید می‌کند.

مثال ۲: حاصل عبارت ^۴ ۰/۳ × ^۳۹ ۰/۳ × ^۴۵ ۰/۳ را تعیین کنید.جواب: پایه‌های سه عدد توان‌دار مساوی با ۰/۳ و با هم برابرند. بنابراین، طبق قاعده باید توان‌ها را جمع کنیم و پایه را همان ۰/۳ قرار دهیم.

۰/۳^۴۵ × ۰/۳^۳۹ × ۰/۳^۴=۰/۳^۴۵+۳۹+۴=۰/۳^۸۸

ضرب اعداد توان دار با توان های مساوی

برای تعیین حاصل‌ضرب اعداد توان‌دار با توان‌های مساوی، پایه‌ها را هم ضرب می‌کنیم و مقدار توان را همان توان اعداد ضرب‌شده می‌نویسیم. 

aⁿ × bⁿ=(a×b)ⁿ

مثال: حاصل عبارت ۳^۲ × ۸^۲ × ۵^۲ را بیابید.

جواب: سه عددی که در هم ضرب شده‌اند، توان یکسان و برابر با دارند. بنابراین، پایه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم و مقدار توان را ۲ قرار می‌دهیم.

۵^۲ × ۸^۲× ۳^۲=( ۵ × ۸ ×۳ ) ^۲=۱۲۰^۲

ضرب اعداد توان دار با پایه و توان نامساوی

حالت دیگری که در ضرب اعداد توان‌دار وجود دارد این است که هم پایه‌ها و هم توان‌ها نامساوی باشند. در چنین حالتی، هر کدام از اعداد جداگانه بررسی و سپس، در هم ضرب می‌شوند.

(aⁿ × b^m = (aⁿ) × (b^m

مثال: مقدار ۷^۲ × ۱۰^۳ را به‌دست آورید.

جواب: توان‌ها و پایه‌های دو عدد با هم متفاوت هستند. بنابراین، ابتدا مقدار هر کدام از اعداد توان‌دار را جداگانه به‌دست آورده و سپس، در هم ضرب می‌کنیم.

۱۰^۳× ۷^۲ =۱۰۰۰ × ۴۹ = ۴۹۰۰۰

در تصویر زیر قواعد ضرب اعداد توان‌دار را به‌صورت خلاصه آورده‌ایم. را به‌دست آورید.

ضرب اعداد توان دار منفی

قاعده ضرب اعداد با توان منفی مانند ضرب اعداد با توان مثبت است، با این تفاوت که در اعداد با توان منفی برای مثبت شدن توان، پاسخ به‌دست‌آمده را معکوس می‌کنیم. قوانین مربوط به ضرب اعداد با توان منفی را در جدول زیر نشان داده‌ایم.

در ادامه، مثال‌هایی از هر سه حالت را حل می‌کنیم.

مثال: حاصل‌ضرب عبارت‌های زیر را بیابید.

الف) ^۹-۲ ×^۳-۲

ب)^۳-۳ × ^۳-۶

ج)  ^۳-۶ × ^۲-۷

الف) در این عبارت، دو عدد توان‌دار پایه‌های برابر و توان‌های نابرابر دارند. توان‌ها را طبق قاعده جمع اعداد صحیح با هم جمع می‌زنیم و پایه را هم برابر با ۲ قرار می‌دهیم. درنهایت با وارونه کردن جواب، مقدار حاصل‌ضرب را به‌دست می‌آوریم. خواهیم داشت:

$${۲}^{-<!--\; -\; -->۳}\times <!--\; \times \; -->{۲}^{-<!--\; -\; -->۹}={۲}^{-<!--\; -\; -->(۳+۹)}={۲}^{-<!--\; -\; -->۱۲}=\frac{۱}{{۲}^{۱۲}}=\frac{۱}{۴۰۹۶}$$

ب) در این مثال، پایه‌ها نامساوی و توان‌ها برابر با ۳- هستند. طبق فاعده‌ای که در بخش‌های قبل بیان شد، کافی‌ست پایه‌ها را در هم ضرب کنیم و مقدار توان را همان ۳- بنویسیم.

$${۶}^{-<!--\; -\; -->۳}\times <!--\; \times \; -->{۳}^{-<!--\; -\; -->۳}=(۶\times <!--\; \times \; -->۳{)}^{-<!--\; -\; -->۳}=۱{۸}^{-<!--\; -\; -->۳}=\frac{۱}{۱{۸}^{۳}}=\frac{۱}{۵۸۳۲}$$

ج) این عبارت، ضرب دو عدد توان‌دار با پایه‌ها و توان‌های نامساوی را نشان می‌دهد. هر کدام از اعداد را جداگانه بررسی کرده و سپس محاسبات را انجام می‌دهیم.

$${۷}^{-<!--\; -\; -->۲}\times <!--\; \times \; -->{۶}^{-<!--\; -\; -->۳}=\frac{۱}{{۷}^{۲}}\times <!--\; \times \; -->\frac{۱}{{۶}^{۳}}=\frac{۱}{({۷}^{۲}\times <!--\; \times \; -->{۶}^{۳})}$$

ضرب اعداد توان دار کسری

گاهی اوقات توان اعداد توان‌دار ممکن است به‌صورت عدد گویا یا کسری باشد. در اینگونه موارد مطابق قوانینی که برای سه حالت گوناگون ضرب اعداد توان‌دار بیان کردیم، عمل ضرب را انجام می‌دهیم. تنها تفاوت آن این است که توان‌ها به‌صورت گویا هستند.

اعداد با توان کسری را می‌توان به اعداد رادیکالی با توان و فرجه مشخص تبدیل کرد. تصویر زیر، قاعده تبدیل اعداد با توان کسری به اعداد رادیکالی را به‌خوبی نشان می‌دهد.

جواب: در این عبارت، پایه‌ها یکسان و توان‌ها نامساوی هستند. پس باید توان‌ها را با هم جمع کنیم.

$${۳}^{\frac{۱}{۳}}\times <!--\; \times \; -->{۳}^{\frac{۲}{۳}}={۳}^{\frac{۱}{۳}+\frac{۲}{۳}}={۳}^{۱}=۳$$

مثال ۲: حاصل عبارت

$${۵}^{\frac{۴}{۷}}\times <!--\; \times \; -->{۷}^{\frac{۴}{۷}}$$

را به‌صورت رادیکالی بنویسید.

جواب: در عبارت داده‌شده، توان‌ها یکسان و پایه‌ها متفاوت‌اند. کافی‌ست پایه‌ها در هم ضرب کنیم و توان را همان مقدار داده‌شده قرار دهیم. خواهیم داشت:

$${۵}^{\frac{۴}{۷}}\times <!--\; \times \; -->{۷}^{\frac{۴}{۷}}=(۵\times <!--\; \times \; -->۷{)}^{\frac{۴}{۷}}=۳{۵}^{\frac{۴}{۷}}=\sqrt[۷]{۳{۵}^{۴}}$$

تقسیم اعداد توان دار

تا اینجای آموزش، با قوانین ضرب اعداد توان دار آشنا شدیم. اکنون در این بخش، به آموزش تقسیم اعداد توان دار خواهیم پرداخت و قواعد مربوط به آن را توضیح خواهیم داد.

تقسیم اعداد توان دار با پایه های مساوی

اگر دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساوی و توان‌های نابرابر بر یکدیگر تقسیم شوند، همان پایه را می‌نویسیم و توان‌ها را از هم کم می‌کنیم.

$$a^m÷<!--\; ÷\; -->a^n=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-<!--\; -\; -->n}$$

مثال: حاصل

$${۶}^{۵}÷<!--\; ÷\; -->{۶}^{۳}$$

جواب: با توجه به اینکه پایه‌های دو عدد برابرند، توان‌ها را از هم کم می‌کنیم.

۶^۵ ÷ ۶^۳= ۶^۵-۳ = ۶^۲ = ۳۶

توجه داشته باشید که این عبارت را می‌توانستیم به‌صورت زیر هم حل کنیم اما در این صورت محاسبات طولانی‌تر خواهد شد.

$${۶}^{۵}÷<!--\; ÷\; -->{۶}^{۳}=\frac{{۶}^{۵}}{{۶}^{۳}}=\frac{۶\times <!--\; \times \; -->۶\times <!--\; \times \; -->۶\times <!--\; \times \; -->۶\times <!--\; \times \; -->۶}{۳\times <!--\; \times \; -->۳\times <!--\; \times \; -->۳}=۶\times <!--\; \times \; -->۶={۶}^{۲}=۳۶$$

تقسیم اعداد توان دار با توان های مساوی

برای انجام تقسیم اعداد توان‌دار با توان‌های برابر و پایه‌های نامساوی، پایه‌ها را بر هم تقسیم می‌کنیم و توان را همان مقدار اولیه قرار می‌دهیم.

$$a^m÷<!--\; ÷\; -->b^m=\frac{a^m}{b^m}=(\frac{a}{b}{)}^m$$

مثال: حاصل عبارت ۶^۴ ÷ ۱۲^۴ را به‌دست آورید.

جواب: ازآنجا که پایه‌ها نابرابر و توان‌ها برابرند، این عبارت به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

۱۲^۴ ÷ ۶^۴ = ( ۱۲ ÷ ۶ ) ^۴ = ۲^۴ = ۱۶

تقسیم اعداد توان دار با پایه و توان نابرابر

اگر اعداد توان‌داری که بر هم تقسیم می‌شوند، پایه‌ها و توان‌های نابرابر داشته باشند، هر کدام از اعداد را جداگانه بررسی کرده و سپس تقسیم می‌کنیم.

$$a^n÷<!--\; ÷\; -->b^m=\frac{(a^n)}{(b^m)}$$

مثال: مقدار ۵^۲ ÷ ۶^۳ را به‌دست آورید.

$${۵}^{۲}÷<!--\; ÷\; -->{۶}^{۳}=\frac{{۵}^{۲}}{{۶}^{۳}}=\frac{۲۵}{۲۱۶}$$

در تصویر زیر قواعد تقسیم اعداد توان‌دار نشان داده شده است.

تقسیم اعداد توان دار منفی

قانون تقسیم اعداد با توان منفی مانند قانون تقسیم اعداد با توان مثبت است که در بخش‌های قبل درمورد آن صحبت کردیم. تنها تفاوتی که در اینجا وجود دارد این است که برای مثبت شدن توان‌ها اعداد را وارونه می‌کنیم.

مثال ۱: حاصل عبارت

$$\frac{{۲}^{-<!--\; -\; -->۳}}{{۲}^{-<!--\; -\; -->۷}}$$

را بیابید.

جواب: در این عبارت، پایه‌ها برابر و توان‌ها منفی هستند. بنابراین، می‌توانیم ابتدا کسر را وارونه می‌کنیم تا توان‌ها مثبت شوند، سپس عمل تقسیم را انجام می‌دهیم.

$$\frac{{۲}^{-<!--\; -\; -->۳}}{{۲}^{-<!--\; -\; -->۷}}=\frac{{۲}^{۷}}{{۲}^{۳}}={۲}^{۷-<!--\; -\; -->۳}={۲}^{۴}$$

مثال ۲: حاصل تقسیم

$$\frac{{۵}^{-<!--\; -\; -->۲}}{۱{۵}^{-<!--\; -\; -->۲}}$$

را تعیین کنید.

جواب: در عبارت داده‌شده، توان اعداد منفی و با هم برابر است. پس خواهیم داشت:

$$\frac{{۵}^{-<!--\; -\; -->۲}}{۱{۵}^{-<!--\; -\; -->۲}}=(\frac{۵}{۱۵}{)}^{-<!--\; -\; -->۲}=\frac{۱}{{۳}^{-<!--\; -\; -->۲}}={۳}^{۲}=۹$$

تقسیم اعداد توان دار کسری

تقسیم اعداد با توان کسری طبق قواعدی که در بخش‌های پیشین برای تقسیم اعداد توان‌دار بیان شد، صورت می‌گیرد. اینگونه اعداد را می‌توان به‌ص.رت اعداد رادیکالی نیز نوشت.

مثال: حاصل تقسیم

$${۵}^{\frac{۱}{۲}}÷<!--\; ÷\; -->{۵}^{\frac{۱}{۳}}$$

را به‌صورت عدد رادیکالی بنویسید.

جواب: با توجه به اینکه پایه‌ها مساوی هستند، توان‌ها را از هم کم می‌کنیم

$${۵}^{\frac{۱}{۲}}÷<!--\; ÷\; -->{۵}^{\frac{۱}{۳}}={۵}^{(}\frac{۱}{۲}-<!--\; -\; -->\frac{۱}{۳})={۵}^{\frac{۱}{۶}}=\sqrt[۶]{۵}$$

نمونه سؤال ضرب و تقسیم اعداد توان دار

در این بخش، چند تمرین از ضرب و تقسیم اعداد توان دار ریاضی هفتم را حل می‌کنیم.

عبارت‌های زیر را ساده کنید.

الف) ۲^۴ × ۳^۳× ۳^۲ × ۲^۳

ب) ۴x^۶ × y^۵ × x^۴ × y^۱

ج)

$$\frac{۴x^{۶}{y}^{۳}{z}^{۲}}{۲x^4{y}^{3}z}$$

جواب:. ابتدا اعدادی را که پایه‌های مشابه دارند در هم ضرب کرده و تا جای ممکن عبارت‌ها را ساده می‌کنیم.

۲^۷ × ۳^۵ =^۳+۴ ۲ × ^۲+۳ ۳ = ۲^۴ × ۳^۳× ۳^۲ × ۲^۳

$$\frac{۴x^{۶}{y}^{۳}{z}^{۲}}{۲x^{۴}{y}^{۳}z}=(\frac{۴}{۲})x^{۶-<!--\; -\; -->۴}{y}^{۳-<!--\; -\; -->۳}{z}^{۲-<!--\; -\; -->۱}=۲x^{۲}{y}^{۰}{z}^{۱}=۲x^{۲}z$$

سخن پایانی

در این آموزش، نحوه محاسبه ضرب و تقسیم اعداد توان دار ازجمله ضرب اعداد توان دار با پایه‌ها و توان‌های نابرابر، ضرب و تقسیم اعداد توان دار کسری را آموختیم. عمل ضرب و تقسیم در اعداد توان‌دار از قوانین خاصی پیروی می‌کند که بسته به اینکه پایه‌ها یا توان‌ها مساوی یا نامساوی باشند، روش انجام آن‌ها متفاوت خواهد بود. این قواعد محاسبات را برایمان راحت‌تر می‌کنند و باعث می‌شوند عملیات ریاضی در اعداد توان‌دار را سریع‌تر انجام دهیم.