جمع و تفریق ذهنی ׀ معرفی روش های محاسبات ذهنی برای دانش آموزان ابتدایی

دسترسی آسان به ابزارهای محاسباتی مانند ماشین‌‌حساب در دنیای کنونی باعث شده است کمتر از ذهن خود بهره ببریم و حتی برای جمع و تفریق ساده دورقمی و سه‌‌رقمی نیز با مشکل مواجه شویم. اما آیا به این فکر کرده‌‌ایم اگر در موقعیتی قرار بگیریم که ماشین‌‌حساب دردسترسمان نباشد یا امکان استفاده از آن را نداشته باشیم، چگونه باید این محاسبات را انجام دهیم؟

با توجه به اینکه دانش‌‌آموزان اولین‌‌بار در مقطع ابتدایی با جمع و تفریق اعداد و محاسبات ساده ریاضی آشنا می‌‌شوند، خوب است که از همین مقطع آن‌‌ها را با روش‌‌های جمع و تفریق ذهنی آشنا کنیم تا بتوانند بدون وابستگی به ابزارهای محاسباتی، عملیات ریاضی را در ذهن خود انجام دهند.

به همین منظور، در این مقاله قصد داریم با آموزش روش‌‌های جذاب جمع و تفریق ذهنی، انجام محاسبات ذهنی را برای دانش‌‌آموزان آسان‌‌تر کنیم. پیشنهاد می کنیم قبل از ادامه مطالعه، حتما مقاله آموزش ریاضی به کودکان را بخوانید.

جمع ذهنی

در این بخش راهکارهای جمع ذهنی اعداد تک‌‌رقمی، دورقمی و سه‌‌رقمی را آموزش می‌‌دهیم.

جمع ترکیبی عدد ۱۰

قبل از آموزش سایر روش‌‌های جمع ذهنی، بهتر است با زوج اعدادی آشنا شوید که حاصل‌‌جمعشان برابر با ۱۰ است. این جفت اعداد تک‌‌رقمی را اگرچه همه ما می‌‌شناسیم اما با توجه به اینکه در محاسبات ریاضی از آن‌‌ها زیاد استفاده می‌‌کنیم، بهتر است دوباره آن‌‌ها را یادآوری کنیم.

این زوج اعداد عبارت‌‌اند از:

(۱ و ۹)،  (۲ و ۸)،  (۳ و ۷)،  (۴ و ۶)و (۵ و ۵)

جمع اعداد دو رقمی مقلوب

اگر دو عدد دورقمی داشته باشیم که ترتیب رقم‌‌های یکان و دهگان آن‌‌ها برعکس هم باشد، آن اعداد را اعداد مقلوب می‌‌نامیم. برای مثال، اعداد ۳۷ و ۷۳ دو عدد مقلوب به حساب می‌‌آیند زیرا ترتیب قرار گرفتن رقم ۳ و ۷ در آن‌‌ها عکس هم است.

اعدادی که مقلوب یکدیگر هستند، جمع رقم‌‌های یکانشان با مجموع رقم‌‌های دهگان آن‌‌ها مساوی است. بنابراین، برای جمع کردن چنین اعدادی کافی‌‌ست مجموع رقم‌‌های یکان و دهگان یکی از آن‌‌ها را در ۱۱ ضرب کنیم تا حاصل‌‌جمع دو عدد مقلوب به‌‌دست آید.

برای درک بهتر به نحوه جمع زدن اعداد مقلوبی که در ادامه آورده شده‌‌اند توجه کنید.

جمع به روش عدد مبنا

در این روش، عددی را به‌‌عنوان مبنا در نظر می‌‌گیریم. این عدد برای هر فردی می‌‌تواند متفاوت باشد مثلاً برای یک فرد ممکن است عدد ۳ عدد مبنا باشد و به کمک این عدد بتواند اعداد را با هم جمع کند. البته انتخاب اعدادی که بر ۵ بخش‌‌پذیرند مثل ۵، ۱۰، ۱۵ و غیره به‌‌عنوان عدد مبنا برای اکثر افراد انتخاب آسان‌‌تری است. اگر یکی از دو عددی که با هم جمع می‌‌کنیم یک‌‌رقمی باشد، روش عدد مبنا روش مناسبی برای افزایش سرعت عمل در انجام محاسبات خواهد بود.

در ادامه چند مثال حل می‌‌کنیم تا با این روش بیشتر آشنا شوید.

مثال ۱: دو عدد ۱۷ و ۶ را در نظر بگیرید. می‌‌خواهیم این دو عدد را به روش عدد مبنا با هم جمع کنیم. در نگاه اول واضح است که حاصل‌‌جمع این دو عدد از ۲۰ بزرگ‌‌تر است. بنابراین، ۲۰ را عدد مبنا قرار داده و با تفکیک عدد ۶  به ۳ و ۳ و عدد ۱۷ را به ۲۰ می‌‌رسانیم زیرا عدد ۱۷ به ۳ واحد دیگر نیاز دارد تا به عدد ۲۰ برسد. ازاین‌‌رو، داریم:

۱۷+۶

۱۷+۳+۳

حاصل‌‌جمع ۱۷ و ۳ را که مساوی با ۲۰ است در ذهن خود ثبت کرده و مقدار حاصل را به‌‌صورت زیر به‌‌دست می‌‌آوریم:

۱۷ + ۳ + ۳

۲۰ + ۳ = ۲۳

مثال ۲: می‌‌خواهیم مجموع اعداد ۵۸ و ۴ را به روش عدد مبنا تعیین کنیم. با توجه به اینکه مجموع این دو عدد از ۶۰ بیشتر است، عدد ۶۰ را عدد مبنا قرار می‌‌دهیم. پس باید کاری کنیم که عدد ۵۸ به عدد ۶۰ تبدیل شود. به همین منظور عدد ۴ را به‌‌صورت ۲ + ۲ تفکیک می‌‌کنیم و یکی از آن‌‌ها را با ۵۸ جمع می‌‌زنیم تا به عدد ۶۰ برسیم. درنتیجه خواهیم داشت:

۵۸ + ۴

۵۸ + ۲ + ۲

در آخر، با کم کردن ۲ از ۴ و اضافه کردن آن به ۵۸، عبارت ۵۸ + ۴ را به‌‌شکل ۶۰ + ۲ می‌‌نویسیم و حاصل‌‌جمع را به‌‌دست می‌‌آوریم:

۵۸ + ۲ + ۲

۶۰ + ۲ = ۶۲

مثال ۳: اعداد ۱۲۸ و ۹ را به روش عدد مبنا با هم جمع کنید.

واضح است که جمع این دو عدد از ۱۳۰ بیشتر است. پس عدد مبنا را ۱۳۰ در نظر می‌‌گیریم. ۲ واحد از ۹ کم می‌‌کنیم و با ۱۲۸ جمع می‌‌زنیم:

۱۲۸ + ۹

۱۲۸ + ۲ + ۷

بنابراین حاصل‌‌جمع دو عدد به‌‌صورت زیر خواهد بود:

۱۲۸ + ۲ + ۷

۱۳۰ + ۷ = ۱۳۷

مثال ۴: حاصل‌‌جمع دو عدد ۲۴۹ و ۵ را به‌‌دست آورید.

ازآنجا که مجموع دو عدد ۲۴۹ و ۵ از ۲۵۰ بیشتر می‌‌شود، عدد مبنا را ۲۵۰ قرار می‌‌دهیم. بنابراین، ابتدا باید کاری کنیم که ۲۴۹ به ۲۵۰ تبدیل شود. با تفکیک عدد ۵ به ۴ و ۱ این کار را انجام می‌‌دهیم:

۲۴۹+۵

۲۴۹ + ۱ + ۴

یک واحد از ۵ را به ۲۴۹ اضافه می‌‌کنیم تا به عدد مبنا یعنی ۲۵۰ برسیم:

۲۴۹ + ۱ + ۴

سپس حاصل‌‌جمع را به‌‌دست می‌‌آوریم: 

۲۵۰+۴=۲۵۴

پیشنهاد مطالعه:  جمع و تفریق فرایندی

جمع به روش شکست

در این روش، اعداد را می‌‌شکنیم و آن‌‌ها را براساس یکان، دهگان و غیره تجزیه می‌‌کنیم. با این کار عمل جمع کردن اعداد به‌‌صورت ذهنی آسان‌‌تر می‌‌شود. این روش کاربردی را با چند مثال توضیح می‌‌دهیم.

مثال ۱: اگر بخواهیم اعداد ۵۸ و ۳۱ را به روش شکست و تجزیه جمع بزنیم، لازم است هر یک از آن‌‌ها را برمبنای یکان و دهگانشان تجزیه کنیم:

۵۸ + ۳۱

۵۰ + ۸+ ۳۰ + ۱

با توجه به خاصیت شرکت‌‌پذیری عمل جمع، یکان‌‌ها و دهگان‌‌ها را جداگانه جمع می‌‌کنیم:

۵۰ + ۳۰+ ۸ + ۱

به‌‌این‌‌ترتیب، خواهیم داشت:

۸۰ + ۹ = ۸۹

مثال ۲: مجموع اعداد ۴۶ و ۶۲ را به روش شکست محاسبه کنید.

ابتدا هر یک از اعداد را با تفکیک یکان و دهگانشان به‌‌صورت زیر بازنویسی می‌‌کنیم:

۶۲ + ۴۶

۴۰ + ۶ + ۶۰ + ۲

اکنون یکان‌‌ها و دهگان‌‌ها را جداگانه جمع می‌‌زنیم تا مجموع اعداد داده‌‌شده به‌‌دست آید:

۴۰ + ۶۰ + ۶ + ۲

۱۰۰ + ۸ = ۱۰۸

مثال ۳: اعداد ۱۱۲ و ۳۲۵ را به روش تجزیه با هم جمع کنید.

در این مثال، برخلاف دو مثال قبل دو عدد سه‌‌رقمی داریم. برای جمع کردن اعداد سه‌‌رقمی به روش شکست مانند اعداد دورقمی عمل می‌‌کنیم. یعنی اول باید دو عدد را به‌‌شکل زیر براساس یکان، دهگان و صدگان تفکیک کنیم:

۳۲۵ + ۱۱۲

۳۰۰ + ۲۰ + ۵ + ۱۰۰ + ۱۰ + ۲

حالا کافی‌‌ست یکان‌‌ها، دهگان‌‌ها و صدگان‌‌های دو عدد را به‌‌صورت جدا جمع بزنیم تا حاصل جمع اعداد موردنظر تعیین شود. پس خواهیم داشت:

۳۰۰ + ۱۰۰+ ۲۰ + ۱۰ + ۵ + ۲

پیشنهاد مطالعه: آموزش جمع و تفریق تکنیکی با جواب

جمع به روش دزدی رقم

در این روش همان‌‌طور که از نامش پیداست یک یا چند واحد از یک عدد گرفته یا به‌‌اصطلاح دزدیده می‌‌شود و درمقابل به همان میزان یک یا چند واحد به عدد دیگر اضافه می‌‌کنیم. این روش برای اعداد دورقمی که یکانشان به ۰ یا ۵ نزدیک است کاربردی‌‌تر است.

با استفاده از مثال‌‌هایی که در ادامه حل می‌‌کنیم این روش را آموزش خواهیم داد. 

مثال ۱: دو عدد ۲۹ و ۳۶ را در نظر بگیرید. برای جمع کردن این دو عدد به روش دزدی رقم ابتدا به یکان آن‌‌ها توجه می‌‌کنیم. رقم یکان ۳۶ یعنی ۶ به ۵ نزدیک است و رقم یکان ۲۹ یعنی ۹ با اضافه کردن یک واحد به صفر تبدیل خواهد شد. پس با کم کردن یک واحد از ۳۶ و اضافه کردن یک واحد به ۲۹ می‌‌توانیم اعداد ۲۹ و ۳۶ را به‌‌صورت زیر بنویسیم:

۳۶-۱=۳۵

۲۹+۱=۳۰

به‌‌این‌‌ترتیب، حاصل‌‌جمع دو عدد را می‌‌توان به‌‌صورت زیر تعیین کرد:

۳۶+۲۹=۳۶-۱+۲۹+۱

توجه داشته باشید که در عمل جمع، اضافه کردن و کم کردن یک مقدار یکسان تغییری در مقدار به‌‌دست‌‌آمده ایجاد نمی‌‌کند. بنابراین، مجموع دو عدد برابر است با

۳۶ + ۲۹ = ۳۶ – ۱ + ۲۹ + ۱ = ۳۵ + ۳۰ = ۶۵

مثال ۲: حاصل‌‌جمع اعداد ۹۲ و ۷۸ را به روش دزدی رقم بیابید.

با کم کردن ۲ واحد از ۹۲ و اضافه کردن ۲ واحد به ۷۸ می‌‌توانیم این دو عدد را به‌‌شکل زیر بنویسیم:

۹۲ – ۲ = ۹۰

۷۸ + ۲ = ۸۰

درنتیجه داریم:

۹۲ + ۷۸ = ۹۲- ۲+ ۷۸ + ۲ = ۹۰ + ۸۰ = ۱۷۰

جمع به روش ترکیبی

روش ترکیبی، ترکیبی از روش‌‌هایی است که برای جمع دو عدد معرفی کردیم. معمولاً از این روش برای جمع کردن اعداد چندرقمی استفاده می‌‌شود.

فرض کنید می‌‌خواهیم حاصل‌‌جمع اعداد ۲۹۴ و ۶۵۱ را با ترکیب چند روش به‌‌دست آوریم. ابتدا با کمک روش شکست، صدگان و دهگان دو عدد را تفکیک می‌‌کنیم. 

۲۰۰ + ۹۴ + ۶۰۰ + ۵۱

۲۰۰ + ۶۰۰ + ۹۴ + ۵۱ = ۸۰۰ + ۹۴ + ۵۱

برای جمع کردن ۹۴ و ۵۱ از روش دزدی رقم کمک می‌‌گیریم:

۸۰۰ + ۹۴ + ۵۱ = ۸۰۰ + ۹۴ + ۱ + ۵۱ – ۱ = ۸۰۰ + ۹۵ + ۵۰

اینجا دوباره از روش شکست استفاده می‌‌کنیم:

۸۰۰ + ۹۵ + ۵۰ = ۸۰۰ + ۵۰ + ۹۵ = ۸۵۰ + ۹۵ = ۸۵۰ + ۹۰ + ۵

با توجه به اینکه حاصل‌‌جمع ۸۵۰ و ۹۰ از ۹۰۰ بیشتر است عدد ۹۰۰ را عدد مبنا در نظر می‌‌گیریم و به روش زیر حاصل‌‌جمع را به‌‌دست می‌‌آوریم:

۸۵۰ + ۵۰ + ۴۰ + ۵

۸۵۰ + ۵۰ + ۴۰ + ۵

۹۰۰ + ۴۰ + ۵ = ۹۴۵

تفریق ذهنی

عمل تفریق را نیز می‌‌توان مانند عمل جمع به‌‌صورت ذهنی انجام داد. در ادامه روش‌‌های تفریق ذهنی را معرفی می‌‌کنیم و شیوه انجام هر یک را با مثال توضیح می‌‌دهیم.

تفریق اعداد دو رقمی مقلوب

برای تفریق اعداد دورقمی مقلوب، رقم‌‌های یکان و دهگان یکی از دو عدد را از هم کم کرده و حاصل آن را در عدد ۹ ضرب می‌‌کنیم. دقت کنید که هنگام تفریق یکان و دهگان رقم کوچک‌‌تر را از رقم بزرگ‌‌تر کم کنید.

۶۲- ۲۶ = ۴*۹ = ۳۶

۷۵- ۵۷ = ۲*۹ = ۱۸

تفریق به روش عدد مبنا

روش عدد مبنا را می‌‌توان برای عمل تفریق نیز به‌‌کار برد. به‌‌عنوان مثال، برای به‌‌دست آوردن تفاضل ۲۴ و ۸ عدد ۲۰ را مبنا قرار می‌‌دهیم زیرا واضح است که تفاضل این دو عدد از ۲۰ کمتر می‌‌شود. بنابراین، باید کاری کنیم که ۲۴ به عدد ۲۰ برسد.

۲۴ – ۸

۲۴ – ( ۴ + ۴)

۲۴ – ۴- ۴

۲۰ – ۴ = ۱۶

اغلب روش‌‌هایی را که برای جمع ذهنی توضیح دادیم برای تفریق ذهنی نیز می‌‌توانیم به‌‌کار ببریم.

روش شمارش به بالا

در این روش از عدد کوچک‌‌تر شروع به شمارش می‌‌کنیم و تا زمانی که به عدد بزرگ‌‌تر می‌‌رسیم شمارش را ادامه می‌‌دهیم. تعداد شمارش‌‌ها تفاضل دو عدد را نشان می‌‌دهد.

برای مثال، تفاضل دو عدد ۷۳ و ۵۶۲ را مطابق مراحل زیر انجام می‌‌دهیم:

شمارش را از ۷۳ شروع می‌‌کنیم. می‌‌دانیم که پس از شمارش ۷ واحد به عدد ۸۰ می‌‌رسیم. بنابراین، در مرحله اول داریم:

۷۳ + ۷ = ۸۰

اکنون شمارش را از ۸۰ تا ۱۰۰ ادامه می‌‌دهیم:

۸۰ + ۱ + ۱ + … + ۱ ^….. = ۱۰۰

در این مرحله شمارش به بالا را از ۱۰۰ تا ۵۰۰ انجام می‌‌دهیم:

۱۰۰ + ۱ + ۱ + … + ۱ = ۵۰۰

در آخر ۶۲ واحد به ۵۰۰ اضافه می‌‌کنیم:

۵۰۰ + ۱ + ۱ + … +۱ = ۵۶۲

به‌‌این‌‌ترتیب حاصل تفریق دو عدد برابر است با:

۷ + ۲۰ + ۴۰۰ + ۶۲ = ۴۸۹

آموزش جمع و تفریق ذهنی کلاس اول

دانش‌‌آموزان در پایه اول برای نخستین‌‌بار با عمل جمع و تفریق اعداد تک‌‌رقمی آشنا می‌‌شوند. بنابراین، شیوه آموزش جمع و تفریق ذهنی به کودکان و دانش‌‌آموزان کلاس اول اهمیتی دوچندان پیدا خواهد کرد. یکی از شیوه‌‌های مناسب برای آموزش جمع و تفریق ذهنی به این گروه سنی استفاده از الگوهای عددی است. الگوهای عددی ۵ و ۱۰ ازجمله الگوهایی هستند که تکرار و تمرین آن‌‌ها ذهن کودکان را برای محاسبات ذهنی آماده می‌‌کند. 

۵, ۱۰, ۱۵, ۲۰ ,…

۱۰, ۲۰, ۳۰, ۴۰,…

آموزش جمع و تفریق ذهنی کلاس دوم

با توجه به اینکه دانش‌‌آموزان ابتدایی در پایه دوم اعداد دورقمی و سه‌‌رقمی را یاد می‌‌گیرند، روش عدد مبنا و سایر روش‌‌های جمع و تفریق ذهنی اعداد دورقمی گزینه‌‌های مناسبی برای آموزش به آن‌‌ها خواهد بود. علاوه‌‌بر این، یادگیری جمع ترکیبی عدد ۱۰ که در ابتدای مقاله به آن اشاره کردیم می‌‌تواند کمک‌‌کننده باشد. در ادامه نمونه‌‌هایی از جمع و تفریق ذهنی کلاس دوم سه رقمی را به روش شکست حل می‌‌کنیم.

نمونه سؤال جمع و تفریق ذهنی کلاس دوم

حاصل عبارت‌‌های زیر را به‌‌دست آورید.

۳۴۶ + ۱۲۳

۵۴۹ – ۱۳۷

جواب: برای محاسبه حاصل جمع و تفریق عبارت‌‌های بالا ابتدا اعداد را می‌‌شکنیم و سپس صدگان، دهگان و یکانشان را جداگانه با هم جمع یا از هم کم می‌‌کنیم. خواهیم داشت:

۳۴۶ + ۱۲۳ = ۳۰۰ + ۴۰ + ۶ + ۱۰۰ + ۲۰ + ۳

۳۰۰ + ۱۰۰ + ۴۰ + ۲۰ + ۶+ ۳= ۴۰۰ + ۶۰ + ۹ = ۴۶۹

برای تفریق نیز همین مراحل را انجام می‌‌دهیم با این تفاوت که به‌‌جای جمع کردن اعداد آن‌‌ها را از هم کم می‌‌کنیم:

۵۴۹ – ۱۳۷ = ۵۰۰ + ۴۰ + ۹ – ۱۰۰ – ۳۰ – ۷

۵۰۰ – ۱۰۰ + ۴۰ – ۳۰+ ۹ – ۷ = ۴۰۰ + ۱۰ + ۲ = ۴۱۲

بیشتر بخوانید: آموزش اعداد زوج و فرد به دبستانی ها

آموزش جمع و تفریق ذهنی کلاس سوم و چهارم

دانش‌‌آموزان در پایه‌‌های بالاتر با اعداد بزرگ‌‌تر آشنا می‌‌شوند. ازآنجا که عددهای بزرگ‌‌تر تعداد رقم‌‌های بیشتری دارند، روش شکست برای محاسبات ذهنی این اعداد روش کاربردی‌‌تری به حساب می‌‌آید. به همین منظور در ادامه نمونه سؤال‌‌هایی از جمع و تفریق ذهنی اعداد چهاررقمی و پنج‌‌رقمی را آورده‌‌ایم تا با نحوه حل کردن آن‌‌ها بیشتر آشنا شوید.

نمونه سؤال جمع و تفریق ذهنی سوم دبستان

اعداد ۶۰۱۸ و ۵۹۴۱ را در نظر بگیرید. می‌‌خواهیم مجموع این دو عدد را به روش شکست به‌‌دست آوریم. ابتدا دو عدد را به‌‌صورت زیر تجزیه می‌‌کنیم:

۵۹۴۱ + ۶۰۱۸ = ۵۰۰۰ + ۹۰۰ + ۴۰ + ۱ + ۶۰۰۰ + ۱۰ + ۸

حالا رقم‌‌هایی را که ارزش مکانی آن‌‌ها مانند هم است جداگانه جمع می‌‌زنیم:

۵۰۰۰ + ۶۰۰۰+ ۹۰۰ + ۴۰ + ۱۰ + ۱ + ۸

۱۱۰۰۰ + ۹۰۰ + ۵۰ + ۹ = ۱۱۹۵۹

نمونه سؤال جمع و تفریق ذهنی کلاس چهارم

می‌‌خواهیم تفاضل ۱۵۷۳۵ و ۱۱۳۲۰ به روش شکست تعیین کنیم. قبل از هر چیز دو عدد را به‌‌صورت زیر تفکیک می‌‌کنیم:

۱۵۷۳۵ – ۱۱۳۲۰ = ۱۵۰۰۰ + ۷۰۰ + ۳۰ + ۵ – ۱۱۰۰۰ – ۳۰۰ -۲۰

اکنون رقم‌‌های با ارزش مکانی یکسان را به‌‌صورت جداگانه از هم کم می‌‌کنیم:

۱۵۰۰۰ – ۱۱۰۰۰+ ۷۰۰ – ۳۰۰ + ۳۰ – ۲۰ + ۵

۴۰۰۰ + ۴۰۰ + ۱۰ + ۵ = ۴۴۱۵

سخن پایانی

همه ما ممکن است در موقعیتی قرار بگیریم که نیاز به انجام محاسبات ریاضی داشته باشیم اما ماشین‌‌حساب یا حتی خودکار و کاغذ در اختیارمان نباشد. در چنین شرایطی محاسبات ذهنی به کارمان می‌‌آید. اگر روش‌‌های محاسبات ذهنی را به‌‌خوبی یاد بگیرید، حل مسائل ریاضی به‌‌صورت ذهنی برایتان دشوار نخواهد بود. شما می‌‌توانید با کمک روش‌‌هایی که برای انجام جمع و تفریق ذهنی آموزش دادیم، اعداد مختلف را را با هم جمع یا از هم کم کنید تا مهارت انجام محاسبات را به‌‌صورت ذهنی در خود تقویت کنید.