مساحت مثلث متساوی الساقین همراه با شکل و حل مثال

در آموزش‌های قبلی محیط و مساحت اشکال هندسی با نحوه محاسبه مساحت مثلث آشنا شدیم و گفتیم که مثلث انواع مختلفی دارد. یکی از آن‌ها مثلث متساوی الساقین است که به‌دلیل داشتن دو ضلع مساوی، آن را متساوی الساقین می‌نامند. در این مقاله، می‌خواهیم با بررسی ویژگی‌های این نوع مثلث شما را با این شکل هندسی بیشتر آشنا کنیم و با معرفی فرمول‌های مختلفی که برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین وجود دارد و همچنین حل نمونه سؤال همراه با شکل به شما کمک کنیم تا این مبحث را به‌خوبی یاد بگیرید.

مثلث متساوی الساقین چیست؟

مثلث متساوی الساقین یک نوع مثلث است که دو ضلع با اندازه مساوی دارد. این دو ضلع مساوی «ساق» نام دارند و برای همین این نوع مثلث را متساوی الساقین نام‌گذاری کرده‌اند. ‌

همان‌طور که می‌بینید، دو ساق مثلث متساوی الساقین با ضلع سوم که معمولاً قاعده مثلث است، زاویه یکسانی می‌سازند. این زاویه‌ها را «زاویه قاعده» می‌نامند. همچنین، به زاویه بین دو ساق که با دو زاویه دیگر متفاوت است و مقابل قاعده قرار دارد، «زاویه رأس» می‌گویند. 

ویژگی جالب دیگر این نوع مثلث این است که یکی از ارتفاع‌های آن قاعده را نصف می‌کند و عمود بر آن است یعنی این ارتفاع خط تقارن، نیمساز و عمودمنصف مثلث متساوی الساقین هم هست. در جدول زیر انواع مثلث متساوی الساقین که در اندازه زاویه رأس باهم متفاوت‌اند، آورده شده است.

مثلث متساوی‌الساقین متساوی‌الاضلاع	مثلث متساوی‌الساقین قائم‌الزاویه	مثلث متساوی‌الساقین  زاویه بسته	مثلث متساوی‌الساقین زاویه باز
تصویر ۲	تصویر ۳	تصویر ۴	تصویر ۵

مساحت مثلث متساوی الساقین چیست؟

مساحت مثلث متساوی الساقین، اندازه سطحی است که توسط سه ضلع آن محصور شده است. شاید دانستن این موضوع برایتان جالب باشد که مساحت مثلث متساوی الساقین را از طریق مساحت مستطیل می‌توان به‌دست آورد.

مستطیلی با طول و عرض مشخص مانند شکل زیر درنظر بگیرید.

اگر از وسط طول مستطیل دو پاره‌خط تا گوشه‌های پایین مستطیل رسم کنید، یک مثلث متساوی الساقین خواهید داشت که ارتفاع آن، عرض مستطیل و قاعده آن همان طول مستطیل است.

با رسم مثلث متساوی الساقین، دو مثلث قائم‌الزاویه هم ایجاد می‌شود که در شکل زیر به‌رنگ سبز نشان داده شده‌اند.

اگر دو مثلث قائم‌الزاویه را مانند شکل زیر بچرخانید و کنار هم قرار دهید، یک مثلث متساوی الساقین تشکیل می‌شود که هم‌اندازه مثلث صورتی‌رنگ است.

پس می‌توان نتیجه گرفت که مساحت مستطیل برابر با مساحت دو مثلث متساوی الساقین است، یعنی طول ضربدر عرض=قاعده ضربدر ارتفاع. بنابراین، مساحت یک مثلث متساوی الساقین نصف قاعده ضربدر ارتفاع خواهد بود.اگر علاقه‌مند هستید راجع‌به مستطیل و نحوه محاسبه مساحت آن بیشتر بدانید، مقاله مساحت مستطیل را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

مساحت مثلث متساوی الساقین کلاس سوم

در پایه سوم دبستان، مساحت یک شکل به‌صورت تعداد مربع‌های واحدی که در آن شکل جای می‌گیرند تعریف می‌شود. طبق این تعریف، مساحت یک مثلث متساوی الساقین برابر است با تعداد مربع‌های واحدی که در این مثلث قرار می‌گیرد. مثلاً اگر ۱۰ مربع واحد به‌طول یک سانتی‌متر در یک مثلث متساوی الساقین جای گیرد، مساحت آن مثلث ۱۰ سانتی‌متر مربع خواهد بود.

فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین با ارتفاع

در بخش قبل گفتیم که مساحت مثلث متساوی الساقین برابر با نصف قاعده ضربدر ارتفاع است. یعنی کافی‌ست اندازه ارتفاع و قاعده مثلث را داشته باشیم تا مساحت آن را به‌راحتی به‌دست آوریم.

نمونه سؤال مساحت مثلث متساوی الساقین کلاس چهارم

مساحت مثلث متساوی الساقین زیر را حساب کنید.

مثلث داده‌شده یک مثلث متساوی الساقین است که ارتفاع آن ۶ سانتی‌متر و قاعده آن ۱۴ سانتی‌متر است. مقادیر را در فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین قرار می‌دهیم تا مساحت شکل به‌دست آید.

۲ ÷ (ارتفاع × قاعده) = مساحت مثلث متساوی الساقین

$$\frac{۱۴\times <!--\; \times \; -->۶}{۲}=\frac{۸۴}{۲}=۴۲$$

نمونه سؤال مساحت مثلث متساوی الساقین کلاس پنجم

یک چوب‌لباسی به‌شکل زیر داریم. مساحت قسمت داخلی آن را به‌دست آورید.

چوب‌لباسی به‌شکل مثلث متساوی الساقین است و مساحت آن برابر است با

۲ ÷ (قاعده ×ارتفاع) = مساحت چوب لباسی

$$\frac{۹/۵\times <!--\; \times \; -->۴/۵}{۲}=\frac{۴۲/۷۵}{۲}=۲۱/۳۷۵$$

نمونه سؤال مساحت مثلث متساوی الساقین کلاس ششم

سقف یک بام خانه به‌شکل زیر است. مساحت آن را محاسبه کنید.

پس مساحت بام خانه برابر با ۳/۳۷۵ متر مربع است.

فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین بدون ارتفاع

زمانی که ارتفاع مثلث متساوی الساقین مجهول باشد، دیگر نمی‌توان از فرمول بالا برای محاسبه مساحت آن استفاده کرد. در چنین مواردی می‌توان روش‌های دیگری را به‌کار برد که در ادامه معرفی کرده‌ایم.

فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین با اضلاع

اگر فقط اندازه سه ضلع مثلث متساوی الساقین را داشته باشیم، می‌توانیم با استفاده از قضیه فیثاغورس به‌راحتی مساحت آن را به‌دست آوریم. شکل زیر را درنظر بگیرید. اندازه اضلاع و ارتفاع مثلث در این شکل با نمادهای ریاضی نوشته شده است. بنابراین، فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین که در بخش‌های قبل معرفی کردیم برحسب این نمادها به‌صورت زیر بازنویسی می‌شود.

• A: مساحت مثلث متساوی الساقین
• b: قاعده مثلث متساوی الساقین
• h: ارتفاع مثلث متساوی الساقین
• a: ساق متساوی الساقین

همان‌طور که گفتیم مقدار ارتفاع مجهول و اندازه سه ضلع مشخص است. اما می‌توانیم با کمک قضیه فیثاغورس مقدار ارتفاع را به‌دست آوریم. می‌دانیم که ارتفاع مثلث متساوی الساقین، قاعده را به دو قسمت مساوی و درنتیجه مثلث را به دو مثلث قائم‌الزاویه یکسان تقسیم می‌کند. بنابراین، طبق شکل زیر خواهیم داشت:

درنتیجه فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین با سه ضلع به‌صورت زیر خواهد بود.

$$A=\frac{۱}{۲}\times <!--\; \times \; -->b\sqrt{a^{۲}-<!--\; -\; -->(\frac{b^{۲}}{۴}})$$

مثال: مساحت مثلث متساوی الساقین زیر را به‌دست آورید.

در این شکل فقط اندازه سه ضلع را داریم. پس، از فرمول بالا برای محاسبه مساحت آن استفاده می‌کنیم.

فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین با سینوس:

فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین با سینوس

اگر طول دو ضلع و زاویه بین آن‌ها را داشته باشیم، از فرمول زیر مساحت مثلث متساوی الساقین را تعیین می‌کنیم.

A: مساحت مثلث متساوی الساقین
b: اندازه یکی از اضلاع مثلث
c: اندازه ضلع دیگر مثلث
α: زاویه بین دو ضلع با اندازه مشخص

مثال: مساحت شکل زیر را تعیین کنید.

مساحت مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه

مثلث متساوی الساقین قائم‌الزاویه به مثلث متساوی الساقینی گفته می‌شود که زاویه رأس آن ۹۰ درجه است. زاویه قائمه بین دو ساق قرار دارد، بنابراین می‌توانیم از فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین با سینوس، مساحت آن را محاسبه کنیم.

سینوس ۹۰ درجه برابر با یک است. درنتیجه فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین قائم‌الزاویه برابر است با

$$A=\frac{۱}{۲}{a}^{۲}$$

مثال: اگر اندازه ساق یک مثلث متساوی الساقین قائم‌الزاویه ۱۵ سانتی‌متر باشد، مساحت آن چقدر است؟

چون مثلث، متساوی الساقین قائم‌الزاویه است، مساحت آن را به‌صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین با فرمول هرون

زمانی که اندازه سه ضلع مثلث متساوی الساقین داده می‌شود، می‌توان از فرمول هرون برای تعیین مساحت آن استفاده کرد. به‌عنوان مثال، برای مثلثی که سه ضلع آن a، b و c است، فرمول هرون به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

• A: مساحت مثلث
• a، b و c: اندازه سه ضلع مثلث
• s: نصف محیط مثلث (a + b + c ÷ ۲)

این فرمول برای محاسبه مساحت هر نوع مثلثی به‌کار می‌رود.

مثال: مساحت مثلث زیر را بیابید.

اندازه سه ضلع مثلث متساوی الساقین در شکل بالا داده شده است، پس به‌راحتی می‌توان مساحت آن را با فرمول هرون به‌دست آورد.

ابتدا مقدار s را که برابر با نصف محیط مثلث است، محاسبه می‌کنیم.

$$s=\frac{a+b+c}{۲}=\frac{۸+۸+۱۰}{۲}=۱۳$$

حالا مقدار s و اندازه اضلاع را در فرمول جای‌گذاری می‌کنیم.

سخن پایانی

مثلث متساوی الساقین یکی از انواع مثلث است که دو ضلع آن با هم مساوی هستند. این دو ضلع مساوی ساق نام دارند و با هم زاویه‌ای می‌سازند که به آن زاویه رأس می‌گویند. اگر مقدار زاویه رأس تغییر کند، متساوی الساقین‌های متفاوتی خواهیم داشت که در جدول ابتدای مقاله به آن‌ها اشاره کردیم. روش‌های مختلفی برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین وجود دارد که هر کدام را همراه با شکل و مثال در بخش‌های قبل توضیح دادیم. روش رایج برای محاسبه مساحت این نوع مثلث، استفاده از فرمول «قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو» است. البته روش‌های دیگری مانند فرمول هرون، استفاده از مثلثات و استفاده از قضیه فیثاغورس هم وجود دارد که در آن نیازی به دانستن مقدار ارتفاع نیست.

• مثلث متساوی الساقین چیست؟
  مثلثی است که دو ضلع آن با هم برابر است.
• مساحت مثلث متساوی الساقین چیست؟
  اندازه سطح مثلث متساوی الساقین که توسط اضلاع آن احاطه شده است را مساحت مثلث متساوی الساقین می‌گویند.
• مساحت مثلث متساوی الساقین چگونه به‌دست می‌آید؟
  مساحت این نوع مثلث از فرمول‌های مختلفی به‌دست می‌آید اما روش رایج، استفاده از فرمول «قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو» است.
• محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین با فرمول هرون چگونه است؟
  فرمول هرون، فرمولی برای محاسبه مساحت مثلث است و زمانی از آن استفاده می‌شود که مقدار سه ضلع مثلث را داشته باشیم (A=√s (s – a) × (s – b) × (s – c
• فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه چیست؟
  فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین قائم‌الزاویه مساوی با نصف اندازه یکی از ساق‌ها به‌توان ۲ است.