مساحت مثلث مختلف الاضلاع ׀ ۴ فرمول کاربردی محاسبه مساحت + حل مثال

در این آموزش از مجموعه آموزش‌‌های مساحت اشکال هندسی، می‌‌خواهیم به نحوه محاسبه مساحت مثلث مختلف الاضلاع بپردازیم. برای به‌‌دست آوردن مساحت این شکل هندسی بسته به اطلاعات مسئله می‌‌توان از فرمول‌‌های متنوعی استفاده کرد که در این مقاله آن‌‌ها را همراه با حل نمونه سؤال معرفی خواهیم کرد. پس با ادامه این مطلب همراه ما باشید تا روش‌‌های محاسبه مساحت این نوع مثلث را یاد بگیرید.

مساحت مثلث مختلف الاضلاع چگونه محاسبه می شود؟

مثلث مختلف الاضلاع به مثلثی گفته می‌‌شود که طول سه ضلع و اندازه سه زاویه داخلی آن با هم فرق دارد. درواقع، دلیل نام‌‌گذاری این نوع مثلث داشتن سه ضلع و سه زاویه با اندازه‌‌های مختلف است.

مساحت مثلث مختلف الاضلاع را می‌‌توان اندازه سطحی تعریف کرد که توسط سه ضلع مثلث احاطه شده است. در شکل زیر، سطح مثلث مختلف الاضلاع را با رنگ سبز نشان داده‌‌ایم.

فرمول مساحت مثلث مختلف الاضلاع چیست؟

به منظور یافتن مساحت سطح اشغال‌‌شده توسط اضلاع مثلث مختلف الاضلاع از فرمول‌‌های گوناگونی می‌‌توان استفاده کرد. دلیل متفاوت بودن فرمول‌‌های محاسبه مساحت، تفاوت در اطلاعات داده‌‌شده در صورت مسئله است. در ادامه هر یک از این فرمول‌‌ها را معرفی می‌‌کنیم.

محاسبه مساحت مثلث مختلف الاضلاع با ارتفاع و قاعده

معروف‌‌ترین فرمول مساحت مثلث فرمول «قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو» که برای محاسبه مساحت انواع مثلث می‌‌توان آن را به‌‌کار برد. زمانی که قاعده و ارتفاع مثلث را داشته باشیم می‌‌توانیم از این فرمول کاربردی استفاده کنیم. 

اگر مساحت را با A، قاعده مثلث را با b و ارتفاع آن را با h نمایش دهیم، فرمول جبری مساحت مثلث مختلف الاضلاع به‌‌شکل زیر خواهد بود:

در شکل زیر قاعده‌‌ها و ارتفاع‌‌های نظیر آن‌‌ها با رنگ مشابه نشان داده شده است.

مثال: اندازه قاعده و ارتفاع یک مثلث مختلف الاضلاع به‌‌ترتیب ۱۲ و ۸ سانتی‌‌متر است. مساحت این مثلث را حساب کنید.

جواب: با توجه به اینکه مقدار قاعده و ارتفاع مثلث را داریم، برای محاسبه مساحت می‌‌توانیم از فرمول مساحت مثلث مختلف الاضلاع کلاس چهارم یعنی «قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو» استفاده کنیم. خواهیم داشت:

پس مساحت این مثلث برابر با ۴۸ سانتی‌‌متر مربع است. توجه داشته باشید که واحد اندازه‌‌گیری مساحت به واحد اندازه‌‌گیری اندازه‌‌های قاعده و ارتفاع بستگی دارد. برای مثال، اگر واحد اندازه‌‌گیری میلی‌‌متر باشد، مساحت برحسب میلی‌‌متر مربع خواهد بود.

محاسبه مساحت مثلث مختلف الاضلاع بدون ارتفاع

اگر مقدار ارتفاع مثلث مشخص نباشد و تنها اندازه سه ضلع آن را داشته باشیم، از فرمول هرون برای رسیدن به جواب استفاده می‌‌کنیم. فرض کنید یک مثلث مختلف الاضلاع با اضلاع a، b و c داریم. مساحت چنین مثلثی که سه ضلع آن معلوم است از فرمول زیر که فرمول هرون نام دارد به‌‌دست می‌‌آید: 

• A: مساحت مثلث مختلف الاضلاع
• s: نصف محیط مثلث مختلف الاضلاع (نصف مجموع اندازه سه ضلع مثلث]
• a، b و c: اندازه سه ضلع مثلث مختلف الاضلاع

مثال: مساحت مثلثی را بیابید که طول سه ضلع آن ۴، ۵ و ۷ سانتی‌‌متر است.

جواب: با توجه به  صورت سؤال تنها اندازه اضلاع مثلث را داریم. پس باید با کمک فرمول هرون مقدار مساحت مثلث را پیدا کنیم. می‌‌دانیم که فرمول هرون به‌‌صورت زیر است:

اندازه a، b و c یعنی اندازه سه ضلع مثلث را داریم. فقط کافی‌‌ست مقدار s یعنی نصف محیط مثلث را محاسبه کنیم تا مقدار مساحت تعیین شود.

نصف محیط مثلث به‌‌صورت زیر به‌‌دست می‌‌آید:

حالا با جای‌‌گذاری مقدار s و اندازه اضلاع می‌‌توانیم به جواب برسیم. پس مساحت مثلث مختلف الاضلاع برابر با مقدار زیر خواهد بود:

پس مقدار مساحت مثلث تقریباً مساوی با 9/8 سانتی‌‌متر مربع است.

پیشنهاد مطالعه: مساحت مثلث متساوی الاضلاع

محاسبه مساحت مثلث مختلف الاضلاع با سینوس

اگر در مثلث مختلف الاضلاع، اندازه دو ضلع و زاویه بین آن‌‌ها یا اندازه دو زاویه و ضلع بینشان را داشته باشیم، محاسبه مساحت با استفاده از مثلثات برایمان امکان‌‌پذیر خواهد بود.

به‌‌عنوان مثال، برای مثلثی که a، b و c اضلاع آن و A، B و C زوایای آن هستند، دو حالت و درنتیجه دو فرمول خواهیم داشت که در ادامه آن‌‌ها را بیان خواهیم کرد.

محاسبه مساحت مثلث مختلف الاضلاع با دو ضلع و زاویه بین

درصورت مشخص بودن اندازه دو ضلع مثلث و زاویه بین آن‌‌ها، از فرمول‌‌های زیر برای محاسبه مساحت استفاده می‌‌کنیم:

• a، b و c: طول اضلاع مثلث
• A، B و C: اندازه زاویه‌‌های داخلی مثلث
• Area: مساحت مثلث

محاسبه مساحت مثلث مختلف الاضلاع با دو زاویه و ضلع بین

برای حالتی که دو زاویه و ضلع بین آن‌‌ها را داریم، مساحت مثلث از روابط زیر به‌‌دست می‌‌آید:

• a، b و c: طول اضلاع مثلث
• A، B و C: اندازه زاویه‌‌های داخلی مثلث
• Area: مساحت مثلث

ازآنجا که مجموع زوایای داخلی مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است، می‌‌توانیم با داشتن دو زاویه اندازه زاویه سوم را نیز به‌‌دست آوریم.

مثال: مساحت مثلث زیر را محاسبه کنید.

جواب: در این شکل، اندازه یک زاویه و تنها دو ضلع مثلث مشخص است. پس می‌‌توانیم از فرمول دو ضلع و زاویه بین برای تعیین مساحت مثلث استفاده کنیم. با در نظر گرفتن دو ضلع b و c و زاویه A مساحت مثلث را از رابطه زیر محاسبه می‌‌کنیم: 

با جای‌‌گذاری مقادیر در این رابطه خواهیم داشت:

همان‌‌طور که دیدید، بدون محاسبه ضلع سوم مثلث مختلف الاضلاع و استفاده از فرمول هرون، توانستیم مساحت مثلث را به‌‌راحتی محاسبه کنیم.

نرم افزار محاسبه مساحت مثلث مختلف الاضلاع

علاوه‌‌بر فرمول‌‌هایی که تا اینجا معرفی شدند، می‌‌توانید از نرم افزار محاسبه مساحت مثلث مختلف الاضلاع نیز برای به‌‌دست آوردن مساحت مثلث استفاده کنید، اما بهتر است ابتدا با کمک فرمول‌‌های ارائه‌‌شده به حل تمرین‌‌های متنوع بپردازید و این مبحث را به‌‌خوبی یاد بگیرید، سپس روش محاسبه آنلاین را امتحان کنید.

برای محاسبه آنلاین مساحت مثلث مختلف الاضلاع کافی‌‌ست عبارت scalene triangle area را در گوگل جست‌‌وجو کنید. پس از جست‌‌جو کادری مطابق شکل زیر را مشاهده خواهید کرد. کافی‌‌ست مقدار ارتفاع و قاعده مثلث را در کادرهای مربوطه وارد کنید تا مقدار مساحت را به شما نمایش دهد.

روش دیگر برای محاسبه آنلاین مساحت این نوع مثلث استفاده از سایت Omni Calculator است. این سایت نیز مشابه حسابگر آنلاین گوگل عمل می‌‌کند با این تفاوت که امکان استفاده از سایر فرمول‌‌های مساحت مثلث را نیز فراهم می‌‌سازد.

سخن پایانی

برای محاسبه مساحت مثلث مختلف الاضلاع فرمول‌‌های متعددی وجود دارد که از میان آن‌‌ها می‌‌توان به فرمول شناخته‌‌شده «قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو» استفاده کرد. این فرمول ساده‌‌ترین فرمول مساحت مثلث به شمار می‌‌رود که دانش‌‌آموزان در مقطع ابتدایی آن را فرامی‌‌گیرند. یادگیری مسائل ریاضی با تمرین و تکرار امکان‌‌پذیر است. بنابراین، بهتر است برای تثبیت مطالب این مقاله نمونه سؤال‌‌های بیشتری حل کنید. 

سؤالات متداول

1. مساحت مثلث مختلف الاضلاع چیست؟
   مساحت مثلث مختلف الاضلاع برابر است با اندازه سطح اشغال‌‌شده توسط اضلاع آن.
   
2. مساحت مثلث مختلف الاضلاع چگونه به‌‌دست می‌‌آید؟
   شیوه محاسبه مساحت مثلث مختلف الاضلاع به داده‌‌های مسئله بستگی دارد. ما در این مقاله سعی کردیم تمامی فرمول‌‌های محاسبه مساحت این نوع مثلث را بیان کنیم.
   
3. فرمول مساحت مثلث مختلف الاضلاع کلاس پنجم چیست؟
   با توجه به اینکه دانش‌‌آموزان ابتدایی با محاسبات ساده‌‌تری سروکار دارند، فرمول محاسبه مساحت مثلث مختلف الاضلاع در این پایه فرمول رایج «قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو»  است.
   
4. مساحت مثلث مختلف الاضلاع با سه ضلع چگونه به‌‌دست می‌‌آید؟
   اگر اندازه سه ضلع مثلث مشخص باشد، فرمول هرون، فرمولی کاربردی برای محاسبه مساحت مثلث خواهد بود.