جمع و تفریق اعداد توان دار + مثال

در آموزش‌های پیشین با خواص اعداد توان‌دار آشنا شدیم. این اعداد با ساده‌تر کردن نمایش اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک، درک آن‌ها را برایمان راحت‌تر می‌کنند. اعداد توان‌دار شامل دو بخش پایه و توان هستند و اعدادی را به ما نشان می‌دهند که چند بار در خودشان ضرب شده‌اند. عملیات جمع و تفریق اعداد توان دار مانند ضرب و تقسیم آن‌ها تابع قوانین خاصی است که هنگام انجام محاسبات باید به آن‌ها توجه کرد. در این مطلب، قصد داریم قوانین جمع و تفریق اعداد توان دار را همراه با مثال و نمونه سؤال آموزش دهیم.

جمع اعداد توان دار

اعداد توان دار اعدادی شامل دو بخش پایه و توان هستند. برای مثال، عدد توان‌داری مانند xn (x به‌توان n)  نشان می‌دهد که عدد x (پایه)، n بار در خودش ضرب شده است. n نشان‌دهنده توان عدد است. برای جمع کردن این نوع اعداد باید مطابق مراحلی که در ادامه به آن‌ها اشاره می‌کنیم، پیش بروید.

• گام اول: جمله‌های عبارت داده‌شده را بررسی کنید و آن‌هایی را که پایه و توان برابر دارند، بیابید.
• گام دوم: اگر پایه‌ها و توان‌ها نامساوی هستند، جمله‌ها را جداگانه محاسبه کنید.
• گام سوم: در آخر، پاسخ‌ها را با هم جمع کنید.

به‌طور کلی، جمع اعداد توان‌دار را می‌توان به روش‌های مختلفی انجام داد. قانون اصلی جمع این اعداد این است که پایه و توان‌ها یکسان باشند، اما بااین‌حال، گاهی اوقات ممکن است پایه و توان یکسان نباشند. در بخش‌های بعدی، این موارد را توضیح می‌دهیم و  روش‌های مختلف جمع کردن اعداد توان‌دار را بررسی می‌کنیم.

جمع اعداد توان دار با پایه و توان مساوی

زمانی که توان‌ها و پایه‌های اعداد توان‌دار برابر هستند، جمع اعداد توان‌دار را می‌توان به‌راحتی انجام داد. در این حالت، اعداد توان‌دار را همانند متغیرهای مشابه در  عبارت‌های جبری با هم جمع می‌کنیم. دقت داشته باشید که در عمل جمع و حتی تفریق این اعداد نمی‌توانیم مانند ضرب و تقسیم اعداد توان دار، توان‌ها را با هم جمع یا از هم کم کنیم. برای درک بهتر، به مثال‌های زیر توجه کنید.

aⁿ + aⁿ = ( ۱ + ۱ )aⁿ = ۲aⁿ
۴^۳+ ۴^۳= ۲ ( ۴^۳ ) = ۲ × ۴ × ۴ × ۴ = ۱۲۸

به‌طور کلی، اگر دو عدد توان‌دار به‌صورت caⁿ و daⁿ داشته باشیم که در آن‌ها c و d ضریب، a پایه و n توان است، حاصل‌جمع آن‌ها برابر است با

caⁿ+ daⁿ = (c + d ) aⁿ

مثال: حاصل‌جمع b^m+۷b^m را به‌دست آورید.

جواب: پایه‌ها و توان‌های هر دو جمله در عبارت بالا یکسان هستند. بنابراین، کافی‌ست ضریب‌های دو عدد توان‌دار یعنی ۱ و ۷ را با هم جمع کنیم تا حاصل عبارت به‌صورت زیر به‌دست آید:

b^m + ۷b^m = ( ۱ + ۷ ) b^m= ۸b^m

جمع اعداد توان دار با پایه و توان نامساوی

اگر اعداد توان‌داری که با همدیگر جمع می‌شوند، پایه و توان نامساوی داشته باشند، مانند aⁿ+b^m، ابتدا هر کدام از جملات توان‌دار را جداگانه محاسبه می‌کنیم، سپس، حاصل‌جمع آن‌ها را تعیین کرده و مقدار نهایی را به‌دست می‌آوریم. در مثال زیر، می‌توانید نحوه محاسبه جمع این نوع اعداد را مشاهده کنید.

۳^۳+۵^۲=۳ × ۳ × ۳+ (۵ × ۵) = ۲۷+ ۲۵ = ۵۲

نکته: برای جمع اعداد توان دار با پایه مساوی و توان‌های نامساوی یا جمع اعداد توان دار با توان برابر و پایه‌های نامساوی، هر کدام از جمله‌های توان‌دار را جداگانه محاسبه کرده و در آخر با هم جمع می‌کنیم.

تفریق اعداد توان دار

تا اینجای مقاله، به آموزش جمع اعداد توان دار پرداختیم. اکنون در این بخش، عمل تفریق اعداد توان دار با توان مساوی و پایه یکسان و تفریق اعداد توان‌دار با توان و پایه نابرابر را می‌آموزیم.

تفریق اعداد توان دار با پایه های مساوی و توان های برابر

قانون تفریق در عبارت‌های توان‌دار مشابه قانون جمع در این اعداد است. به‌عنوان مثال، اگر بخواهیم حاصل تفریق دو عدد توان‌دار با پایه‌ها و توان‌های مساوی مانند caⁿ و daⁿ (d و c ضریب اعداد توان‌دار هستند) را به‌دست آوریم، کافی‌ست به‌صورت زیر ضرایب را از هم کم کنیم:

caⁿ – daⁿ =( c – d )aⁿ
۶x^۳ – ۲x^۳ =( ۶ – ۲) x^۳

در مثال بالا، ضریب‌ها ۶ و ۲ و توان و پایه نیز به‌ترتیب برابر با ۳ و x هستند.

تفریق اعداد توان دار با توان و پایه نامساوی

اگر اعداد توان‌دار پایه و توان نامساوی داشته باشند، هنگام تفریق آن‌ها ابتدا پاسخ هر کدام از جمله‌های توان‌دار را به‌دست می‌آوریم و سپس، جواب‌ها را از هم کم می‌کنیم. برای مثال، حاصل تفریق عبارت ۲^۵-۴^۳ به‌صورت زیر تعیین می‌شود:

۳^۴ – ۲^۵ = ۳ × ۳ × ۳ × ۳- ۲× ۲× ۲× ۲× ۲= ۸۱ – ۳۲ = ۴۹

جمع و تفریق اعداد توان دار منفی با پایه نامساوی

برای جمع یا تفریق اعداد توان‌دار منفی با پایه‌های نامساوی، ابتدا اعداد را وارونه می‌کنیم تا توان‌ها مثبت شوند، سپس آن‌ها را جداگانه محاسبه می‌کنیم و با هم جمع می‌زنیم یا از هم کم می‌کنیم.

$$a^{-<!--\; -\; -->n}\pm <!--\; \pm \; -->b^{-<!--\; -\; -->n}=\frac{1}{a^n}\pm <!--\; \pm \; -->\frac{1}{b^n}$$ $${۶}^{-<!--\; -\; -->۲}+{۳}^{-<!--\; -\; -->۳}=\frac{۱}{{۶}^{۲}}+\frac{۱}{{۳}^{۳}}=\frac{۱}{۳۶}+\frac{۱}{۲۷}=۰/۰۶۴۸$$ $${۲}^{-<!--\; -\; -->۲}-<!--\; -\; -->{۳}^{-<!--\; -\; -->۲}=\frac{۱}{{۲}^{۲}}-<!--\; -\; -->\frac{۱}{{۳}^{۲}}=\frac{۱}{۴}-<!--\; -\; -->\frac{۱}{۹}=\frac{۱\times <!--\; \times \; -->۹}{۴\times <!--\; \times \; -->۹}-<!--\; -\; -->\frac{۱\times <!--\; \times \; -->۴}{۹\times <!--\; \times \; -->۴}=\frac{۹}{۳۶}-<!--\; -\; -->\frac{۴}{۳۶}=\frac{۵}{۳۶}$$

جمع و تفریق اعداد توان دار زیر رادیکال

اعداد توان‌دار با توان کسری را می‌توان به‌صورت اعداد رادیکالی نوشت. به‌عنوان مثال، اگر بخواهیم عددی مانند

را به عدد رادیکالی تبدیل کنیم، آن را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},(\sqrt[n]{a^{}}{)}^m$$

هنگام جمع یا تفریق جمله‌هایی که شامل اعداد رادیکالی هستند، باید به عدد توان‌دار زیر رادیکال و فرجه رادیکال توجه کنیم. رادیکال‌هایی که عدد توان‌دار زیر آن‌ها یکسان است و فرجه برابر دارند را با هم جمع یا از هم کم می‌کنیم. در غیر این صورت، باید هر کدام از اعداد را جداگانه بررسی کنیم و سپس، عمل جمع یا تفریق را انجام دهیم. برای درک بهتر، هر یک از حالت‌ها را با مثال توضیح می‌دهیم.

$$۵\sqrt[۵]{{۳}^{۲}}=۹\sqrt[۵]{{۳}^{۲}}=(۵+۹)\sqrt[۵]{{۳}^{۲}}=۱۴\sqrt[۵]{{۳}^{۲}}$$ $$۵\sqrt[۳]{۲۷}-<!--\; -\; -->۲\sqrt{۴}=۳\sqrt[۳]{۳}-<!--\; -\; -->۲\sqrt{۴}=۳\times <!--\; \times \; -->{۳}^{\frac{۳}{۳}}-<!--\; -\; -->۲\times <!--\; \times \; -->{۲}^{\frac{۲}{۲}}=۳\times <!--\; \times \; -->{۳}^{۱}-<!--\; -\; -->۲\times <!--\; \times \; -->{۲}^{۱}=۹-<!--\; -\; -->۴=۵$$

در هر دو جمله مثال اول، عدد توان‌دار زیر رادیکال ۳۲ و فرجه رادیکال ۵ است یعنی رادیکال‌ها با هم برابرند، اما در مثال دوم، عدد توان‌دار زیر رادیکال‌ها و فرجه آن‌ها نابرابر است. برای همین، هر کدام از جمله‌ها را جداگانه محاسبه کرده و سپس، از هم کم کرده‌ایم.

نمونه سؤال جمع و تفریق اعداد توان دار

حاصل عبارت‌های زیر را تعیین کنید.

الف)۵x^۳ + ۲y -۲x^۳ + ۱۰y
 ب)

$$x^{-<!--\; -\; -->۲}+۱۱x^{-<!--\; -\; -->۲}+\frac{۱}{۲}x+\frac{۱}{۳}x$$

ج)

۲^۵ – ۵^۲ + ۱۰

د)

$$۱۳b^{-<!--\; -\; -->\frac{۱}{۵}}-<!--\; -\; -->۴b^{-<!--\; -\; -->\frac{۱}{۵}}+۲b^{-<!--\; -\; -->\frac{۱}{۵}}$$

جواب: برای تعیین حاصل عبارت‌های داده‌شده، ابتدا جملاتی را که دارای اعداد توان‌دار یا متغیرهای مشابه هستند می‌یابیم و پس از آن عمل جمع یا تفریق را طبق قواعدی که بیان کردیم، انجام می‌دهیم.

الف) 

۵x^۳ + ۲y -۲x^۳ + ۱۰y = ( ۵ – ۲ ) x ^۳ + (۲ + ۱۰ )y = ۳x^۳ + ۱۲y

ب)

$$x^{-<!--\; -\; -->۲}+۱۱x^{-<!--\; -\; -->۲}+\frac{۱}{۲}x+\frac{۱}{۳}x=(۱+۱۱)x^{-<!--\; -\; -->۲}+(\frac{۱}{۲})+(\frac{۱}{۳})x=۱۲x^{-<!--\; -\; -->۲}+\frac{۵}{۶}x=\frac{۱۲}{x^{۲}}+\frac{۵}{۶}x$$

ج)

۲^۵ – ۵^۲ + ۱۰ = (۲× ۲× ۲× ۲× ۲)- (۵× ۵) + ۱۰ = ۳۲-۲۵ + ۱۰ = ۷ +۱۰ = ۱۷

د)

$$۱۳b^{-<!--\; -\; -->\frac{۱}{۵}}-<!--\; -\; -->۴b^{-<!--\; -\; -->\frac{۱}{۵}}+۲b^{-<!--\; -\; -->\frac{۱}{۵}}=(۱۳-<!--\; -\; -->۴)b^{-<!--\; -\; -->\frac{۱}{۵}}+۲b^{\frac{۱}{۵}}=۹b^{-<!--\; -\; -->\frac{۱}{۵}}+۲b^{\frac{۱}{۵}}=\frac{۹}{b^{\frac{۱}{۵}}}+۲b^{\frac{۱}{۵}}=\frac{۹}{\sqrt[۵]{b}}+۲\sqrt[۵]{b}$$

سخن پایانی

در این مقاله، قواعد جمع و تفریق اعداد توان دار را معرفی کردیم و به آموزش جمع و تفریق اعداد توان دار با پایه های مساوی و توان‌های مساوی و جمع و تفریق اعداد توان دار با توان و پایه‌های نامساوی پرداختیم. قاعده کلی برای جمع و تفریق اعداد توان دار به این صورت است که ابتدا جملاتی را که اعداد توان‌دار مشابه دارند، با هم جمع یا از هم کم می‌کنیم و سپس، جواب نهایی را محاسبه می‌کنیم. اگر جملات عبارت موردنظر دارای اعداد توان‌دار با پایه و توان نامساوی باشند، ابتدا حاصل هر کدام از جمله‌ها را به‌دست می‌آوریم، سپس حاصل کل عبارت را تعیین می‌کنیم. در آخر این نکته را یادآور می‌شویم که برای تسلط بر محاسبات اعداد توان‌دار، حل مسائل متعدد و گوناگون کمک‌کننده خواهد بود.