مساحت متوازی الاضلاع | فرمول ها + نمونه سؤال

یادگیری نحوه محاسبه مساحت متوازی الاضلاع نه‌تنها در علم ریاضی بلکه در سایر علوم نیز از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. استفاده از مساحت این شکل هندسی مانند سایر چهارضلعی‌ها معماران، مهندسان و هنرمندان را قادر می‌سازد بناهایی زیباتر و مقاوم‌تر بسازند. اگر به اطراف خود نگاهی بیاندازید، نمونه‌های بسیاری از کاربرد مساحت متوازی الاضلاع را خواهید یافت. به‌عنوان مثال، در کشاورزی، ساخت‌وساز، طراحی داخلی، فیزیک، ساخت صفحات خورشیدی و… استفاده از مساحت این شکل هندسی بسیار کمک‌کننده است. در این آموزش، قصد داریم شما را با نحوه محاسبه مساحت متوازی الاضلاع آشنا کنیم.

متوازی الاضلاع چیست؟

«متوازی الاضلاع» (Parallelogram) یک شکل هندسی است که اضلاع آن با یکدیگر موازی هستند. به بیانی دیگر، متوازی الاضلاع نوعی چندضلعی به‌شمار می‌رود که دارای چهار ضلع است و طول جفت ضلع‌های موازی آن با هم برابرند.

ویژگی های متوازی الاضلاع

یک متوازی الاضلاع دارای ویژگی‌های زیر است:

• اضلاع روبه‌رو با هم موازی‌اند (AB ǁ CD و AD ǁ BC).
• طول اضلاع روبه‌رو مساوی است (AB=CD و AD=BC).
• اندازه زوایای مقابل برابر است (∠A =∠C و ∠B=∠D).
• مانند چهارضلعی‌های دیگر، مجموع زوایای داخلی آن ۳۶۰ درجه است.
• مجموع زوایای مجاور ۱۸۰ درجه است (۱۸۰ = ∠A + ∠B، ۱۸۰ = ∠B + ∠C، ۱۸۰ = ∠C + ∠D و ۱۸۰ = ∠D + ∠A). 
• دو قطر دارد که همدیگر را نصف می‌کنند (OB=OD و OA=OC).
• قطرها (AC و BD)، متوازی الاضلاع را به دو مثلث هم‌نهشت تقسیم می‌کنند.

انواع متوازی الاضلاع

شاید تصور کنید که تنها یک نوع متوازی الاضلاع وجود دارد و همان شکل رایجی که همه ما با آن آشنا هستیم متوازی الاضلاع محسوب می‌شود اما بهتر است بدانید که انواع خاصی از متوازی الاضلاع مانند لوزی، مربع و مستطیل نیز وجود دارد که هر کدام به‌دلیل داشتن یک یا دو ویژگی منحصریه‌فرد از نظر ظاهری با متوازی الاضلاع فرق دارند.لوزی: یک نوع متوازی الاضلاع که طول تمام اضلاع آن برابر است (AB=BC=CD=DA).

مربع: متوازی الاضلاعی که قطرهای آن و طول تمام اضلاع آن مساوی است و همه زوایای آن قائمه هستند (AB=BC=CD=DA  و ۹۰ = ∠A = ∠B = ∠C = ∠D و AC=BD).

مستطیل: یک نوع متوازی الاضلاع که تمام زوایای آن قائمه، قطرها با هم برابر و طول اضلاع روبه‌روی آن با هم مساوی است.

مساحت متوازی الاضلاع چیست؟

می‌دانیم که مساحت یعنی اندازه سطح، پس مساحت متوازی الاضلاع یعنی اندازه سطح یک متوازی الاضلاع.  مثلاً اگر یک متوازی الاضلاع به‌شکل زیر داشته باشیم و کل سطح داخل آن را رنگ‌آمیزی کنیم، قسمت رنگ‌شده، مساحت متوازی الاضلاع را به ما نشان می‌دهد.

فرمول مساحت متوازی الاضلاع به زبان ساده

متوازی الاضلاع بسیار شبیه به مستطیل است و می‌توان برای به‌دست آوردن فرمول مساحت آن از روش زیر استفاده کرد.

اگر یک تکه کاغذ به شکل متوازی الاضلاع را از ناحیه مشخص‌شده (خط‌چین) در شکل زیر برش دهید و در سمت راست مانند شکل قرار دهید، یک مستطیل خواهید داشت. می‌دانیم که مساحت مستطیل برابر با طول ضربدر عرض است پس قطعاً مقدار مساحت متوازی الاضلاع هم برابر با این مقدار است چون چیزی از مساحت متوازی الاضلاع کم یا چیزی به آن اضافه نشده است. تنها تفاوتی که در فرمول مساحت متوازی الاضلاع وجود دارد این است که به‌جای عرض، ارتفاع و به‌جای طول، قاعده را در نظر می‌گیریم. 

ارتفاع، پاره‌خط عمودی است که فاصله بین دو ضلع مقابل متوازی الاضلاع را نشان می‌دهد. این پاره‌خط از یکی از گوشه‌های (رأس‌های) متوازی الاضلاع رسم شده و بر ضلع مقابل عمود است. 

قاعده، ضلعی است که ارتفاع بر آن عمود است.بنابراین نتیجه می‌گیریم که مساحت متوازی الاضلاع برابر است با مساحت مستطیلی که طول آن برابر با قاعده و عرض آن برابر با ارتفاع متوازی الاضلاع است.

یک متوازی الاضلاع چهار قاعده، چهار ارتفاع داخلی و چهار ارتفاع خارجی دارد. در شکل زیر تمام ارتفاع‌های ممکن در داخل متوازی الاضلاع رسم شده است.

اگر اضلاع متوازی الاضلاع را امتداد دهیم می‌توان ارتفاع‌ها را خارج از شکل نیز رسم کرد.

نکته: چون واحد اندازه‌گیری مساحت، مربع است یعنی متر مربع، سانتی‌متر مربع، کیلومتر مربع و…، پس واحد اندازه‌گیری مساحت متوازی الاضلاع نیز مربع است. مثلاً مساحت متوازی الاضلاعی که ارتفاع آن ۳ سانتی‌متر و قاعده آن ۵ سانتی‌متر است برابر است با ۱۵ سانتی‌متر مربع.

اگر بخواهیم فرمول مساحت متوازی الاضلاع را به‌صورت جبری بنویسیم یعنی به‌جای کلمات و عبارات از حروف استفاده کنیم، به‌صورت زیر خواهد بود:

S=b×h

• S: مساحت متوازی الاضلاع (معمولاً مساحت را با حرف S یا A نشان می‌دهند)
• b: قاعده متوازی الاضلاع
• h: ارتفاع متوازی الاضلاع

سایر روش ها برای محاسبه مساحت متوازی الاضلاع

گاهی اوقات ممکن است اندازه قاعده و ارتفاع یا یکی از آن‌ها را نداشته باشیم و اطلاعات دیگری مانند اندازه قطرها و ضلع‌ها و مقدار زوایای بین آن‌ها در دسترس باشد. در این حالت، باید روش‌های دیگری را در پیش گرفت.

توجه: فرمول‌هایی که در این بخش برای محاسبه مساحت متوازی الاضلاع آورده شده است، برای دانش‌آموزان مقطع دبیرستان کاربردی است.

فرمول مساحت متوازی الاضلاع با دو ضلع مجاور 

زمانی که اندازه دو ضلع مجاور و زاویه بین آن‌ها مشخص باشد، می‌توان از فرمول زیر استفاده کرد.

به‌عنوان مثال، اگر دو ضلع مجاور یک متوازی الاضلاع ۳ و ۶ سانتی‌متر و زاویه بین آن‌ها ۳۰ درجه باشد، طبق فرمول بالا مساحت آن برابر است با:

A= ۶ × ۳ × sin(۳۰) =۱۸ × ۱ ÷ ۲ = ۹ cm^۲

فرمول مساحت متوازی الاضلاع با قطرها

برای محاسبه مساحت متوازی الاضلاع با استفاده از طول قطرها از فرمول‌های زیر استفاده می‌کنیم.

• d₁ و d₂: طول قطرها
• x و y: زوایای بین قطرها (x و y مکمل هم هستند و مجموع آن‌ها برابر ۱۸۰ درجه است.

مثال: طول قطرهای یک متوازی الاضلاع ۵ و ۸ سانتی‌متر است، اگر زاویه بین آن‌ها ۴۵ درجه باشد، مساحت آن را به‌دست آورید.

با استفاده از فرمول مساحت متوازی الاضلاع برحسب قطرها داریم:

فرمول مساحت متوازی الاضلاع به شکل برداری 

شاید برای شما نیز این پرسش مطرح شود که اگر اضلاع و قطرها به‌صورت برداری باشند، مساحت متوازی الاضلاع چگونه محاسبه می‌شود. در اینجا دو حالت وجود دارد:

• اگر تنها اضلاع مجاور به شکل برداری مشخص شده باشند، همان فرمول روش اول یعنی ab sin(x) را در پیش می‌گیریم که برابر است با ضرب خارجی اضلاع.

اگر قطرها به‌صورت برداری باشند، از روش دوم یعنی روش استفاده از قطرها (یک‌دوم ضرب خارجی قطرها) کمک می‌گیریم.

واضح است که هر دو فرمول فوق پاسخ یکسانی به ما می‌دهند، پس می‌توان نتیجه گرفت:

اگر شما نیز جزو افراد کنجکاوی هستید که می‌خواهید درستی این رابطه را بررسی کنید، می‌توانید به‌کمک روش مثلث جمع بردارها که در ادامه آورده شده است این کار را انجام دهید.

اثبات: با استفاده از روش مثلث می‌توان قطرها را برحسب اضلاع به‌‌صورت زیر نوشت:

در نتیجه ضرب خارجی قطرها به‌شکل زیر خواهد بود:

ازآنجا که ضرب خارجی بردار در خودش برابر با صفر است:

روش‌های محاسبه مساحت متوازی الاضلاع
ارتفاع × قاعده	S=bh
ضرب خارجی اضلاع مجاور
ضرب خارجی قطرها

نمونه سؤال مساحت متوازی الاضلاع همراه با جواب

در این قسمت، سؤالات متنوعی در سطوح ساده، متوسط و دشوار برای مقاطع مختلف تحصیلی در نظر گرفته شده است.

نمونه سؤال مساحت متوازی الاضلاع-مقطع ابتدایی

سؤال ۱: مساحت متوازی الاضلاع زیر را به‌دست آورید.

جواب: از فرمول مساحت متوازی الاضلاع یعنی قاعده ضربدر ارتفاع استفاده می‌کنیم. 

ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی الاضلاع
ارتفاع = ۴
قاعده = ۶
۲۴ = ۴ × ۶ = مساحت متوازی الاضلاع

پس مساحت این متوازی الاضلاع برابر ۲۴ است.

سؤال ۲: مساحت یک متوازی الاضلاع ۳۰ سانتی‌متر مربع است، اگر قاعده آن ۶ سانتی‌متر باشد، ارتفاع آن چند سانتی‌متر است؟

جواب: فرمول مساحت متوازی الاضلاع را می‌نویسیم:

ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی الاضلاع

طبق صورت مسئله مقدار مساحت و قاعده برابر است با

مساحت متوازی الاضلاع = ۳۰ سانتی‌متر مربع
قاعده = ۶ سانتی‌متر

حالا مقادیر را در فرمول قرار می‌دهیم:

ارتفاع × ۶ سانتی‌متر = ۳۰ سانتی‌متر مربع

دو طرف تساوی را بر ۶ تقسیم می‌کنیم تا مقدار ارتفاع را به‌دست آوریم.

۵ سانتی‌متر = ارتفاع

بنابراین ارتفاع متوازی الاضلاع مساوی ۵ سانتی‌متر است.

سؤال ۳: کشاورزی یک قطعه زمین به‌شکل زیر دارد. اگر او یک‌چهارم زمینش را جو و بقیه را گندم بکارد، مساحت مقدار زمینی که در آن جو کاشته شده است را حساب کنید.

جواب: زمین کشاورزی به‌شکل متوازی الاضلاع است. پس ابتدا با استفاده از فرمول مساحت متوازی الاضلاع مساحت کل زمین را به‌دست می‌آوریم.

ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی الاضلاع
قاعده = ۸۰ متر
ارتفاع = ۴۰ متر
۳۲۰۰ متر مربع = ۴۰ متر × ۸۰ متر = مساحت متوازی الاضلاع

حالا که مساحت کل را به‌دست آوردیم، باید مقدار مساحت زمینی که جو در آن کاشته شده است را محاسبه کنیم. طبق صورت سؤال مساحت زمینی که جو در آن کاشته شده یک‌چهارم مساحت کل زمین است.

۸۰۰ متر مربع = ۴ ÷ ۳۲۰۰=۳۲۰۰ متر مربع × ۱۴ = مساحت زمینی که جو در آن کاشته شده

بنابراین مساحت زمینی که جو در آن کاشته شده است، ۸۰۰ متر مربع است.

سؤال ۴: مساحت قسمت آبی‌رنگ را به‌دست آورید.

جواب: ارتفاع و قاعده متوازی الاضلاع را داریم پس می‌توانیم مساحت کل شکل را به‌دست آوریم.

ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی الاضلاع
قاعده = ۹ سانتی‌متر
ارتفاع = ۷ سانتی‌متر
۶۳ سانتی‌متر مربع = ۷ سانتی‌متر × ۹ سانتی‌متر = مساحت متوازی الاضلاع

چون شکل به دو قسمت زرد و آبی تقسیم شده و جمع مساحت آن‌ها مساوی مساحت کل شکل یعنی ۶۳ سانتی‌متر مربع است، داریم:

 مساحت قسمت آبی‌رنگ + مساحت قسمت زردرنگ = مساحت متوازی الاضلاع
مساحت قسمت آبی‌رنگ + ۲۳ سانتی‌متر مربع = ۶۳ سانتی‌متر مربع
۴۰ سانتی‌متر مربع = مساحت قسمت آبی‌رنگ

مساحت قسمت آبی‌رنگ ۴۰ سانتی‌متر مربع است.

سؤال ۵: پدر علی می‌خواهد در یک‌پنجم حیاطتشان که به‌شکل متوازی الاضلاع است نهال بکارد، اگر قاعده حیاط ۱۰ متر و ارتفاع آن ۷ متر باشد، مساحت قسمتی از حیاط که نهال در آن کاشته نشده است را حساب کنید.

 جواب: ابتدا مساحت کل حیاط را به‌دست می‌آوریم:

ارتفاع × قاعده = مساحت حیاط
قاعده = ۱۰ متر
ارتفاع = ۷ متر
۷۰ متر مربع = ۷ متر × ۱۰ متر = مساحت حیاط

در مرحله بعد باید مساحت قسمتی از حیاط را به‌دست آوریم که در آن نهال کاشته نشده است. در اینجا از دو روش می‌توان استفاده کرد.

روش اول: ابتدا مقدار مساحتی که در آن نهال کاشته نشده را به‌صورت کسری به‌دست می‌آوریم:

مساحت قسمتی که نهال کاشته نشده + مساحت قسمتی که نهال کاشته شده = مساحت حیاط

اگر حیاط را یک واحد یعنی برابر با یک در نظر بگیریم و آن را به پنج قسمت مساوی به‌شکل زیر تقسیم کنیم، داریم:

روش دوم: مقدار مساحتی که در آن نهال کاشته شده است را حساب می‌کنیم:

۱۴ متر مربع = ۷۰ ۵ = ۷۰ متر مربع × ۱۵ = مساحت قسمتی که نهال کاشته شده 

برای اینکه مساحت قسمتی که در آن نهال کاشته نشده است را به‌دست آوریم از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

مساحت قسمتی که نهال کاشته نشده + مساحت قسمتی که نهال کاشته شده = مساحت حیاط
مساحت قسمتی که نهال کاشته نشده + ۱۴ متر مربع = ۷۰ متر مربع
۵۶ متر مربع = ۱۴ متر مربع – ۷۰ متر مربع = مساحت قسمتی که نهال کاشته نشده

همان‌طور که می‌بینید، جواب به‌دست‌آمده در هر دو روش یکسان است.

نمونه سؤال مساحت متوازی الاضلاع-مقطع راهنمایی

سؤال ۱: قاعده یک متوازی الاضلاع سه برابر ارتفاع آن است. در صورتی که مساحت این متوازی الاضلاع ۱۹۲ سانتی‌متر مربع باشد، قاعده و ارتفاع آن را بیابید.

جواب: اگر ارتفاع متوازی الاضلاع را h درنظر بگیریم، طبق صورت سؤال قاعده آن برابر ۳h خواهد بود. بنابراین با استفاده از فرمول مساحت متوازی الاضلاع داریم:

S=bh
192=3h×h=3h2

طرفین تساوی را بر ۳ تقسیم می‌کنیم. در نتیجه

h^۲=۶۴⇒h=۸cm

ارتفاع متوازی الاضلاع ۸ سانتی‌متر است، پس قاعده نیز سه برابر آن، یعنی ۲۴ سانتی‌متر خواهد بود.

سؤال ۲: مساحت متوازی الاضلاع زیر را در صورتی که x=۲ و y=۷ باشد، محاسبه کنید.

جواب: ارتفاع متوازی الاضلاع y-x و قاعده آن y+x است. این مقادیر را در فرمول مساحت قرار می‌دهیم.

(S = (y+x) (y-x

این همان اتحاد مزدوج است، بنابراین:

S=y²-x²=7²-2²=49-4=45

سؤال ۳: مقدار a را درصورتی که مساحت شکل زیر ۱۶ متر مربع باشد، پیدا کنید.

جواب: مساحت متوازی الاضلاع برابر است با S=bh. کافی است مقادیر را در فرمول جای‌گذاری کنیم.

16=4a²

با تقسیم طرف معلوم بر مجهول عبارت زیر را خواهیم داشت.

4=a²
درنتیجه
a=2

سؤال ۴: مساحت دو متوازی الاضلاع با هم برابر است. ارتفاع متوازی الاضلاع اول a و قاعده آن a²-4 است. اگر ارتفاع متوازی الاضلاع دوم a-2 باشد، قاعده آن چند است؟

جواب: چون مساحت هر دو متوازی الاضلاع برابر است تساوی زیر را خواهیم داشت:

نمونه سؤال مساحت متوازی الاضلاع-مقطع دبیرستان

سؤال ۱: مساحت متوازی الاضلاعی را بیابید که قطرهای آن با هم زاویه ۱۲۰ درجه می‌سازند. طول قطرها ۸ و ۶ است.

جواب: چون اندازه قطرها و زاویه بین آن‌ها را داریم از فرمول S=(1÷2) d₁d₂sin x استفاده می‌کنیم:

سؤال ۲: ارتفاع متوازی الاضلاع زیر را به‌دست آورید.

جواب: با توجه به شکل داده‌شده، اندازه دو ضلع مجاور و زاویه بین آن‌ها مشخص است، بنابراین ابتدا مساحت متوازی الاضلاع را با استفاده از فرمول ab sin(x) به‌دست آورده و سپس به‌کمک آن ارتفاع را محاسبه می‌کنیم.

absin x =5×10sin 30 =50×12=25 cm2bh=25⇒10h=25⇒h=2.5 cm

سؤال ۳: مساحت متوازی الاضلاع زیر را در صورتی که x=۲ و y=۳ باشد، محاسبه کنید.

جواب: با استفاده از رابطه S = 1÷2 d₁d₂sin x داریم:

S=۱÷۲ (۲y – x) (۲x+y) sin ۱۰۰= (۱ ÷ ۲) (۴yx+۲y^۲-۲x^۲-xy)×۰.۹۸

اکنون مقادیر x و y را جای‌گذاری می‌کنیم:

S=1÷2(24+18-8-6×0.98=13.72

بنابراین مساحت این شکل برابر است با ۱۳.۷۲

سخن پایانی

متوازی الاضلاع به‌عنوان یک چهارضلعی منحصربه‌فرد دارای ویژگی‌های گوناگونی ازجمله مساوی بودن زوایای مقابل، موازی و مساوی بودن اضلاع روبه‌رو و مکمل بودن زوایای مجاور است. این ویژگی‌ها در به‌دست آوردن مساحت این شکل هندسی حائز اهمیت هستند. همان‌طور که در بخش «مساحت متوازی الاضلاع چیست» اشاره شد، برای محاسبه مساحت متوازی الاضلاع، بسته به اطلاعات صورت مسئله می‌توان از روش‌های مختلفی ازجمله قاعده ضربدر ارتفاع، ضرب خارجی اضلاع مجاور و ضرب خارجی قطرها استفاده کرد. اما رایج‌ترین فرمول مساحت متوازی الاضلاع قاعده ضربدر ارتفاع است که در آن ارتفاع، فاصله عمودی بین دو ضلع روبه‌رو و قاعده، ضلعی است که پاره‌خط ارتفاع بر آن عمود است.