آموزش تقارن و مختصات ریاضی ششم

در آموزش‌‌های پیشین از مجموعه آموزش‌‌های مدارس سلام با مفهوم تقارن و همچنین محورهای مختصات آشنا شدیم. تقارن و مختصات در ریاضی ششم دبستان دو موضوع مرتبط هستند که با کمک آن‌‌ها می‌‌توان قرینه اشکال گوناگون را به دست آورد. بنابراین لازم است قبل از مطالعه این مقاله، آشنایی کافی با مفهوم تقارن و نحوه تعیین مختصات نقاط مختلف را داشته باشید.

در ادامه این آموزش، ابتدا اشاره کوتاهی به موضوع تقارن و مختصات خواهیم داشت. پس از آن هم روش قرینه‌‌یابی با استفاده از این دو مفهوم را به‌‌طور کامل و با مثال توضیح خواهیم داد.

تقارن چیست؟

همانطور که در مقاله تقارن چیست؟ بیان کردیم، تقارن بیان‌‌کننده بازتاب یک شکل نسبت به یک خط فرضی یا محور است. براساس این تعریف، اگر شکلی را از یک خط فرضی تا کنیم؛ طوری‌‌که پس از تا زدن دو طرف خط تا کاملا روی هم بیفتند و همدیگر را بپوشانند، می‌‌گوییم آن شکل نسبت به خط فرضی متقارن است. در این حالت، خط فرضی را خط تقارن و شکل موردنظر را یک شکل متقارن می‌‌نامند. بنابراین، نقاط دو طرف خط تقارن بازتاب یا قرینه یکدیگر هستند. شکل زیر گویای این موضوع است.

مختصات چیست؟

مختصات در ریاضی ابزاری برای تعیین موقعیت مکانی است که به‌‌صورت یک جفت عدد در صفحه مختصات بیان می‌‌شود. منظور از صفحه مختصات یک صفحه شطرنجی است که از دو محور عمود برهم ساخته شده است. با کمک محور افقی، طول و با استفاده از محور عمودی، عرض نقاط را می‌‌توان مشخص کرد. فرض کنید نقطه‌‌ای داریم که طول آن ۱ و عرض آن ۴ است. مختصات این نقطه را به‌‌صورت زیر نشان می‌‌دهیم:

همان‌‌طور که می‌‌بینید، عدد بالایی طول نقطه و عدد پایینی عرض آن را نشان می‌‌دهد. در این بخش به صورت خلاصه با مختصات در ریاضی آشنا شدید، برای تسلط بیشتر بر این مبحث می‌توانید آموزش محور مختصات چیست؟ را مطالعه کنید.

قرینه نقطه نسبت به محور عمودی با تقارن و مختصات

همان‌‌طور که در ابتدای مقاله هم گفتیم برای پیدا کردن قرینه نقطه و شکل، باید از مفهوم تقارن در صفحه مختصات استفاده کنیم. با یک مثال شروع می‌‌کنیم. فرض کنید می‌‌خواهیم قرینه نقطه (آ) در شکل زیر را نسبت به خط تقارن قرمزرنگ پیدا کنیم. برای یافتن قرینه این نقطه کافی‌‌است مانند مراحل زیر عمل کنیم:

• ابتدا تعداد خانه‌‌هایی را که بین نقطه (آ) و خط قرمز وجود دارد می‌‌شماریم. در شکل زیر، تعداد خانه‌‌های بین نقطه (آ) و خط قرمز ۳ است.
• در مرحله بعد، در همان راستای شمارش، به تعداد ۳ خانه از سمت راست خط قرمز جلو می‌‌رویم. زمانی که به سومین خانه رسیدیم، آنجا را علامت‌‌گذاری می‌‌کنیم.
• مکان علامت‌‌گذاری‌‌شده همان قرینه نقطه (آ) نسبت به خط قرمز است.

شکل بالا نشان می‌‌دهد که مختصات قرینه نقطه (آ) به‌‌صورت  است. این یعنی اینکه قرینه نقطه (آ) به‌‌اندازه ۶ واحد از نقطه (آ) فاصله دارد. همان‌‌طور که می‌‌بینید، مقدار عرض قرینه (آ) با مقدار عرض خود نقطه (آ) یکی است و تنها مقدار طول آن تغییر کرده است. این موضوع به این دلیل است که ما قرینه (آ) را نسبت به یک محور تقارن عمودی به دست آورده‌‌ایم و تنها در راستای محور طول‌‌ها جلو رفته‌‌ایم.

به قرینه یک شکل نسبت به یک خط، تقارن محوری نیز می‌گویند. پیشنهاد می‌کنیم در آموزش تقارن محوری چیست؟ درباره این تقارن بیشتر بخوانید.

قرینه نقطه نسبت به محور افقی با تقارن و مختصات

در این بخش می‌‌خواهیم نحوه پیدا کردن قرینه نقطه نسبت به یک محور افقی را با استفاده از تقارن و مختصات توضیح دهیم. نقطه (آ) در تصویر زیر را در نظر بگیرید. طول این نقطه ۳ و عرض آن ۷ است. اگر بخواهیم قرینه این نقطه را نسبت به محور تقارن قرمز تعیین کنیم، باید گام‌‌های زیر را انجام دهیم:

• تعداد خانه‌‌های بین نقطه (آ) و خط افقی قرمزرنگ را می‌‌شماریم که در اینجا تعداد آن‌‌ها ۳ است.
• پس از شمارش خانه‌‌ها، در همان راستای عمود به‌‌اندازه ۳ خانه مستقیم پایین می‌‌رویم و هنگام رسیدن به سومین خانه آنجا را نشانه‌‌گذاری می‌‌کنیم.
• جایی که نشانه‌‌گذاری کرده‌‌ایم، قرینه نقطه (آ) را به ما نشان می‌‌دهد.

طبق شکل، طول و عرض قرینه (آ) را می‌‌توانیم به‌‌صورت زیر بنویسیم:

می‌‌بینیم که فاصله عمودی نقطه (آ) و قرینه آن ۶ واحد است. با توجه به اینکه حرکت ما به‌‌سمت پایین است، باید از مقدار عرض نقطه (آ) ۶ واحد کم کنیم تا عرض قرینه (آ) به دست آید. پس تنها چیزی که در اینجا تغییر می‌‌کند، مقدار عرض است زیرا جابه‌‌جایی ما در راستای محور عرض‌‌ها و به‌‌صورت عمودی است.

پیشنهاد مطالعه: انواع تقارن چیست؟

یافتن قرینه شکل با تقارن و مختصات

تا اینجا درباره چگونگی پیدا کردن قرینه نقطه نسبت به محورهای تقارن افقی و عمودی صحبت کردیم. در این بخش قصد داریم با کمک قرینه‌‌یابی نقطه، قرینه یک شکل را نسبت به محورهای تقارن بیابیم. به شکل (۱) در تصویر زیر نگاه کنید. این شکل، یک لوزی را نشان می‌‌دهد که باید آن را نسبت به محور تقارن عمودی، قرینه کنیم. برای یافتن قرینه این شکل، باید ابتدا مختصات گوشه‌‌های آن را مشخص کرده و سپس با کمک مراحلی که در بخش‌‌های قبل توضیح دادیم، قرینه آن‌‌ها را به دست آوریم. در آخر، قرینه نقاط را به هم وصل می‌‌کنیم تا شکل نهایی مشخص شود.

مختصات گوشه‌‌های لوزی و قرینه آن به این صورت است:

همان‌‌طور که می‌‌بینید، اگر محور تقارن قرمز را یک خط تا در نظر بگیریم، لوزی و قرینه آن دقیقا روی هم می‌‌افتند.

سخن پایانی

در این مقاله یاد گرفتیم که تقارن و مختصات چیستند و چگونه در قرینه‌‌یابی به ما کمک می‌‌کنند. سعی کردیم با توضیح چند مثال ساده به مبحث تقارن و مختصات ریاضی ششم بپردازیم و کاربرد آن‌‌ها را در درک مفهوم قرینه شکل و مشخص کردن آن در دستگاه مختصات آموزش دهیم. شما نیز به‌‌عنوان تمرین می‌‌توانید نقاط و اشکال مختلفی را در دستگاه مختصات رسم کنید و مختصات قرینه آن‌‌ها را بیابید. این کار به شما کمک می‌‌کند تا قرینه‌‌یابی را سریع‌‌تر و راحت‌‌تر انجام دهید.