رابطه محیط و مساحت مستطیل | فرمول‌ها + مثال ساده

مستطیل یکی از انواع اشکال هندسی معروف است که با چهار ضلع ساخته می‌‌شود. اضلاع مقابل در یک مستطیل دوبه‌‌دو با هم موازی و مساوی هستند و به همین دلیل چهار زاویه‌‌ای که تشکیل می‌‌دهند ۹۰ درجه خواهند بود. این چهارضلعی دو قطر با طول برابر نیز دارد که همدیگر را نصف می‌‌کنند.
در آموزش‌‌های قبل راجع‌‌به محیط مستطیل و مساحت مستطیل صحبت کردیم و فرمول محاسبه آن‌‌ها را یاد گرفتیم. در این آموزش می‌‌خواهیم رابطه محیط و مساحت مستطیل را بررسی کنیم. ابتدا درمورد محیط و مساحت این شکل هندسی و فرمول‌‌های محاسبه آن‌‌ها مختصری توضیح می‌‌دهیم، سپس رابطه بین آن‌‌ها را با حل مثال بیان می‌‌کنیم.

محیط مستطیل چیست؟

منظور از محیط یک شکل، اندازه دورتادور آن است. با توجه به اینکه دورتادور یک مستطیل را اضلاع آن تشکیل داده‌‌اند، مجموع هر ۴ ضلع، محیط مستطیل را به ما می‌‌دهد. اضلاع کوچک‌‌تر را عرض و اضلاع بزرگ‌‌تر را طول مستطیل می‌‌نامند. با توجه به اینکه مستطیل ۲ عرض و ۲ طول دارد، می‌‌توان گفت محیط آن از رابطه زیر به‌‌دست می‌‌آید:

عرض + طول + عرض + طول = محیط مستطیل
(عرض × ۲) + (طول × ۲) = محیط مستطیل
(عرض + طول) × ۲ = محیط مستطیل

مثال: یک قاب عکس به‌‌شکل مستطیل داریم که طول آن ۴۳ سانتی‌‌متر و عرض آن ۲۵ سانتی‌‌متر است. اندازه دورتادور این قاب چند سانتی‌‌متر است؟
جواب: برای محاسبه اندازه دور این قاب عکس باید از رابطه محیط مستطیل کمک بگیریم و مقدار طول و عرض را در آن جای‌‌گذاری کنیم. خواهیم داشت:

(عرض + طول) × ۲ = محیط قاب
(۲۵ + ۴۳) × ۲ = محیط قاب
(۶۸) × ۲ = محیط قاب
۱۳۶ = محیط قاب

محیط قاب عکس ۱۳۶ سانتی‌‌متر است.

فرمول محیط مستطیل

در ادامه فرمول محیط مستطیل به صورت جبری و با قطر توضیح داده ایم.

فرمول محیط مستطیل به صورت جبری

اگر طول مستطیل را با نماد l، عرض آن را با w و محیط را با P نشان دهیم، رابطه محیط مستطیل برحسب نمادهای ریاضی به‌‌شکل زیر خواهد بود:

( P= ۲ ( l + w

مثال: محیط یک میز ناهارخوری ۴۹۰ سانتی‌‌متر است. اگر طول این میز ۱۶۰ سانتی‌‌متر باشد عرض آن چقدر است؟
جواب: مقدار محیط و طول مستطیل را در فرمول بالا قرار می‌‌دهیم:

P= ۲ ( l + w)
۴۹۰ = ۲ × (۱۶۰ + w)
۲۴۵ = ۱۶۰ + w
۲۴۵ – ۱۶۰ = w
w = ۸۵

عرض میز برابر است با ۸۵ سانتی‌‌متر.

فرمول محیط مستطیل با قطر

قطر مستطیل پاره‌‌خطی است که دو گوشه غیرمجاور مستطیل را به هم وصل کرده و مستطیل را به دو مثلث قائم‌‌الزاویه مشابه تقسیم می‌‌کند. براین‌‌اساس می‌‌توانیم با کمک قضیه فیثاغورس رابطه محیط مستطیل را برحسب قطر و یکی از اضلاع آن بنویسیم:

• P: محیط مستطیل
• l: طول مستطیل
• w: عرض مستطیل
• d: قطر مستطیل

مساحت مستطیل چیست؟

مساحت برابر است با اندازه سطحی که توسط اضلاع آن احاطه شده است. این مقدار از حاصل‌‌ضرب طول در عرض مستطیل محاسبه می‌‌شود و فرمول آن به‌‌صورت زیر است:

عرض × طول = مساحت مستطیل

ناحیه هاشورخورده در شکل زیر نشانگر مساحت مستطیل است.

مثال: طول و عرض یک حوض به‌‌ترتیب ۱۲۰ و ۹۶ سانتی‌‌متر است. مساحت آن را حساب کنید.
جواب: برای محاسبه مساحت کافی‌‌ست طول و عرض داده‌‌شده را در فرمول مساحت مستطیل جای‌‌گذاری کنیم:

عرض × طول = مساحت حوض
۹۶ × ۱۲۰ = مساحت حوض
۱۱۵۲۰= مساحت حوض

پس مساحت حوض مساوی ۱۱۵۲۰ سانتی‌‌متر مربع است.

فرمول مساحت مستطیل به صورت جبری

رابطه مساحت به‌‌صورت جبری برای یک مستطیل به‌‌صورت زیر است:

A = L × W

در اینجا A مساحت، L طول و W عرض مستطیل است.

مثال: عرض مستطیلی را بیابید که مساحت آن ۵۱ متر مربع و طول آن ۱۷ متر است.
جواب: با قرار دادن مقادیر داده‌‌شده در رابطه مساحت، عرض مستطیل به‌‌راحتی محاسبه می‌‌شود:

A = l × w
51=17 × w
w = 3

فرمول مساحت مستطیل با قطر

رابطه مساحت مستطیل برحسب قطر و یکی از اضلاع آن به‌‌صورت زیر است:

• A: مساحت مستطیل
• l: طول مستطیل
• w: عرض مستطیل
• d: قطر مستطیل

پیشنهاد مطالعه:‌ تفاوت و شباهت مربع و مستطیل چیست؟

رابطه محیط و مساحت مستطیل چیست؟

طبق فرمول‌‌های معرفی‌‌شده برای محیط و مساحت مستطیل، واضح است که محاسبه هر دوی آن‌‌ها به طول و عرض مستطیل بستگی دارد. بنابراین، می‌‌توان نتیجه گرفت که با کمک طول و عرض می‌‌شود محیط و مساحت مستطیل را به یکدیگر ربط داد.

توجه داشته باشید که وابسته بودن محیط و مساحت مستطیل به طول و عرض نشان‌‌دهنده این موضوع نیست که بین محیط و مساحت نسبت خاصی برقرار است. استفاده از ارتباط این دو تنها در حل مسائل خود را نشان می‌‌دهد. به مثال‌‌هایی که درادامه حل می‌‌کنیم دقت کنید تا این موضوع برایتان بهتر جا بیفتد.

رابطه محیط و مساحت مستطیل با قطر

عرض یک مستطیل مساوی با ۶ و قطر آن برابر با ۱۰ است. محیط و مساحت این مستطیل و طول آن را حساب کنید.
در این مسئله قطر و عرض مستطیل داده شده است. پس می‌‌توانیم از رابطه زیر، محیط مستطیل را محاسبه کنیم:

برای محاسبه مساحت نیز فرمول زیر را به‌‌کار می‌‌بریم:

حالا نوبت محاسبه طول مستطیل است. با توجه به اینکه مقدار محیط و مساحت مستطیل مشخص شده است، می‌‌توانیم با استفاده از فرمول محیط یا مساحت، طول مستطیل را تعیین کنیم:

مثال محیط و مساحت مستطیل کلاس سوم

محیط یک مستطیل ۲۴ سانتی‌‌متر و عرض آن ۵ سانتی‌‌متر است. مساحت این مستطیل را محاسبه کنید.
در اینجا محیط و عرض مستطیل را داریم. بنابراین از رابطه محیط مستطیل می‌‌توانیم طول آن را تعیین کنیم:

(عرض + طول) × ۲ = محیط مستطیل
(۵ + طول) × ۲ = ۲۴
۵ + طول = ۱۲
۵ – ۱۲ = طول
۷ = طول

اکنون که طول مستطیل مشخص شد، می‌‌توانیم مساحت آن را نیز به‌‌دست آوریم:

عرض × طول = مساحت مستطیل
۵ × ۷ = مساحت مستطیل
۳۵ = مساحت مستطیل

همان‌‌طور که دیدید، به‌‌دلیل اینکه محیط و مساحت مستطیل برحسب طول و عرض بیان می‌‌شوند می‌‌توان با داشتن یکی، دیگری را نیز محاسبه کرد.

مثال محیط و مساحت مستطیل کلاس چهارم

۱. مستطیلی داریم که مساحت آن ۳/۵ و طول آن برابر با ۲/۵ است. محیط مستطیل چقدر است؟

ابتدا با استفاده از فرمول مساحت مستطیل، عرض آن را به‌‌دست می‌‌آوریم:

عرض × طول = مساحت مستطیل

عرض × ۲/۵ = ۳/۵

۲/۵ ÷   ۳/۵ = عرض

۱/۴ = عرض

حالا با جای‌‌گذاری مقدار طول و عرض در فرمول محیط مستطیل خواهیم داشت:

(عرض + طول) × ۲ = محیط مستطیل

(۱/۴ + ۲/۵) × ۲ = محیط مستطیل

۳/۹ × ۲ = محیط مستطیل

۷/۸ = محیط مستطیل

۲. مستطیلی داریم که طول آن ۱۳ میلی‌متر و عرض آن ۸ میلی‌متر است. محیط مستطیل چقدر است؟

ابتدا فرمول محیط مستطیل را می‌نویسیم:

(۲ × طول) + (۲ × عرض) = محیط مستطیل

حالا با جای‌‌گذاری مقدار طول و عرض در فرمول محیط مستطیل خواهیم داشت:

 ۱۳ میلی‌متر = طول
۸ میلی‌متر= عرض

(۲ × ۱۳) + (۲ × ۸) = محیط

۲۶ + ۱۶ = محیط

۴۲ میلی‌متر = محیط

۳. مستطیلی داریم که محیط آن ۵۲ سانتی‌متر و عرض آن ۷ سانتی‌متر است. طول مستطیل چقدر است؟

ابتدا فرمول محیط مستطیل را می‌نویسیم:

(۲ × طول) + (۲ × عرض) = محیط مستطیل

حالا با جای‌‌گذاری مقدار طول و عرض در فرمول محیط مستطیل خواهیم داشت:

? = طول

۷ سانتی‌متر = عرض

۵۲ سانتی‌متر = محیط

در ادامه با توجه به فرمول داریم:

(۲ × طول) + ( ۲ × ۷) = ۵۲

(۲ × طول) = ۱۴ − ۵۲

۳۸ = ۲ × طول

۲÷ ۳۸ = طول 

۱۹ سانتی‌متر = طول

۴. مستطیلی داریم که طول آن ۱۵ میلی‌متر و محیط آن ۵۰ میلی‌متر است. عرض مستطیل چقدر است؟

ابتدا فرمول محیط مستطیل را می‌نویسیم:

(۲ × طول) + (۲ × عرض) = محیط مستطیل

حالا با جای‌گذاری مقدار طول و محیط در فرمول محیط مستطیل خواهیم داشت:
۱۵ میلی‌متر = طول
۵۰ میلی‌متر = محیط

(۲ × ۱۵) + (۲ × عرض) = ۵۰

۳۰ + ۲ × عرض = ۵۰

۳۰ − ۵۰ = ۲ × عرض

۲۰ = ۲ × عرض

۲ ÷ ۲۰ = عرض

۱۰ میلی‌متر = عرض

سخن پایانی

در این مقاله به رابطه محیط و مساحت مستطیل پرداختیم و آموختیم که محیط و مساحت یک مستطیل را می‌‌توانیم با استفاده از طول و عرض یا قطر و یکی از اضلاع آن به‌‌دست آوریم. همچنین گفتیم که بین محیط و مساحت این چهارضلعی رابطه خاصی وجود ندارد، اما به جهت اینکه محاسبه هر دوی آن‌‌ها به طول و عرض یا قطر و یکی از اضلاع مستطیل وابسته است، می‌‌توان گفت در حل مسائل گوناگون محاسبه یکی از آن‌‌ها به دیگری وابسته خواهد بود که با حل مثال این را توضیح دادیم. درادامه، به چند سؤال متداول پاسخ خواهیم داد.

سؤالات متداول

1. فرمول محیط مستطیل چیست؟
   محیط مستطیل برابر با «(عرض + طول) × ۲» است.
2. فرمول مساحت مستطیل چیست؟
   مساحت مستطیل از فرمول رایج «عرض × طول» به‌‌دست می‌‌آید.
3. محیط و مساحت مستطیل چه رابطه‌‌ای با هم دارند؟
   ازآنجا که فرمول محیط و مساحت مستطیل برحسب طول و عرض است، تنها نقطه مشترکشان وابسته بودن آن‌‌ها به ابعاد مستطیل است.