اعداد گویا چیست ؟ | راهنمای تشخیص اعداد گویا

اعداد گویا مجموعه‌ای از اعداد در ریاضی هستند که به‌صورت نسبت بیان می‌شوند. ازآنجا که این اعداد در نگاه اول ممکن است برای بسیاری از دانش‌آموزان پیچیده به نظر برسند، ما در این مقاله سعی داریم با بیانی ساده و کاربردی، این اعداد را معرفی کنیم و چهار عمل اصلی در آن‌ها را با حل مثال‌های متنوع آموزش دهیم.

اعداد گویا چه اعدادی هستند؟

اعداد گویا اعدادی هستند که به‌صورت نسبت دو عدد صحیح یعنی pq نوشته می‌شوند. p و q اعداد صحیح هستند، اما مخرج یعنی q باید مخالف صفر باشد (q≠0). تفاوت بین اعداد گویا و کسرها در این است که کسرها نمی‌توانند صورت یا مخرج منفی داشته باشند، درحالی که صورت و مخرج اعداد گویا می‌تواند منفی باشد. مجموعه اعداد گویا را با حرف Q نشان می‌دهند و شامل اعداد طبیعی، حسابی، صحیح و اعشاری هستند.

انواع اعداد گویا

طبق تعریف اعداد گویا، این مجموعه اعداد انواع مختلفی دارند و شامل موارد زیر هستند: 

نکته: اعداد گنگ اعداد گویا محسوب نمی‌شوند. در بخش بعدی تفاوت آن‌ها را بیان می‌کنیم.

تفاوت اعداد گویا و اعداد گنگ

جدول زیر تفاوت اعداد گویا و گنگ را نشان می‌دهد. پیشنهاد می‌کنیم در کنار این جدول، مقاله اعداد گنگ را نیز مطالعه کنبد. در آنجا اعداد گنگ را به‌طور کامل معرفی کرده‌ایم.

شکل استاندارد اعداد گویا

برای نوشتن فرم استاندارد اعداد گویا باید دو نکته را در نظر داشته باشیم:

به‌عنوان مثال، عدد گویای

$$\frac{۱۸}{-<!--\; -\; -->۲۴}$$

را در نظر بگیرید. برای نوشتن این عدد گویا به شکل استاندارد باید مراحل زیر را طی کنیم:

مرحله اول:  به مخرج نگاه می‌کنیم که حتماْ مثبت باشد. اگر مخرج مثبت نبود، صورت و مخرج را در ۱- ضرب می‌کنیم تا علامت آن تغییر کند.

مرحله دوم:  تمام عامل‌های مشترک صورت و مخرج را پیدا می‌کنیم. در اینجا عامل‌های مشترک ۱۸ و ۲۴، اعداد ۱، ۲، ۳ و ۶ هستند.

مرحله سوم:  صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین عامل مشترک (در اینجا ۶) تقسیم می‌کنیم.

بنابراین، شکل استاندارد

$$\frac{۱۸}{-<!--\; -\; -->۲۴}$$

به‌صورت

$$\frac{-<!--\; -\; -->۳}{۴}$$

نوشته می‌شود.

جمع و تفریق اعداد گویا

در این بخش و بخش‌های بعدی، چهار عمل اصلی اعداد گویا ازجمله جمع و تفریق عددهای گویا و ضرب و تقسیم آن‌ها را با مثال توضیح می‌دهیم.

جمع اعداد گویا

هنگام جمع اعداد گویا بسته به مقدار مخرج آن‌ها دو حالت وجود دارد:

• مخرج اعداد گویا مساوی باشد. در این حالت مخرج را ثابت نگه می‌داریم و مقدار صورت‌ها را با هم جمع می‌کنیم.

مخرج اعداد گویا نامساوی باشد. اگر بخواهیم دو عدد گویا با مخرج نامساوی مانند

$$\frac{۲}{۵}و\frac{۳}{۴}$$

• را با هم جمع کنیم، باید طبق مراحل زیر پیش برویم.

مرحله اول: کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م.م) مخرج‌ها را تعیین می‌کنیم. در اینجا کوچک‌ترین مضرب مشترک ۴ و ۵ برابر با ۲۰ است.

مرحله دوم: صورت و مخرج کسرها را در عددی ضرب کنید که مقدار مخرج‌ها را برابر با مقدار مضرب مشترکشان کند. 

مرحله سوم: اکنون دو عدد گویای جدید را با هم جمع می‌کنیم. مخرج را ثابت نگه می‌داریم و صورت‌ها را جمع می‌زنیم.

تفریق اعداد گویا

مراحل انجام تفریق اعداد گویا مشابه مراحل جمع اعداد گویا است با این تفاوت که در تفریق به‌جای جمع، صورت‌ها را از هم کم می‌کنیم. در اینجا نیز دو حالت داریم:

• اگر مخرج اعداد گویا مساوی باشد، مخرج را ثابت نگه داشته و صورت‌ها را از هم کم می‌کنیم.

اگر مخرج اعداد گویا نامساوی باشد، ابتدا کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها را پیدا می‌کنیم و سپس، صورت و مخرج کسرها را در عددی ضرب می‌کنیم که مخرج‌ها مساوی و برابر با مقدار کوچک‌ترین مضرب مشترک شوند. اکنون کسرهای به‌دست‌آمده را از هم کم می‌کنیم.

ضرب و تقسیم اعداد گویا

ضرب و تقسیم عددهای گویا طبق قواعد خاصی انجام می‌شوند که در ادامه با حل مثال، شیوه محاسبه آن‌ها را توضیح خواهیم داد. 

ضرب اعداد گویا

عمل ضرب ساده‌ترین عملیات روی اعداد گویا محسوب می‌شود. برای ضرب دو عدد گویا کافی‌ست صورت کسر اول را در صورت کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید. به مثالی که در تصویر زیر آمده است دقت کنید. در این مثال، کسر به‌دست‌آمده را تا جای ممکن ساده کرده‌ایم.

تقسیم اعداد گویا

برای تقسیم عدد گویا بر یک عدد گویای دیگر، کافی‌ست عدد اول را ضربدر معکوس عدد دوم کنیم و سپس، صورت عدد اول را در صورت عدد دوم و مخرج عدد اول را در مخرج عدد دوم ضرب کنیم.

سخن پایانی

اعداد گویا که با نماد Q نشان داده می‌شوند، اعدادی هستند که به‌صورت کسری نوشته می‌شوند و در صورت و مخرج آ‌ن‌ها اعداد صحیح قرار می‌گیرد. البته مقدار مخرج را نمی‌توان صفر قرار داد، زیرا در این صورت، کسر ما معنایی نخواهد داشت. تمام اعداد طبیعی، حسابی و صحیح اعداد گویا محسوب می‌شوند. همچنین، اعداد اعشاری با رقم‌های اعشار متناهی و اعداد اعشاری دارای رقم‌های اعشار نامتناهی با الگوی تکرارشونده نیز اعداد گویا به‌حساب می‌آیند. 

سؤالات متداول

1. عدد گویا چیست؟
   عدد گویا عددی کسری است که از صورت و مخرج تشکیل شده است و به‌صورت نوشته می‌شود. p و q اعداد صحیح هستند.
2. نماد اعداد گویا چیست؟
   اعداد گویا با نماد Q نشان داده می‌شوند.
3. آیا صفر یک عدد گویا است؟
   بله. زیرا می‌توان آن را به‌صورت کسری از اعداد صحیح نوشت مانند  و غیره.
4. آیا اعداد گنگ اعداد گویا هستند؟
   خیر. اعداد گنگ و گویا با هم متفاوت‌اند.