فرمول محیط و مساحت هرم چیست ؟ | نحوه محاسبه + حل تمرین

در آموزش‌های قبل گفتیم که هرم یک شکل سه‌بعدی چندوجهی است که از یک قاعده چندضلعی و وجه‌های مثلثی‌شکل که به قاعده متصل هستند، ساخته شده است. بنابراین، می‌توان گفت که به‌دلیل چندوجهی بودن این شکل هندسی، مساحت سطوح آن قابل محاسبه است. در این مقاله و در ادامه مباحث محیط و مساحت اشکال هندسی، ابتدا محیط و مساحت هرم و فرمول محاسبه محیط هرم و فرمول مساحت هرم را معرفی می‌کنیم و پس از آن، برای یادگیری بهتر به حل چند مثال کاربردی می‌پردازیم.

مساحت هرم

مساحت هرم برابر است با مجموع مساحت تمام وجه‌های آن. طبق این تعریف، اگر بخواهیم مساحت یک هرم را به‌دست آوریم، باید مساحت تمام وجه‌های تشکیل‌دهنده هرم را محاسبه کنیم و آن‌ها را با هم جمع بزنیم. برای اینکه بهتر متوجه شوید، یک هرم با قاعده مربعی را در نظر بگیرید. این هرم از یک وجه مربعی که قاعده هرم است و ۴ وجه مثلثی که وجه‌های جانبی آن هستند، تشکیل شده است؛ یعنی در کل ۵ وجه دارد. اگر بخواهیم مساحت این هرم پنج‌وجهی را به‌دست آوریم، باید مساحت ۵ وجه آن را با هم جمع کنیم. 

برای اینکه شکل دوبعدی وجه‌ها و درنتیجه اندازه سطح آن‌ها را عمیق‌تر درک کنید، شکل بازشده وجه‌های هرم را که به آن گسترده هرم می‌گویند، در تصویر زیر نشان داده‌ایم. 

با توجه به گسترده هرم در شکل بالا، مساحت هرم با قاعده مربعی از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

فرمول مساحت هرم های منتظم

هرم‌های منتظم، هرم‌هایی هستند که قاعده آن‌ها یک چندضلعی منتظم است مانند مثلث متساوی‌الاضلاع، مربع و غیره. ازآنجا که طول تمام اضلاع چندضلعی منتظم با هم برابر است، این نوع هرم‌ها، وجه‌های جانبی برابری دارند. بنابراین، فرمول مساحت هرم‌های منتظم به‌صورت زیر خواهد بود:

اگر بخواهیم مساحت یک هرم منتظم مثلاً یک هرم با قاعده مربعی را که در بخش قبل به آن اشاره کردیم به‌دست آوریم، به اطلاعات زیر نیاز داریم:

همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، هر چهار وجه جانبی با هم برابر و به‌شکل مثلث هستند. بنابراین، برای محاسبه مساحت جانبی این هرم، کافی‌ست مساحت یکی از وجه‌های مثلثی را به‌دست آوریم و سپس، آن را در ۴ ضرب کنیم. مساحت مثلث برابر است با یک‌دوم قاعده ضربدر ارتفاع. قاعده مثلث همان طول ضلع قاعده هرم است. پس خواهیم داشت:

l: طول مایل
a: اندازه ضلع قاعده 
P: محیط قاعده

مساحت جانبی برابر با ۲al و مساحت قاعده مربعی برابر با a^۲ (یک ضلع ضربدر خودش) است. درنتیجه فرمول مساحت این هرم به‌صورت زیر خواهد بود:

به‌طور کلی، برای تعیین مساحت هرم منتظم از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$S=A+\frac{p\times <!--\; \times \; -->l}{۲}$$

فرمول مساحت هرم نامنتظم

هرم نامنتظم به هرمی گفته می‌شود که قاعده آن یک چندضلعی نامنتظم باشد. در این نوع هرم‌ها چون قاعده نامنتظم است، وجه‌های جانبی با هم برابر نیستند. فرمول محاسبه مساحت هرم‌های نامنتظم برابر است با

این فرمول ظاهراً شبیه به فرمول هرم منتظم است، اما تفاوتی که دارد این است که در هرم‌های نامنتظم وجه‌های جانبی برابر نیستند و باید مساحت هر کدام از آن‌ها را جداگانه محاسبه و سپس با هم جمع کرد.

فرمول مساحت هرم ناقص

هرم ناقص هرمی است که از بالا به‌صورت افقی برش خورده است. همان‌طور که در تصویر زیر مشاهده می‌کنید، در هرم ناقص برخلاف هرم کامل، دو قاعده داریم. وجه‌های جانبی هرم ناقص به‌دلیل برش خوردن به‌شکل ذوزنقه هستند.

برای محاسبه وجه‌های جانبی هرم ناقص از فرمول مساحت ذوزنقه استفاده می‌کنیم. فرمول مساحت ذوزنقه به‌شکل زیر است:

$$A=\frac{a+b}{۲}\times <!--\; \times \; -->h$$

اگر قاعده هرم ناقص، چندضلعی منتظم باشد، برای محاسبه مساحت جانبی آن کافی‌ست مساحت یکی از وجه‌ها را به‌دست آورید و حاصل آن را در تعداد اضلاع قاعده (تعداد وجه‌ها) ضرب کنید، اما اگر قاعده نامنتظم باشد، باید مساحت هر کدام از وجه‌ها را جداگانه محاسبه کنید و سپس، حاصل آن‌ها را با هم جمع بزنید. فرمول مساحت هرم ناقص به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

مجموع مساحت وجه‌های جانبی + مجموع مساحت دو قاعده = مساحت هرم ناقص

محیط هرم

مفهوم محیط بیشتر برای اشکال دوبعدی کاربرد دارد، اما اگر بخواهیم برای اشکال هندسی چندوجهی هم مفهوم محیط را تعریف کنیم، از مجموع طول یال‌های شکل موردنظر استفاده می‌کنیم. بنابراین، محیط هرم برابر با مجموع اندازه یال‌های آن خواهد بود. البته، گاهی اوقات محیط هرم را محیط قاعده آن نیز در نظر می‌گیرند.

نمونه سؤال های مساحت هرم

در این بخش، برای یادگیری و تثبیت بیشتر مطالب چند مثال از نحوه محاسبه مساحت هرم حل می‌کنیم.

مساحت هرم با قاعده مثلث

مساحت هرم زیر را تعیین کنید.

جواب: همان‌طور که در شکل زیر هم می‌بینید، گسترده این هرم چهار مثلث برابر به‌شکل مثلث متساوی‌الاضلاع را نشان می‌دهد. پس برای تعیین مساحت این هرم مثلثی کافی‌ست مساحت یکی از وجه‌ها را محاسبه کرده و در آخر مقدار آن را در ۴ ضرب کنیم. در تصویر زیر، مساحت یکی از چهار وجه هرم را به‌دست آورده‌ایم.

برای محاسبه مساحت مثلث، ابتدا باید ارتفاع آن یعنی طول مایل (l) را از رابطه فیثاغورس به‌دست آوریم.

برای حل این سؤال می‌توانستیم از فرمولی که در بخش‌های قبل برای محاسبه مساحت هرم منتظم معرفی کردیم هم استفاده کنیم، اما در اینجا چون تمام وجه‌ها به یک اندازه و به یک شکل بودند، این روش، روش راحت‌تری است.

مساحت هرم با قاعده مربع

مساحت هرم منتظم زیر را به‌دست آورید.

جواب: قاعده هرم مربعی‌شکل است و تمام وجه‌های جانبی آن با هم مساوی و به‌شکل مثلث متساوی‌الساقین است. با استفاده از گسترده هرم و فرمول مساحت هرم منتظم، مساحت این شکل هندسی را به‌دست می‌آوریم.

مساحت هرم با قاعده مستطیل

مساحت هرم زیر را محاسبه کنید.

جواب: قاعده این هرم مستطیل‌شکل است و هر چهار ضلع آن با هم برابر نیستند. بنابراین، نمی‌توانیم از فرمول مساحت هرم منتظم برای محاسبه مساحت این هرم استفاده کنیم. اگر به شکل گسترده هرم در تصویر زیر دقت کنید، خواهید دید که وجه‌های جانبی مقابل دوبه‌دو با هم برابرند. پس باید مساحت یکی از آن‌ها را به‌دست آورده و حاصل را در ۲ ضرب کنیم.

مساحت هرم ناقص

مساحت هرم ناقص در تصویر زیر را تعیین کنید.

جواب: این هرم ناقص از دو قاعده کوچک و بزرگ به‌شکل مربع و چهار وجه جانبی برابر به‌شکل ذوزنقه تشکیل شده است. ازآنجا که وجه‌های جانبی ذوزنقه‌ای با هم برابرند، با استفاده از فرمول ذوزنقه، مساحت یکی از آن‌ها را محاسبه کرده و سپس، حاصل آن را در ۴ ضرب می‌کنیم.

مجموع مساحت وجه‌های جانبی + مجموع مساحت دو قاعده = مساحت هرم ناقص

سخن پایانی

مساحت هرم از حاصل‌جمع مساحت تمام وجه‌های آن به‌دست می‌آید. از آنجا که وجه‌های جانبی هرم مثلث‌شکل هستند، برای تعیین مساحت آن‌ها از فرمول مثلث استفاده می‌شود. اگر هرم منتظم باشد، یعنی قاعده آن یک چندضلعی منتظم باشد، تمام وجه‌های جانبی هرم مثلث‌هایی با مساحت برابر خواهند بود. به‌طور کلی، مساحت یک هرم از فرمول مساحت قاعده به‌اضافه مساحت وجه‌های جانبی محاسبه می‌شود.

سؤالات متداول

1. هرم چیست؟
   هرم یک شکل سه‌بعدی است که از یک قاعده چندضلعی و چند وجه مثلثی متصل به قاعده تشکیل می‌شود.
2. مساحت هرم چیست؟
   مساحت هرم برابر با مجموع مساحت وجه‌های هرم یا به‌عبارتی، برابر با مساحت گسترده هرم است.
3. گسترده هرم یعنی چه؟
   به شکل بازشده هرم، گسترده هرم می‌گویند.
4. فرمول مساحت هرم چیست؟
   فرمول مساحت هرم برابر است با مساحت قاعده به‌اضافه مساحت وجه‌های جانبی آن.
5. فرمول مساحت جانبی هرم چیست؟
   مساحت جانبی هرم از جمع مساحت وجه‌های جانبی مثلثی‌شکل آن به‌دست می‌آید.