محیط و مساحت مخروط + روش محاسبه و حل مثال

در آموزش‌های قبل، درمورد حجم مخروط و روش محاسبه آن صحبت کردیم و گفتیم که مخروط یک شکل سه‌بعدی شامل یک وجه دایره‌ای و یک وجه منحنی‌شکل است. در این مقاله، قصد داریم به بررسی یکی دیگر از مفاهیم هندسی این شکل سه‌بعدی یعنی محیط و مساحت مخروط بپردازیم و با حل چند مثال، این مبحث را عمیق‌تر بیاموزیم.

مساحت مخروط 

مخروط از دو وجه تشکیل شده است: یک وجه دایره‌ای که به آن قاعده می‌گویند و یک وجه منحنی‌شکل که سطح جانبی آن است. این شکل هندسی تقریباْ شبیه به هرم است، اما تفاوت‌هایی هم با آن دارد. در مقاله فرق هرم با مخروط مفصل دراین‌باره صحبت کرده‌ایم.

 مساحت یک شکل هندسی برابر با اندازه سطح آن است، درنتیجه مساحت مخروط نیز برابر با اندازه سطح مخروط و یا به‌عبارتی، اندازه سطح وجه‌های آن خواهد بود. در ادامه نحوه محاسبه مساحت مخروط را توضیح خواهیم داد.

مساحت جانبی مخروط

منظور از مساحت جانبی مخروط، مساحت وجه منحنی‌شکل یا همان سطح جانبی است. اگر سطح جانبی یک مخروط را مانند شکل زیر گسترده کنیم، آن را به‌شکل یک قطاع دایره خواهیم دید که شعاع آن برابر با طول مایل (l) است. مساحت این قطاع و درنتیجه مساحت جانبی مخروط از رابطه زیر به‌دست می‌آیید:

S₁=πrl

با توجه به شکل زیر، می‌توانیم با کمک قضیه فیثاغورس، طول مایل را برحسب ارتفاع (h) و شعاع قاعده مخروط (r) بنویسیم:

l^۲=h^۲+r^۲

براساس این رابطه، می‌توان فرمول مساحت جانبی مخروط را به‌شکل زیر بازنویسی کرد:

مساحت سطح مخروط

مساحت سطح مخروط که برابر با مساحت کل مخروط است، از مجموع مساحت جانبی و مساحت قاعده مخروط به‌دست می‌آید. فرمول مساحت جانبی را در بخش قبل به‌دست آوردیم. مساحت قاعده را هم می‌توان به‌راحتی از فرمول مساحت دایره محاسبه کرد، زیرا قاعده مخروط دایره‌ای‌شکل است. می‌دانیم که مساحت دایره‌ای به‌شعاع r از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

S_۲=πr^۲

ازطرفی فرمول مساحت جانبی مخروط هم برابر است با

S₁=πrl

بنابراین، فرمول مساحت سطح مخروط یا مساحت کل مخروط که برابر با مجموع مساحت دو وجه آن است، به‌صورت زیر خواهد بود:

مساحت مخروط قائم

مخروط قائم مخروطی است که رأس آن دقیقاً در بالای مرکز قاعده قرار می‌گیرد و ارتفاع آن درست روی مرکز قاعده عمود می‌شود. فرمولی که تا اینجای آموزش ارائه کردیم، برای محاسبه مساحت مخروط قائم هم مورد استفاده قرار می‌گیرد. بنابراین، فرمول مساحت جانبی و مساحت کل مخروط همان روابط قبلی خواهد بود.

مساحت مخروط مایل

در مخروط مایل برخلاف مخروط قائم رأس در بالای مرکز قاعده قرار نمی‌گیرد و ازاین‌رو، ارتفاع نیز روی مرکز قاعده عمود نمی‌شود. همچنین به‌دلیل اینکه در مخروط‌های مایل گوناگون، مکان قرارگیری رأس نسبت به قاعده متفاوت است، نمی‌توان فرمول مشخصی برای مساحت جانبی مخروط مایل و درنتیجه مساحت کل آن تعیین کرد.

مساحت جانبی مخروط ناقص

مخروط ناقص مخروطی است که از برش خوردن قسمت بالای مخروط کامل به‌دست می‌آید و دارای دو قاعده موازی است. مساحت جانبی مخروط ناقص از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

S_۱ =π (r_۱+r_۲) l

مساحت مخروط ناقص

مساحت کل مخروط ناقص برابر است با مجموع مساحت دو قاعده دایره‌ای و مساحت جانبی آن. بنابراین، فرمول مساحت این شکل هندسی به‌صورت زیر خواهد بود:

مساحت جانبی + مساحت دو قاعده = مساحت کل مخروط ناقص

محیط مخروط

مفهوم محیط مخروط با مفهوم حجم مخروط و مساحت آن متفاوت است. محیط در یک شکل دوبعدی برابر با اندازه دورتادور آن شکل است، اما در یک شکل سه‌بعدی مانند مخروط تاحدودی متفاوت است.

بسته به اینکه مخروط از یک صفحه افقی دیده می‌شود یا صفحه عمودی، فرمول محیط مخروط می‌تواند متفاوت باشد. شکل زیر این موضوع را به‌خوبی نشان می‌دهد. محیط یک مخروط از روابط زیر محاسبه می‌شود:

مثال مساحت مخروط ششم

مثال ۱: مساحت کل مخروط زیر را به‌دست آورید.

جواب: با توجه به شکل بالا، مقدار شعاع و طول مایل را داریم. فقط کافی‌ست آن‌ها را در فرمول مساحت مخروط جای‌گذاری کنیم.

( S = π r (r + l
S = ۳.۱۴ × ۴ × ۴ + ۱۲
S = ۳.۱۴ × ۴ ×۱ ۶ =۲۰۰.۹۶

مثال ۲: یک کلاه تولد به‌شکل زیر داریم. مساحت جانبی آن را محاسبه کنید.

جواب: در شکل بالا، مقدار شعاع قاعده و ارتفاع داده شده است. با توجه به اینکه مساحت جانبی مخروط از فرمول πrl محاسبه می‌شود، باید ابتدا مقدار طول مایل را با استفاده از قضیه فیثاغورس تعیین کنیم.

$$l=\sqrt{h^{۲}+r^{۲}}$$ $$l=\sqrt{۲{۰}^{۲}+{۵}^{۲}}$$ $$l=\sqrt{۲{۰}^{۲}+{۵}^{۲}}=\sqrt{۴۰۰+۲۵}=\sqrt{۴۲۵}=۲۰.۶۱cm$$

اکنون که مقدار طول مایل مشخص شد، می‌توانیم مساحت جانبی این کلاه تولد را به‌دست آوریم.

S = π r l
S = ۳.۱۴ × ۵ × ۲۰.۶۱ = ۳۲۳.۵۷۷ cm^۲

مساحت جانبی کلاه تولد ۳۲۳/۵۷۷ سانتی‌متر مربع است.

مثال ۳: مساحت جانبی یک مخروط به قطر ۳ سانتی‌متر، ۲۰۰ سانتی‌متر مربع است. مقدار ارتفاع این مخروط را تعیین کنید.
جواب: در صورت مسئله مقدار قطر داده شده است. ازآنجا که اندازه قطر دو برابر شعاع است، مقدار شعاع این مخروط ۱/۵ سانتی‌متر خواهد بود. مقدار شعاع و مساحت را در فرمول مساحت جانبی قرار می‌دهیم تا مقدار طول مایل به‌دست آید.

S = π r l

۲۰۰ = ۳.۱۴ × ۱.۵ × l

۲۰۰ = ۴.۷۱ × l

l ≈ ۴۲.۴۶ cm

حالا که مقدار طول مایل مخروط را به‌دست آوردیم، به‌راحتی می‌توانیم مقدار ارتفاع را توسط قضیه فیثاغورس محاسبه کنیم.

l^۲=h^۲+r^۲

h^۲=l^۲– r^۲

$$l=\sqrt{h^{۲}+r^{۲}}$$ $$l=\sqrt{۴۲.۴{۶}^{۲}+۱.{۵}^{۲}}$$ $$l=\sqrt{۱۸۰۲.۸{۵}^{۲}+۲.۲{۵}^{۲}}=\sqrt{۱۸۰۰.۶}=۴۲.۴۳cm$$

مقدار ارتفاع مخروط ۴۲/۴۳ سانتی‌متر است.
مثال ۴: مساحت جانبی مخروط ناقص شکل زیر را محاسبه کنید.

جواب: مقدار طول مایل و شعاع قاعده کوچک و قاعده بزرگ را در فرمول مساحت جانبی مخروط ناقص قرار می‌دهیم. خواهیم داشت:

سخن پایانی

مساحت سطح مخروط که به آن مساحت کل مخروط هم گفته می‌شود، از مجموع مساحت قاعده و سطح جانبی آن به‌دست میآید. منظور از سطح جانبی همان سطح منحنی‌شکل مخروط است. اگر یک مخروط کامل را از قسمت بالا برش دهیم، یک مخروط ناقص ایجاد خواهد شد که به‌جای یک قاعده، دارای دو قاعده موازی است. در چنین حالتی، مساحت مخروط ناقص از جمع مساحت دو قاعده و مساحت سطح جانبی محاسبه خواهد شد. اگر بخواهیم محیط یک مخروط را تعیین کنیم، باید آن را در یک صفحه افقی و عمودی در نظر بگیریم و بسته به اینکه مخروط در چه صفحه‌ای در نظر گرفته می‌شود، فرمول محاسبه محیط آن می‌تواند متفاوت باشد.

سؤالات متداول

1. مساحت مخروط چیست؟
   مساحت مخروط به اندازه سطح کل مخروط گفته می‌شود.
2. مساحت جانبی مخروط چیست؟
   مساحت جانبی مخروط برابر با مساحت سطح جانبی آن است.
3. فرمول مساحت مخروط چیست؟
   مساحت مخروط از مجموع مساحت قاعده و سطح جانبی آن به‌دست می آید.
4. محیط مخروط چگونه محاسبه می‌شود؟
   بسته به اینکه مخروط در یک صفحه افقی دیده می‌شود یا عمودی، محاسبه محیط آن متفاوت خواهد بود.