ک.م.م یا کوچک‌ترین مضرب مشترک چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟

کوچکترین مضرب مشترک مفهوم کاربردی است که معمولاً در مبحث مربوط به کسرها جهت مخرج مشترک گرفتن بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرد و راه‌های مختلفی برای به‌دست آوردن آن وجود دارد. در این مقاله، روش‌ها و فرمول یافتن ک م م اعداد را آموزش خواهیم داد و چند نمونه سؤال از کوچکترین مضرب مشترک ریاضی هفتم نیز حل خواهیم کرد.

ک م م یعنی چه؟

ک م م مخفف کوچکترین مضرب مشترک است. قبل از اینکه با مفهوم کوچکترین مضرب مشترک آشنا شویم، بهتر است ابتدا مضرب و مضرب مشترک را بشناسیم. 

وقتی می‌گوییم مضرب یک عدد، منظورمان عددی است که از ضرب کردن آن عدد در یک عدد صحیح غیرصفر مثل ۱، ۲، ۳ و غیره به‌دست می‌آید. برای مثال، مضرب‌های عدد ۲ اعدادی هستند که از ضرب عدد ۲ در اعداد غیرصفر مانند ۱، ۲، ۳، ۴ و غیره تعیین می‌شوند. مضارب عدد ۲ عبارت‌اند از:

۲, ۴, ۶, ۸, ۱۰, ۱۲, ۱۴,…

حالا که با تعریف مضرب آشنا شدیم. سراغ مضرب مشترک می‌رویم. اصطلاح مضرب مشترک برای دو یا چند عدد به‌کار می‌رود و منظور از آن مضرب‌هایی است که بین آن دو عدد یا چند عدد مشترک هستند. به‌عنوان مثال، برای تعیین مضرب‌های مشترک اعداد ۲ و ۵ ابتدا مضرب‌های هر یک از آن‌ها را به‌دست می‌آوریم، سپس مضرب‌های مشترک بین دو عدد را مشخص می‌کنیم.

• مضرب‌های ۲: ۲، ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶، ۱۸، ۲۰، ۲۲ و غیره.
• مضرب‌های ۵: ۵، ۱۰، ۱۵، ۲۰، ۲۵، ۳۰ و غیره.

همان‌طور که می‌بینید، اعداد ۱۰، ۲۰ و… مضارب مشترک عددهای ۲ و ۵ هستند.

ک م م دو یا چند عدد، کوچک‌ترین مضرب در بین مضرب‌های مشترک آن اعداد است.

برای مثال، از بین مضرب‌های مشترک اعداد ۲ و ۵ که در بالا نام بردیم، عدد ۱۰ از همه کوچک‌تر است. بنابراین، می‌توانیم بگوییم ک م م ۲ و ۵ عدد ۱۰ است.

چگونه ک م م را به دست آوریم؟

کوچکترین مضرب مشترک اعداد را می‌توان با استفاده از روش‌های زیر محاسبه کرد:

• لیست کردن مضرب‌ها
• تجزیه به عامل‌های اول

در ادامه هر یک از این روش‌ها را با مثال توضیح خواهیم داد. 

یافتن ک م م با لیست کردن مضرب ها

در این روش بسیار ساده، کافی‌ست مضرب‌های مشترک اعداد را با لیست کردن مضارب آن‌ها بیابیم و از بین آن‌ها کوچک‌ترین مضرب مشترک را پیدا کنیم.

مثال: کوچک‌ترین مضرب مشترک ۴ و ۶ چه عددی است؟

ابتدا چند مضرب اول اعداد ۴ و ۶ را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

• مضرب‌های ۴: ۴، ۸، ۱۲، ۱۶، ۲۰، ۲۴، ۲۸، ۳۲ و …..
• مضرب‌های ۶: ۶، ۱۲، ۱۸، ۲۴، ۳۰، ۳۶ و …..

اکنون مضرب‌های مشترک را بررسی می‌کنیم. از بین اعداد نوشته‌شده تنها مضرب‌های ۱۲ و ۲۴ بین دو عدد ۴ و ۶ مشترک هستند. پس کوچک‌ترین یا اولین مضرب مشترک ۴ و ۶ عدد ۱۲ است.

یافتن ک م م از راه تجزیه به عامل های اول

در روش تجزیه به عامل‌های اول، مراحل تعیین ک م م به‌صورت زیر است:

• ابتدا اعداد موردنظر را به عامل‌های اول تجزیه می‌کنیم. درصورتی که در هر عدد یک عامل اول تکرار شده باشد آن را به‌صورت عدد توان‌دار می‌نویسیم. 
• عامل‌های اول مشترکی را که توان آن‌ها بزرگ‌تر است انتخاب کرده و در عامل‌های اول غیرمشترک ضرب می‌کنیم.

برای اینکه بهتر متوجه شوید به مثالی که در ادامه حل کرده‌ایم دقت کنید. 

مثال: ک م م اعداد ۶۰ و ۹۰ را با روش تجزیه به عامل‌های اول به‌دست آورید.

قبل از هر چیز باید دو عدد را به عامل‌های اول تجزیه کنیم و درصورت ممکن به‌شکل اعداد توان دار بنویسیم.

۶۰ = ۲ × ۲ × ۳ × ۵ = ۲^۲ × ۳ × ۵

۹۰ = ۲× ۳× ۳× ۵ = ۲ ×۳ ^۲ ×۵

حالا عامل‌های مشترک هر دو عدد را بررسی کرده و آن‌هایی را که توان بزرگ‌تری دارند در عامل‌های غیرمشترک ضرب می‌کنیم. در این مثال، تمام عامل‌های ۲، ۳ و ۵ در هر دو عدد مشترک هستند و عامل غیرمشترک وجود ندارد. توجه داشته باشید اگر عامل مشترک هر دو عدد توان یکسانی داشت مانند عدد ۵ که توان آن در هر دو ۱ است، تنها یکی از آن‌ها را می‌نویسیم. بنابراین، ک م م دو عدد ۶۰ و ۹۰ به‌صورت زیر خواهد بود:

۲^۲ × ۳^۲ × ۵ = ۱۸۰

پیشنهاد می کنم به مقاله ضرب و تقسیم اعداد توان دار سربزنید تا به راحتی محاسبات مثال ها را حل کنید.

در تصویر زیر تمام مراحل تعیین ک م م به‌خوبی نشان داده شده است.

برای درک بهتر این روش یک مثال دیگر نیز حل می‌کنیم.

مثال: ک م م اعداد ۸ و ۴۲ را تعیین کنید.

با توجه به مراحلی که در مثال قبل توضیح دادیم، ابتدا اعداد را به‌صورت زیر به عامل‌های عدد اول تجزیه می‌کنیم و به‌شکل اعداد توان‌دار می‌نویسیم:

۸ = ۲ × ۲× ۲= ۲^۳

۴۲ = ۲ × ۳ × ۷

اکنون به عامل‌های مشترک توجه می‌کنیم. می‌بینیم که عامل ۲ در هر دو عدد مشترک است. ازآنجا که این عامل در عدد ۸ توان بزرگ‌تری دارد، پس ۲^۳ را انتخاب می‌کنیم. حالا سراغ عامل‌های غیرمشترک می‌رویم. عامل‌های ۳ و ۷ تنها در عدد ۴۲ وجود دارند و ازاین‌رو غیرمشترک هستند. بنابراین ۲^۳ را در ۳ و ۷ ضرب می‌کنیم تا ک م م به‌دست آید. خواهیم داشت:

۲ ^۳ × ۳ × ۷ = ۱۶۸

اگر تجزیه یک عدد به عامل‌های اول به‌صورت خطی برایتان دشوار است، می‌توانید از تجزیه درختی استفاده کنید.

تجزیه به عامل های اول به کمک تجزیه درختی

در این روش، اعداد را جداگانه بر یک عدد اول مشترک تقسیم می‌کنیم. اگر دو عدد عامل اول مشترک نداشتند، هر کدام را بر عامل اولی که بر آن بخش‌پذیر هستند تقسیم می‌کنیم. پس از آن، حاصل تقسیم را به همین صورت بر عامل اولی که بر آن بخش‌پذیر است تقسیم کرده و این کار را تا جایی که عدد موردنظر به عامل‌های اول تجزیه شده باشد ادامه می‌دهیم.

برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم ک م م اعداد ۱۲ و ۱۶ را با استفاده از تجزیه درختی مشخص کنیم. با توجه به اینکه هر دو عدد زوج هستند، می‌توانیم ابتدا آن‌ها را بر ۲ که عامل اول مشترک بین آن‌هاست تقسیم کنیم. حاصل تقسیم یعنی ۶ و ۸ را هم به‌دلیل زوج بودن بر ۲ تقسیم می‌کنیم و این کار را تا جای ممکن ادامه می‌دهیم. 

در آخر عاملی که در هر دوی آن‌ها مشترک است را می‌یابیم. باید ببینیم این عامل مشترک در کدام یک از اعداد ۱۲ و ۱۶ بیشترین حالت تکرار را دارد و همان عامل مشترک را با بیشترین حالت تکرار در هم ضرب می‌کنیم. همان‌طور که در تصویر زیر هم می‌بینید، عامل ۲ در عدد ۱۶ با ۴ بار تکرار بیشترین حالت تکرار را دارد. اگر تعداد حالت‌های تکرار یک عامل مشترک در هر دو عدد با هم برابر بود، آن عامل را فقط یک بار با همان تعداد تکرار می‌نویسیم. 

پس از عامل‌های مشترک، نوبت عامل‌های غیرمشترک است. در این مرحله، عامل‌های غیرمشترک یعنی ۳ را هم در عامل‌های مشترک ضرب می‌کنیم تا مقدار ک م م به‌دست آید.

پیشنهاد مطالعه: قواعد بخش پذیری اعداد ۱ تا ۲۰

فرمول ک م م چیست؟

اگر دو عددی که می‌خواهیم کوچک‌ترین مضرب مشترک آن‌ها را مشخص کنیم، در هم ضرب کرده و حاصل آن را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک آن‌ها یعنی ب م م دو عدد تقسیم کنیم، مقدار ک م م به‌دست خواهد آمد.

بنابراین، فرمول محاسبه ک م م دو عدد a و b به‌صورت زیر خواهد بود:

$$[a,b]=\frac{a\times <!--\; \times \; -->b}{(a,b)}$$

ک م م دو عدد a و b را به‌صورت a,b] و ب م م آن‌ها را به‌صورت (a,b) نمایش می‌دهند. 

به‌عنوان مثال، فرض کنید می‌خواهیم ک م م دو عدد ۱۲ و ۲۱ را با این فرمول تعیین کنیم. ب م م این دو عدد برابر با ۳ و حاصل‌ضرب آن‌ها مساوی با ۲۵۲ است. درنتیجه ک م م برابر خواهد بود با 

$$[۱۲,۲۱]=\frac{۱۲\times <!--\; \times \; -->۲۱}{(۱۲,۲۱)}=\frac{۲۵۲}{۲}=۸۴$$

نمونه سؤال ک م م ریاضی هفتم

ک م م اعداد زیر را به روش تجزیه به‌دست آورید.

1. [۱۸, ۳۲]
2. [۲۰, ۴۵]
3. [۱۵, ۲۵, ۳۰]

جواب: برای به‌دست آوردن ک م م اعداد داده‌شده کافی‌ست هر کدام از اعداد را به عامل‌های اول تجزیه کنیم.

۱. اعداد ۱۸ و ۳۲ را به‌صورت زیر تجزیه می‌کنیم:

۱۸ = ۲ × ۳ × ۳ = ۲× ۳ ^۲

۳۲ = ۲× ۲× ۲× ۲× ۲ = ۲^۵

عامل ۲ در هر دو عدد مشترک است اما در عدد ۳۲ بیشترین تکرار را دارد پس آن را با همان تعداد تکرار می‌نویسیم. عامل ۳ نیز که تنها در عدد ۱۸ وجود دارد ۲ بار تکرار شده و آن را با همین تعداد تکرار در ۲^۵ ضرب می‌کنیم. خواهیم داشت:

[ ۱۸ , ۳۲ ]=۲^۵ × ۳^۲ = ۲۸۸

۲. اعداد ۲۰ و ۴۵ را مانند مثال قبل به‌صورت زیر تجزیه می‌کنیم:

۲۰ = ۲× ۲×۵ = ۲^۲ × ۵

۴۵ = ۳ × ۳× ۵ =۳^۲×۵

همان‌طور که می‌بینید، تنها عامل مشترک دو عدد ۲۰ و ۴۵ عدد ۵ است که در هر دو تنها یک بار تکرار شده است. پس آن را تنها یک بار می‌نویسیم و در عامل‌های غیرمشترک یعنی ۲^۲ و ۳^۲ ضرب می‌کنیم.

[ ۲۰, ۴۵ ]=۲^۲× ۳^۲×۵=۱۸۰

۳. در اینجا باید ک م م سه عدد را بیابیم. روش یافتن ک م م در این حالت مانند روش تعیین ک م م در دو عدد است. پس باید در اینجا هم هر سه عدد را به عامل‌های اول تجزیه کنیم.

۱۵ = ۳ × ۵

۲۵ = ۵× ۵ = ۵^۲

۳۰ = ۲× ۳×۵

ابتدا عامل‌های مشترک را در نظر می‌گیریم. عامل‌های مشترک در هر سه عدد ۵ است که در عدد ۲^۵ با دو بار تکرار بیشترین تعداد تکرار را دارد. بنابراین، عامل مشترک ۵ را با بیشترین حالت تکرار یعنی ۵^۲ می‌نویسیم. می‌بینیم که عامل ۳ هم یک عامل مشترک بین ۱۵ و ۳۰ است که در هر دوی آن‌ها یک بار تکرار شده است. پس چون تعداد تکرار در هر دو عدد مانند هم است کافی‌ست تنها یک بار آن را بنویسیم.

در آخر هم عامل غیرمشترک یعنی ۲ را نوشته و در ۵^۲ و ۳ ضرب می‌کنیم. خواهیم داشت:

[۱۵, ۲۵, ۳۰] = ۲× ۳× ۵^۲ = ۱۵۰

سخن پایانی

آشنایی با نحوه تعیین ک م م یا کوچک‌ترین مضرب مشترک به شما کمک خواهد کرد تا محاسبات مربوط به کسرها را به‌راحتی انجام دهید. همان‌طور که در این مقاله هم اشاره کردیم، راه‌های مختلفی برای مشخص کردن ک م م وجود دارد که بنابر میزان راحتی می‌توانید هر کدام را که مایل هستید به‌کار ببرید. برای اینکه این آموزش را عمیق‌تر یاد بگیرید توصیه می‌کنیم تنها به این مقاله اکتفا نکنید و با حل تمرین‌های بیشتر تسلط خود را در این مبحث افزایش دهید.