راهنمای جامع اعداد توان دار ׀ تعریف، قوانین و جدول اعداد توان دار در ریاضی

گاهی اوقات حین انجام محاسبات ریاضی با اعدادی مواجه می‌شویم که پی‌درپی در خودشان ضرب شده‌اند. واضح است که نمایش چنین اعدادی محاسبات را طولانی‌تر و دشوارتر می‌کند. در چنین مواقعی، اعداد ضرب‌شده در یکدیگر را به‌طور خلاصه‌تر یعنی به‌صورت اعداد توان دار می‌نویسیم. با این کار می‌توانیم بدون نیاز به انجام ضرب‌های متعدد، محاسبات را به‌راحتی انجام دهیم. این اعداد در محاسبات از قوانین خاصی پیروی می‌کنند که در این آموزش به آن‌ها خواهیم پرداخت.

تعریف توان در ریاضی

در ریاضی عددهایی را که چند مرتبه در خودشان ضرب می‌شوند، به‌صورت خلاصه و عدد توان‌دار نشان می‌دهند.

برای مثال، اگر عدد ۸ سه مرتبه در خودش ضرب شود، به‌صورت زیر آن را تبدیل به عدد توان‌دار می‌کنیم:

عدد ۸^۳ را می‌خوانیم ۸ به‌توان ۳. ۸ را پایه و ۳ را توان می‌نامیم. پایه عددی است که در خودش ضرب می‌شود، اما توان نشان می‌دهد که یک عدد چند مرتبه در خودش ضرب شده است.

مقدار پایه می‌تواند هر عدد صحیح، کسری یا اعشاری باشد. در توان هم هر عدد مثبت یا منفی می‌تواند قرار بگیرد.

برای درک بهتر، در تصویر زیر چند مثال از اعداد توان دار آورده شده است:

نکته: اگر توان یک عدد منفی زوج باشد، حاصل یک عدد مثبت است، اما اگر توان عدد منفی فرد باشد، حاصل یک عدد منفی خواهد بود.

( – ۷ )^۲ = ۴۹
(- ۲ ) ^۳= -۸

قوانین اعداد توان دار

اعداد توان دار قواعد و ویژگی‌هایی دارند که در محاسبات باید آن‌ها را مد نظر قرار دهیم. در ادامه تمام این ویژگی‌ها را معرفی می‌کنیم.

ضرب اعداد توان دار

برای یافتن حاصل‌ضرب اعداد توان دار با پایه یکسان، همان پایه را قرار می‌دهیم و توان‌ها را با هم جمع می‌زنیم.

a^m × aⁿ = a ^m+n
۳^۷ × ۳^۲=۳ ^۷+۲ = ۳^۹

حالت دیگری هم وجود دارد. اگر پایه‌ها نامساوی و توان‌ها یکسان باشند، پایه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم و همان توان اولیه را قرار می‌دهیم.

a^m b^m = ( ab ) ^m

۲^۵ ۳^۵ = (۲ × ۳ )^۵ =۶^۵

تقسیم اعداد توان دار

اگر بخواهیم دو عدد توان دار را که پایه‌های یکسان و توان‌های مختلف دارند، بر هم تقسیم کنیم، همان پایه را قرار داده و توان‌ها را از هم کم می‌کنیم.

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m+n}$$

۶^۴ ÷ ۶^۲=۶^۴-۲=۶^۲

اما اگر پایه‌ها نامساوی و توان‌ها یکسان باشند، پایه‌ها را تقسیم کرده و توان را همان مقدار اولیه می‌گذاریم.

$$\frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b}{)}^n$$

۱۵^۷÷ ۳^۷= (۱۵÷۳)^۷ = ۵^۷

پیشنهاد میکنم به مقاله ضرب و تقسیم اعداد توان دار نگاه کنید و ضرب و تقسیم اعداد توان دار را به طور کامل یاد بگیرید کنید.

عدد به توان منفی

وقتی توان یک عدد منفی است، می‌توانیم با معکوس کردن عدد توان دار، توان عدد را به مثبت تبدیل کنیم.

$$a^{-<!--\; -\; -->m}=\frac{1}{a^{-<!--\; -\; -->m}}$$

در اینجا a یک عدد غیرصفر است.

$${۵}^{-<!--\; -\; -->۴}=\frac{۱}{{۵}^{۴}}$$

عدد به توان صفر

طبق این قانون، اگر توان یک عدد حقیقی صفر باشد، آن عدد برابر با یک خواهد بود.

a^۰ = ۱

توان در توان

زمانی که یک عدد توان‌دار به توان برسد، پایه را نوشته و توان‌ها را در یکدیگر ضرب می‌کنیم.

$$a^{(m^n)}$$ $${۳}^{({۴}^{۲})}={۳}^{۴\times <!--\; \times \; -->۲}={۳}^{۸}$$

جدول کامل و کاربردی توان ها ریاضی هفتم

در این بخش، برای دسترسی آسان و سریع به قوانین و ویژگی‌های اعداد توان دار، آن‌ها را در یک جدول نوشته و در تصویر زیر آورده‌ایم.

فرق توان در پرانتز و بیرون پرانتز چیست و چرا پرانتز در ریاضی اهمیت دارد؟

قرار دادن یا ندادن پرانتز در بسیاری از محاسبات ریاضی می‌تواند نتایج متفاوتی حین محاسبات به ما بدهد.
به مثال زیر توجه کنید. این مثال به‌خوبی تقاوت توان در پرانتز و بیرون پرانتز را نشان می‌دهد.

$$(\frac{{۵}^{۲}}{۸})=\frac{۲۵}{۸}$$ $$(\frac{{۵}^{۲}}{۸})=(\frac{{۵}^{۲}}{{۸}^{۲}})=\frac{۲۵}{۶۴}$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، دو عبارت نتایج متفاوتی به ما می‌دهند. بنابراین، لازم است حین انجام عملیات ریاضی در اعداد توان دار به ترتیب عملیات ریاضی که در ادامه آن‌ها را بیان می‌کنیم، توجه داشته باشید.

1. پرانتز
2. توان
3. ضرب و تقسیم
4. جمع و تفریق

مثال: حاصل عبارت زیر را تعیین کنید

( ۱۱ × ۳ ^۲ ) + ۱۴

جواب: ابتدا سراغ عبارت داخل پرانتز می‌رویم و معادل عدد توان‌دار را می‌نویسم. سپس آن را در ۱۱ ضرب می‌کنیم و حاصل‌ضرب به‌دست‌آمده را با ۱۴ جمع می‌زنیم. خواهیم داشت:

( ۱۱ × ۳ ^۲) + ۱۴ = ( ۱۱ × ۹ ) + ۱۴ = ۹۹ + ۱۴ = ۱۱۳

نمونه سؤال محاسبات اعداد توان دار

برای حل سوالات زیر میتوانید از مقاله جمع و تفریق اعداد توان دار کمک بگیرید.

سؤال ۱: عبارت زیر را ساده کنید.

۲^۳× ۲^۴ × ۲^۷ ×۲

جواب: با توجه به قانون ضرب اعداد توان دار، از آنجا که پایه‌ها مساوی هستند، همان پایه را قرار می‌دهیم و توان‌ها را با هم جمع می‌کنیم.

۲^۳ ×۲^۴ × ۲^۷ × ۲ =۲^۳+۴+۷+۱=۲^۱۵

سؤال ۲: حاصل ۴^۰-۲^۰ را تعیین کنید.

جواب: می‌دانیم که هر عدد غیرصفر به‌توان صفر برابر با یک است. بنابراین، حاصل این عبارت برابر است با

۴^۰ – ۲^۰ = ۱ – ۱ = ۰

سؤال ۳: حاصل عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.

الف )

$$(\frac{{۵}^{۵}}{{۵}^{۳}})۶$$

ب)

( -۸ ) ^۵+ ۲^۱۵

ج)

۹^۱ + ۱^۹ + ۰^۹

د)

۲^۶ + ۸^۲

و)

-۴^۳ – ( -۴^۳ )

ه)

$$((\frac{۲}{۳}{)}^{۳}{)}^{-<!--\; -\; -->۲}$$

الف) این عبارت را با کمک قانون تقسیم اعداد توان دار و قانون توان در توان حل می‌کنیم.

$$(\frac{{۵}^{۵}}{{۵}^{۳}}{)}^{۶}=({۵}^{۵-<!--\; -\; -->۳}{)}^{۶}=({۵}^{۲}{)}^{۶}={۵}^{۲\times <!--\; \times \; -->۶}={۵}^{۱۲}$$

ب) ابتدا ۸ را به‌صورت عدد توان‌دار می‌نویسیم و سپس عمل جمع را انجام می‌دهیم.

$$(-<!--\; -\; -->۸{)}^{۵}+{۲}^{۱۵}=((-<!--\; -\; -->۲{)}^{۳}{)}^{۵}+{۲}^{۱۵}={۲}^{۳\times <!--\; \times \; -->۵}+{۲}^{۱۵}=-<!--\; -\; -->{۲}^{۱۵}+{۲}^{۱۵}=۰$$

ج) با کمک جدول توان‌ها حاصل این عبارت را به‌دست می‌آوریم.

۹^۱ + ۱^۹ + ۰^۹ = ۹ + ۱ + ۰ = ۱۰

د) عدد ۸ را به‌صورت یک عدد توان‌دار با پایه ۲ می‌نویسیم و سپس حاصل عبارت را تعیین می‌کنیم.

۲^۶ + ۸^۲ = ۲^۶ + ۲^۳)^۲ = ۲^۶ + ۲^۳×۲ = ۲^۶ + ۲^۶ = ۲×۲^۶ = ۲^{۱ + ۶} = ۲۷

و) اعداد منفی زمانی که به‌توان اعداد فرد می‌رسند، حاصلشان عددی منفی خواهد بود.

۴^۳– ( – ۴ ) ^۳=-۴^۳– ( – ۴ )^۳ = -۴^۳+۴^۳=۰

ه)

$$((\frac{۲}{۳}{)}^{۳}{)}^{-<!--\; -\; -->۲}={\frac{۲}{۳}}^{۳\times <!--\; \times \; -->(-<!--\; -\; -->۲)}=(\frac{۲}{۳}{)}^{-<!--\; -\; -->۶}=(\frac{۳}{۲}{)}^{۶}=\frac{۷۲۹}{۶۴}$$

سؤال ۴: عدد ۷۲ را تجزیه کنید و به‌صورت اعداد توان دار بنویسید.

۷۲ = ۸ × ۹ = ۲^۳ × ۳^۲

سخن پایانی

در این مقاله، با اعداد توان دار و قوانین توان ها در ریاضی آشنا شدیم و قواعد به توان رساندن اعداد توان دار را بیان کردیم. اعداد توان دار تعداد مرتبه‌هایی را که یک عدد در خودش ضرب شده است، به ما نشان می‌دهند و ازاین‌رو، محاسبات را برایمان ساده‌تر می‌کنند. این اعداد از دو بخش پایه و توان تشکیل شده‌اند. پایه عددی است که چند مرتبه در خودش ضرب شده است، اما توان تعداد مرتبه‌هایی را نشان می‌دهد که عدد در خودش ضرب شده است.

برای تسلط بیشتر بر محاسبات اعداد توان دار، حل مسائل بیشتر و متنوع می‌تواند کمک‌کننده باشد.

سؤالات متداول

1. اعداد توان دار چه اعدادی هستند؟
   اعداد توان دار اعدادی شامل دو بخش پایه و توان هستند که برای نمایش اعدادی که چند بار در خودشان ضرب شده‌اند، به‌کار می‌روند.
2. چگونه عدد با توان منفی را به توان مثبت تبدیل کنیم؟
   برای تبدیل توان منفی به توان مثبت، کافی‌ست عدد را وارونه کنیم.
3. یک به‌توان صفر برابر با چند است؟
   هر عدد غیرصفر به‌توان صفر برابر با یک است.