حجم استوانه چیست؟ ׀ فرمول محاسبه + حل تمرین

قوطی‌های آب‌میوه یا کنسرو نمونه‌های رایجی از اجسام استوانه‌ای‌شکل هستند. زمانی که وجه مسطح این اشکال را روی سطح صاف قرار می‌دهیم به‌صورت عمودی سر جای خود قرار می‌گیرند، اما اگر وجه منحنی‌شکل آن‌ها روی سطع قرار گیرد، می‌غلتند و جابه‌جا می‌شوند. استوانه نیز مانند سایر اشکال سه‌بعدی دارای حجم بوده و حجم آن قابل محاسبه است. در ادامه این مطلب، ابتدا شکل استوانه و اجزای تشکیل‌دهنده آن را معرفی می‌کنیم و سپس، روش محاسبه حجم استوانه را با حل چند مثال آموزش می‌دهیم.

استوانه چیست؟

استوانه یک شکل هندسی سه‌بعدی است که از دو وجه مسطح دایره‌ای و یک وجه منحنی‌شکل ساخته شده است. به دو وجه مسطح استوانه که با هم موازی‌اند، قاعده و به فاصله عمودی بین دو قاعده، ارتفاع می‌گویند. خطی که از مرکز استوانه می‌گذرد و مرکز دو قاعده را به هم وصل می‌کند، محور استوانه نام دارد. 

همان‌طور که در تصویر بالا مشاهده می‌کنید، سطح یک استوانه از دو دایره و یک مستطیل تشکیل شده است. درواقع، سطح منحنی استوانه که به آن سطح جانبی هم می‌گویند یک مستطیل تاشده است. استوانه به‌عنوان یک شکل هندسی، دارای چند ویژگی است که در ادامه به آن‌ها اشاره می‌کنیم:

انواع استوانه

استوانه‌ها از نظر ظاهری انواع مختلفی دارند:

حجم استوانه چیست؟

حجم استوانه برابر است با مقدار فضای اشغال‌شده توسط آن. مقدار حجم استوانه را برحسب مکعب مانند میلی‌متر مکعب، سانتی‌متر مکعب و مانند آن بیان می‌کنند. برای محاسبه حجم یک استوانه، کافی‌ست مساحت قاعده را به‌دست آورید و حاصل آن را در مقدار ارتفاع ضرب کنید. به‌طور کلی، مقدار حجم استوانه از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

مساحت قاعده = حجم استوانه x ارتفاع

قاعده استوانه به‌شکل دایره است و مساحت آن را باید از فرمول مساحت دایره محاسبه کرد. مقدار ارتفاع نیز برابر با فاصله عمودی دو قاعده است. بنابراین، فرمول جبری حجم استوانه را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

V=πr²h

نکته: حجم استوانه مایل نیز از همین فرمول به‌دست می‌آید.

مثال: حجم استوانه زیر را تعیین کنید. 

جواب: ابتدا مساحت قاعده را حساب می‌کنیم. کافی‌ست مقدار شعاع را که برابر با ۸ سانتی‌متر است در فرمول مساحت دایره قرار دهیم.

مساحت قاعده =πr^۲h=۳.۱۴ × ۸^۲=۳.۱۴ × ۶۴ =۲۰۰.۹۶ cm^۲

حالا مقدار مساحت قاعده را در ارتفاع ضرب می‌کنیم تا حجم استوانه داده‌شده به‌دست آید.

v =πr^۲h=۲۰۰.۹۶ × ۱۵ = ۳۰۱۴.۴ cm^۳

حجم استوانه توخالی

همان‌طور که گفتیم، استوانه توخالی شامل دو استوانه است که یکی از آن‌ها درون دیگری قرار گرفته است. بنابراین، فضای درون این نوع استوانه خالی است و به همین دلیل به آن استوانه توخالی می‌گویند. حجم استوانه توخالی برابر با فضای اشغال‌شده توسط آن است و از اختلاف حجم استوانه بیرونی و استوانه داخلی محاسبه می‌شود. به‌عبارت دیگر، فضای بین استوانه بیرونی و درونی، حجم استوانه توخالی را مشخص می‌کند.

فرمولی که در بخش قبلی معرفی کردیم، برای محاسبه حجم استوانه توپر بود، اما حالا باید ببینیم فرمول حجم استوانه توخالی چگونه است. برای تعیین حجم استوانه توخالی باید حجم دو استوانه خارجی و داخلی را از هم کم کنیم تا حجم فضای بین دو استوانه یا به‌عبارتی، حجم استوانه توخالی به‌دست آید.

دقت داشته باشید که ارتفاع دو استوانه داخلی و خارجی یکسان و با هم برابرند.

مثال: حجم استوانه زیر را محاسبه کنید.

جواب: استوانه داده‌شده یک استوانه توخالی با ارتفاع و شعاع‌های مشخص است. بنابراین، برای محاسبه حجم آن کافی‌ست مقادیر معلوم را در فرمول حجم استوانه توخالی جای‌گذاری کنیم.

مثال هایی از محاسبه حجم استوانه

در این بخش، برای یادگیری عمیق‌تر چند مثال از حجم استوانه کلاس هفتم را با هم حل می‌کنیم.

مثال ۱: حجم یک مخزن استوانه‌ای ۳۱۴ متر مکعب و شعاع آن ۵ متر است. ارتفاع این مخزن چند متر است؟

جواب: مقادیر داده‌شده را به‌صورت زیر در فرمول حجم استوانه جای‌گذاری می‌کنیم:

ارتفاع مخزن استوانه‌ای ۴ متر است.
مثال ۲: حجم استوانه زیر را محاسبه کنید.

جواب: این استوانه یک استوانه مایل است و مانند استوانه قائم حجم آن از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

جواب: قسمت رنگ‌شده فضای بین دو استوانه را نشان می‌دهد. پس برای محاسبه حجم آن باید از فرمول حجم استوانه توخالی استفاده کنیم.

• r: 2
• R: 3
• h: 10

مثال ۴: یک‌سوم یک مخزن استوانه‌ای را پر از آب کرده‌ایم. اگر قطر قاعده مخزن ۲ متر و ارتفاع آن ۳ متر باشد، حجم آب داخل این مخزن چند لیتر است؟
جواب: ابتدا حجم مخزن را که به‌شکل استوانه است، به‌دست می‌آوریم. توجه داشته باشید که در صورت سؤال، قطر مخزن داده شده است که با تقسیم کردن آن بر دو مقدار شعاع برابر با یک خواهد بود.

همان‌طور که در مسئله بیان شده، یک‌سوم مخزن از آب پر شده است. بنابراین، برای محاسبه حجم آب داخل مخزن، باید مقدار حجم مخزن استوانه‌ای را تقسیم بر سه کنیم.

پس حجم آب داخل مخزن ۳/۱۴ متر مکعب است. حالا باید جواب را برحسب لیتر به‌دست آوریم. می‌دانیم که هر متر مکعب برابر با ۱۰۰۰ لیتر است. بنابراین، برای اینکه حجم آب برحسب متر مکعب را به لیتر تبدیل کنیم، باید مقدار حاصل را ضربدر ۱۰۰۰ کنیم.

لیتر برحسب آب حجم= ۳.۱۴ × ۱۰۰۰ =لیتر بر حسب آب حجم

سخن پایانی

استوانه یک شکل سه‌بعدی است که از دو وجه دایره‌ای و یک وجه منحنی‌شکل ساخته شده است. وجوه دایره‌ای را قاعده و وجه منحنی‌شکل را سطح جانبی استوانه می‌گویند. این شکل هندسی مانند سایر اشکال سه‌بعدی دارای حجم است و مقداری از فضا را اشغال می‌کند. برای محاسبه حجم استوانه باید به نوع آن توجه کرد، یعنی باید دید استوانه موردنظر توپر است یا توخالی، زیرا برای محاسبه حجم استوانه توپر و توخالی فرمول‌های متفاوتی به‌کار می‌رود که در این مقاله با حل مثال به آن‌ها پرداختیم.

سؤالات متداول

1. استوانه چیست؟
   استوانه یک شکل سه‌بعدی است که از دو وجه دایره‌ای و یک وجه منحنی‌شکل تشکیل شده است.
2. حجم استوانه چیست؟
   حجم استوانه مقدار فضایی است که توسط آن اشغال شده است.
3. فرمول حجم استوانه توپر چیست؟
   حجم استوانه توپر از فرمول مساحت قاعده ضربدر ارتفاع محاسبه می‌شود.
4. فرمول حجم استوانه توخالی چیست؟
   حجم استوانه توخالی برابر است با اختلاف حجم استوانه خارجی و داخلی.