حجم مکعب مربع و مکعب مستطیل چگونه محاسبه می‌شود؟

احتمالا تابه‌حال با مکعب روبیک بازی کرده‌اید یا حداقل با آن آشنایی دارید. این مکعب شش وجه رنگی دارد و از مکعب‌های مربع‌شکل کوچک‌تری ساخته شده است. هر کدام از این مکعب‌های کوچک و درنتیجه مکعب بزرگ فضایی را اشغال می‌کنند و دارای حجم هستند. شاید بپرسید مکعب چیست و حجم مکعب چگونه به‌دست می‌آید؟ با این آموزش همراه باشید تا علاوه‌بر پاسخ به این پرسش، شما را با روش محاسبه حجم مکعب مستطیل و فرمول حجم مکعب مربع آشنا کنیم.

پیشنهاد مطالعه: فرمول محیط و مساحت و حجم اشکال هندسی

مکعب چیست؟

«مکعب» (Cube) یا مکعب مربع یک شکل هندسی سه‌بعدی است که ۶ وجه مربع‌شکل و هم‌اندازه، ۸ رأس و ۱۲ یال (یا لبه) دارد. محل برخورد دو وجه را یال می‌گویند. این حجم هندسی ویژگی‌های دیگری هم دارد که عبارت‌اند از:

• رأس‌های مکعب محل برخورد ۳ وجه و ۳ یال هستند.
• وجه‌های مکعب با هم زاویه ۹۰ درجه می‌سازند، یعنی بر هم عمودند.
• وجه‌ها و یال‌های مقابل با یکدیگر موازی‌اند.
• هر وجه از طریق یال‌ها (اضلاع) به ۴ وجه دیگر متصل است.
• مکعب علاوه‌بر طول و عرض، ارتفاع نیز دارد. به‌همین‌دلیل یک شکل هندسی سه‌بعدی محسوب می‌شود.

همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، با استفاده از الگوی نشان‌داده‌شده می‌توانید یک مکعب مربع بسازید. کافی‌ست الگو را روی کاغذ یا مقوا رسم کنید و دور تا دور آن را مانند شکل برش دهید. سپس کاغذ یا مقوا را از قسمت یال‌ها (اضلاع مربع) تا کنید تا ۶ وجه مکعب کنار هم قرار گیرند. حالا لبه‌ها را به هم بچسبانید تا مکعب موردنظر ساخته شود.

حجم مکعب چیست؟

به فضای اشغال‌شده توسط یک مکعب، حجم مکعب می‌گویند. درواقع، حجم مکعب برابر با مجموع حجم مکعب‌های واحدی است که درون آن جای می‌گیرند. برای مثال، اگر ۸ مکعب مربع به‌ضلع یک سانتی‌متر مانند شکل زیر درون مکعب موردنظر جا شود، حجم مکعب مربع، ۸ سانتی‌متر مکعب خواهد بود. در ادامه، راجع‌به واحد اندازه‌گیری مکعب بیشتر توضیح خواهیم داد.

فرمول حجم مکعب

حجم یک مکعب با طول، عرض و ارتفاع مشخص از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

ارتفاع × عرض × طول = حجم مکعب

همان‌طور که گفتیم، مکعب از ۶ وجه مربعی هم‌اندازه تشکیل شده است، بنابراین، طول، عرض و ارتفاع مکعب مربع یکسان و مساوی با اندازه یکی از یال‌ها یعنی اندازه ضلع مربع خواهد بود. درنتیجه، فرمول حجم مکعب مربع برابر است با:

ضلع × ضلع × ضلع = حجم مکعب

چون اندازه ضلع سه بار در خودش ضرب شده است، واحد اندازه‌گیری آن‌ها هم سه بار در هم ضرب خواهند شد. به‌عنوان مثال، اگر اندازه یک ضلع مکعب ۵ سانتی‌متر باشد، حجم آن به‌صورت زیر خواهد بود:

۱۲۵ سانتی‌متر مکعب = ۵ سانتی‌متر × ۵ سانتی‌متر × ۵ سانتی‌متر = حجم مکعب

نکته: همان‌طور که در محاسبه مساحت، واحدهای اندازه‌گیری دو بار در هم ضرب می‌شدند و واحد اندازه‌گیری مساحت را برحسب مربع می‌نوشتیم مانند سانتی‌متر مربع و متر مربع، واحد اندازه‌گیری حجم را هم به‌دلیل اینکه واحدهای اندازه‌گیری سه بار در هم ضرب می‌شوند، برحسب مکعب می‌نویسیم مانند سانتی‌متر مکعب و متر مکعب.

نمونه سؤال حجم مکعب مربع کلاس پنجم

مثال ۱: اندازه ضلع یک تاس ۱/۲ سانتی‌متر است. حجم آن را حساب کنید.
جواب: تاس به‌شکل مکعب است. پس حجم آن به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

ضلع × ضلع × ضلع = حجم تاس
۱/۷۲۸ سانتی‌متر مکعب = ۱/۲ × ۱/۲ × ۱/۲ = حجم تاس

مثال ۲: حجم جعبه کادویی مکعبی‌شکل زیر را تعیین کنید.

ضلع × ضلع × ضلع = حجم جعبه

نمونه سؤال حجم مکعب مربع کلاس ششم

حجم مکعب روبیک زیر را محاسبه کنید:

جواب: مکعب روبیک از ۲۷ مکعب کوچک ساخته شده است. همان‌طور که می‌بینید در شکل بالا فقط اندازه ضلع یکی از این مکعب‌های کوچک داده شده است. پس برای محاسبه حجم مکعب روبیک کافی‌ست حجم مکعب کوچک را به‌دست آورده و مقدار آن را در ۲۷ ضرب کنیم.

ضلع × ضلع × ضلع = حجم مکعب

حجم مکعب کوچک × ۲۷ = حجم مکعب روبیک
۱۵۷/۴۶۴ سانتی‌متر مکعب = ۵/۸۳۲ × ۲۷ = حجم مکعب روبیک

محاسبه حجم مکعب به لیتر

یک مخزن مکعبی به‌طول ۲ متر را پر از آب کرده‌ایم. چند لیتر آب داخل این مخزن ذخیره شده است؟

جواب: حجم آب برابر با حجم مخزن مکعبی‌شکل است. بنابراین، مقدار طول مخزن را در فرمول حجم مکعب قرار می‌دهیم تا حجم آب به‌دست آید:

ضلع × ضلع × ضلع = حجم آب مخزن
۸ متر مکعب = ۲ × ۲ × ۲ = حجم آب مخزن

در صورت مسئله، حجم آب برحسب لیتر خواسته شده است و باید متر مکعب را به لیتر تبدیل کنیم. هر متر مکعب برابر با ۱۰۰۰ لیتر است. پس باید مقدار به‌دست‌آمده را در ۱۰۰۰ ضرب کنیم تا حجم آب به لیتر تبدیل شود.

۱۰۰۰ لیتر = یک متر مکعب
۸۰۰۰ لیتر = ۱۰۰۰ × ۸ متر مکعب = حجم آب مخزن برحسب لیتر

حجم آب داخل مخزن ۸۰۰۰ لیتر است.

فرمول حجم مکعب مربع به‌صورت جبری

فرمول حجم مکعب برحسب نمادهای ریاضی به‌شکل زیر نوشته می‌شود:

V= a × a × a = a^۳

• V: حجم مکعب
• a: اندازه ضلع مربع (یال)

مثال: حجم یک مکعب ۲۷ سانتی‌متر مکعب است. اندازه یال آن را حساب کنید.

مقدار حجم را در فرمول بالا قرار می‌دهیم تا اندازه یال مکعب به‌دست آید:

V = a^۳
۲۷ = a^۳

عدد ۲۷ را می‌توان به‌شکل ۳ به‌توان ۳ نوشت:

۳^۳ = a^۳ → a = ۳

پس، اندازه یال مکعبی با حجم ۲۷ متر مکعب برابر با ۳ سانتی‌متر است.

مکعب مستطیل چیست؟

مکعب مستطیل یک شکل هندسی سه‌بعدی است که تمام ویژگی‌هایی که برای مکعب بیان کردیم را دارد. تنها تفاوت مکعب مستطیل با مکعب مربع این است که ۶ وجه آن مستطیل‌شکل هستند و اندازه طول و عرض و ارتفاعش با یکدیگر متفاوت‌اند.

نکته: مکعب حالت خاصی از مکعب مستطیل است که طول، عرض و ارتفاع آن با هم برابرند.

اگر علاقه‌مند به ساخت مکعب مستطیل هستید، می‌توانید با استفاده از الگوی زیر، مراحلی که برای ساخت مکعب هم بیان کردیم را با کاغذ یا مقوا انجام دهید. در این الگو، وجه‌هایی که مقابل هم قرار می‌گیرند، با رنگ یکسانی نشان داده شده‌اند.

حجم مکعب مستطیل چیست؟

به فضای اشغال‌شده در مکعب مستطیل، حجم مکعب مستطیل می‌گویند. همان‌طور که در شکل زیر هم مشاهده می‌کنید، می‌توان گفت یک مکعب مستطیل از مکعب‌های واحدی به‌طول یک سانتی‌متر ساخته شده است. بنابراین، مجموع حجم این مکعب‌ها برابر است با حجم مکعب مستطیل. 

فرمول حجم مکعب مستطیل

حجم مکعب مستطیل با طول، عرض و ارتفاع مشخص از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

ارتفاع × عرض × طول = حجم مکعب مستطیل

نمونه سؤال حجم مکعب مستطیل کلاس پنجم

مثال ۱: حجم جعبه دستمال‌کاغذی در شکل زیر چقدر است؟

جواب: جعبه دستمال‌کاغذی به‌شکل مکعب مستطیل است. پس مقدار حجم آن برابر است با:

ارتفاع × عرض × طول = حجم جعبه دستمال‌کاغذی
۸۸۰ سانتی‌متر مکعب = ۵ × ۸ × ۲۲ = حجم جعبه دستمال‌کاغذی

مثال ۲: حجم شکل زیر را به‌دست آورید.

جواب: شکل بالا مکعب مستطیلی را نشان می‌دهد که مقداری از فضای داخل آن توخالی است. پس برای اینکه حجم این شکل سه‌بعدی را به‌دست آوریم، باید حجم قسمت توخالی را از حجم مکعب مستطیل کم کنیم.

ارتفاع × عرض × طول = حجم مکعب مستطیل
۸۴ = ۲ × ۶ × ۷ = حجم مکعب مستطیل

نکته: ارتفاع مکعب مستطیل و قسمت توخالی یکسان است.

ارتفاع × عرض × طول = حجم قسمت توخالی
۲۴ = ۲ × ۳ × ۴ = حجم قسمت توخالی

حالا حجم قسمت توخالی را از حجم مکعب مستطیل کم می‌کنیم تا حجم شکل داده‌شده به‌دست آید:

حجم قسمت توخالی – حجم مکعب مستطیل = حجم شکل
۶۰ = ۲۴ – ۸۴ = حجم شکل

نمونه سؤال حجم مکعب مستطیل کلاس ششم

مثال ۱: حجم شیر داخل پاکت را در شکل زیر محاسبه کنید.

جواب: حجم شیر داخل پاکت برابر با حجم پاکت است. نکته‌ای که در این سؤال باید توجه داشته باشید این است که واحد اندازه‌گیری عرض با واحد اندازه‌گیری طول و ارتفاع یکسان نیست. درصورتی که برای محاسبه حجم باید واحد اندازه‌گیری هر سه آن‌ها یکسان باشد. بنابراین، ابتدا باید مقدار عرض را که برحسب میلی‌متر است به سانتی‌متر تبدیل کنیم.

هر ۱۰ میلی‌متر برابر با یک سانتی‌متر است. پس مقدار عرض پاکت که ۴۰ میلی‌متر است مساوی با ۴ سانتی‌متر خواهد بود. حالا با جای‌گذاری مقدار طول، عرض و ارتفاع به‌راحتی می‌توان حجم پاکت و درنتیجه حجم شیر داخل آن را به‌دست آورد.

ارتفاع × عرض × طول = حجم شیر
۲۰۰ سانتی‌متر مکعب = ۱۰ × ۴ × ۵ = حجم شیر

مثال ۲: حجم شکل زیر را تعیین کنید.

جواب: برای تعیین حجم شکل بالا، باید جداگانه حجم جعبه کبریت و کتاب را محاسبه کرده و سپس، حجم هر دوی آن‌ها را با هم جمع کنیم.

ارتفاع × عرض × طول = حجم کتاب

$$\frac{۱۶}{۳}\times <!--\; \times \; -->\frac{۹}{۲}\times <!--\; \times \; -->\frac{۳}{۲}=\frac{۴۳۲}{۱۲}=۳۶$$

ارتفاع × عرض × طول = حجم جعبه کبریت

$$\frac{۵}{۲}\times <!--\; \times \; -->\frac{۴}{۳}\times <!--\; \times \; -->\frac{۱}{۲}=\frac{۲۰}{۱۲}=۱/۶$$

حجم جعبه کبریت + حجم کتاب = حجم شکل
۳۷/۶۶ = ۱/۶۶ + ۳۶ = حجم شکل

فرمول حجم مکعب مستطیل به صورت جبری

فرمول حجم مکعب مستطیل به‌صورت جبری برابر است با:

V = lwh

• V: حجم مکعب مستطیل
• l: طول مکعب مستطیل
• w: عرض مکعب مستطیل
• h: ارتفاع مکعب مستطیل

مثال: حجم یک مکعب مستطیل ۱۶۸ متر مکعب است. اگر طول آن ۸ متر و عرض آن ۷ متر باشد، ارتفاع آن را بیابید.

جواب: مقادیر داده‌شده را در فرمول جبری قرار می‌دهیم:

V = lwh
۱۶۸ = ۸ × ۷ × h
۱۶۸ = ۵۶ × h → h = ۳

ارتفاع مکعب مستطیل ۳ متر است.

سخن پایانی

مکعب یک شکل هندسی سه‌بعدی با ۶ وجه، ۸ رأس و ۱۲ یال است. ازآنجا که تمام وجه‌ها یکسان و مربع‌شکل هستند، حجم یک مکعب یا به‌عبارتی، فضای اشغال‌شده توسط آن از فرمول «ضلع × ضلع × ضلع» به‌دست می‌آید. مکعب مستطیل نیز ازنظر ظاهری تقریباً شبیه مکعب است، با این تفاوت که وجه‌های آن مستطیل‌شکل‌اند و طول، عرض و ارتفاعش با هم برابر نیستند. درواقع، می‌توان گفت که مکعب حالت خاصی از مکعب مستطیل است که طول، عرض و ارتفاع یکسانی دارد. حجم اشغال‌شده توسط مکعب مستطیل از رابطه «ارتفاع × عرض × طول» به‌دست می‌آید و واحد اندازه‌گیری آن مانند حجم مربع برحسب مکعب است مانند متر مکعب.

سؤالات متداول

1. مکعب چیست؟
   یک شکل هندسی سه‌بعدی است که ۶ وجه مربعی‌شکل، ۸ رأس و ۱۲ یال دارد.
2. حجم مکعب چیست؟
   فضای اشغال‌شده توسط مکعب را حجم مکعب می‌گویند.
3. فرمول حجم مکعب چیست؟
   فرمول حجم مکعب «ضلع × ضلع × ضلع» است.
4. فرمول حجم مکعب به‌صورت جبری کدام است؟
   فرمول حجم مکعب به‌صورت جبری به‌صورت «V = a۳» است (a اندازه ضلع مکعب است).
5. چگونه متر مکعب را به لیتر تبدیل کنیم؟
   هر متر مکعب برابر با ۱۰۰۰ لیتر است. برای تبدیل متر مکعب به لیتر کافی‌ست مقدار حجم برحسب متر مکعب را در ۱۰۰۰ ضرب کنیم.
6. مکعب مستطیل چیست؟
   مکعب مستطیل مانند مکعب یک شکل هندسی سه‌بعدی است که ۶ وجه آن مستطیل‌شکل است و اندازه طول، عرض و ارتفاعش با هم متفاوت است. علاوه‌براین، مکعب مستطیل ۸ رأس و ۱۲ یال نیز دارد.
7. حجم مکعب مستطیل چیست؟
   به فضای اشغال‌شده توسط مکعب مستطیل حجم مکعب مستطیل می‌گویند.
8. فرمول حجم مکعب مستطیل چیست؟
   فرمول حجم مکعب مستطیل «ارتفاع × عرض × طول» است.