کلمه متوالی به معنای دنبال هم آمدن یکی پس از دیگری است. طبق این تعریف، اعداد متوالی به اعدادی گفته می‌شود که به‌ترتیب دنبال هم میآیند و پشت سر هم قرار می‌گیرند، مانند اعداد ۱، ۲، ۳، ۴ و غیره. در ادامه این مقاله بیشتر درمورد اعداد متوالی صحبت خواهیم کرد و فرمول تعیین اعداد متوالی زوج و فرد را ارائه خواهیم داد.
اعداد متوالی چه اعدادی هستند؟
اعداد متوالی در ریاضی اعدادی هستند که به‌ترتیب شمارش یا از کوچک به بزرگ پشت سر هم میآیند. به‌عبارت دیگر، اعدادی که بین آنها اختلاف یکسانی وجود دارد، به‌عنوان اعداد متوالی شناحته می‌شوند. برای مثال، در مجموعه اعداد طبیعی، اعداد ۱، ۲، ۳، ۴ و غیره اعداد متوالی هستند، زیرا هم ترتیب کوچک به بزرگ در آنها رعایت شده است و هم اختلاف هر عدد با عدد قبل و بعد از خودش یکسان و برابر با یک است.
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیه‌های مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر می‌شود!
فرمول اعداد متوالی چیست؟
عدد قبل و عدد بعد از یک عدد مشخص، به ما کمک می‌کند تا اعدادی را که یکی پس از دیگری میآیند، درک کنیم. به‌عنوان مثال، در اعداد طبیعی یعنی ۱، ۲، ۳، ۴ و غیره، عدد بعدی هر عددی، عددی است که یک واحد بزرگ‌تر از عدد قبلی خود است. مثلاً اگر عدد ۳ را در نظر بگیریم، خواهیم داشت:
۳- ۲ = ۱
۴ – ۳ = ۱
همان‌طور که می‌بینید، اختلاف عدد ۳ و عدد بعد از آن (۴) با اختلاف عدد ۳ و عدد قبل از آن (۲) با هم برابر است.
به‌طور کلی، اگر n یک عدد صحیح باشد، آنگاه عدد بعد از آن n+۱ و عدد قبل از آن n-۱ خواهد بود. بنابراین، مجموعه اعداد متوالی به‌صورت زیر نمایش داده خواهد شد:
…, n-۳, n-۲, n-۱, n, n+۱, n+۲, n+۳,…
در بخش‌های بعدی فرمول تعیین تعداد و جمع اعداد متوالی را معرفی خواهیم کرد.
فرمول اعداد زوج متوالی
اعداد زوج اعدادی هستند که بر ۲ بخش‌پذیرند. برای مثال، اعداد صحیح زوج ۲- تا ۱۰ عبارت‌اند از:
-۲ , ۰ , ۲ , ۴ , ۶ , ۸, ۱۰
این اعداد زوج، متوالی هستند زیرا اختلاف هر دو عدد زوج متوالی یکسان و برابر با ۲ است. با توجه به این توضیحات، اگر n یک عدد صحیح باشد، فرمول تعیین عدد صحیح زوج متوالی مساوی با n۲ است. درنتیجه، مجموعه اعداد زوج متوالی از الگوی زیر پیروی می‌کنند:
…,۲n-۴ , ۲n-۲ , ۲n , ۲n+۲ , ۲n+۴,…
فرمول اعداد فرد متوالی
اعداد فرد به اعدادی گفته می‌شود که بر ۲ بخش‌پذیر نیستند. به‌عنوان مثال، اعداد فرد ۵- تا ۳ به‌صورت زیر است:
-۵, -۳, -۱, ۱, ۳
ازآنجا که اختلاف هر دو عدد فرد مجاور مساوی با ۲ است، این اعداد متوالی محسوب می‌شوند. اگر n یک عدد صحیح باشد، فرمول کلی برای یافتن عدد صحیح فرد متوالی به‌صورت ۲n+۱ خواهد بود. بنابراین، مجموعه اعداد فرد متوالی به‌صورت زیر نوشته می‌شود:
…,۲n-۳, ۲n-۱, ۲n+۱, ۲n+۳,…
فرمول تعداد اعداد متوالی
تعداد اعداد متوالی را می‌توان از فرمول زیر محاسبه کرد:
مثلاْ اگر بخواهیم تعداد اعداد متوالی صحیح از ۳۵ تا ۵۶ را محاسبه کنیم، به‌گونه‌ای که فاصله اعداد از هم برابر با ۳ باشد، خواهیم داشت:
بزرگ‌ترین عدد: ۵۶
کوچک‌ترین عدد: ۳۵
فاصله اعداد: ۳
تعداد اعداد متوالی از ۳۵ تا ۵۶ با فاصله ۳ برابر با ۸ است. این اعداد عبارت‌اند از:
۳۵, ۳۸, ۴۱, ۴۴, ۴۷, ۵۰, ۵۳, ۵۶
فرمول تعداد اعداد زوج متوالی
با توجه به اینکه اختلاف یا فاصله دو عدد زوج متوالی مساوی با ۲ است، تعداد اعداد زوج متوالی را می‌توانیم با کمک فرمولی که در بخش قبل معرفی کردیم به‌دست آوریم. تنها تفاوتی که در اینجا خواهیم داشت این است که به‌جای فاصله اعداد عدد ۲ را قرار می‌دهیم.
مثال: تعداد اعداد زوج متوالی صحیح از ۲۴ تا ۳۶ را حساب کنید.
بزرگ‌ترین عدد: ۳۶
کوچک‌ترین عدد: ۲۴
این اعداد شامل موارد زیر است:
۲۴, ۲۶, ۲۸, ۳۰, ۳۲, ۳۴, ۳۶
فرمول تعداد اعداد فرد متوالی
اختلاف دو عدد فرد متوالی برابر با ۲ است. بنابراین فرمول محاسبه تعداد اعداد فرد متوالی مانند فرمول تعداد اعداد زوج متوالی خواهد بود:
مثال: چند عدد فرد متوالی از ۶۷ تا ۹۳ وجود دارد؟
بزرگ‌ترین عدد: ۹۳
کوچک‌ترین عدد: ۶۷
فرمول جمع اعداد متوالی با فاصله منظم
برای یافتن مجموع اعداد متوالی با فاصله منظم از یک فرمول ساده استفاده می‌شود. این فرمول به‌صورت زیر است:
مثال: مجموع اعداد صحیح متوالی از ۲۰ تا ۱۰۰ را حساب کنید.جواب: طبق فرمول بالا، برای محاسبه جمع اعداد متوالی باید کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عدد و تعداد اعداد را مشخص کرده و در فرمول جای‌گذاری کنیم. بزرگ‌ترین عدد از ۲۰ تا ۱۰۰ برابر با ۱۰۰ و کوچک‌ترین عدد ۲۰ است. تعداد اعداد متوالی ۲۰ تا ۱۰۰ نیز از فرمول زیر محاسبه می‌شود:
اکنون مقادیر معلوم را در فرمول مجموع اعداد متوالی جای‌گذاری می‌کنیم.
بزرگ‌ترین عدد: ۱۰۰
کوچک‌ترین عدد: ۲۰
کوچک‌ترین عدد: ۲۰
پس مجموع اعداد صحیح متوالی ۲۰ تا ۱۰۰ مساوی با ۴۸۶۰ است.
فرمول جمع اعداد متوالی زوج
مجموع اعداد متوالی زوج از همان فرمول مجموع اعداد متوالی به‌دست می‌آید، با این تفاوت که بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عدد باید زوج باشند.
مثال: مجموع اعداد متوالی زوج از ۲۷ تا ۴۰ را به‌دست آورید.
ابتدا تعداد اعداد زوج را با استفاده از فرمول تعداد اعداد زوج متوالی محاسبه می‌کنیم.
بزرگ‌ترین عدد زوج از ۲۷ تا ۴۰ عدد ۴۰ است اما کوچک‌ترین عدد زوج در این بازه ۲۸ خواهد بود زیرا عدد ۲۷ عددی فرد است و باید عدد بعد از آن یعنی ۲۸ را به‌عنوان کوچک‌ترین عدد زوج در نظر بگیریم. بنابراین، داریم:
اکنون تعداد اعداد زوج را در فرمول جمع اعداد متوالی زوج جای‌گذاری می‌کنیم:
مجموع اعداد زوج متوالی از ۲۷ تا ۴۰ برابر با ۲۳۸ است.
فرمول جمع اعداد متوالی فرد
فرمول جمع اعداد متوالی فرد نیز تقریباً مشابه فرمول مجموع اعداد متوالی زوج است.
مثال: مجموع اعداد فرد متوالی از ۱۹ تا ۳۴ چقدر است؟
نخست تعداد اعداد فرد را با استفاده از فرمول زیر به‌دست می‌آوریم.
کوچک‌ترین عدد فرد در بازه داده‌شده ۱۹ و بزرگ‌ترین عدد فرد نیز ۳۳ است. این اعداد را جای‌گذاری می‌کنیم تا تعداد اعداد فرد متوالی تعیین شود:
بنابراین مجموع اعداد متوالی فرد از ۱۹ تا ۳۴ برابر است با
فرمول جمع اعداد متوالی مثبت و منفی
برای اینکه با نحوه محاسبه جمع اعداد متوالی مثبت و منفی آشنا شوید، با یک مثال شروع می‌کنیم. فرض کنید می‌خواهیم یک‌سری اعداد زوج متوالی را که یکی در میان مثبت و منفی هستند با هم جمع کنیم.
۲ -۴+ ۶-۸+۱۰+…+۲۲-۲۴
برای جمع کردن چنین اعدادی آنها را مانند شکل زیر به‌صورت جفتی کنار هم در نظر می‌گیریم. همان‌طور که مشاهده می‌کنید مجموع هر جفت عدد مثبت و منفی برابر با ۲- است.
حالا باید تعداد جفت‌ها را با استفاده از فرمول تعداد اعداد متوالی به‌دست آوریم.
برای محاسبه تعداد جفت‌ها می‌توانیم کوچک‌ترن و بزرگ‌ترین عدد مثبت را در نظر بگیریم. کوچک‌ترین عدد مثبت، ۲ و بزرگ‌ترین عدد مثبت، ۲۲ است. برای فاصله اعداد نیز فاصله اعداد مثبت را در نظر می‌گیریم. فاصله هر دو عدد مثبت برابر با ۴ (۴ =۲-۶) است. خواهیم داشت:
با توجه به اینکه مجموع یک جفت عدد مثبت و منفی برابر با ۲- و تعداد جفت‌ها نیز برابر با ۶ است مجموع اعداد متوالی داده‌شده مساوی است با
۱۲- =( ۲- ) × ۶ = مجموع اعداد متوالی
ویژگی های اعداد متوالی
ویژگی‌های اعداد متوالی شامل موارد زیر است:
- اختلاف هر دو عدد متوالی در مجموعه اعداد متوالی برابر با مقداری ثابت است که ممکن است برابر با یک یا بزرگ‌تر از آن باشد.
- اختلاف دو عدد زوج متوالی و دو عدد فرد متوالی مساوی با ۲ است.
۱۸ – ۱۶ = ۲
۲۱ – ۱۹ = ۲
- اگر n یک عدد فرد باشد آنگاه مجموع n عدد متوالی بر n بخش‌پذیر خواهد بود. برای مثال، مجموع ۳ عدد متوالی ۹=۴+۳+۲ بر ۳ بخش‌پذیر است.
- حاصل‌ضرب سه عدد صحیح متوالی همواره بر ۶ بخش‌پذیر است.
۲ × ۳× ۴ =۲۴
۸ × ۹ × ۱۰ = ۷۲۰
نمونه سؤال اعداد متوالی با جواب
در این بخش، مثال‌هایی از اعداد متوالی ریاضی متوسطه اول را حل می‌کنیم تا با نمونه سؤال‌های این مبحث بیشتر آشنا شوید.
سؤال ۱: مجموع سه عدد زوج متوالی ۲۷۰ می باشد آن سه عدد کدامند؟
سه عدد زوج متوالی را می‌توان به‌صورت زیر نشان داد:
۲n, ۲n+۲, ۲n+۴
طبق صورت سؤال باید مجموع این سه عدد زوج متوالی برابر با ۲۷۰ باشد. پس خواهیم داشت:
۲n+۲n+۲+۲n+۴=۲۷۰
۶n+۶=۲۷۰|
۶n=۲۶۴
n=۴۴
حالا که n به‌دست آمد، به‌راحتی می‌توانیم ۳ عدد زوج را تعیین کنیم.
۲n = ۲ × ۴۴ = ۸۸
۲n + ۲ = ۸۸ + ۲ = ۹۰
۲n + ۴ = ۸۸ + ۴ = ۹۲
۸۸ + ۹۰ + ۹۲ = ۲۷۰
سؤال ۲: مجموع سه عدد متوالی ۲۴ است. آن سه عدد را به‌دست آورید.
سه عدد متوالی را به‌صورت n, n+۱, n+۲ در نظر می‌گیریم و مجموع آنها را به‌صورت زیر می‌نویسیم:
n+n+۱+n+۲=۲۴
۳n+۳=۲۴
۳n=۲۱
n=۷
با مشخص شدن n اکنون می‌توانیم سه عدد متوالی را به‌دست آوریم.
n=۷, n+۱=۸, n+۲=۹
سؤال ۳: دو عدد فرد متوالی را بیابید که مجموع آنها ۹۲ است.
می‌دانیم که فاصله دو عدد فرد متوالی برابر با ۲ است. بنابراین، دو عدد فرد را n و n+۲ در نظر می‌گیریم.
n+n+۲=۹۲
۲n+۲=۹۲
۲n=۹۰
n=۴۵
دو عدد فرد متوالی n=۴۵ و n+۲=۴۷ هستند.
سؤال ۴: حاصلجمع دو عدد متوالی که اختلاف آنها ۵ است برابر با ۲۵ است. این دو عدد را به‌دست آورید.
دو عدد متوالی که فاصله آنها برابر با ۵ است را به‌صورت n و n+۵ نمایش می‌دهیم. بنابراین، داریم:
n+n+۵=۲۵
۲n+۵=۲۵
۲n=۲۰
n=۱۰
دو عدد متوالی موردنظر n=۱۰ و n+۵=۱۵ است.
سخن پایانی
در این مطلب، اعداد متوالی را آموزش دیدیم و توضیح دادیم که اعداد متوالی اعداد صحیحی هستند که پشت سر هم میآیند و با عدد قبل و بعد از خود فاصله یکسانی دارند. همچنین، فرمول تعداد و جمع اعداد متوالی زوج و فرد را معرفی کردیم و گفتیم که فاصله این اعداد با اعداد قبل و بعد از خودشان برابر با دو است. اعداد زوج را با ۲n و اعداد فرد را با ۲n+۱ نشان می‌دهند که در آن n یک عدد صحیح است. پیشنهاد می‌کنیم برای تسلط بهتر بر مطالب مربوط به اعداد متوالی، مسائل گوناگون و بیشتری حل کنید تا هم با سؤال‌های مختلف آشنا شوید و هم این مبحث را عمیق‌تر فراگیرید.
سؤالات متداول
- اعداد متوالی چیست؟
اعداد متوالی به اعدادی میگویند که با فاصله یکسان بهدنبال یکدیگر میآیند. - چهار عدد فرد متوالی را نام ببرید.
۱۱, ۱۳, ۱۵, ۱۷چهار عدد فرد متوالی هستند. - حاصلجمع دو عدد متوالی چیست؟
اگر n و n+۱ دو عدد متوالی باشند، آنگاه حاصلجمع آنها مساوی با ۲n+۱ خواهد بود. - چگونه اعداد متوالی را تشخیص دهیم؟
اگر تمام اعداد موردنظر در یک مجموعه، فاصله یکسانی با اعداد مجاور خود داشته باشند، آنگاه آن اعداد متوالی خواهند بود.
