مساحت لوزی همراه با روش های محاسبه و حل مثال

بادبادک‌‌هایی که اکثر ما در کودکی آن را می‌سازیم و شوق به پرواز درآوردن آن را داریم و شیرینی‌های خوشمزه لوز که معمولاً به‌شکل لوزی‌اند، نمونه‌های آشنایی هستند که شکل هندسی لوزی را به یادمان می‌آورند. لوزی شباهت زیادی به مربع و متوازی‌الاضلاع دارد اما به‌دلیل شکل منحصربه‌فردش مساحت آن را می‌توان از روش‌های گوناگونی به‌دست آورد. در این مقاله، قصد داریم روش‌های مختلف محاسبه مساحت لوزی را با حل مثال به شما معرفی کنیم.

لوزی چیست؟

«لوزی» (Rhombus) یک نوع چهارضلعی است که یک‌سری از ویژگی‌های آن شبیه متوازی‌الاضلاع، یک‌سری ویژگی‌های دیگرش مانند مربع است. به‌عبارت دیگر، این نوع چهارضلعی ترکیبی از ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع و مربع را دارد که عبارت‌اند از

• اندازه هر چهار ضلع لوزی آن با هم برابر هستند.
• اضلاع مقابل لوزی با هم موازی هستند.
• لوزی ۲ قر دارد که همدیگر را نصف می‌کنند و برهم عمودند.
• قطرها خط تقارن و نیم‌سازهای لوزی هستند و لوزی را به چهار مثلث قائم‌الزاویه یکسان تقسیم می‌کنند.
• زاویه‌های روبه‌رو در لوزی با هم مساوی هستند (آ˂=د˂ و ب˂=ج˂).
• مجموع زاویه‌های مجاور لوزی ۱۸۰ درجه است (۱۸۰= آ˂+ج˂ و ۱۸۰= ب˂+د˂).

نکته: با توجه به ویژگی‌های گفته‌شده، تنها تفاوت لوزی با مربع این است که زوایای لوزی قائمه نیستند درحالی که هر چهار زاویه مربع، قائمه است.

مساحت لوزی چیست؟

مساحت لوزی به اندازه سطحی گفته می‌شود که توسط اضلاع لوزی احاطه شده است. برای اینکه بهتر متوجه شوید اندازه سطح لوزی را در شکل زیر با رنگ قرمز مشخص کرده‌ایم.

به‌بیانی دیگر، مساحت لوزی برابر با تعداد مربع‌های واحدی است که درون آن جای می‌گیرد. واحد اندازه‌گیری مساحت برحسب مربع است. به‌عنوان مثال، اگر 20 مربع واحد به‌طول یک متر درون یک لوزی جا شود، مساحت لوزی 20 متر مربع خواهد بود.

مساحت لوزی چگونه به دست می آید؟

گفتیم که لوزی ویژگی‌های منحصربه‌فردی دارد و در برخی ویژگی‌ها شبیه چهارضلی‌های دیگر است. بنابراین، براساس داده‌های مسئله می‌توان از فرمول‌های مختلفی برای محاسبه مساحت لوزی استفاده کرد که درادامه به معرفی آن‌ها می‌پردازیم.

فرمول مساحت لوزی با قطرها

اگر اندازه دو قطر لوزی را داشته باشیم، مساحت لوزی را می‌توان به‌راحتی از فرمول زیر محاسبه کرد.

فرمول مساحت لوزی کلاس پنجم
حاصل‌ضرب قطرها تقسیم بر ۲
فرمول مساحت لوزی به‌صورت جبری
A= (p× q) ÷ 2

• A: مساحت لوزی
• P و q: اندازه طول قطرهای لوزی

مثال ۱: مساحت لوزی زیر را محاسبه کنید.

اندازه قطرهای این لوزی ۳ و ۵ سانتی‌متر است، درنتیجه مساحت لوزی برابر است با

۷/۵ =۲ ÷ ۱۵ = ۲ ÷ (۳ × ۵) = مساحت لوزی

مثال ۲: مساحت آینه‌های زیر را حساب کنید.

شکل بالا شامل ۱۰ عدد آینه لوزی‌شکل هم‌‌اندازه با قطرهای ۷ و ۱۰ سانتی‌متر است. بنابراین، برای محاسبه مساحت همه آن‌ها کافی‌ست مساحت یک آینه را به‌دست آوریم و حاصل را در تعداد آینه‌ها یعنی 10 ضرب کنیم.

۳۵ =۲ ÷ ۷۰= ۲ ÷ (۱۰ × ۷ )= مساحت یک آینه
۳۵۰ سانتی‌متر مربع = ۱۰ × ۳۵ = مساحت ۱۰ آینه

مثال ۳: مساحت قسمت زردرنگ را تعیین کنید.

از شکل داده‌شده مشخص است که قسمت زردرنگ برابر با سه‌چهارم کل شکل است.

برای محاسبه مساحت قسمت زردرنگ، ابتدا مساحت کل شکل را به‌دست آورده و سپس آن را در سه‌چهارم ضرب می‌کنیم.

در این شکل، اندازه نصف هر دو قطر ۶ و ۸ سانتی‌متر است، پس اندازه قطرها به‌ترتیب ۱۲ و ۱۶ سانتی‌متر خواهد بود.

۹۶ =۲ ÷ ۱۹۲= ۲ ÷ (۱۶ × ۱۲)= مساحت کل شکل
۷۲= ۹۶ × (۴ ÷ ۳) = مساحت سه‌چهارم شکل

فرمول مساحت لوزی با ضلع و ارتفاع

همان‌طور که در ابتدای مقاله هم اشاره کردیم، برخی از ویژگی‌های لوزی مانند متوازی‌الاضلاع است. درواقع، لوزی متوازی‌الاضلاعی است که تمام اضلاع آن با هم برابر است. برهمین اساس، می‌توان گفت که یکی دیگر از فرمول‌های مساحت لوزی همان فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع یعنی قاعده ضربدر ارتفاع است. بنابراین، با داشتن اندازه یک ضلع لوزی و ارتفاع آن هم می‌شود مساحت این شکل هندسی را به‌دست آورد.

قاعده (یک ضلع لوزی) × ارتفاع = مساحت لوزی

مثال: ارتفاع یک لوزی ۱۰ سانتی‌متر و اندازه یک ضلع آن ۱۲ سانتی‌متر است، مساحت آن را بیابید.

یک ضلع لوزی × ارتفاع = مساحت لوزی
۱۲۰ سانتی‌متر مربع = ۱۲ × ۱۰ = مساحت لوزی

فرمول مساحت لوزی با ضلع و زاویه

درصورتی که اندازه یکی از زاویه‌های داخلی لوزی و طول ضلع آن را داشته باشیم، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم.

• A: مساحت لوزی
• a: اندازه ضلع لوزی
• b، c، d و e: زوایای داخلی لوزی

مثال: مساحت شکل زیر را به‌دست آورید.

فرمول مساحت لوزی با ضلع و یک قطر

اگر اندازه ضلع و یکی از قطرها مشخص باشد، به‌کمک قضیه فیثاغورس می‌توان مساحت لوزی را محاسبه کرد.

• A: مساحت لوزی
• P: اندازه یکی از قطرها
• a: اندازه ضلع لوزی

مثال: مساحت لوزی زیر را به‌دست آورید.

در این شکل، اندازه نصف قطرها داده شده است. یکی از قطرها را درنظر می‌گیریم و مقدار آن را در فرمول جای‌گذاری می‌کنیم. ما در اینجا قطر ۸ سانتی‌متر را انتخاب کرده‌ایم.

A= (p ÷ ۲) √ ( ۴a^۲ – p^۲ )
A= (۴) √۴(۵^۲) – ۸^۲ ) = (۴) √(۱۰۰ – ۶۴) = ۴√۳۶=۲۴

سخن پایانی

لوزی یکی دیگر از اشکال هندسی چهارضلعی است که برخی از ویژگی‌هایش شبیه ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع و مربع است. درواقع، لوزی از یک طرف نوعی متوازی‌الاضلاع است که تمام اضلاع آن با هم مساوی است و از طرف دیگر، نوعی مربع هم هست، با این تفاوت که زوایای لوزی برخلاف مربع قائمه نیستند. مساحت این شکل هندسی را بسته به اطلاعات مسئله می‌توان از فرمول‌های مختلفی به‌دست آورد که در این مقاله با ذکر مثال آن‌ها را معرفی کردیم. فرمول رایج برای محاسبه مساحت لوزی که دانش‌آموزان کلاس پنجم هم تازه آن را یاد می‌گیرند، ضرب قطرها تقسیم بر دو است.

سؤالات متداول

• لوزی چیست؟
  یک چهارضلعی است که مانند مربع تمام اضلاعش با هم برابرند و اضلاع مقابلش نیز با یکدیگر موازی هستند.
• مساحت لوزی چیست؟
  اندازه سطح لوزی را مساحت لوزی می‌گویند.
• مساحت لوزی چگونه به‌دست می‌آید؟
  مساحت لوزی از فرمول‌های مختلفی به‌دست می‌آید که رایج‌ترین آن‌ها «ضرب قطرها تقسیم بر دو» است.
• فرمول مساحت لوزی با ضلع و ارتفاع چیست؟
  فرمول مساحت لوزی با ضلع و ارتفاع مشخص برابر است با اندازه یک ضلع (قاعده) ضربدر ارتفاع.
• فرمول مساحت لوزی با ضلع و زاویه چیست؟
  فرمول مساحت لوزی با ضلع و زاویه برابر با ضلع به‌توان دو ضربدر سینوس یکی از زاویه‌های داخلی لوزی است.