منشور یک شکل سه‌بعدی چندوجهی است که از دو قاعده یکسان و تعدادی وجه جانبی بهشکل مربع، مستطیل یا متوازیالاضلاع ساخته شده است. در این آموزش از مجموعه آموزش‌های اشکال هندسی قصد داریم این حجم هندسی را معرفی کنیم و به بررسی ویژگی‌ها و اجزای آن بپردازیم. پس با ادامه این مقاله همراه ما باشید.
منشور چیست؟
منشور یک شکل هندسی سه‌بعدی چندوجهی است که از دو وجه مشابه و موازی به‌نام قاعده و وجههای جانبی بهشکل مربع، مستطیل یا متوازیالاضلاع تشکیل شده است. هر دو قاعده منشور بهشکل یک چندضلعی هستند و ازاین‌رو، تعداد وجههای جانبی آن به‌اندازه تعداد اضلاع قاعدهها خواهد بود. برای مثال، در یک منشور با قاعده‌های مثلث‌شکل تعداد وجههای جانبی برابر با سه است.
منشورها براساس شکل قاعده‌هایشان نام‌گذاری میشوند. به‌عنوان مثال، منشوری که قاعده آن شش‌ضلعی است، منشور شش‌ضلعی نامیده میشود.
اجزای منشور
اکنون که با شکل کلی منشور آشنا شدید، خوب است با اجزای آن نیز که در محاسبات مربوط به منشور به کارتان میآید نیز آشنا شوید. اجزای منشور عبارت‌اند از:
- رأس: محل تقاطع سه وجه (قاعده و دو وجه جانبی)
- قاعده: دو وجه مسطحی که یکسان و موازی‌اند و بهشکل چندضلعی هستند.
- وجه جانبی: وجههای مسطح ناموازی که به دو قاعده متصل‌اند. وجههای جانبی در منشور از خانواده متوازیالاضلاع هستند یعنی می‌توانند بهشکل مربع، مستطیل یا متوازیالاضلاع باشند.
- یال: محل اتصال دو وجه را یال یا لبه می‌نامند.
- ارتفاع: فاصله عمودی دو قاعده منشور را ارتفاع می‌گویند.
آموزش تصویری و گام‌به‌گام ثبت نام کتاب درسی در سال تحصیلی جدید
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیه‌های مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر میشود!
انواع منشور
منشورها براساس اندازه اضلاع قاعدهها و نحوه قرارگیری آن‌ها نسبت به هم به انواع گوناگونی دسته‌بندی میشوند.
انواع منشور ازنظر شکل قاعدهها و اندازه اضلاع آن‌ها:
- منشور منتظم
- منشور نامنتظم
انواع منشور ازنظر نحوه قرارگیری دو قاعده نسبت به هم:
- منشور قائم
- منشور مایل
منشور منتظم و نامنتظم
منشوری که قاعده‌های آن چندضلعی منتظم است یعنی طول اضلاع قاعده‌های آن با هم برابر است، منشور منتظم نامیده میشود. اما منشوری که دو قاعده آن بهشکل یک چندضلعی نامنتظم است و اندازه اضلاع دو قاعده آن مساوی نیست، منشور نامنتظم نام دارد.
نکته: مکعب مربع نمونه‌ای از یک منشور منتظم و مکعب مستطیل نمونه‌ای از یک منشور نامنتظم است.
منشور قائم و مایل
منشور قائم منشوری است که اضلاع و رئوس دو قاعده آن دقیقاً روبه‌روی هم قرار می‌گیرند و به‌عبارتی، زاویه بین قاعدهها و وجههای جانبی آن قائمه است، اما در منشور مایل اینگونه نیست. در منشور مایل زاویه‌ای که قاعدهها با وجههای جانبی می‌سازند قائمه نیست و ازاین‌رو، در این نوع منشور قاعدهها دقیقاً روبه‌روی هم قرار ندارند.
کاربرد منشور
منشورها به‌دلیل شکل منحصربه‌فردشان و توانایی بازتاب و شکست نور اغلب در ساخت ابزارهای نوری همچون تلسکوپ‌ها، پریسکوپ‌ها و میکروسکوپ‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند. علاوه‌بر این، در حوزه چشم‌پزشکی نیز جهت مطالعه واکنش چشم انسان به نور و درمان و تشخیص بیماری‌های چشمی بسیار کاربرد دارند.
همان‌طور که در شکل زیر مشاهده می‌کنید، اگر نور سفید را از یک منشور عبور دهیم، به طیفی از رنگ‌های مرئی تجزیه میشود.
مساحت منشور
اگرچه مفهوم مساحت اغلب برای اشکال مسطح و دوبعدی به‌کار می‌رود، اما می‌توان این مفهوم را برای وجههای مسطح اشکال سه‌بعدی نیز به‌کار برد. برای محاسبه مساحت یک منشور کافی‌ست آن را بهشکل زیر در یک صفحه گسترده کنیم. همان‌طور که می‌بینید، منشور از دو قاعده مشابه و وجههای جانبی مستطیل‌شکل ساخته شده است. بنابراین، می‌توان گفت مساحت سطح منشور برابر است با مجموع مساحت تمام وجههای آن که از رابطه زیر بهدست میآید:
مساحت جانبی + مساحت قاعدهها = مساحت منشور
مساحت جانبی منشور مساوی با مجموع مساحت وجههای جانبی آن است. ازآنجا که محاسبه تک‌به‌تک وجههای جانبی مخصوصاً زمانی که تعداد آن‌ها زیاد است زمان‌بر خواهد بود، می‌توان با استفاده از فرمول زیر مقدار مساحت جانبی را به‌راحتی تعیین کرد:
ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی منشور
مثال: مساحت کل شکل زیر را بیابید.
جواب: برای محاسبه مساحت منشور آن را به‌صورت زیر گسترده می‌کنیم:
با توجه به اینکه قاعده‌های این منشور بهشکل مثلث متساوی‌الاضلاع هستند، مساحت قاعده به‌صورت زیر محاسبه میشود:
ازآنجا که قاعده این منشور قائم و منتظم یک سه‌ضلعی است، سه وجه جانبی مستطیل‌شکل یکسان خواهیم داشت. با استفاده از فرمول مساحت جانبی منشور داریم:
ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی منشور
۱۰۸ سانتی‌متر مربع = ۹ × ۱۲ = ۹ × (۴ + ۴ + ۴) = مساحت جانبی منشور
اکنون می‌توانیم مقدار مساحت کل منشور را از فرمول زیر بهدست آوریم:
مساحت جانبی + مساحت قاعدهها = مساحت منشور
حجم منشور
فضایی که توسط وجههای منشور محصور میشود حجم منشور نام دارد و از فرمول مساحت قاعده ضربدر ارتفاع بهدست میآید.
V=Ah
- V: حجم منشور
- A: مساحت قاعده منشور
- h: ارتفاع منشور
مثال: حجم منشور زیر را حساب کنید.
جواب: برای محاسبه حجم منشور ابتدا مساحت قاعده را که بهشکل متوازیالاضلاع است بهدست می‌آوریم.
ارتفاع × قاعده = مساحت متوازیالاضلاع
۲۴ سانتی‌متر مربع = ۳ × ۸ = مساحت متوازیالاضلاع
درنتیجه حجم منشور برابر است با
ارتفاع × مساحت قاعده = حجم منشور
۴۸۰ سانتی‌متر مکعب = ۲۰ × ۲۴ = حجم منشور
سخن پایانی
در این مقاله با منشور و انواع آن آشنا شدیم. منشور یک شکل سه‌بعدی است که از چند وجه مسطح ساخته شده است. ویژگی بارز این چندوجهی داشتن دو قاعده هم‌اندازه و موازی است که توسط وجه‌هایی بهشکل مربع، مستطیل یا متوازیالاضلاع به یکدیگر متصل شده‌اند. همان‌طور که در این آموزش هم اشاره کردیم، منشورها بسته به موقعیت قرارگیری قاعدهها نسبت به هم و اندازه اضلاع دو قاعده در انواع مختلفی دیده میشوند. شکل ظاهری این منشور و قابلیت بارتاب و شکست نور در آن سبب شده است که این نوع چندوجهی در ساخت ابزارهای نوری بسیار مورد استفاده قرار گیرد.
سؤالات متداول
- منشور یعنی چه؟
منشور در ریاضی به یک چندوجهی گفته میشود که از دو وجه یکسان و موازی بهشکل چندضلعی و چند وجه جانبی چهارضلعی از خانواده متوازیالاضلاع تشکیل شده است. - منشور چند قاعده دارد؟
منشور دارای دو قاعده موازی و مشابه است. - منشور چند وجه دارد؟
تعداد وجههای منشور به شکل قاعده آن بستگی دارد. هرچه قاعده اضلاع بیشتری داشته باشد، تعداد وجههای جانبی منشور و درنتیجه تعداد کل وجههای آن بیشتر خواهد بود. - انواع منشور را نام ببرید.
منشورها ازنظر اندازه اضلاع قاعدهها به دو نوع منتظم و نامنتظم و ازنظر زاویه بین قاعده و وجههای جانبی به دو نوع قائم و مایل تقسیم میشوند. - فرمول مساحت منشور چیست؟
مساحت منشور برابر است با مجموع مساحت دو قاعده و وجههای جانبی. - فرمول حجم منشور چیست؟
حجم منشور از رابطه مساحت قاعده ضربدر ارتفاع بهدست میآید.
