تقسیم کسرها به زبان ساده | آموزش کامل با شکل و محور + نمونه سوال

تقسیم کردن یکی دیگر از عملیات ریاضی در کسرها است که ممکن است برای برخی از دانش‌آموزان گیج‌کننده و پیچیده به نظر می‌رسد، اما خوب است بدانید که در تقسیم کردن کسرها نیز از عمل ضرب استفاده می‌کنیم. بنابراین، فرایند تقسیم کسرها کار پیچیده‌ای نیست.

در این مقاله قصد داریم با حل مثال‌های کاربردی و آموزش گام‌به‌گام، مهارت تقسیم کسرها با شکل و محور را به شما بیاموزیم.

تقسیم کسر بر کسر 

منظور از تقسیم کردن، بخش کردن یک عدد به قسمت‌های مساوی است. همان‌گونه که اعداد صحیح را به‌راحتی بر هم تقسیم می‌کنیم، کسرها را نیز می‌توان با کمی تفاوت و جابه‌جایی صورت و مخرج بر هم تقسیم کرد. اگر قانون ضرب کسرها را یاد گرفته باشید، تقسیم کردن کسرها نیز برایتان آسان خواهد بود. 

برای تقسیم کردن دو کسر بر یکدیگر، کافی‌ست طبق مراحل زیر پیش بروید:

در تصویر زیر، نمونه‌ای از تقسیم کسر بر کسر را طبق مراحلی که توضیح دادیم، حل کرده‌ایم.

چرا در تقسیم کسرها کسر دوم معکوس می شود؟

تا اینجای مقاله، احتمالاً برایتان این سؤال پیش آمده است که چرا در تقسیم کسرها، کسر دوم معکوس می‌شود. این پرسش را با مثالی از اعداد صحیح پاسخ می‌دهیم. به‌عنوان مثال، تقسیم عدد ۶ بر ۳ را در نظر بگیرید. می‌دانیم که حاصل این تقسیم مساوی با ۲ است. درواقع، ۶ تقسیم بر ۳ یعنی ۶ تا (۶ ضربدر ).

$$۶÷<!--\; ÷\; -->۳=۶\times <!--\; \times \; -->\frac{۱}{۳}=\frac{۶}{۳}=۲$$

برای همین، در کسرها نیز می‌توانیم طبق همین قاعده پیش برویم و عمل تقسیم را به‌راحتی به عمل ضرب تبدیل کنیم.

تقسیم کسر بر کسر با شکل

فرض کنید می‌خواهیم حاصل تقسیم را با کمک شکل به‌دست آوریم. برای این کار، مراحل زیر را انجام می‌دهیم:
مرحله اول: ابتدا مقسوم یعنی را روی شکل مشخص می‌کنیم. بنابراین، مانند تصویر زیر یک مستطیل رسم کرده و یک‌دوم آن را رنگ می‌زنیم. 

مرحله دوم: به مخرج مقسوم‌علیه نگاه کرده و به‌همان اندازه شکل را با خطوط افقی به قسمت‌های مساوی تقسیم می‌کنیم. در اینجا مخرج ۴ است و باید شکل مرحله اول را با خط‌های افقی به ۴ قسمت مساوی تقسیم کنیم.

مرحله سوم: حالا کسر مقسوم‌علیه یعنی را روی شکل نشان می‌دهیم و تعداد خانه‌های مساوی که درون آن قرار گرفته‌اند را می‌شماریم. تعداد خانه‌های قرارگرفته در شکل ۶ تا است. پس باید مخرج حاصل را برابر با ۶ قرار دهیم و برای تعیین صورت کسر ۶ تا ۶ تا از قسمت رنگی جدا کنیم.

مرحله چهارم: همان‌طور که در شکل زیر هم مشاهده می‌کنید، تعداد خانه‌های رنگی تنها ۴ تا است. بنابراین، همین عدد ۴ را در صورت کسر حاصل می‌نویسیم. درنهایت، حاصل تقسیم به‌صورت زیر خواهد بود:

$$\frac{۱}{۲}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۳}{۴}=\frac{۴}{۶}$$

این کسر را می‌توان به‌شکل زیر ساده کرد:

$$\frac{۴}{۶}=\frac{۴÷<!--\; ÷\; -->۲}{۶÷<!--\; ÷\; -->۲}=\frac{۲}{۳}$$

تقسیم کسر بر کسر با محور

نمایش تقسیم کسرها روی محور کار ساده‌ای است. کافی‌ست مخرج دو کسر با هم برابر باشند. اگر مخرج‌ها مساوی نبودند، مخرج آن‌ها را با هم برابر می‌کنیم. برای مثال، اگر بخواهیم حاصل تقسیم  را روی محور بیابیم، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

مرحله اول: ابتدا کسر مقسوم یعنی را روی محور نشان می‌دهیم. برای این کار باید هر واحد را مانند تصویر زیر به ۷ قسمت مساوی تقسیم کنیم.

مرحله دوم: از صفر شروع کرده و تا زمانی که به می‌رسیم، چهارهفتم چهارهفتم جدا می‌کنیم. همان‌طور که می‌بینید، دو تا چهارهفتم داریم. بنابراین، حاصل تقسیم مساوی با ۲ است.

تقسیم عدد بر کسر

برای تقسیم عدد بر کسر، ابتدا مخرج عدد صحیح را ۱ قرار می‌دهیم و آن را به کسر تبدیل می‌کنیم. سپس، حاصل تقسیم را به‌دست می‌آوریم.

به‌عنوان مثال، برای تعیین حاصل عبارت  باید ابتدا مخرج ۵ را برابر با ۱ قرار دهیم و سپس، به‌صورت زیر مقدار آن را با روشی که در ابتدای مقاله توضیح دادیم، تعیین کنیم:

$$۵÷<!--\; ÷\; -->\frac{۳}{۷}=\frac{۵}{۱}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۳}{۷}=\frac{۵}{۱}\times <!--\; \times \; -->\frac{۵}{۳}=\frac{۵\times <!--\; \times \; -->۷}{۱\times <!--\; \times \; -->۳}=\frac{۳۵}{۳}$$

پیشنهاد مطالعه: تبدیل کسر به اعشار

تقسیم عدد بر کسر با شکل

عبارت  را در نظر بگیرید. اگر بخواهیم جواب این تقسیم را با رسم شکل تعیین کنیم، مراحل زیر را به‌ترتیب انجام می‌دهیم:

مرحله اول: ابتدا برای مقسوم یعنی عدد صحیح شکل رسم می‌کنیم. در اینجا عدد صحیح ۴ است و باید مطابق تصویر زیر ۴ شکل کامل رسم کنیم.

مرحله دوم: با توجه به مخرج مقسوم‌علیه که برابر با ۵ است، هر کدام از ۴ شکل را به ۵ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم.

مرحله سوم: حالا باید ببینیم در ۴ چندتا وجود دارد. برای این کار، مانند شکل زیر سه‌پنجم سه‌پنجم از شکل را جدا می‌کنیم. همان‌طور که می‌بینید، در عدد ۴، ۶ تا سه‌پنجم وجود دارد. پس عدد کامل ۶ را می‌نویسیم. اما می‌بینیم که از ۳ تایی‌هایی که جدا کرده‌ایم، یک ۲تایی باقی مانده است. بنابراین، کسر را جلوی عدد ۶ می‌نویسیم. 

با توجه به اینکه حاصل به‌صورت یک عدد مخلوط است، می‌توانیم آن را به کسر هم تبدیل کنیم.

$$۴÷<!--\; ÷\; -->\frac{۳}{۵}=۶\frac{۲}{۳}=\frac{۶\times <!--\; \times \; -->۳+۲}{۳}=\frac{۲۰}{۳}$$

تقسیم عدد بر کسر با محور

تقسیم عدد بر کسر با محور، مشابه روش رسم شکل است با این تفاوت که به‌جای شکل از محور اعداد استفاده می‌کنیم.

به‌عنوان مثال، تعیین مقدار با استفاده از محور اعداد به‌ترتیب مراحلی که در ادامه بیان می‌کنیم، انجام می‌شود.

مرحله اول: محور اعداد را مانند شکل زیر به ۵ واحد مساوی تقسیم می‌کنیم.  

مرحله دوم: هر واحد را مطابق با عدد مخرج که برابر با ۳ است، به ۳ قسمت مساوی می‌کنیم.

مرحله سوم: از صفر شروع کرده و به‌ اندازه دو سوم دو سوم از محور جدا می‌کنیم تا مشخص شود در عدد ۵ چند تا وجود دارد. با توجه به تصویر زیر، واضح است که در عدد ۵، 7 تا داریم و از ۲ تایی‌هایی که جدا کرده‌ایم یکی باقی مانده است. بنابراین، حاصل این تقسیم به‌صورت زیر خواهد بود:

$$۵÷<!--\; ÷\; -->\frac{۲}{۳}=۷\frac{۱}{۲}=\frac{۷\times <!--\; \times \; -->۲+۱}{۲}=\frac{۱۵}{۲۰}$$

تقسیم کسر بر عدد

می‌خواهیم حاصل را به‌دست آوریم. ابتدا عدد صحیح را با قرار دادن مخرج ۱ به‌صورت کسر می‌نویسیم و سپس، حاصل تقسیم را به‌دست می‌آوریم:

$$\frac{۴}{۵}÷<!--\; ÷\; -->۸=\frac{۴}{۵}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۸}{۱}=\frac{۴}{۵}\times <!--\; \times \; -->\frac{۱}{۸}=\frac{۴}{۴۰}$$

این کسر را می‌توانیم به‌شکل ساده‌تر هم بنویسیم:

$$\frac{۴}{۴۰}=\frac{۴÷<!--\; ÷\; -->۴}{۴۰÷<!--\; ÷\; -->۴}=\frac{۱}{۱۰}$$

تقسیم کسر بر عدد با شکل

با مثال تقسیم کسر بر عدد را توضیح می‌دهیم. نمایش این تقسیم با کمک شکل به‌صورت زیر انجام می‌شود:
مرحله اول: شکل مربوط به را رسم می‌کنیم. برای رسم شکل این عدد، یک مستطیل را به ۳ قسمت مساوی تقسیم کرده و ۲ قسمت از آن را رنگ می‌زنیم.

مرحله دوم: با توجه به اینکه عدد مقسوم‌علیه ۴ است، شکل رسم‌شده را با خطوط افقی به ۴ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم.

مرحله سوم: یکی از ۴ ردیف را در نظر گرفته و تعداد خانه‌های رنگی آن را می‌شماریم. تعداد خانه‌های رنگی در یک ردیف ۲ تا و تعداد کل خانه‌ها ۱۲ تا هستند. بنابراین، در هر ردیف ۲ خانه از ۱۲ خانه رنگی هستند. درنتیجه حاصل تقسیم برابر است با:

$$\frac{۲}{۳}÷<!--\; ÷\; -->۴=\frac{۲}{۱۲}$$

کسر ساده‌شده  به‌صورت زیر است:

$$\frac{۲}{۱۲}=\frac{۲÷<!--\; ÷\; -->۲}{۱۲÷<!--\; ÷\; -->۲}=\frac{۱}{۶}$$

تقسیم کسر بر عدد با محور

مراحل تقسیم یک کسر بر عدد مانند به‌ترتیب زیر صورت می‌گیرد:
مرحله اول: ابتدا یک واحد را با توجه به مخرج به ۳ قسمت مساوی تقسیم کرده و سپس، آن را مشخص می‌کنیم.

مرحله دوم: اکنون هر کدام از ۳ قسمت را به ۴ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم و تا زمانی که به می‌رسیم، ۲ تا ۲ تا جدا می‌کنیم. همان‌طور که در شکل زیر هم می‌بینید، هر کدام از کمان‌هایی که جدا کرده‌ایم، ۲ واحد کوچک از ۱۲ واحد را نشان می‌دهند. بنابراین، پاسخ نهایی خواهد بود.

نمونه سؤال تقسیم کسر با جواب

حاصل عبارت‌های زیر را تعیین کنید.

الف )

$$\frac{۳}{۹}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۷}{۹}$$

ب)

$$\frac{۲}{\frac{۳}{۴}}$$

ج)

$$۶\frac{۵}{۶}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۴}{۳}$$

الف) محاسبه تقسیم کسرها با مخرج مساوی بسیار ساده است و براساس قاعده‌ای که برای تقسیم کسرها توضیح دادیم صورت می‌گیرد. یعنی کسر اول را بدون تغییر می‌گذاریم، تقسیم را به ضرب تبدیل کرده و کسر دوم را وارونه می‌کنیم.

$$\frac{۳}{۹}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۷}{۹}=\frac{۳}{۹}\times <!--\; \times \; -->\frac{۷}{۹}=\frac{۳\times <!--\; \times \; -->۹}{۹\times <!--\; \times \; -->۷}=\frac{۳}{۷}$$

$$\frac{۲}{\frac{۳}{۴}}=۲÷<!--\; ÷\; -->\frac{۳}{۴}=\frac{۲}{۱}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۳}{۴}=\frac{۲\times <!--\; \times \; -->۴}{۱\times <!--\; \times \; -->۳}=\frac{۸}{۳}$$

ج)ابتدا عدد مخلوط را به کسر تبدیل می‌کنیم و سپس، عمل تقسیم را انجام می‌دهیم.

$$۶\frac{۵}{۶}=\frac{۶\times <!--\; \times \; -->۶+۵}{۶}=\frac{۳۶+۵}{۶}=\frac{۴۱}{۶}$$ $$۶\frac{۵}{۶}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۴}{۳}=\frac{۴۱}{۶}÷<!--\; ÷\; -->\frac{۴}{۳}=\frac{۴۱}{۶}\times <!--\; \times \; -->\frac{۳}{۴}=\frac{۴۱\times <!--\; \times \; -->۳}{۶\times <!--\; \times \; -->۴}=\frac{۴۱\times <!--\; \times \; -->۱}{۲\times <!--\; \times \; -->۴}=\frac{۴۱}{۸}$$

پیشنهاد مطالعه: تبدیل کسر به عدد مخلوط

سخن پایانی

در این مقاله، به آموزش تقسیم کسرها پرداختیم و برای فهم بهتر با حل مثال و رسم شکل و محور، نحوه انجام تقسیم در کسرها را توضیح دادیم. همچنین، قاعده کلی برای تقسیم کسرها را بیان کردیم. برای تقسیم کردن کسرها بر همدیگر کافی‌ست کسر اول را بدون تغییر نگه داریم، تقسیم را به ضرب تبدیل کرده و کسر دوم را معکوس کنیم. برای اینکه مهارت تقسیم کسرها در شما تقویت شود، حل نمونه سؤال‌های متنوع می‌تواند برایتان کمک‌کننده باشد.