حجم هرم چیست ؟|روش محاسبه + حل تمرین

هرم‌ها اشکال هندسی سه‌بعدی با قاعده‌های چندضلعی و وجه‌های مثلثی هستند که شناخت ویژگی‌های آن‌ها در ریاضیات و مهندسی از اهمیت خاصی برخوردار است. یکی از ویژگی‌های هرم که در این مقاله قصد داریم به بررسی آن بپردازیم، مفهوم حجم آن است. به‌منظور درک بهتر این مفهوم، ابتدا فرمول محاسبه حجم هرم را معرفی کرده و سپس، چند مثال حجم هرم را حل کرده‌ایم.

هرم چیست؟

هرم یک چندوجهی سه‌ببعدی است که قاعده آن یک چندضلعی و وجه جانبی آن متشکل از چند مثلث است. وجه‌های مثلثی در یک نقطه به‌نام رأس که بالای قاعده قرار دارد، به هم می‌رسند. تصویر زیر، اجزای یک هرم با قاعده مربعی را نشان می‌دهد.

انواع هرم

هرم‌ها از نظر اندازه ضلع قاعده و مکان قرارگیری رأس نسبت به مرکز قاعده به انواع مختلفی تقسیم می‌شوند:

انواع هرم از نظر اندازه ضلع قاعده

• هرم منتظم
• هرم نامتنظم

انواع هرم از نظر مکان قرارگیری رأس نسبت به مرکز قاعده

• هرم قائم
• هرم مایل

حجم هرم چیست؟

به فضای اشغال‌شده توسط هرم یا به‌عبارتی فضای محصور بین وجه‌های آن، حجم هرم می‌گویند. حجم هرم مانند سایر اشکال سه‌بعدی برحسب مکعب مانند سانتی‌متر مکعب، متر مکعب و غیره اندازه‌گیری می‌شود.

برای محاسبه حجم یک هرم به دو چیز نیاز داریم: مساحت قاعده و ارتفاع آن. به فاصله عمودی رأس هرم و قاعده آن ارتفاع گفته می‌شود. مساحت قاعده نیز که برابر با اندازه سطح آن است، به شکل قاعده بستگی دارد. 

فرمول حجم هرم چیست؟

حجم هرم برابر است با یک‌سوم حاصل‌ضرب مساحت قاعده ضربدر ارتفاع. بنابراین، حجم هرمی با ارتفاع h که مساحت قاعده آن A است، از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

• V: حجم هرم
• A: مساحت قاعده هرم
• h: ارتفاع هرم

حجم هرم منتظم

هرم منتظم هرمی است که قاعده آن یک چندضلعی منتظم است و اضلاع قاعده با هم برابرند. فرمولی که در بخش قبل معرفی کردیم، برای محاسبه حجم تمام هرم‌های کامل ازجمله هرم منتظم به‌کار می‌رود. تنها تفاوتی که می‌تواند وجود داشته باشد، نحوه محاسبه مساحت قاعده است که به شکل قاعده و تعداد اضلاع آن بستگی دارد.

حجم هرم ناقص

هرم ناقص هرمی است که از بالا برش خورده است و دارای دو قاعده موازی است. قاعده‌های هرم ناقص، چندضلعی و وجه‌های جانبی آن به‌شکل ذوزنفه است. حجم یک هرم ناقص از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

مثال های حجم هرم

تا اینجا با تعریف هرم و فرمول محاسبه حجم آن آشنا شدیم. اکنون برای یادگیری بهتر، چند مثال در رابطه با این موضوع حل می‌کنیم.

حجم هرم با قاعده مثلث

حجم هرم مثلثی زیر را به‌دست آورید.

جواب: برای محاسبه حجم این هرم، باید مساحت قاعده هرم را تعیین کنیم. قاعده این هرم یک مثلث قائم‌الزاویه با قاعده و ارتفاع مشخص است. با استفاده از فرمول مساحت مثلث مساحت قاعده را به‌صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

$$A=\frac{۱}{۲}\times <!--\; \times \; -->AB\times <!--\; \times \; -->BC$$ $$A=\frac{۱}{۲}\times <!--\; \times \; -->۷\times <!--\; \times \; -->۱۰=۳۵C{M}^2$$

مساحت قاعده هرم برابر با ۳۵ سانتی‌متر مربع و ارتفاع آن ۴ سانتی‌متر است. با جای‌گذاری این مقادیر در فرمول حجم هرم خواهیم داشت:

$$V=\frac{۱}{۳}Ah$$ $$V=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->۳۵\times <!--\; \times \; -->۴=\frac{۱۴۰}{۳}\approx <!--\; \approx \; -->۴۶.۶۶c{m}^{۲}$$

حجم این هرم تقریباً برابر با ۴۶/۶۶ سانتی‌متر مکعب است.

حجم هرم با قاعده مربع

حجم هرم زیر را محاسبه کنید.

جواب: ابتدا مساحت قاعده مربعی‌شکل را حساب می‌کنیم. می‌دانیم که مساحت مربع از حاصل‌ضرب اندازه یک ضلع ضربدر خودش به‌دست می‌آید. بنابراین، داریم:

A=a^۲

• A: مساحت قاعده مربعی
• a: طول ضلع مربع

A=۶^۲=۶×۶=۳۶ cm^۲

حالا که مساحت قاعده به‌دست آمد، می‌توانیم به‌راحتی حجم هرم را تعیین کنیم.

$$V=\frac{۱}{۳}AH$$ $$V=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->۳۶\times <!--\; \times \; -->۱۰=\frac{۳۶۰}{۳}=۱۲۰c{m}^{۳}$$

حجم این هرم مربعی ۱۲۰ سانتی‌متر مکعب است.

حجم هرم با قاعده مستطیل

حجم هرم زیر را تعیین کنید.

حجم هرم مستطیلی ۶۴ سانتی‌متر مکعب است.

نمونه سوال حجم هرم ناقص با قاعده مستطیل

حجم هرم ناقص زیر را محاسبه کنید.

جواب: با توجه به شکل بالا، مقدار مساحت قاعده‌ها و ارتفاع هرم ناقص را در فرمول حجم هرم ناقص جای‌گذاری می‌کنیم:

$$V=\frac{۱}{۳}h(A+B+\sqrt{AB})$$

h: ارتفاع هرم ناقص
A: مساحت قاعده بزرگ‌تر
B: مساحت قاعده کوچک‌تر

$$V=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->۷\times <!--\; \times \; -->(۹+۴+\sqrt{۹\times <!--\; \times \; -->۴})$$ $$V=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->۷\times <!--\; \times \; -->(۱۳+\sqrt{۳۶})$$ $$V=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->۷\times <!--\; \times \; -->(۱۳+۳۶)$$ $$V=\frac{۱}{۳}\times <!--\; \times \; -->۷\times <!--\; \times \; -->۱۹=\frac{۱۳۳}{۳}\approx <!--\; \approx \; -->۴۴.۳۳c{m}^{۳}$$

حجم هرم ناقص برابر با ۴۴/۳۳ سانتی‌متر مکعب است.

مساحت و حجم هرم

مساحت و حجم دو مفهوم جدا از هم هستند. مفهوم حجم برای اشکال سه‌بعدی تعریف می‌شود و به فضای اشغال‌شده توسط این اشکال گفته می‌شود، اما مفهوم مساحت در دو بعد معنا پیدا می‌کند و برابر با اندازه سطح شکل موردنظر است. مساحت یک هرم برابر است با مجموع مساحت قاعده و وجه‌های جانبی آن. فرمول حجم هرم که قبلاً هم آن را بیان کردیم و فرمول مساحت هرم به‌صورت زیر هستند:

محیط و مساحت هرم

محیط یک مفهوم هندسی است که بیشتر برای اشکال دوبعدی مورد استفاده قرار می‌گیرد و برابر با اندازه دورتادور این اشکال است، اما در اشکال سه‌بعدی ازجمله هرم مفهوم محیط متفاوت است و در این شکل هندسی، مقدار محیط از مجموع طول یال‌های آن و با استفاده از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

مجموع ساق های وجه جانبی +محیط قاعده =محیط هرم

در مقاله محیط و مساحت هرم درمورد نحوه محاسبه محیط و مساحت این شکل هندسی به‌‌طور مفصل توضیح داده‌ایم. پیشنهاد می‌کنیم برای یادگیری بیشتر سری هم به آنجا بزنید.

فرق هرم با مخروط

همان‌طور که بیان کردیم، هرم یک چندوجهی سه‌بعدی است که از یک قاعده چندضلعی و وجه‌های جانبی مثلثی‌شکل که همگی در یک نقطه به‌نام رأس به هم می‌رسند، ساخته شده است. هرم نیز یک شکل سه‌بعدی شامل یک وجه دایره‌ای‌شکل به‌نام قاعده و یک وجه منحنی‌شکل به‌نام وجه جانبی است. این دو شکل از نظر ظاهری مشابه هم هستند، اما تفاوت‌های بسیاری با هم دارند که در مقاله فرق هرم با مخروط با جزئیات بیشتر به آن‌ها اشاره کرده‌ایم.

سخن پایانی

هرم یک شکل سه‌بعدی چندوجهی است که از یک قاعده چندضلعی و چند وجه مثلثی که وجه‌های جانبی آن هستند تشکیل شده است. حجم این شکل هندسی که مقدار فضای اشغال‌شده توسط آن را نشان می‌دهد، از فرمول یک‌سوم حاصل‌ضرب مساحت قاعده ضربدر ارتفاع محاسبه می‌شود. این فرمول برای تعیین حجم انواع هرم کامل مورد استفاده قرار می‌گیرد. البته، بسته به اینکه شکل قاعده چگونه است، فرمول مساحت قاعده و درنتیجه روش محاسبه آن می‌تواند متفاوت باشد.

سؤالات متداول

1. هرم چیست؟
   هرم یک چندوجهی است که از یک قاعده چندضلعی و چند وجه جانبی مثلثی تشکیل شده است.
2. حجم هرم چیست؟
   حجم هرم برابر با مقدار فضای محصورشده بین وجه‌های آن است.
3. فرمول حجم هرم چیست؟
   حجم هرم از فرمول یک‌سوم حاصل‌ضرب مساحت قاعده ضربدر ارتفاع به‌دست می‌آید.