اعداد معکوس چیست؟| آموزش پیدا کردن معکوس عدد + مثال

یک مداد را به حالت ایستاده طوری‌‌که نوک آن به‌‌سمت بالا و سر دیگر آن به‌‌سمت پایین باشد روی زمین در نظر بگیرید. اگر این مداد را برعکس کنیم چه اتفاقی می‌‌افتد؟ بله درست است؛ مداد وارونه می‌‌شود و این‌‌بار نوک آن رو‌‌به‌‌پایین و نزدیک زمین و سر آن رو‌‌به‌‌بالا قرار می‌‌گیرد. مفهوم اعداد معکوس در ریاضی هم چیزی شبیه به وارونه کردن یک مداد است.

اگر می‌‌خواهید بدانید عدد معکوس چیست و چگونه معکوس یک عدد به دست می‌‌آید توصیه می‌‌کنیم این مطلب را تا انتها دنبال کنید. ما در این مقاله در کنار آموزش اعداد معکوس روش پیدا کردن معکوس کسرها و اعداد صحیح و مخلوط را توضیح خواهیم داد.

عدد معکوس چیست؟

واژه «معکوس» به معنای وارونه کردن یا برعکس کردن یک چیز است. اما در ریاضی وقتی صحبت از اعداد معکوس یا معکوس اعداد می‌‌شود، منظور این نیست که اعداد را برعکس بنویسیم بلکه باید با کمک روشی که در ادامه آموزش خواهیم داد عمل معکوس کردن را انجام دهیم.

یک قانون کلی درباره معکوس عدد در ریاضی وجود دارد. این قانون به‌‌صورت زیر بیان می‌‌شود:

«اگر حاصل‌‌ضرب دو عدد برابر با ۱ باشد آن دو عدد را معکوس یکدیگر می‌‌گویند. بنابراین تمام اعداد به‌‌جز صفر معکوس دارند.»

در بخش‌‌های بعدی با آموزش اعداد معکوس به شما یاد می‌‌دهیم که چگونه معکوس یک عدد را پیدا کنید.

نحوه محاسبه معکوس عدد

روش تعیین اعداد معکوس در مجموعه اعداد اعشاری، اعداد کسری، اعداد مخلوط و اعداد صحیح تقریبا مشابه هم است. البته روش پیدا کردن معکوس در این چهار گروه از اعداد در مراحل اولیه اندکی متفاوت است. در ادامه با حل چند مثال شما را با نحوه یافتن اعداد معکوس آشنا می‌‌کنیم.

روش پیدا کردن معکوس عدد کسری

در مطلب «کسر چیست؟» توضیح دادیم که کسر‌ها از صورت و مخرج تشکیل شده‌‌اند. بنابراین در کسرها یک عدد در صورت و یک عدد در مخرج خواهیم داشت. مثال‌‌های زیر نمونه‌‌هایی از اعداد کسری هستند:

$\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۵}}،\frac{\mathrm{۱۰}}{\mathrm{۱۱}}،\frac{\mathrm{۲۵}}{\mathrm{۴}}،\frac{\mathrm{۱۰۰}}{\mathrm{۳}}$

پیدا کردن معکوس کسر بسیار راحت است. تنها کاری که لازم است انجام دهید عوض کردن جای صورت و مخرج است. به‌‌طور کلی، معکوس عدد کسری از جابه‌‌جا کردن عدد صورت با عدد مخرج به دست می‌‌آید. به مثال زیر توجه کنید:

می‌‌خواهیم معکوس کسر را به دست آوریم. برای این کار کافی‌‌ست جای صورت یعنی ۴ و مخرج یعنی ۵ را با هم عوض کنیم. در این صورت خواهیم داشت:

$\frac{\mathrm{۵}}{\mathrm{۴}}$

پس معکوس کسر $\frac{\mathrm{۴}}{\mathrm{۵}}$ خواهد بود. اگر به یاد داشته باشید گفتیم که اگر یک عدد را در معکوسش ضرب کنیم، حاصل برابر با ۱ می‌شود. در مورد کسر $\frac{\mathrm{۴}}{\mathrm{۵}}$ و معکوسش نیز این قانون برقرار است. از قاعدهٔ ضرب کسرها داریم:

$$\frac{\mathrm{۴}}{\mathrm{۵}}\times \frac{\mathrm{۵}}{\mathrm{۴}}=\frac{\mathrm{۴}\times \mathrm{۵}}{\mathrm{۵}\times \mathrm{۴}}=\frac{\mathrm{۲۰}}{\mathrm{۲۰}}=\mathrm{۱}$$

$\frac{\mathrm{۵}}{\mathrm{۴}}$ را معکوس ضربی $\frac{\mathrm{۴}}{\mathrm{۵}}$ می‌نامند زیرا که اگر در $\frac{\mathrm{۴}}{\mathrm{۵}}$ ضرب شود، حاصلشان مساوی ۱ می‌شود. پس یاد گرفتیم که برای تعیین معکوس کسرها در ریاضی کافیست جای صورت و مخرج عوض شود.

روش پیدا کردن معکوس عدد صحیح

اعداد صحیح شامل اعداد کامل مثبت، منفی و صفر هستند. اگر بخواهیم معکوس عدد صحیح را پیدا کنیم اولین کاری که باید انجام دهیم تبدیل آن به یک کسر است. برای تبدیل عدد صحیح به کسر کافی‌‌ست ابتدا به آن عدد مخرج ۱ بدهیم و سپس عمل معکوس کردن را آغاز کنیم.

نکته‌‌ای که در اینجا لازم است بیان کنیم این است که هنگام معکوس کردن اعداد صحیح علامت آن‌‌ها به‌‌هیچ‌‌وجه تغییر نمی‌‌کند. بنابراین عددی که منفی است، معکوس آن منفی و عددی که مثبت است، معکوس آن نیز مثبت خواهد بود. با هم یک مثال حل می‌‌کنیم تا روش پیدا کردن معکوس اعداد صحیح را به‌‌خوبی یاد بگیرد.

می‌‌خواهیم معکوس عدد ۱۳- را به دست آوریم. اول از همه باید به این عدد مخرج ۱ بدهیم تا به‌‌شکل کسر درآید:

$\frac{-\mathrm{۱۳}}{\mathrm{۱}}$

حالا یک کسر داریم که با جابه‌‌جا کردن جای عدد صورت و عدد مخرجش می‌‌توانیم به‌‌راحتی آن را معکوس کنیم:

$\frac{\mathrm{۱}}{-\mathrm{۱۳}}$

می‌بینیم که اگر $\frac{-\mathrm{۱۳}}{\mathrm{۱}}$ را در $\frac{\mathrm{۱}}{-\mathrm{۱۳}}$ ضرب کنیم، حاصل ۱ می‌شود که انتظارش را هم داریم.

$\frac{-\mathrm{۱۳}}{\mathrm{۱}}\times \frac{\mathrm{۱}}{-\mathrm{۱۳}}=\frac{(-\mathrm{۱۳})\times \mathrm{۱}}{\mathrm{۱}\times (-\mathrm{۱۳})}=\mathrm{۱}$

برای اعداد صحیح مثبت نیز به همین روش عمل می‌‌کنیم. در ابتدای مقاله به این نکته اشاره کردیم که عدد صفر معکوس ندارد. دلیل آن این است که اگر به صفر مخرج ۱ دهیم و آن را معکوس کنیم، عبارت زیر را خواهیم داشت:

$\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۰}}$

وجود صفر در مخرج بی‌‌معنی است. به همین دلیل می‌‌گوییم صفر معکوس ندارد.

روش پیدا کردن معکوس عدد مخلوط

در مقاله (اعداد مخلوط چیست؟) گفتیم که این اعداد از دو بخش عدد کامل و عدد کسری تشکیل شده است. یک عدد مخلوط اگرچه یک بخش کسری دارد اما نمی‌‌توان در ابتدای کار آن را معکوس کرد. این اعداد باید اول به کسر تبدیل شده و سپس معکوس شوند.

عدد مخلوط $\mathrm{۳}\frac{\mathrm{۵}}{\mathrm{۸}}$ را در نظر بگیرید. برای یافتن معکوس این عدد ابتدا آن را بصورت زیر به کسر تبدیل می‌کنیم:

$\mathrm{۳}\frac{\mathrm{۵}}{\mathrm{۸}}=\frac{(\mathrm{۳}\times \mathrm{۸})+\mathrm{۵}}{\mathrm{۸}}=\frac{\mathrm{۲۴}+\mathrm{۵}}{\mathrm{۸}}=\frac{\mathrm{۲۹}}{\mathrm{۸}}$

حالا کسر معادل این عدد مخلوط را وارونه می‌کنیم تا معکوس عدد مخلوط به دست آید. معکوس این عدد برابر است با:

$\frac{\mathrm{۸}}{\mathrm{۲۹}}$

اگر $\frac{\mathrm{۲۹}}{\mathrm{۸}}$ و معکوس آن در هم ضرب شوند، خواهیم داشت:

$\frac{\mathrm{۲۹}}{\mathrm{۸}}\times \frac{\mathrm{۸}}{\mathrm{۲۹}}=\frac{\mathrm{۲۹}\times \mathrm{۸}}{\mathrm{۸}\times \mathrm{۲۹}}=\mathrm{۱}$

اگر نیاز به تمرین بیشتر دارید، حتما مقاله معکوس عدد مخلوط را مطالعه کنید تا با حل مثال‌های بیشتر این مبحث را به خوبی یاد‌‌بگیرید.

روش پیدا کردن معکوس عدد اعشاری

اعداد اعشاری شامل دو بخش صحیح و اعشاری هستند که توسط یک ممیز از هم جدا شده‌‌اند. این اعداد را نیز می‌‌توان معکوس کرد ولی پیش از معکوس کردن لازم است بخش اعشاری آن‌‌ها را به‌‌صورت کسر بنویسیم. برای تبدیل اعشار به کسر کافی‌‌ست آن را به همان صورت که می‌‌خوانیم بنویسیم.

برای مثال، عدد ۲/۱۷ که «دو و هفده‌‌صدم» خوانده می‌‌شود را می‌‌توان به‌‌صورت زیر نوشت:

$\mathrm{۲/۱۷}=\mathrm{۲}\frac{\mathrm{۱۷}}{\mathrm{۱۰۰}}$

در اینجا بخش اعشاری به کسر تبدیل شده و عدد اعشاری ما به‌‌صورت یک عدد مخلوط درآمده است. حالا می‌‌توانیم با تبدیل عدد مخلوط به کسر عدد اعشاری موردنظر را معکوس کنیم.

$\mathrm{۲}\frac{\mathrm{۱۷}}{\mathrm{۱۰۰}}=\frac{(\mathrm{۲}\times \mathrm{۱۰۰})+\mathrm{۱۷}}{\mathrm{۱۰۰}}=\frac{\mathrm{۲۰۰}+\mathrm{۱۷}}{\mathrm{۱۰۰}}=\frac{\mathrm{۲۱۷}}{\mathrm{۱۰۰}}$

معکوس کسر حاصل به‌‌صورت زیر است:

$\frac{\mathrm{۱۰۰}}{\mathrm{۲۱۷}}$

می‌‌بینیم که از ضرب کسر بالا در معکوس آن، مقدار ۱ به دست می‌‌آید:

$\frac{\mathrm{۲۱۷}}{\mathrm{۱۰۰}}\times \frac{\mathrm{۱۰۰}}{\mathrm{۲۱۷}}=\frac{\mathrm{۲۱۷}\times \mathrm{۱۰۰}}{\mathrm{۱۰۰}\times \mathrm{۲۱۷}}=\mathrm{۱}$

اگر بخش صحیح عدد اعشاری صفر باشد مراحل معکوس کردن آن کوتاه‌‌تر می‌‌شود، زیرا در چنین حالتی پس از تبدیل بخش اعشاری به کسر دیگر عدد مخلوط نخواهیم داشت. مثلا اگر عدد اعشاری ۰/۱۷ (هفده‌‌صدم) را داشته باشیم سریع‌‌تر می‌‌توانیم آن را به کسر تبدیل کنیم: 

$\frac{\mathrm{۱۷}}{\mathrm{۱۰۰}}=\mathrm{۰/۱۷}$

معکوس این کسر به‌صورت زیر است:

$\frac{\mathrm{۱۰۰}}{\mathrm{۱۷}}$

مثال اعداد معکوس در تقسیم کسرها

اعداد معکوس در ضرب و تقسیم کسرها بسیار به کار می‌‌آیند. هنگام تقسیم دو کسر ابتدا علامت تقسیم را به ضرب تبدیل کرده و سپس کسر دوم را معکوس می‌‌کنیم. در آخر نیز عمل ضرب را انجام می‌‌دهیم. پس عمل تقسیم بر کسر به عمل ضرب در معکوس کسر تبدیل می‌‌شود.

برای مثال، اگر بخواهیم حاصل تقسیم ۳ ۸ ÷ ۱ ۲ را به دست آوریم، بصورت زیر عمل می‌کنیم:

$\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}÷\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۸}}=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}\times \frac{\mathrm{۸}}{\mathrm{۳}}=\frac{\mathrm{۱}\times \mathrm{۸}}{\mathrm{۲}\times \mathrm{۳}}=\frac{\mathrm{۸}}{\mathrm{۶}}$

اگر کسر حاصل را ساده کنیم، خواهیم داشت:

$\frac{\mathrm{۸}}{\mathrm{۶}}=\frac{\mathrm{۸}÷\mathrm{۲}}{\mathrm{۶}÷\mathrm{۲}}=\frac{\mathrm{۴}}{\mathrm{۳}}$

همان‌‌طور که دیدید در این مثال عمل تقسیم بر کسر با استفاده از معکوس کردن کسر دوم به‌‌راحتی انجام شد.

پیشنهاد مطالعه: آموزش ضرب و تقسیم کسر‍‌ها

تمرین آموزش معکوس اعداد

مثال: معکوس عدد ۲ کدام‌‌یک از گزینه‌‌های زیر است؟

الف) ۰/۱۵

ب) ۰/۳

ج) ۰/۵

د) ۰/۲

پاسخ: عدد ۲ یک عدد صحیح است. پس باید به آن مخرج ۱ بدهیم و سپس آن را معکوس کنیم:

$$

معکوس ۲ کسر ۱ ۲ است. برای تبدیل کسر به اعشار باید مخرج را به مضربی از ۱۰ تبدیل کنیم. خواهیم داشت:

به‌‌این‌‌ترتیب جواب گزینه (ج) خواهد بود.

سخن پایانی

در این مقاله از سایت مدارس سلام با مفهوم معکوس در ریاضی آشنا شدیم. سعی کردیم در هر بخش نحوه به دست آوردن معکوس اعداد مختلف را با مثال‌‌های حل‌‌شده توضیح دهیم تا بتوانید به‌‌راحتی معکوس اعداد گوناگون را تعیین کنید و در محاسبات ریاضی با چالش کمتری روبه‌‌رو شوید.

حل مثال و تمرین‌‌های بیشتر در این مطلب نمی‌‌گنجد و لازم است خودتان با تهیه و یا حتی طراحی سوال‌‌های مختلف ذهن‌‌تان را به چالش بکشید و آن‌‌ها را حل کنید. برای بررسی درستی پاسخ خود نیز می‌‌توانید از قانون اعداد معکوس استفاده کنید و با ضرب هر عدد در معکوسش بررسی کنید که آیا حاصل‌‌ضربشان مساوی ۱ می‌‌شود یا خیر.