تعریف مجموعه‌ تهی در ریاضی + ویژگی ها و مثال

مجموعه‌‌ها در ریاضی به‌‌صورت دسته‌‌ای از اشیاء معین و غیرتکراری که ویژگی مشترکی دارند تعریف می‌‌شوند. این اشیاء عضو مجموعه نام دارند. اگر به یاد داشته باشید در آموزش‌‌های پیشین، با مجموعه اعداد در ریاضی آشنا شدیم و اشاره کوتاهی نیز به مجموعه تهی کردیم.

در این مطلب از سایت مدارس سلام قصد داریم مجموعه تهی و ویژگی‌‌های آن را به‌‌طور کامل و با جزئیات بیشتر آموزش داده و به ابهاماتی که غالباً برای دانش‌‌آموزان پایه نهم ایجاد می‌‌شود پاسخ دهیم.

تعریف مجموعه تهی

همان‌‌طور که می‌‌دانید، اعضای یک مجموعه ویژگی مشترکی دارند و این ویژگی آن‌‌ها را در یک مجموعه اعداد قرار می‌‌دهد.

اما گاهی اوقات پیش می‌‌آید که برای یک مجموعه یک ویژگی بیان می‌‌شود که نمی‌‌توان هیچ عضوی برای آن یافت و عملاً مجموعه‌‌ای با این ویژگی خالی و بدون عضو خواهد بود. چنین مجموعه‌‌ای را مجموعه تهی می‌‌نامیم.

برای مثال، فرض کنید از ما خواسته می‌‌شود که عدد طبیعی بین ۳ و ۴ بنویسیم. می‌‌دانیم که چنین عددی بین ۳ و ۴ وجود ندارد. درنتیجه نمی‌‌توان برای مجموعه‌‌ای با این ویژگی عضوی در نظر گرفت. در چنین حالتی می‌‌گوییم مجموعه ما مجموعه‌‌ای تهی است. برای درک بهتر مجموعه تهی مثال دیگری حل می‌‌کنیم.

مثال:

اعداد بزرگ‌‌تر از ۱۰ و کوچک‌‌تر از ۱۵ را که بر ۵ بخش‌‌پذیرند در مجموعه A بنویسید.

پاسخ: ابتدا اعدادی را که از ۱۰ بزرگ‌‌تر و از ۱۵ کوچک‌‌ترند یادداشت می‌‌کنیم:

۱۱,۱۲,۱۳,۱۴

حالا ویژگی بخش‌‌پذیری این اعداد بر عدد ۵ را بررسی می‌‌کنیم. اعدادی بر ۵ بخش‌‌پذیرند که رقم یکان آن‌‌ها ۰ یا ۵ باشد که در اعداد بالا چنین عددی یافت نمی‌‌شود. بنابراین، می‌‌توان گفت مجموعه A عضوی ندارد و یک مجموعه تهی است.

نماد مجموعه تهی

با توجه به اینکه اعضای یک مجموعه درون «آکولاد» یعنی علامت {} قرار می‌‌گیرند، مجموعه تهی بدون عضو را با علامت {} نشان می‌‌دهیم. مجموعه تهی را با نماد ∅ (فی) نیز نشان می‌‌دهند.

∅={ }

نکته مهم: مجموعه {∅} مجموعه تهی محسوب نمی‌‌شود زیرا این مجموعه، مجموعه‌‌ای را نشان می‌‌دهد که تنها عضو آن مجموعه تهی یعنی ∅ است.

ویژگی های مجموعه تهی

• مجموعه تهی تنها یک زیرمجموعه دارد و آن هم خود مجموعه تهی است (۱ = ^۰ ۲ ).
• مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعه‌‌ای است.
• اجتماع هر مجموعه‌‌ای با مجموعه تهی برابر است با خود آن مجموعه (A ∪ ∅ =A).
• اشتراک هر مجموعه‌‌ای با مجموعه تهی برابر با مجموعه تهی است زیرا عضو مشترکی بین آن‌‌ها وجود ندارد (∅ = ∅ ∩ A)

نمودار ون مجموعه تهی

نمودار ون ابزار مناسبی برای نمایش رابطه بین مجموعه‌‌هاست. مجموعه تهی را می‌‌توان با این نمودار به‌‌خوبی نشان داد. فرض کنید دو مجموعه

A={۱۰,۱۱,۱۳,۱۵} و B={۸,۹,۱۲,۱۴} داریم. مشخص است که این دو مجموعه هیچ عضو مشترکی ندارند. این بدین معناست که اشتراک دو مجموعه تهی است.

A∩B=∅

در تصویر بالا رنگ سبز، اشتراک دو مجموعه A و B را نشان می‌‌دهد که هیچ عضوی در آن دیده نمی‌‌شود.

تفاوت مجموعه تهی و مجموعه صفر چیست؟

بسیار پیش می‌‌آید که دانش‌‌آموزان مجموعه صفر و مجموعه تهی را به‌‌اشتباه یکی می‌‌دانند. ما در این بخش می‌‌خواهیم برای همیشه به این اشتباه پایان دهیم و تفاوت این دو مجموعه را بیان کنیم.

همان‌‌طور که گفتیم، مجموعه تهی مجموعه‌‌ای بدون عضو است و به‌‌صورت ∅ یا {} نمایش داده می‌‌شود. اما منظور از مجموعه صفر مجموعه‌‌ای است که تنها یک عضو دارد و آن هم عدد صفر است. مجموعه صفر را به‌‌صورت {۰} نشان می‌‌دهیم.

نمونه سؤال مجموعه تهی

سؤال ۱:

درستی یا نادرستی عبارت‌‌های زیر را تعیین کنید.

1. مجموعه تهی زیر مجموعه هر مجموعه ای است.
2. مجموعه تهی یک مجموعه نامتناهی است.
3. مجموعه تهی یک زیر مجموعه دارد.
4. اشتراک هر مجموعه با مجموعه تهی برابر است با خود آن مجموعه
5. مجموعه صفر یک مجموعه تهی است.
6. مجموعه تهی یک مجموعه متناهی است.

پاسخ:

1. درست؛ این نکته در بخش ویژگی‌‌های مجموعه تهی بیان شد.
2. نادرست؛ مجموعه تهی عضوی ندارد و اینگونه نیست که تعداد اعضای آن قابل شمارش نباشد.
3. درست؛ مجموعه تهی خودش زیرمجموعه خودش است و ازاین‌‌رو تنها یک زیرمجموعه دارد.
4. نادرست؛ اشتراک هر مجموعه با مجموعه تهی برابر است با مجموعه تهی.
5. نادرست؛ مجموعه صفر یک عضو دارد ولی مجموعه تهی دارای عضو نیست.
6. درست؛ مجموعه تهی عضوی ندارد و تعداد عضو آن برابر با صفر است.

پیشنهاد مطالعه: اعداد اول چه اعدادی هستند؟

سؤال ۲:

سه عبارت بنویسید که نشان دهنده مجموعه تهی باشد.

پاسخ: سه عبارت برای مجموعه تهی به شرح زیر است:

1. اعداد اول بین ۱۴ تا ۱۶
2. اعداد مضرب ۸ بین ۲۵ تا ۳۰
3. اعداد بخش‌‌پذیر بر ۴ که بین ۴۱ تا ۴۳ قرار دارند.

سخن پایانی

در این آموزش سعی کردیم نکات لازم درباره مجموعه تهی را یادآوری کنیم. این مجموعه به‌‌سبب داشتن ویژگی‌‌های منحصربه‌‌فرد یکی از مجموعه‌‌های مهم در ریاضی است که در ریاضی نهم و در مبحث مجموعه‌‌ها به آن پرداخته می‌‌شود. با توضیحاتی که در این مطلب داده شد، اکنون می‌‌دانیم که مجموعه تهی چند زیر مجموعه دارد و اجتماع و اشتراک آن با دیگر مجموعه‌‌ها چیست. امیدواریم توانسته باشیم در این مقاله به سؤالات شما پاسخ داده باشیم.

سؤالات متداول

1. مجموعه تهی چند عضو دارد؟
   مجموعه تهی هیچ عضوی ندارد.
2. مجموعه تهی و صفر چند زیرمجموعه دارد؟
   مجموعه تهی تنها یک زیرمجموعه (۱= ۲^۰) و مجموعه صفر دو زیرمجموعه (۲=۲^۱) دارد.
3. اجتماع هر مجموعه با تهی برابر چیست؟
   اجتماع هر مجموعه با تهی، برابر با آن مجموعه است.
4. اشتراک مجموعه تهی با مجموعه دیگر چیست؟
   اشتراک مجموعه تهی با هر مجموعه دیگری مجموعه تهی است.