آموزش ساده مقایسه اعداد اعشاری + مثال های حل شده

اعداد اعشاری اعدادی هستند که بین دو عدد صحیح قرار می‌‌گیرند و برای بیان دقیق مقادیر اندازه‌‌گیری‌‌شده به کار می‌‌روند. تشخیص عدد بزرگ‌‌تر و کوچک‌‌تر در این دسته از اعداد به‌‌دلیل وجود ممیز برای برخی از دانش‌‌آموزان ممکن است دشوار باشد و هنگام مقایسه آن‌‌ها را سردرگم کند. برای همین، ما در این مقاله قصد داریم با آموزش روش‌‌های مقایسه اعداد اعشاری به زبان ساده در تعیین اعداد اعشاری بزرگ‌‌تر و کوچک‌‌تر به شما کمک کنیم. پس با ما همراه باشید.

عدد اعشاری چیست؟

عدد اعشاری به عددی گفته می‌‌شود که از دو بخش صحیح و اعشار ساخته شده است. به بیان دیگر، یک عدد اعشاری بین دو عدد صحیح قرار دارد. بخش عدد صحیح و اعشار در اعداد اعشاری را با کمک ممیز (/) از یکدیگر جدا می‌‌کنند. بخش صحیح در سمت چپ ممیز و بخش اعشاری در سمت راست ممیز قرار می‌‌گیرد. برای مثال، عددی مثل ۲۵/۴ که یک عدد اعشاری است از یک بخش صحیح (۲۵) و یک بخش اعشاری (۴) تشکیل شده و خوانده می‌‌شود بیست‌‌وپنج و چهار دهم.

در ادامه این آموزش، با حل مثال‌‌هایی شما را با شیوه مقایسه اعداد اعشاری کلاس چهارم، پنجم و ششم دبستان آشنا می‌‌کنیم.

مقایسه اعداد اعشاری با استفاده از جدول ارزش مکانی

توجه به مکان ارقام در اعداد اعشاری راهکار مناسبی برای مقایسه این اعداد است. این روش که برای مقایسه اعداد صحیح نیز مورد استفاده قرار می‌‌گیرد، با استفاده از جدول ارزش مکانی انجام می‌‌شود. می‌‌دانیم که در اعداد صحیح هرچه به‌‌سمت راست پیش می‌‌رویم، ارزش مکانی ارقام کم می‌‌شود. در اعداد اعشاری نیز به همین صورت است.

همان‌‌طور که در تصویر زیر هم نشان داده‌‌ایم، در اعداد اعشاری هرچه به‌‌سمت راست می‌‌رویم، ارزش مکانی ارقام نسبت به رقم قبل از خود کم شده و تقسیم بر ۱۰ می‌‌شود و بالعکس هرچه به‌‌سمت چپ حرکت می‌‌کنیم، ارزش مکانی ارقام نسبت به رقم قبلی ۱۰ برابر می‌‌شود.

با توجه به توضیحاتی که دادیم، می‌‌توان گفت استفاده از جدول ارزش مکانی گزینه مناسبی برای درک کوچک‌‌تر یا بزرگ‌‌تر بودن اعداد اعشاری هنگام مقایسه است. برای مثال، اگر بخواهیم دو عدد اعشاری ۲۰/۷۱ و ۲۱/۰۷ را با هم مقایسه کنیم، ابتدا آن‌‌ها را در یک جدول ارزش مکانی به‌‌صورت زیر قرار می‌‌دهیم.

صدم	دهم	ممیز	یکان	دهگان
۱	۷	/	۰	۲
۷	۰	/	۱	۲

از سمت چپ یعنی از رقمی که بیشترین ارزش مکانی را دارد شروع می‌‌کنیم. در اینجا عدد ۲ در دهگان دارای بالاترین ارزش مکانی است اما چون در هر دو عدد اعشاری این رقم یکسان است، نمی‌‌توانیم به‌‌راحتی آن‌‌ها را با هم مقایسه کنیم. پس به سراغ رقم بعدی یعنی رقم سمت راست آن می‌‌رویم. در جایگاه یکان رقم‌‌های ۰ و ۱ را می‌‌بینیم. با توجه به اینکه ۱ از ۰ بزرگ‌‌تر است نتیجه می‌‌گیریم که عدد اعشاری ۲۱/۰۷ از ۲۰/۷۱ بزرگ‌‌تر است.

توجه داشته باشید که در اینجا اگر رقم‌‌های یکان با هم برابر بودند، سراغ رقم بعدی یعنی جایگاه دهم در بخش اعشاری می‌‌رفتیم و آن‌‌ها را با هم مقایسه می‌‌کردیم. بنابراین، در اینگونه مواقع که رقم‌‌ها مشابه هستند، تا جایی جلو می‌‌رویم که رقم‌‌های موجود در ارزش مکانی یکسان متفاوت باشند و آنگاه به مقایسه می‌‌پردازیم.

در اینجا لازم است یک نکته را یادآور شویم که در مقایسه اعداد اعشاری می‌‌تواند به کارتان آید:

نکته: در اعداد اعشاری صفر قبل از بخش صحیح و صفر بعد از بخش اعشاری که در انتهای ارقام اعشاری قرار می‌‌گیرد، مقدار عدد را تغییر نمی‌‌دهد. به‌‌عنوان مثال، عدد ۱۲/۳۵ با عدد ۰۱۲/۳۵۰ هیچ تفاوتی ندارد و مقدارشان یکسان است.

گاهی اوقات زمانی که قصد مقایسه اعداد اعشاری را داریم، گذاشتن ۰ در انتهای بخش اعشاری یا قبل از بخش صحیح می‌‌تواند در تشخیص عدد بزرگ‌‌تر یا کوچک‌‌تر به ما کمک کند. به مثال زیر توجه کنید.

می‌‌خواهیم دو عدد اعشاری ۷/۱۳ و ۱۷/۱ را با هم مقایسه کنیم. ابتدا آن‌‌ها را در یک جدول ارزش مکانی یادداشت می‌‌کنیم.

صدم	دهم	ممیز	یکان	دهگان
۳	۱	/	۷	۰
۰	۱	/	۷	۱

همان‌‌طور که می‌‌بینید، برای مقایسه راحت‌‌تر این دو عدد، جاهای خالی را با ۰ پر کردیم. صفرهای قرارداده‌‌شده تأثیری در مقدار اعداد نخواهند داشت. این کار را صرفاً برای برابر شدن تعداد رقم‌‌های دو عدد انجام دادیم. حالا از سمت چپ و جایگاه دهگان مقایسه را شروع می‌‌کنیم. می‌‌بینیم که رقم دهگان عدد ۱/۱۷ یعنی ۱ از رقم دهگان عدد ۱۳/۷ یعنی ۰ بزرگ‌‌تر است. درنتیجه ۷/۱۳<۱۷/۱ خواهد بود.

مقایسه اعداد اعشاری روی محور

می‌‌دانیم که در محور اعداد هرچه به‌‌سمت راست حرکت می‌‌کنیم اعداد بزرگ‌‌تر می‌‌شوند. مقایسه اعداد اعشاری با کمک محور تنها برای زمانی کاربرد دارد که اعداد داده‌‌شده به هم نزدیک باشند چرا که رسم محور اعداد برای اعدادی که بسیار با هم اختلاف دارند دشوار خواهد بود.

با یک مثال این روش را توضیح می‌‌دهیم. دو عدد ۳/۱ و ۳/۶ را در نظر بگیرید. این دو عدد بین ۳ و ۴ قرار دارند. پس باید بین این اعداد را به فواصل یک‌‌دهم تقسیم کنیم. حالا اعداد ۳/۱ و ۳/۶ را روی محور مشخص می‌‌کنیم. همان‌‌طور که می‌‌بینید، عدد ۳/۱ در سمت چپ و نزدیک ۳ قرار دارد اما عدد ۳/۶ در سمت راست ۳/۱ و نزدیک به عدد ۴. پس نتیجه می‌‌گیریم که عدد ۳/۶ از عدد ۳/۱ بزرگ‌‌تر است.

مقایسه اعداد اعشاری با اعداد صحیح

اعداد صحیح به‌‌دلیل نداشتن بخش اعشاری به‌‌راحتی قابل مقایسه هستند. برای مقایسه کردن اعداد اعشاری با اعداد صحیح، دوباره سراغ جدول ارزش مکانی می‌‌رویم. با یک مثال شروع می‌‌کنیم. فرض کنید می‌‌خواهیم عدد اعشاری ۱۵/۴ را با عدد صحیح ۱۶ مقایسه کنیم. ابتدا یک جدول به‌‌صورت زیر رسم کرده و رقم‌‌های این دو عدد را در آن جای‌‌گذاری می‌‌کنیم.

دهم	ممیز	یکان	دهگان
۴	/	۵	۱
۰	/	۶	۱

از سمت چپ شروع به مقایسه می‌‌کنیم. رقم دهگان هر دو عدد ۱ است و با هم برابرند. به رقم بعدی یعنی یکان رجوع می‌‌کنیم. عدد ۶ از ۵ بزرگ‌‌تر است. پس نتیجه می‌‌گیریم که ۱۶ از ۱۵/۴ بزرگ‌‌تر است.

مقایسه اعداد اعشاری منفی

اگر به یاد داشته باشید در اعداد صحیح وقتی اعداد مثبت را در یک علامت منفی ضرب می‌‌کردیم، مقدارشان نسبت به حالتی که علامت مثبت داشتند کوچک‌‌تر می‌‌شد. این قضیه را در اعداد اعشاری نیز داریم. برای مثال، در بخش مقایسه اعداد اعشاری روی محور دیدیم که عددی مثل ۳/۶ از عدد ۳/۱ بزرگ‌‌تر است. حال اگر این دو عدد را در یک علامت منفی ضرب کنیم، قضیه برعکس می‌‌شود یعنی ۳/۶- از ۳/۱- کوچک‌‌تر خواهد بود.

پس به‌‌عنوان یک نکته می‌‌توانیم بگوییم که هرچه قدر مطلق یک عدد اعشاری منفی بزرگ‌‌تر باشد، آن عدد کوچک‌‌تر خواهد بود. منظور از قدر مطلق، در نظر گرفتن عدد بدون علامت منفی است.

نکته دیگری که در اینجا باید به آن توجه کنید این است که یک عدد اعشاری مثبت همواره از یک عدد اعشاری منفی بزرگ‌‌تر است. مثلاً عددی مثل ۰/۰۰۱ از عدد ۱۰۰/۷- بزرگ‌‌تر است.

مثال:

کدام‌‌یک از دو عدد ۵/۹- و ۷/۶- کوچک‌‌تر است؟

جواب: برای مقایسه این دو عدد اعشاری، ابتدا بدون در نظر گرفتن علامت منفی آن‌‌ها را در یک جدول ارزش مکانی قرار می‌‌دهیم و عدد بزرگ‌‌تر را مشخص می‌‌کنیم.

دهم	ممیز	یکان
۹	/	۵
۶	/	۷

از سمت چپ که آغاز کنیم، می‌‌بینیم که ۷ از ۵ بزرگ‌‌تر است. درنتیجه ۷/۶ از ۵/۹ بزرگ‌‌تر خواهد بود. اگر دو عدد را در منفی ضرب کنیم، برعکس می‌‌شود. در این صورت، ۷/۶- از ۵/۹- کوچک‌‌تر خواهد بود. بنابراین، در این مثال عدد ۷/۶- کوچک‌‌تر است.

مقایسه اعداد اعشاری با کسر

برای مقایسه اعداد اعشاری با اعداد کسری کافی‌‌ست کسر را به عدد اعشاری تبدیل کنیم. دو عدد ۰/۹ و را در نظر بگیرید. برای مقایسه این دو عدد باید ابتدا با استفاده از آموزش تبدیل کسر به عدد اعشار، کسر را به‌‌شکل یک عدد اعشاری درآوریم. برای اینکه بتوانیم یک کسر را به عدد اعشاری تبدیل کنیم باید حتماً به مخرج آن توجه کرد. مخرج باید مضرب ۱۰ باشد. اگر مخرج مضرب ۱۰ نباشد، باید با ضرب صورت و مخرج در یک عدد مناسب، مخرج را به مضرب ۱۰ تبدیل کنیم.

در این مثال، مخرج کسر مضرب ۱۰ نیست اما می‌‌توان با ضرب صورت و مخرج در ۲، مخرج را به مضربی از ۱۰ تبدیل کرد:

عدد اعشاری ۰/۸ معادل کسر است. حالا می‌‌توانیم با تشکیل جدول ارزش مکانی دو عدد اعشاری ۰/۸ و ۰/۹ را مقایسه کنیم.

دهم	ممیز	یکان
۸	/	.
۹	/	۰

از سمت چپ که شروع کنیم، مساوی بودن یکان‌‌ها را خواهیم دید که برابر با ۰ هستند. پس به رقم بعدی در ستون دهم نگاه می‌‌کنیم. ۹ از ۸ بزرگ‌‌تر است، بنابراین ۰/۹ از ۰/۸ بزرگ‌‌تر خواهد بود.

مقایسه اعداد اعشاری با اعداد مخلوط

مقایسه اعداد اعشاری با اعداد مخلوط دو راه پیش رو دارید:
• ابتدا عدد مخلوط را به کسر و سپس به عدد اعشاری تبدیل کنید.
• بخش کسری عدد مخلوط را به عدد اعشاری تبدیل کرده و کنار بخش صحیح عدد مخلوط قرار می‌‌دهیم.

فرض کنید می‌‌خواهیم عدد اعشاری ۶/۲۴ را با عدد مخلوط مقایسه کنیم. می‌‌توان از هر دو روش بالا استفاده کرد. ما روش دوم را انتخاب می‌‌کنیم. بخش کسری عدد مخلوط را که است به‌‌صورت عدد اعشاری می‌‌نویسیم:

اکنون ۰/۲۵ را با بخش صحیح عدد مخلوط یعنی ۶ جمع می‌‌زنیم. داریم:

در این مرحله دو عدد اعشاری ۶/۲۴ و ۶/۲۵ را داریم که باید به مقایسه آن‌‌ها بپردازیم. این کار را با کمک جدول ارزش مکانی انجام می‌‌دهیم.

صدم	دهم	ممیز	یکان
۴	۲	/	۶
۵	۲	/	۶

رقم‌‌های یکان و دهم دو عدد اعشاری مشابه هم هستند. با مقایسه ارقام صدم دو عدد می‌‌بینیم که ۵ از ۴ بزرگ‌‌تر است. این مقایسه نتیجه زیر را به ما می‌‌دهد:

برای بررسی بیشتر این روش، حتما به مقاله تبدیل عدد مخلوط به کسر سر بزنید.

مقایسه اعداد اعشاری از کوچک به بزرگ

در این بخش قصد داریم به این سؤال پاسخ دهیم: چگونه اعداد اعشاری را از کوچک به بزرگ مرتب کنیم ششم دبستانی‌‌ها و دانش‌‌آموزان پایه پنجم زمانی که اعداد اعشاری را یاد می‌‌گیرند، با سؤال‌‌هایی از این دست مواجه می‌‌شوند که مثلاً اعداد زیر را از کوچه به بزرگ مرتب کنید. ما نیز در اینجا با حل یک مثال نمونه‌‌ای از این سؤال‌‌ها را برایتان حل می‌‌کنیم تا با شیوه مرتب کردن این گروه از اعداد آشنا شوید.
مثال:
اعداد زیر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید.

جواب: برای مقایسه راحت‌‌تر، ابتدا عدد کسری و عدد مخلوط را با روش‌‌هایی که در بخش‌‌های قبل بیان کردیم، به عدد مخلوط تبدیل می‌‌کنیم. داریم:

حالا یک مجموعه از اعداد اعشاری به‌‌شکل زیر داریم:

می‌‌توانیم یک جدول ارزش مکانی تشکیل دهیم و مقایسه را شروع کنیم. استفاده از جدول ارزش مکانی در ابتدای یادگیری روش مناسبی است اما ما پیشنهاد می‌‌کنیم که با کمک ممیز سعی کنید ارزش مکانی ارقام قبل و بعد از آن را مشخص کرده و بدون استفاده از جدول ارزش مکانی مقایسه را انجام دهید زیرا تشکیل جدول ارزش مکانی زمانی که تعداد اعداد زیاد است، مدت‌‌زمان پاسخ شما را طولانی می‌‌کند.

برای شروع، سمت چپ ممیز اعداد را نگاه می‌‌کنیم. همه این اعداد در سمت چپ ممیز تنها یک رقم یعنی رقم یکان دارند. کافی‌‌ست عددی که یکان آن از همه کوچک‌‌تر است را جدا کنیم. در این اعداد کوچک‌‌ترین یکان ۰ است که در سه عدد ۰/۴۷، ۰/۱۵ و ۰/۰۴ وجود دارد. برای تعیین کوچک‌‌ترین عدد اعشاری بین این سه عدد به رقم بعدی یعنی دهم نگاه می‌‌کنیم. نتیجه مقایسه این سه عدد به‌‌صورت زیر خواهد بود:

۰/۰۴<۰/۱۵<۰/۴۷

اکنون سراغ دیگر اعداد اعشاری می‌‌رویم. پس از ۰ کوچک‌‌ترین یکان ۴ است که در اعداد ۴/۹ و ۴/۰۵ دیده می‌‌شود. بین این دو عدد کوچک‌‌ترین دهم متعلق به ۴/۰۵ است که مساوی ۰ است. پس رابطه بین این دو عدد را می‌‌توان به‌‌صورت زیر نوشت:

۴/۰۵<۴/۹

در نهایت، ترتیب اعداد داده‌‌شده از کوچک به بزرگ به‌‌صورت زیر خواهد بود:

۰/۰۴<۰/۱۵<۰/۴۷<۴/۰۵<۴/۹<۵/۷

نمونه سوال مقایسه اعداد اعشاری دهم و صدم و هزارم

در اینجا برای درک بهتر مقایسه اعداد اعشاری کلاس پنجم نمونه سؤالی از مقایسه اعداد اعشاری با جواب را در اختیارتان قرار داده‌‌ایم.
کدام‌‌یک از دو عدد ۹۲/۱ و ۹۲۱/۱ بزرگ‌‌تر است؟
جواب: ابتدا یک جدول ارزش مکانی تشکیل می‌‌دهیم:

هزارم	صدم	دهم	ممیز	یکان
۰	۲	۹	/	۱
۱	۲	۹	/	۱

برای اینکه تعداد رقم‌‌های دو عدد یکسان شود، در انتهای عدد ۱/۹۲ یک ۰ قرار داده‌‌ایم. از سمت چپ که شروع کنیم می‌‌بینیم که رقم‌‌های یکان، دهم و صدم مشابه هم هستند، اما رقم هزارم عدد ۱/۹۲۱ از ۱/۹۲ بیشتر است. به‌‌این‌‌ترتیب، عدد بزرگ‌‌تر ۱/۹۲۱ خواهد بود.

نمونه سوال مقایسه اعداد اعشاری و کسری کلاس ششم

سؤال‌‌هایی که برای مقایسه اعداد اعشاری کلاس ششم مطرح می‌‌شود معمولاً به‌‌صورت مقایسه اعداد اعشاری با اعداد کسری و اعداد مخلوط است. در این بخش، نمونه‌‌ای از این سؤال‌‌ها را حل می‌‌کنیم.
عدد ۰/۷۶۵ کوچک‌‌تر است یا ؟
جواب: ابتدا عدد کسری را به‌‌شکل عدد اعشاری می‌‌نویسیم:

باید دو عدد ۰/۷۶۵ و ۰/۷۵ را با هم مقایسه کنیم. جدول ارزش مکانی را تشکیل می‌‌دهیم:

هزارم	صدم	دهم	ممیز	یکان
۵	۶	۷	/	۰
۰	۵	۷	/	۰

از سمت چپ اولین رقمی که در این دو عدد متفاوت است در مکان صدم قرار دارد که با مقایسه آن‌‌ها می‌‌توان به این نتیجه رسید که عدد ۰/۷۶۵ از ۰/۷۵ بزرگ‌‌تر است. بنابراین، در اینجا عدد کوچک‌‌تر ۰/۷۵ یا همان است.

سخن پایانی

در این آموزش یاد گرفتیم که چگونه اعداد اعشاری را از کوچک به بزرگ مرتب کنیم پنجم و ششم دبستانی‌‌ها در این پایه تحصیلی لازم است اعداد اعشاری کوچک و بزرگ را از هم تشخیص دهند. ما در طول این مطلب سعی کردیم با آوردن چند نمونه سوال مقایسه اعداد اعشاری کلاس پنجم با جواب و مثال‌‌های حل‌‌شده از پایه‌‌های چهارم و ششم، مقایسه این اعداد را به دانش‌‌آموزان آموزش دهیم.

در آخر توصیه می‌‌کنیم در کنار این آموزش مثال‌‌های بیشتری حل کنید تا بدون استفاده از جدول ارزش مکانی بتوانید به‌‌راحتی به مقایسه اعداد اعشاری بپردازید.