به نظر شما کلاه تولد و نان بستنی قیفی چه چیز مشترکی دارند؟ بله، درست حدس زدید؛ هر دوی آن‌ها ازنظر ظاهری شبیه به هم هستند و مخروطی‌شکل‌اند. حال سؤال اینجاست که اصلاً مخروط چیست و یک شکل چه ویژگی‌هایی باید داشته باشد که آن را مخروط بنامیم. این مقاله را تا انتها دنبال کنید تا علاوه‌بر شناخت بهتر این شکل هندسی، با خواص و انواع آن نیز آشنا شوید.
مخروط چیست؟
مخروط یک شکل هندسی سه‌بعدی شامل یک سطح منحنیشکل و یک سطح صاف دایره‌ای است. سطح منحنیشکل را «سطح جانبی» و سطح دایره‌ای را «قاعده» مخروط می‌نامند. اگر یک مخروط را مانند شکل زیر روی یک سطح گسترده کنید، قاعده را به‌صورت یک دایره کامل و سطح جانبی را به‌صورت قطاعی از یک دایره مشاهده خواهید کرد.
نقطه‌ای که در بالای قاعده قرار دارد را «رأس» مخروط می‌گویند.
در محاسبات مربوط به مخروط با سه پارامتر مهم سروکار داریم:
- شعاع: فاصله بین مرکز قاعده تا محیط قاعده (r)
- ارتفاع: فاصله عمودی بین رأس مخروط تا قاعده (h)
- طول مایل: فاصله بین رأس مخروط تا محیط قاعده (l)
راهنمای کامل و سریع ثبت نام کتاب را اینجا ببینید.
ویژگی های مخروط
تا اینجا با مخروط و اجزای آن آشنا شدیم. در این بخش می‌خواهیم خواص این شکل سه‌بعدی را بررسی کنیم. ویژگی‌های مهم مخروط عبارت‌اند از:
- مخروط تنها ۲ وجه دارد: یک وجه منحنیشکل (وجه جانبی) و یک وجه مسطح.
- هر مخروطی دارای یک رأس و یک یال است. به محل برخورد وجه منحنیشکل و وجه مسطح یال گفته می‌شود.
- وجه مسطح مخروط که قاعده نام دارد به‌شکل یک دایره است.
اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیه‌های مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر می‌شود!
انواع مخروط
مخروطها را می‌توان به ۳ نوع تقسیمبندی کرد:
- مخروط قائم
- مخروط مایل
- مخروط ناقص
نکته: مخروطها ازنظر محل قرارگیری رأس نسبت به قاعده به دو نوع مخروط قائم و مایل دسته‌بندی میشوند. در ادامه تفاوت آن‌ها را بین خواهیم کرد.
مخروط قائم
مخروط قائم مخروطی است که رأس آن درست در بالای مرکز قاعده قرار دارد و فاصله رأس از تمام نقاط روی محیط قاعده یکسان است. در این نوع مخروط، ارتفاع از رأس آغاز شده و بر مرکز قاعده عمود می‌شود.
مخروط مایل
مخروط مایل به مخروطی گفته می‌شود که برخلاف مخروط قائم رأس آن دقیقاً در بالای مرکز قاعده قرار نمی‌گیرد و فاصله رأس از نقاط مختلف روی محیط قاعده یکسان نیست. در این نوع مخروط نیز ارتفاع از رأس آغاز می‌شود اما انتهای دیگر آن که بر قاعده مخروط عمود است بر مرکز قاعده منطبق نمی‌شود. همان‌طور که در تصویر زیر می‌بینید، در مخروط مایل، ارتفاع می‌تواند داخل یا خارج مخروط باشد. به‌عبارت دیگر، در این نوع مخروط ارتفاع بر قاعده یا بر امتداد آن عمود است.
مخروط ناقص
مخروط ناقص ازنظر ظاهری با مخروط قائم و مایل متفاوت است. اگر قسمتی از بالای یک مخروط کامل بریده شود، مخروطی خواهیم داشت که رأس ندارد و ناقص است. چنین مخروطی را مخروط ناقص می‌نامند. همان‌طور که در شکل زیر نیز دیده می‌شود، مخروط ناقص دارای دو قاعده دایره‌ای موازی با سطح مقطع متفاوت است.
مساحت مخروط
می‌دانیم که مساحت یا اندازه سطح برای اشکال دوبعدی تعریف می‌شود. ازطرفی، مخروط یک شکل سه‌بعدی است. بنابراین، برای محاسبه مساحت این شکل هندسی باید آن را مانند شکل زیر در یک سطح دوبعدی گسترده کنیم.
همان‌طور که قبلاً هم گفتیم، مخروط از دو سطح (سطح جانبی و قاعده) تشکیل شده است. این دو سطح به‌شکل یک دایره کامل به شعاع r و یک قطاع به شعاع l (طول مایل) هستند. بنابراین، می‌توانیم به‌راحتی فرمول محاسبه مساحت مخروط را بهدست آوریم. کافی‌ست مساحت دو سطح را به‌صورت زیر با هم جمع کنیم:
مساحت قاعده+ مساحت سطح جانبی =مساحت مخروط
S=πrl+πr۲
اگر مقدار طول مایل مجهول باشد، می‌توانیم با کمک قضیه فیثاغورس و با استفاده از مقدار ارتفاع (h) و شعاع قاعده (r) مقدار آن را به‌صورت زیر تعیین کنیم:
اگر مقدار طول مایل مجهول باشد، می‌توانیم با کمک قضیه فیثاغورس و با استفاده از مقدار ارتفاع (h) و شعاع قاعده (r) مقدار آن را به‌صورت زیر تعیین کنیم:
مثال: مساحت شکل زیر را تعیین کنید.
جواب: برای تعیین مساحت شکل بالا از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:
S=πrl+πr۲
در شکل داده‌شده، تنها مقادیر شعاع قاعده و ارتفاع را داریم. پس باید با استفاده از قضیه فیثاغورس فرمول را به‌صورت زیر بازنویسی کنیم:
اکنون مقادیر داده‌شده را در فرمول جای‌گذاری می‌کنیم تا مساحت مخروط بهدست آید. داریم:
حجم مخروط
حجم مخروط یعنی فضای اشغال‌شده توسط آن. برای محاسبه حجم یک مخروط به مقدار ارتفاع (h) و شعاع قاعده (r) نیاز داریم زیرا فرمول حجم مخروط برابر است با «یکسوم مساحت قاعده ضربدر ارتفاع».
با توجه به اینکه قاعده مخروط دایرهایشکل است، فرمول حجم مخروط را می‌توانیم به‌صورت زیر بنویسیم:
مثال: حجم مخروط زیر چند سانتی‌متر مکعب است؟
جواب: برای محاسبه حجم مخروط داده‌شده، کافی‌ست مقادیر ارتفاع و شعاع قاعده را در فرمول جای‌گذاری کنیم. خواهیم داشت:
فرق هرم با مخروط چیست؟
هرم و مخروط ازجمله حجم‌های هندسی هستند که اگرچه در نگاه اول شبیه به هم به نظر می‌رسند اما در کنار شباهت، تفاوت‌هایی نیز با هم دارند. در واقع، هرم و مخروط در موارد زیر با هم متفاوت‌اند:
- شکل قاعده
- تعداد وجه‌های جانبی
- شکل وجه جانبی
- تعداد کل وجه‌ها
- تعداد یال‌ها
- مساحت سطح جانبی
- مساحت قاعده
اگر می‌خواهید جزئیات بیشتری درمورد تفاوت هرم و مخروط بدانید، سری به مقاله فرق هرم با مخروط بزنید. در آنجا به‌صورت جامع و کامل تفاوت این دو شکل هندسی را توضیح داده‌ایم.
سخن پایانی
در این مقاله سعی کردیم شما را با مخروط و اجزای آن آشنا کنیم. مخروط یکی از اشکال سه‌بعدی است که از یک وجه جانبی و یک وجه دایره‌ای شکل ساخته شده است. وجه دایرهایشکل را قاعده مخروط می‌نامند. این حجم هندسی تنها یک رأس دارد که در بالای قاعده قرار می‌گیرد و بسته به اینکه رأس دقیقاً در بالای مرکز قاعده قرار گیرد یا نه، شکل مخروط متفاوت خواهد بود و به‌صورت مخروط قائم یا مایل دیده خواهد شد. در پایان، این نکته را یادآور می‌شویم که مخروط تقریباً شبیه به هرم است و در مسائل مختلف حتماً دقت کنید که این دو را با هم اشتباه نگیرید.
سؤالات متداول
- مخروط چند وجه دارد؟
مخروط دارای یک وجه منحنیشکل و یک وجه مسطح دایرهایشکل است و ازاینرو، درمجموع دو وجه دارد. - انواع مخروط را براساس موقعیت رأس نسبت به قاعده نام ببرید.
مخروطها ازنظر محل قرارگیری رأس نسبت به قاعده به دو نوع مخروط قائم و مایل تقسیمبندی میشوند. - فرمول مساحت مخروط چیست؟
مساحت مخروط برابر است با حاصلجمع مساحت جانبی و مساحت قاعده آن. - فرمول حجم مخروط چیست؟
حجم مخروط از رابطه «یکسوم حاصلضرب مساحت قاعده در ارتفاع» بهدست میآید.
