حجم منشور چیست | فرمول محاسبه + نمونه سوال

نحوه محاسبه حجم منشور با مثال

منشور یکی دیگر از انواع اشکال هندسی سه‌بعدی چندوجهی است که دو وجه از وجه‌های مقابل آن شبیه به هم و جندضلعی هستند. این وجه‌ها قاعده نام دارند. سایر وجه‌های منشور نیز که به آن‌ها وجه‌های جانبی گفته می‌شود، به‌شکل مربع، مستطیل یا متوازی‌الاضلاع هستند. منشورها را براساس شکل قاعده آن‌ها نام‌گذاری می‌کنند. مثلاً اگر قاعده یک منشور به‌شکل مثلث باشد، آن را منشور مثلثی می‌نامند. این شکل هندسی به‌دلیل سه‌بعدی بودن دارای حجم است و مقداری از فضا را اشغال می‌کند. در این مقاله و در ادامه آموزش‌های محیط و مساحت و حجم اشکال هندسی، به تعریف حجم منشور و روش محاسبه آن بیشتر خواهیم پرداخت.

منشور و انواع آن

همان‌طور که بیان کردیم، منشور دارای دو قاعده چندضلعی مشابه است و به‌اندازه تعداد اضلاع قاعده می‌تواند وجه جانبی داشته باشد. به‌عنوان مثال، در یک منشور پنج‌ضلعی، دو قاعده پنج‌ضلعی و پنج وجه جانبی وجود دارد. شکل زیر انواع منشور با قاعده‌های متفاوت را نشان می‌دهد.

تصویر انواع منشور با قاعده های گوناگون

منشورها انواع مختلفی دارند و براساس شکل قاعده و اندازه زاویه بین قاعده و وجه جانبی به چند نوع دسته‌بندی می‌شوند.

انواع منشور از نظر شکل قاعده:

  • منشور منتظم: منشوری است که طول اضلاع قاعده آن با هم برابر است.
  • منشور نامنتظم: در این نوع منشور اندازه اضلاع قاعده یکسان نیستند.

انواع منشور از نظر اندازه زاویه بین قاعده و وجه جانبی:

  • منشور قائم: در این نوع منشور، زاویه بین قاعده‌ها و وجه‌های جانبی قائمه است و قاعده‌ها دقیقاً روبه‌روی یکدیگر قرار دارند.
  • منشور مایل: منشوری است که زاویه بین قاعده‌ها و وجه‌های جانبی آن قائمه نیست.

پیشنهاد مطالعه: مساحت منشور چیست؟ ׀ فرمول ها + نمونه سؤال با جواب

تصویر انواع منشور

اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیه‌های مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر می‌شود!

حجم منشور چیست؟

به فضای اشغال‌شده توسط منشور یا به‌عبارتی به فضای محصورشده بین وجه‌های منشور حجم منشور می‌گویند. حجم را با واحد مکعب اندازه می‌گیرند مثل سانتی‌متر مکعب، میلی‌متر مکعب و غیره.

فرمول حجم منشور

برای محاسبه حجم یک منشور به مساحت قاعده و ارتفاع آن نیاز داریم. ارتفاع منشور برابر با فاصله عمودی دو قاعده منشور و مساحت قاعده نیز برابر با اندازه سطح آن است. به‌طور کلی، حجم منشور از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

منشور حجم = مساحت قاعده ارتفاع
V = A h

  • V: حجم منشور
  • A: مساحت قاعده منشور
  • h: ارتفاع منشور

احتمالاً این پرسش برایتان پیش آید که مساحت قاعده را چگونه به‌دست آوریم. پاسخ این است که با توجه به اینکه شکل هندسی قاعده منشور می‌تواند متفاوت باشد، نمی‌توان فرمول ثابتی برای محاسبه مساحت آن در نظر گرفت.

پیشنهاد مطالعه:

فرمول حجم منشور

فرمول حجم منشور مایل

در منشور مایل اگرچه وجه‌های جانبی بر قاعده‌ها عمود نیستند، اما با توجه به تصویر زیر باز هم حجم آن‌ها از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

فرمول حجم منشور مایل

نمونه سؤال حجم منشور

برای اینکه با نحوه محاسبه انواع منشور آشنا شوید، در این قسمت به حل چند نمونه سؤال می‌پردازیم.

حجم منشور مثلثی

حجم منشور مثلثی زیر را محاسبه کنید.

یک منشور مثلثی با ابعاد مشخص

جواب: با توجه به فرمول حجم منشور، ابتدا باید مساحت قاعده را به‌دست آوریم. قاعده منشور به‌شکل مثلث است و باید برای تعیین مساحت آن از فرمول مساحت مثلث یعنی یک‌دوم حاصل‌ضرب قاعده ضربدر ارتفاع استفاده کنیم. خواهیم داشت:

A = ۱ ۲ h b
  • مساحت قاعده مثلثی (A)
  • ارتفاع مثلث (h=3)
  • قاعده مثلث (b=8)
A = ۱ ۲ × ۳ × ۲ = ۲ ۴ ۲ = ۱ ۲ c m ۲

حالا مقدار مساحت به‌دست‌آمده و ارتفاع منشور را در فرمول حجم منشور جای‌گذاری می‌کنیم:

V = Ah

  • مساحت قاعده مثلثی (A = 12)
  • ارتفاع منشور (h = 10)

V = ۱۲ × ۱۰ = ۱۲۰ cm۳

حجم منشور مثلث قائم الزاویه

حجم شکل زیر را تعیین کنید.

یک منشور مثلث قائم الزاویه با ابعاد مشخص

جواب: شکل بالا یک منشور با قاعده‌ای به‌شکل مثلث قائم‌الزاویه است. بنابراین مساحت قاعده را از فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه به‌صورت زیر به‌دست می‌آوریم:

A = ۱ ۲ h b
  • ارتفاع مثلث (h=6)
  • قاعده مثلث (b=4)
A = ۱ ۲ × ۶ × ۴ = ۲ ۴ ۲ = ۱ ۲ c m ۲

اکنون مقدار مساحت قاعده و ارتفاع منشور را در فرمول حجم قرار می‌دهیم تا مقدار حجم این منشور به‌دست آید.

V = Ah

  • مساحت قاعده مثلثی (A = ۱۲)
  • ارتفاع منشور (h = ۸)

V = ۱۲ × ۸ = ۹۶ cm۳

حجم منشور مستطیلی

حجم منشور شکل زیر را به‌دست آورید (وجه پررنگ قاعده منشور است).

یک منشور مستطیلی با ابعاد مشخص

جواب: شکل داده‌شده یک مکعب مستطیل یا به‌عبارتی یک منشور مستطیلی را نشان می‌دهد که قاعده آن به‌شکل مستطیل است. پس باید با استفاده از فرمول مساحت مستطیل ابتدا مساحت قاعده را تعیین کنیم.

A = lw

  • مساحت قاعده مستطیلی (A)
  • طول مستطیل (l = ۱۲)
  • عرض مستطیل (w = ۳)

A = ۱۲ × ۳ = ۳۶ cm۲

با جای‌گذاری مقدار مساحت و ارتفاع در فرمول حجم منشور داریم:

V = Ah

  • مساحت قاعده مستطیلی (A = ۳۶)
  • ارتفاع منشور (h = ۵)

V = ۳۶ × ۵ = ۱۸۰ cm۳

حجم منشور ذوزنقه

حجم شکل زیر چند سانتی‌متر مکعب است؟

یک منشور ذوزنقه با ابعاد مشخص

جواب: با توجه به اینکه قاعده این منشور به‌شکل ذوزنقه است، از فرمول مساحت ذوزنقه برای محاسبه مساحت آن استفاده می‌کنیم.

A = ( a + b ) × h ۲
  • مساحت قاعده ذوزنقه‌ای (A)
  • قاعده کوچک (a = ۵)
  • قاعده بزرگ (b = ۷)
  • ارتفاع ذوزنقه (h = ۴)
A = ( ۵ + ۷ ) × ۴ ۲ = ۱ ۲ × ۴ ۲ = ۴ ۸ ۲ = ۲ ۴ c m 2

با قرار دادن مقدار مساحت و ارتفاع منشور در فرمول حجم خواهیم داشت:

V = Ah

  • مساحت قاعده ذوزنقه‌ای (A = ۲۴)
  • ارتفاع منشور (h = ۱۱)

V = ۲۴ × ۲۲ = ۲۶۴ cm3

حجم منشور متوازی الاضلاع

حجم منشور زیر ۲۷۰ میلی‌متر مکعب است. مقدار ارتفاع قاعده آن را به‌دست آورید.

یک منشور متوازی الاضلاع با ابعاد مشخص

جواب: مقدار حجم و ارتفاع منشور داده شده است. پس باید ابتدا مساحت قاعده را به کمک فرمول حجم منشور تعیین کنیم.

V = Ah

  • مساحت قاعده متوازی‌الاضلاع (A)
  • ارتفاع منشور (h = ۹)
  • حجم منشور (V = ۲۷۰)

۲۷۰ = A × ۹

A = ۲ ۷ ۰ ۲ = ۳ ۰ m m 2

مقدار مساحت قاعده منشور و قاعده متوازی‌الاضلاع را در فرمول مساحت متوازی الاضلاع جای‌گذاری می‌کنیم تا مقدار ارتفاع متوازی‌الاضلاع به‌دست آید:

A = bh

  • قاعده متوازی‌الاضلاع (b = ۵)
  • ارتفاع متوازی‌الاضلاع (h)

۳۰ = ۵ × h

A = ۳ ۰ ۵ = ۶ m m 2

سخن پایانی

منشور یک شکل هندسی سه‌بعدی است که از دو قاعده چندضلعی مشابه و موازی و چند وجه جانبی به‌شکل مربع، مستطیل یا متوازی‌الاضلاع تشکیل شده است. منشور به‌دلیل سه‌بعدی بودن دارای حجم است و مقداری از فضا را اشغال می‌کند. درواقع حجم منشور برابر است با مقدار فضای محصورشده بین وجه‌های منشور. حجم منشور قابل محاسبه است و مقدار آن از حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع به‌دست می‌آید.

سؤالات متداول

  1. منشور چیست؟ 
    منشور یک شکل سه‌بعدی چندوجهی است که از دو قاعده چندضلعی مشابه و چند وجه جانبی به‌شکل مربع، مستطیل یا متوازی‌الاضلاع ساخته شده است
  2. حجم منشور چیست؟
    حجم منشور برابر با مقدار فضای اشغال‌شده توسط آن است.
  3. حجم منشور از چه فرمولی محاسبه می‌شود؟
    حجم منشور از فرمول مساحت قاعده ضربدر ارتفاع محاسبه می‌شود.

به این مطلب امتیاز دهید

اشتراک گذاری مطلب :

اولین نفری باشید که از اخبار و اطلاعیه‌های مرتبط با پایه تحصیلیتان باخبر می‌شود!

مقالات مرتبط

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *