حجم منشور چیست ؟ | فرمول محاسبه + نمونه سوال

منشور یکی دیگر از اشکال سه‌بعدی چندوجهی است که دو وجه از وجه‌های مقابل آن شبیه به هم و جندضلعی هستند. این وجه‌ها قاعده نام دارند. سایر وجه‌های منشور نیز که به آن‌ها وجه‌های جانبی گفته می‌شود، به‌شکل مربع، مستطیل یا متوازی‌الاضلاع هستند. منشورها را براساس شکل قاعده آن‌ها نام‌گذاری می‌کنند. مثلاً اگر قاعده یک منشور به‌شکل مثلث باشد، آن را منشور مثلثی می‌نامند. این شکل هندسی به‌دلیل سه‌بعدی بودن دارای حجم است و مقداری از فضا را اشغال می‌کند. در ادامه این آموزش، به تعریف حجم منشور و روش محاسبه آن بیشتر خواهیم پرداخت.

منشور و انواع آن

همان‌طور که بیان کردیم، منشور دارای دو قاعده چندضلعی مشابه است و به‌اندازه تعداد اضلاع قاعده می‌تواند وجه جانبی داشته باشد. به‌عنوان مثال، در یک منشور پنج‌ضلعی، دو قاعده پنج‌ضلعی و پنج وجه جانبی وجود دارد. شکل زیر انواع منشور با قاعده‌های متفاوت را نشان می‌دهد.

منشورها انواع مختلفی دارند و براساس شکل قاعده و اندازه زاویه بین قاعده و وجه جانبی به چند نوع دسته‌بندی می‌شوند.

انواع منشور از نظر شکل قاعده

انواع منشور از نظر اندازه زاویه بین قاعده و وجه جانبی

حجم منشور چیست؟

به فضای اشغال‌شده توسط منشور یا به‌عبارتی به فضای محصورشده بین وجه‌های منشور حجم منشور می‌گویند. حجم را با واحد مکعب اندازه می‌گیرند مثل سانتی‌متر مکعب، میلی‌متر مکعب و غیره.

فرمول حجم منشور

برای محاسبه حجم یک منشور به مساحت قاعده و ارتفاع آن نیاز داریم. ارتفاع منشور برابر با فاصله عمودی دو قاعده منشور و مساحت قاعده نیز برابر با اندازه سطح آن است. به‌طور کلی، حجم منشور از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

احتمالاً این پرسش برایتان پیش آید که مساحت قاعده را چگونه به‌دست آوریم. پاسخ این است که با توجه به اینکه شکل قاعده منشور می‌تواند متفاوت باشد، نمی‌توان فرمول ثابتی برای محاسبه مساحت آن در نظر گرفت.

فرمول حجم منشور مایل

در منشور مایل اگرچه وجه‌های جانبی بر قاعده‌ها عمود نیستند، اما با توجه به تصویر زیر باز هم حجم آن‌ها از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

نمونه سؤال حجم منشور

برای اینکه با نحوه محاسبه انواع منشور آشنا شوید، در این قسمت به حل چند نمونه سؤال می‌پردازیم.

حجم منشور مثلثی

حجم منشور مثلثی زیر را محاسبه کنید.

جواب: با توجه به فرمول حجم منشور، ابتدا باید مساحت قاعده را به‌دست آوریم. قاعده منشور به‌شکل مثلث است و باید برای تعیین مساحت آن از فرمول مساحت مثلث یعنی یک‌دوم حاصل‌ضرب قاعده ضربدر ارتفاع استفاده کنیم. خواهیم داشت:

$$A=\frac{۱}{۲}hb$$ $$A=\frac{۱}{۲}\times <!--\; \times \; -->۳\times <!--\; \times \; -->۲=\frac{۲۴}{۲}=۱۲c{m}^{۲}$$

حالا مقدار مساحت به‌دست‌آمده و ارتفاع منشور را در فرمول حجم منشور جای‌گذاری می‌کنیم:

V=Ah

V=۱۲×۱۰=۱۲۰ cm^۳

حجم منشور مثلث قائم الزاویه

حجم شکل زیر را تعیین کنید.

جواب: شکل بالا یک منشور با قاعده‌ای به‌شکل مثلث قائم‌الزاویه است. بنابراین، مساحت قاعده را از فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه به‌صورت زیر به‌دست می‌آوریم:

$$A=\frac{۱}{۲}hb$$ $$A=\frac{۱}{۲}\times <!--\; \times \; -->۶\times <!--\; \times \; -->۴=\frac{۲۴}{۲}=۱۲c{m}^{۲}$$

اکنون مقدار مساحت قاعده و ارتفاع منشور را در فرمول حجم قرار می‌دهیم تا مقدار حجم این منشور به‌دست آید.

V=Ah

V = ۱۲ × ۸ = ۹۶ cm^۳

حجم منشور مستطیلی

حجم منشور شکل زیر را به‌دست آورید (وجه پررنگ قاعده منشور است).

جواب: شکل داده‌شده یک مکعب مستطیل یا به‌عبارتی یک منشور مستطیلی را نشان می‌دهد که قاعده آن به‌شکل مستطیل است. پس باید با استفاده از فرمول مساحت مستطیل ابتدا مساحت قاعده را تعیین کنیم.

A=lw

A = ۱۲ × ۳ = ۳۶ cm^۲

با جای‌گذاری مقدار مساحت و ارتفاع در فرمول حجم منشور داریم:

V=Ah

V = ۳۶ × ۵ = ۱۸۰ cm^۳

حجم منشور ذوزنقه

حجم شکل زیر چند سانتی‌متر مکعب است؟

جواب: با توجه به اینکه قاعده این منشور به‌شکل ذوزنقه است، از فرمول مساحت ذوزنقه برای محاسبه مساحت آن استفاده می‌کنیم.

$$A=\frac{(a+b)\times <!--\; \times \; -->h}{۲}$$ $$A=\frac{(۵+۷)\times <!--\; \times \; -->۴}{۲}=\frac{۱۲\times <!--\; \times \; -->۴}{۲}=\frac{۴۸}{۲}=۲۴c{m}^2$$

با قرار دادن مقدار مساحت و ارتفاع منشور در فرمول حجم خواهیم داشت:

V=Ah

V= ۲۴ × ۲۲ = ۲۶۴ cm³

حجم منشور متوازی الاضلاع

حجم منشور زیر ۲۷۰ میلی‌متر مکعب است. مقدار ارتفاع قاعده آن را به‌دست آورید.

جواب: مقدار حجم و ارتفاع منشور داده شده است. پس باید ابتدا مساحت قاعده را به کمک فرمول حجم منشور تعیین کنیم.

V = A h

۲۷۰ = A × ۹

$$A=\frac{۲۷۰}{۲}=۳۰m{m}^2$$

مقدار مساحت قاعده منشور و قاعده متوازی‌الاضلاع را در فرمول مساحت متوازی الاضلاع جای‌گذاری می‌کنیم تا مقدار ارتفاع متوازی‌الاضلاع به‌دست آید:

A=bh

• قاعده متوازی‌الاضلاع (b=5)
• ارتفاع متوازی‌الاضلاع (h)

۳۰ = ۵ × h

$$A=\frac{۳۰}{۵}=۶m{m}^2$$

سخن پایانی

منشور یک شکل هندسی سه‌بعدی است که از دو قاعده چندضلعی مشابه و موازی و چند وجه جانبی به‌شکل مربع، مستطیل یا متوازی‌الاضلاع تشکیل شده است. منشور به‌دلیل سه‌بعدی بودن دارای حجم است و مقداری از فضا را اشغال می‌کند. درواقع، حجم منشور برابر است با مقدار فضای محصورشده بین وجه‌های منشور. حجم منشور قابل محاسبه است و مقدار آن از حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع به‌دست می‌آید.

سؤالات متداول

1. منشور چیست؟ 
   منشور یک شکل سه‌بعدی چندوجهی است که از دو قاعده چندضلعی مشابه و چند وجه جانبی به‌شکل مربع، مستطیل یا متوازی‌الاضلاع ساخته شده است
2. حجم منشور چیست؟
   حجم منشور برابر با مقدار فضای اشغال‌شده توسط آن است.
3. حجم منشور از چه فرمولی محاسبه می‌شود؟
   حجم منشور از فرمول مساحت قاعده ضربدر ارتفاع محاسبه می‌شود.